阿明 阿麗吃的。 阿文 我沒有吃。 阿麗:阿美吃的。...
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是誰偷吃蛋糕?
阿明:阿麗吃的。
阿文:我沒有吃。
阿麗:阿美吃的。
阿美:阿麗說謊
如果四人中只有一人講真話,且僅只一人偷吃,會是誰?
阿文偷吃
阿美講真話
設 P,QR,S 均為原子命題,且命題 P�Q�R→S 的真值為假(F),求下面諸命題的真值:
(a)―P�Q (b)―Q�S (c)Q�S (d)S→―P (e)―S→―P
(f)―Q�R→S
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邏輯
1.敘述及其真偽:
(1)敘述:具有真假(偽)性質,吾人能判定為真或為假(偽)之
語句,謂之敘述。
常用 BAQP 等字母表示之。
(2)真偽:一敘述為〝真〞或〝偽〞叫此敘述之真假(偽)值。
2.敘述之否定:
一敘述 P 之反面敘述,叫 P 之否定,以「非 P 」或「 P~ 」表之。
例:
:P 李四是好學生
:P~ 李四不是好學生
ba :P
)(:P~ baba 或
P ~P T F F T
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用或且連接之複合敘述:
複合敘述:將二個或二個以上之敘述用連接詞,組合一個新敘述,此
新敘述稱為複合敘述。
(1) P 且 Q )( QP :
(2) P 或 Q )( QP :
(3) 真假值表:
P Q QP QP
O O O O
O X X O
X O X O
X X X X
例:
(A) 1+1=2 且 1+3=5
(B) 1+1 2 且 1+3 5
(C) 1+1=2 且 1+3 5
(D) 南京在台灣且舊金山在美國
(E) 今天是星期一且明天是星期五
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例: 下列各敘述何者為真?
(A) 2+2=4 或 1+2=3
(B) 3>3 或 3>2
(C) 1+1=3 或 1+2=5
(D) 1>1 或 1
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笛摩根定律:
(1) 笛摩根定律:
)(~)(~)(~)(~)(~)(~
QpQPQPQp
(2)真假值表:
(3)同義敘述:
二敘述(複合敘述)之外型可能不同,但其意義完全相同,稱為同意敘
述或等價敘述,以表示,即 P 與 Q 同義以 QP 表示,(有相同的真
假值)
例:若敘述 P:「 1a 或 a >3」,則~P 為 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
S: 1a ~S:a >1 L: a >3~L: 3a
~( LS )~ S ~L: a >1 且 a 3
即~P:1< 3a
P Q P Q qp ~~ qp qp ~~
T T T F T F
T F F T T F
F T F T T F
F F F T F T
-
例 1: 設 a、b 為實數,則「 0ba 22 」≣「a=0 且 b=0」,則 a2+b2≠0
≣__________。
Sol: 0b 0a0)b0a(~ 或且
例 2: (1) "a>b 且 c=d"之否定句為何?
(2) 要證明「a>b 且 c=d」為假,應證明何事?
Sol: (1) ))()((~ dcba )()( dcba
(2) 要證 d)(cb)(a 為假,只要證“ dc ba 或 為真"
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例:設 P,Q,R 表敘述,求證:
(1) P ( RQ ) ( QP ) ( RP )
(2)求 (x-3) (y-1)=0
(x-3) (z+2)=0 之解?
Sol:(1)
P Q R QP RP
( QP ) ( )RP RQ )( RQP
O O O O O O O O
O O X O O O X O
O X O O O O X O
X O O O O O O O
O X X O O O X O
X O X X X X X
X X O X O X X X
X X X X X X X X
-
P Q R QP RP
( QP ) ( )RP RQ )( RQP
T T T T T T T T
T T F T T T F T
T F T T T T F T
F T T T T T T T
T F F T T T F T
F T F F F F F
F F T F T F F F
F F F F F F F F
)( RQP 與 )( RP 有相同的真假值
(2) 13 yX 或
23 ZX 或
(X=3 或 y=1)且(X=3 或 Z=-2)
)21(y3 ZX 且或
2
13
Zy
X 或
另有:
)()()( RPQPRQP
-
例:設 P,Q,R 表某敘述,若已知 QP 為偽,則下列何者必為真?
(A) QP ~ (B) QP ~~ (C) )( RQP (D) )(~ RQP
(E) )(~)(~ RPRQ
Ans: (A) (B) (D)(E)
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例:設 P,Q,R 表敘述,求證:
(1) P ( RQ ) ( QP ) ( RP )
(2)求 (x-3) (y-1)=0
(x-3) (z+2)=0 之解?
Sol:(1)
P Q R QP RP
( QP ) ( )RP RQ )( RQP
O O O O O O O O
O O X O O O X O
O X O O O O X O
X O O O O O O O
O X X O O O X O
X O X X X X X
X X O X O X X X
X X X X X X X X
)( RQP 與 )( RP 有相同的真假值
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開放語句及其解:
(1) 開放語句:一語句中含變數 X,y,、、、等,當這些變數指定為某
元素,便可確定其真假,此類語句叫開放語句。
(2) 變數域、變數值:變數可能代表到之元素所成之集合叫變數域,變
數指定某元素時,稱此元素為此時之變數值。
(3) 解(或根):使開放語句成 Z 之變數值,叫此開放語句之根或解。
開放語句之解視其變域而定
例:開放語句(X+1) (X‐2) 0)2)(21( XX 中,變數域為 N 之解為何?
變數域為 Z,則解為何?變數域為 Q,則解為何?變數域為 R,則解為
何?
Sol: )2)(2)(1( XXX =0 之 X 有-1,2,21
, 2
(1) XIN,X=2
(2) XZ,X=-1o r 2
(3) X Q ,X=-1o r 2 o r21
(4) X R ,X=-1o r2 o r21
o r 2
-
開放語句及其解:
(一) 開放語句:一語句中含變數 X,Y…等,當這些變數指定為某元素,
便可確定其真假,此類語句叫開放語句。
(二) 變數域,變數值:變數可能代表到之元素所成之集合叫變數域,
變數指定某元素時,稱此元素為此時之變數值。
(三) 解(或根):使開放語句成主之變數值,叫此開放語句之根或解。
開放語句之解視其變域而定:
例:開放語句 0)2)(21)(2)(1( xXxx 中,變數域為 N 解為何?變
數域為 Z,則解為何?變數域為 0,則解為何?變數域為 R,則解為何?
SEL: 0)2)(21)(2)(( xxXXH 之 X 有‐1,2,
21
, 2
① XEN , 2X
② XEX , 1X 或 2
③ XEQ , 21
X 或 2 或 -1
④ XER , 2X 或 21
或 2 或 -1
例:設 X 為自然數,則 X
-
例:設 為自然數 ,則
-
定量化詞:用來描述「敘述所提及事物之數量」
的語詞。
(1) 存在:在數學語句中,要表明一種東西有或沒有
便是存在問題,如果此東西至少有一,
便知存在了,我們便用表示。
(2) 唯一存在:一種東西知至少有一個,又知至多只
有一個,那麼就確定知道恰好有一個,
不多也不少,以表示。
(3) 所有:表示一種東西的全部,就是用「所有」或
「每一」或「任一」,這種語句用表示。
(4) 定量化詞之否定式:
)(~,))(,(~ )(~,))(,(~
),(~,,)),(,,(~ yyyy ),(~,,)),(,,(~ yyyy
-
例:寫出下列二式之意義:
(1) 01, 2 XRX 則必
(2) 0R,y, yXNX 使
Sol:
(1) 每一實數 X,則必 X 2 +1>0
(對所有)
(2) 每一自然數 X,必存在實數 y,使 X+y>0
例:寫出下列各敘述之否定句:
(1) 每一位美國人都是白種人
(2) 本校有一位學生超過 200 公分
(3) 本校每一年,高一都有一班的學生,每一位都戴眼鏡
(4) 本校有一年,每一次期中考都有一位學生每一科都及格
Sol:
(1) 有一位美國人不是白種人
(2) 本校每一位學生都不超過 200 公分
(3) 本校有一年,高一每一班都有學生不戴眼鏡
(4) 本校每一年都有一次期中考,每一位學生至少有一科不及格
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若 P 則 Q 及唯若 P 則 Q
P→Q Q→P
(1)
P Q P→Q
~P ~PQ
O O O X O O X X X X X O O O O X X O O O
P→Q S
~P Q 有相同的真假值
P→Q QP ~
例:P:騎機車,Q:戴安全帽
(2)若且唯若 P 則 Q QP
)()( PQQP
P Q P→Q Q→P
QP
O O O O O O X X O X X O O X X X X O O O
例:下列,何者為真? (A) 若 21 (B) 若 1+1=2 則 2+3=7
(C) 若 2>1 則 2+3>1+3 (D) 若 2>1 則 2+31+3 則 2>1
(F) 若且唯若 1+1=2 則 2+3=7
Ans: (A) (C) (E)
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-
例題 9-7 小劉、小馬、小張三個男孩都有一個妹妹,六個人在一起乒乓球,舉例男女
混合雙打。事先規定:兄妹兩人不搭伴。第一盤:小劉和小萍隊小張和小英:
第二盤:小張和小紅隊小劉和小馬的妹妹。小萍、小紅、小英各是誰的妹妹? 例題 9-8 甲、乙、丙、丁四個人在一家五星級大飯店相遇。交談時,發生了語言溝通上
困擾。因為在中、英、法、日、四種語言中,每個人只會兩種,卻選不出一
種大家都會的語言,只有一種語言是三個人都會的。於是,交談時發生有趣
的現象! (1) 乙不會英語,但甲和丙交談時。卻要請他當翻譯。 (2) 甲會日語,雖然丁不懂日語,卻能互相交談。 (3) 乙、丙、丁三人想互相交談,不過,找不到大家都會的語言。 (4) 沒有人既會日語又會法語。 試問甲、乙、丙、丁四人各會什麼語言? 例題 9-9 小李、小陳和小孫是小學老師,在國語、數學、歷史、地理、音樂和美術六
門課程中、每人敎兩門科目。 (1) 歷史老師和數學老師是鄰居。 (2) 小陳最年輕。 (3) 小李經常對地理老師和數學老師請他們看他的小說。 (4) 地理老師比國文老師年紀大。 (5) 小陳、地理老師國文老師三人經常一起去游泳。 請你分析一下,小陳、小李、和小孫三位老師每人敎的是哪兩門課? 例題 9-10 有三戶人家,每家有一個小孩,他們的名字是:小萍(女)、小紅(女)、小虎。孩子的爸爸是老王、老張和老陳,媽媽是劉美英、李玲君和方麗華。已知: (1) 老王家和李玲君家的孩子都參加了少年女子游泳隊。 (2) 老張的女兒不是小紅。 (3) 老陳和方麗華不是一家人。 請問哪三個是一家人? 由上面諸例題的練習,相信大家對於用矩陣來解配對問題,已有大致上的了
解,接下來三個例題是稍雖的挑戰題,尤其是例題 9-13,建議在做該題時,要利用「假設」以利解題。
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例題 9-11 四位運動員分別來自台北、台東、花蓮和澎湖,在遊泳、田徑、乒乓球和足
球四項運動中,每人只參加了一項。 除此之外,只知道一些零碎情況: (1) 阿明是球類運動員,不是東部人。 (2) 阿志是東部人,不是球類運動員。 (3) 阿勇和台北運動員、乒乓球運動員同住一個房間。 (4) 阿新不是台北運動員,年紀比澎湖運動員和游泳運動員都小。 (5) 花蓮運動員沒有參加游泳比賽。 根據這些條件,請你分析一下:這四位運動員各來自什麼地方?各參加什麼
運動?
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問題 1
已知某老師的生日是以下 10 個日期之一,某老師的生日是 m 月 d 日,他把 m
值告訴甲生,把 d 值告訴乙生,老師:你們知道我的生日是幾月幾號嗎?
甲生:( 1 ) 我不知道 ( 2 ) 乙生也一定不知道。
乙生:( 3 ) 我本來不知道 ( 4 ) 但現在知道了。
甲生:( 5 ) 喔!那我知道了。
Q:某老師的生日是?
3/4、3/5、3/8
6/4、6/7
9/1、9/8
12/1、12/2、12/5。 (請說明理由)
分析:
(1) 由上述日期可以發現,6/7 與 12/2 這兩組日期的日數是單獨沒有重複的,因
此如果乙生知道的 d 值為 7 或 2 這樣乙生必定可以知道老師生日。因此 10 組日
期剩下 8 組。
3/4、3/5、3/8
6/4
9/1、9/8
12/1、12/5
(2) 再來我們來討論甲生說的兩句話:( 1 ) 我不知道 ( 2 ) 乙生也一定不知道。
由第一句話甲生不知道代表,絕不可能是 6 月如果甲生知道 6 月這樣他一定知道
是 6/4。
再分析第二句話,甲生確定乙生一定不知道代表月份也不能是 12 月,因為如果
甲生知道 12 月,乙生有可能知道 1、2、5,雖然乙生如果知道 1 號與 5 號他不
能知道老師的生日,但如果乙生知道的日期是 2 號,乙生可以輕易的猜出老師生
日是 12/2,因此可以判斷甲生知道的月份絕對不會是 12 月。
因此可能的日期為下:
3/4、3/5、3/8
9/1、9/8
(3) 再來分析乙生說的:( 3 ) 我本來不知道 ( 4 ) 但現在知道了。
這代表乙生知道的日期絕對不是 8 號,因為如果是 8 號這樣有可能 3/8 或 9/8,
這樣乙生絕對不可能知道。
因此乙生知道的日期應該是 1 號、4 號、5 號之一。
3/4、3/5
9/1
答案:9/1
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題目 2
這是一個古羅馬時代的故事……
某日,一位少女在河川裡洗澡的時候,她放在河岸上的托加袍被偷走了。
關於這件事,有四位少女分別發表了她們的看法。
這四位少女分別是受害者、目擊者、救援者和旁觀者(未按順序)。
在這四位少女的談話中,如果是與受害者相關的內容是謊話,
如果是與其他人相關的內容則是真話。
你能夠判斷這四位少女的身分嗎?
(註釋:托加袍是希臘羅馬時代的一種寬鬆外袍)
瑪莉貝拉:「古蘿莉亞不是旁觀者。」
古蘿莉亞:「克蕾仙蒂亞不是目擊者。」
歐蕾莉亞:「瑪莉貝拉不是救援者。」
克蕾仙蒂亞:「古蘿莉亞不是目擊者。」
答案:假設古蘿莉亞是受害者的話,瑪莉貝拉以及克蕾仙蒂亞所說的內容是與受
害者有關,但同時也都是真話。所以,古蘿莉亞不是受害者。
假設克蕾仙蒂亞是受害者的話,古蘿莉亞所說的內容是與受害者有關,但同時也
是真話。因此,克蕾仙蒂亞也不是受害者。
假如瑪莉貝拉是受害者的話,則歐蕾莉亞所說的內容是與受害者有關,但同時也
是真話。所以,瑪莉貝拉不是受害者。
據上推論得知,歐蕾莉亞是受害者。換句話說,四位少女所說的話都是真話。將
以上的推論,整理成如下列表格:
受害者 目擊者 救援者 旁觀者
瑪莉貝拉 × ×
古蘿莉亞 × × ×
歐蕾莉亞 ○ × × ×
克蕾仙蒂亞 × ×
從上表推論可得知,瑪莉貝拉是目擊者,古蘿莉亞是救援者,而
克蕾仙蒂亞是旁觀者。
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題目 3:
某人說: 我們三人賭了些錢。
1.首先,A 從 B 贏到了和 A 原來一樣多的錢。
2.接著,B 從 C 贏到了和 B 所剩下來一樣多的錢。
3.最後,C 從 A 贏到了和 C 所剩下來一樣多的錢。
4.結束時,大家的錢數相同。
5.開始時,我有 50 分錢。
A、B 或 C——這三人中,哪一個是說話的人?
在 A 和 B 打賭前,令 a 為 A 所擁有的分錢數,且令 b 為 B 所擁有
的分錢數。
然後從「1」得知,在他們倆打賭後,A 擁有 2a 分錢,而 B 擁有 b-a 分
錢。在 C 和 B 打賭前,令 c 為 C 所擁有的分錢數。然後從「2」得知,在
B 和 C 打賭之後,B 擁有(b-a)+(b-a)或 2b-2a 分錢,而 C 擁有 c
-(b-a)或 c-b+a 分錢。 然後從「3」得知,在 C 和 A 打賭之後,C
擁有(c-b+a)+(c-b+a)或 2c-2b+2a 分錢,而 A 擁有 2a-(c-
b+a)或 a-c+b 分錢。 從「4」得知,a-c+b=2b-2a 及 a-c+b=2c
-2b+2a。第一道等式導出:b=3a-c,而第二道等式導出:3b=a+3c。
第一道字母等式乘以 3,並將兩道等式加在一起導出:6b=10a 或 b=5a/3。
b 以 5a/3 代入(至 b=3a-c 或 3b=a+3c)導出:c=4a/3。 因此,A 一
開始有 a 分錢,B 有 5a/3 分錢,C 有 4a/3 分錢。 從「5」得知,a 不會是
50 分錢,因為那麼 B 和 C 一開始的分錢數就會出現分數;而 4a/3 不會是
50 分錢,因為那麼 A 和 B 一開始的分錢數就會出現分數;所以 5a/3 是 50
分錢,且 B 是說話的人。 總結:A 一開始有 30 分錢,B 一開始有 50 分
錢,C 一開始有 40 分錢。
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趣 味 邏 輯 題目
1) 大華正在凝望一幅照片。有人問他﹕「照片中的人是誰?」大華回答說﹕「我沒
有兄弟姊妹,但這個人的父親是我父親的兒子。」 那麼,大華望著誰的照片? 答案 照片中的人是大華的兒子。 (2) 發生了一宗劫案,事主損失慘重,劫匪駕駛一輛貨車逃走了。你只知道,(1) 除了疑犯 A,B 和 C 之外,不會有其他人牽涉在內﹔(2) 沒有 A 的陪同,C 是不會獨自犯案的﹔(3) B 是不懂駕駛的。 如此看來,A 有沒有罪? 答案 A 是有罪的。 (3) 假設有一座小鎮,(1) 鎮上每個人頭髮的數目都不同﹔(2) 沒有人有 409 根頭髮﹔
(3) 鎮的人口比鎮裏任何一人頭髮的數目為多。
問題是,鎮上最多有多少人 (假設不是無限的) ?
答案 409
(4)
一個很特別的島嶼只住了君子和流氓。君子只講真話,從不說謊﹔但相反流氓的
說話沒有一句是真確的。
有天你遇到兩個島民,大明和小明。大明說小明是流氓,而小明卻告訴你﹕和大
明也不是流氓。」
你可以分出誰是君子,誰是流氓嗎?
答案 大明是君子,小明是流氓。
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(5)
如上面的情況一樣,你在這個只住了君子和流氓的島上探訪,剛好遇到三個島民,
冬瓜、南瓜和西瓜。冬瓜聲稱南瓜和西瓜是同一種人﹔南瓜卻說﹕「我和西瓜至
少有一個是君子。」而西瓜則說冬瓜是個流氓。
你可以分出誰是君子,誰是流氓嗎?
答案 冬瓜是君子,南瓜和西瓜是流氓。
(6)
三隻小眼豬想吃的早餐各不相同。其中一隻小眼豬喜歡吃燕麥淋柳橙汁,另一隻
愛搗蛋的小眼豬喜歡吃炒蛋沾番茄醬,第三隻小眼豬喜歡吃切片香蕉,他說吃香
蕉有助於維持絕佳的視力,看清生活中不尋常的一切。請根據下列線索推理出哪
隻小眼豬吃切片香蕉。
線索 1:1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片。
線索 2:2 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬
趕快想想看,1 號、2 號還是 3 號小眼豬早餐喜歡吃切片香蕉?
要寫出你是怎麼推理的喔!
答案 是二號小豬吃切片香蕉
解釋 因為 1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片,只剩下燕麥淋柳橙汁,1 號小眼豬喜歡吃
燕麥淋柳橙汁。
2 號不吃炒蛋沾番茄醬,只剩下燕麥淋柳橙汁和切片香蕉,燕麥淋柳橙汁是 1 號小眼豬喜歡吃的,2 號愛
吃切片香蕉
3 號愛吃炒蛋沾番茄醬
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(7)
「現在有甲、乙、丙、丁四個人,甲、乙之中有一個總是說實話,另一個總是說
謊話;丙、丁的情況也和甲、乙一樣,一個總是說實話,另一總是說謊話。現在
四人各說了一句話,請問他們對話中所說的是哪一個數?
甲:「這個數是質數。」 乙:「這個數是 8。」 丙:「這個數是偶數。」 丁:「這個數是 15。」 答案 2 or 8 解釋
If the answer is 2 2 is 質數 and 偶數
Therefore 甲 is correct,(這個數是質數。) 乙 is wrong (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。) If the answer is 8 8 is 偶數 but not 質數 Therefore 甲 is wrong,(這個數是質數。) 乙 is correct (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。)
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(8) 一個老師輕聲告訴學生 A 一個正整數 p;告訴學生 B 一個正整數 q;告訴學生 C 一個正整數 r。學生彼此之間不知道別人的數是多少,但他們知道這三個數字 p+q+r =14,以下是他們的依序陳述: 學生 A 說:我能判斷出 B 和 C 的數是相異的。 學生 B 說:我早已能判斷出我們三個數都是相異的。 學生 C 說:現在我能判斷出我們三個人的數分別是多少了。 試問 p、q、r 三個數的乘積是多少? 【正整數即 1、2、3、4、5、..........................】 答案 42 解釋 根據 A 的陳述: 若 B 和 C 的數字 q、r 相同,則 q+r 必是偶數 而 A 知道這兩個數相異,所以 q+r 是奇數 => p 是奇數 根據 B 的陳述: 光知道 p+r 就知道 p、r 相異 => p+r 是奇數 => q 是奇數 而且 B 能知道 p,r 都不會是 q => 這表示 q 一定是夠大的奇數 使得 p,q 中的奇數(由前面可知是 p)若等於 q,則 q+q+r 會超過 14 => q=7, 9, 11 現在可知: q=7 時:p+r=7 => (p , r) = (1 , 6) , (3 , 4) , (5 , 2) q=9 時:p+r=5 => (p , r) = (1 , 4) , (3 , 2) q=11 時:p+r=3 => (p , r) = (1 , 2) 根據 C 的陳述: 根據前兩者所說,再根據已知 r,就能確定三個人的數 ∴r 不可能是 2 , 4,因為 r = 2 , 4 時(p , r)的解都不唯一 ∴r = 6 => (p , q , r) = (1 , 7 , 6) => p*q*r = 42 (9)
1²、2²、3²、........、9²這 9 個數(不需每個數字多用到,但不能重複),配合【+、﹣、×、÷ 】四種運算符號與【 大、中、小括號】,列出一計算式,使其值恰等
於 2011。 2011= 答案 答案:2011=5²×9²-3²-2²-1²
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(10) 有一種特殊ㄉ計算器除了數字鍵外,只有兩種運算方法:【+1】與【x2】。若輸入數字 1 後,請問至少要按【+1】與【x2】鍵共幾次可得的 200 答案 逆推:200/2³ = 25 , 25-1=24 , 24/2³ = 3 , 3-1=2 , 2/2 = 1 ∴[(1*2+1)*2*2*2+1]*2*2*2=200 至少要 9 次 (11) 消失的 10 元 有 3 個人一同去住宿 每個人各出了 100 元去支付 300 元的住宿費 老闆收到錢以後想到當天有優惠 住宿費只需要 250 元就好了 就請小弟把 50 元退還給她們 小弟心想她們並不知道打折的事情 所以就偷偷把 20 元收起來 只退還給她們 30 元 3 個人各拿回了 10 元 題目: 3 個人各拿回 10 元表示她們各出了 90 元 3 x 90 = 270 另外還有小弟拿走的 20 元 270 + 20 = 290 你發現了嗎? 300 - 290 = 10 少了 10 元 請問這個 10 元被誰拿走了? 答案 3 x 90 = 270 絕對沒有問題 270 + 20 = 290 在這裡沒有意義 270 - 20 = 250 這個 250 才是她們住宿所花的錢 簡單的說 題目用加法是誤導 "減法"才對 講清楚一點: 270 + 20 = 290 計算上沒問題 但是這個 290 去跟 300 元比是沒有意義的
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因為 300 中有 30 元已經順利退還給 3 人了 因此金額的總數就是 300 - 30 = 270 = 3 x 90 20 元則是包括在這個 270 之中的 當然不可以用加法加上去 (12) 一個人花 8 塊錢買了一只雞,9 塊錢賣掉了,然後 覺得不划算,花 10 塊錢又買回來了, 11 塊錢賣給 外一個人,問他賺了多少錢? 答案 2 元 解釋 分開兩次計算就對了.每次賺一元.兩次就是 2 元 (13) 你能猜出這 3 組數字間有何種關係嗎? 提示 :每一組數字都有一個相同的條件. (1、3、7、8, ) (2、4、6, ) (5、9, ) 答案 1. 3. 7. 8 注音都是一聲 2. 4. 6. 注音都是四聲 5. 9 注音都是三聲 (14) 假設台灣 1 月 1 號看見太陽的機率是 70% 1 月 2 號看見太陽的機率是 50% 1 月 3 號看見太陽的機率是 10% 1 月 4 號看見太陽的機率是 80% 1 月 2 號下午 3 點小明位於高雄 請問他過了 35 個小時後看到太陽的機率是多少 答案 0% 解釋 因為過了 35 小時後便是 1 月 4 號的早上 2 點,早上 2 點哪來的太陽
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趣 味 邏 輯 題目
1) 大華正在凝望一幅照片。有人問他﹕「照片中的人是誰?」大華回答說﹕「我沒
有兄弟姊妹,但這個人的父親是我父親的兒子。」 那麼,大華望著誰的照片? 答案 照片中的人是大華的兒子。 (2) 發生了一宗劫案,事主損失慘重,劫匪駕駛一輛貨車逃走了。你只知道,(1) 除了疑犯 A,B 和 C 之外,不會有其他人牽涉在內﹔(2) 沒有 A 的陪同,C 是不會獨自犯案的﹔(3) B 是不懂駕駛的。 如此看來,A 有沒有罪? 答案 A 是有罪的。 (3) 假設有一座小鎮,(1) 鎮上每個人頭髮的數目都不同﹔(2) 沒有人有 409 根頭髮﹔
(3) 鎮的人口比鎮裏任何一人頭髮的數目為多。
問題是,鎮上最多有多少人 (假設不是無限的) ?
答案 409
(4)
一個很特別的島嶼只住了君子和流氓。君子只講真話,從不說謊﹔但相反流氓的
說話沒有一句是真確的。
有天你遇到兩個島民,大明和小明。大明說小明是流氓,而小明卻告訴你﹕和大
明也不是流氓。」
你可以分出誰是君子,誰是流氓嗎?
答案 大明是君子,小明是流氓。
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(5)
如上面的情況一樣,你在這個只住了君子和流氓的島上探訪,剛好遇到三個島民,
冬瓜、南瓜和西瓜。冬瓜聲稱南瓜和西瓜是同一種人﹔南瓜卻說﹕「我和西瓜至
少有一個是君子。」而西瓜則說冬瓜是個流氓。
你可以分出誰是君子,誰是流氓嗎?
答案 冬瓜是君子,南瓜和西瓜是流氓。
(6)
三隻小眼豬想吃的早餐各不相同。其中一隻小眼豬喜歡吃燕麥淋柳橙汁,另一隻
愛搗蛋的小眼豬喜歡吃炒蛋沾番茄醬,第三隻小眼豬喜歡吃切片香蕉,他說吃香
蕉有助於維持絕佳的視力,看清生活中不尋常的一切。請根據下列線索推理出哪
隻小眼豬吃切片香蕉。
線索 1:1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片。
線索 2:2 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬
趕快想想看,1 號、2 號還是 3 號小眼豬早餐喜歡吃切片香蕉?
要寫出你是怎麼推理的喔!
答案 是二號小豬吃切片香蕉
解釋 因為 1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片,只剩下燕麥淋柳橙汁,1 號小眼豬喜歡吃
燕麥淋柳橙汁。
2 號不吃炒蛋沾番茄醬,只剩下燕麥淋柳橙汁和切片香蕉,燕麥淋柳橙汁是 1 號小眼豬喜歡吃的,2 號愛
吃切片香蕉
3 號愛吃炒蛋沾番茄醬
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(7)
「現在有甲、乙、丙、丁四個人,甲、乙之中有一個總是說實話,另一個總是說
謊話;丙、丁的情況也和甲、乙一樣,一個總是說實話,另一總是說謊話。現在
四人各說了一句話,請問他們對話中所說的是哪一個數?
甲:「這個數是質數。」 乙:「這個數是 8。」 丙:「這個數是偶數。」 丁:「這個數是 15。」 答案 2 or 8 解釋
If the answer is 2 2 is 質數 and 偶數
Therefore 甲 is correct,(這個數是質數。) 乙 is wrong (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。) If the answer is 8 8 is 偶數 but not 質數 Therefore 甲 is wrong,(這個數是質數。) 乙 is correct (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。)
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(8) 一個老師輕聲告訴學生 A 一個正整數 p;告訴學生 B 一個正整數 q;告訴學生 C 一個正整數 r。學生彼此之間不知道別人的數是多少,但他們知道這三個數字 p+q+r =14,以下是他們的依序陳述: 學生 A 說:我能判斷出 B 和 C 的數是相異的。 學生 B 說:我早已能判斷出我們三個數都是相異的。 學生 C 說:現在我能判斷出我們三個人的數分別是多少了。 試問 p、q、r 三個數的乘積是多少? 【正整數即 1、2、3、4、5、..........................】 答案 42 解釋 根據 A 的陳述: 若 B 和 C 的數字 q、r 相同,則 q+r 必是偶數 而 A 知道這兩個數相異,所以 q+r 是奇數 => p 是奇數 根據 B 的陳述: 光知道 p+r 就知道 p、r 相異 => p+r 是奇數 => q 是奇數 而且 B 能知道 p,r 都不會是 q => 這表示 q 一定是夠大的奇數 使得 p,q 中的奇數(由前面可知是 p)若等於 q,則 q+q+r 會超過 14 => q=7, 9, 11 現在可知: q=7 時:p+r=7 => (p , r) = (1 , 6) , (3 , 4) , (5 , 2) q=9 時:p+r=5 => (p , r) = (1 , 4) , (3 , 2) q=11 時:p+r=3 => (p , r) = (1 , 2) 根據 C 的陳述: 根據前兩者所說,再根據已知 r,就能確定三個人的數 ∴r 不可能是 2 , 4,因為 r = 2 , 4 時(p , r)的解都不唯一 ∴r = 6 => (p , q , r) = (1 , 7 , 6) => p*q*r = 42 (9)
1²、2²、3²、........、9²這 9 個數(不需每個數字多用到,但不能重複),配合【+、﹣、×、÷ 】四種運算符號與【 大、中、小括號】,列出一計算式,使其值恰等
於 2011。 2011= 答案 答案:2011=5²×9²-3²-2²-1²
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(10) 有一種特殊ㄉ計算器除了數字鍵外,只有兩種運算方法:【+1】與【x2】。若輸入數字 1 後,請問至少要按【+1】與【x2】鍵共幾次可得的 200 答案 逆推:200/2³ = 25 , 25-1=24 , 24/2³ = 3 , 3-1=2 , 2/2 = 1 ∴[(1*2+1)*2*2*2+1]*2*2*2=200 至少要 9 次 (11) 消失的 10 元 有 3 個人一同去住宿 每個人各出了 100 元去支付 300 元的住宿費 老闆收到錢以後想到當天有優惠 住宿費只需要 250 元就好了 就請小弟把 50 元退還給她們 小弟心想她們並不知道打折的事情 所以就偷偷把 20 元收起來 只退還給她們 30 元 3 個人各拿回了 10 元 題目: 3 個人各拿回 10 元表示她們各出了 90 元 3 x 90 = 270 另外還有小弟拿走的 20 元 270 + 20 = 290 你發現了嗎? 300 - 290 = 10 少了 10 元 請問這個 10 元被誰拿走了? 答案 3 x 90 = 270 絕對沒有問題 270 + 20 = 290 在這裡沒有意義 270 - 20 = 250 這個 250 才是她們住宿所花的錢 簡單的說 題目用加法是誤導 "減法"才對 講清楚一點: 270 + 20 = 290 計算上沒問題 但是這個 290 去跟 300 元比是沒有意義的
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因為 300 中有 30 元已經順利退還給 3 人了 因此金額的總數就是 300 - 30 = 270 = 3 x 90 20 元則是包括在這個 270 之中的 當然不可以用加法加上去 (12) 一個人花 8 塊錢買了一只雞,9 塊錢賣掉了,然後 覺得不划算,花 10 塊錢又買回來了, 11 塊錢賣給 外一個人,問他賺了多少錢? 答案 2 元 解釋 分開兩次計算就對了.每次賺一元.兩次就是 2 元 (13) 你能猜出這 3 組數字間有何種關係嗎? 提示 :每一組數字都有一個相同的條件. (1、3、7、8, ) (2、4、6, ) (5、9, ) 答案 1. 3. 7. 8 注音都是一聲 2. 4. 6. 注音都是四聲 5. 9 注音都是三聲 (14) 假設台灣 1 月 1 號看見太陽的機率是 70% 1 月 2 號看見太陽的機率是 50% 1 月 3 號看見太陽的機率是 10% 1 月 4 號看見太陽的機率是 80% 1 月 2 號下午 3 點小明位於高雄 請問他過了 35 個小時後看到太陽的機率是多少 答案 0% 解釋 因為過了 35 小時後便是 1 月 4 號的早上 2 點,早上 2 點哪來的太陽
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15.以真值樹來證明下面命題為恆真.
(( P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))
解: 原命題
~((P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))∨(P
→P∧~S)
上式之否定
((P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))∧~(P→
~P∨~Q ∨~R
P∧~S
証上式為矛盾命題即可
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記住 :
A ←→ B ~ ( A ←→ B )
/\ /\
~A A A ~A
| | | |
~B B ~B B
例 4 : 以真值樹來判定下面的命題的真值情形 :
( P ←→ Q ) ←→ ( Q ←→ R )
解 :
/\ P ←→ Q ~ ( P ←→ Q )
| | Q ←→ R ~ ( Q ←→ R )
再將雙條件命題發展成真值樹 :
/||\ P ~P P ~P
| | | |
Q ~Q ~Q Q
/\ /\ /\ /\
Q ~Q Q ~Q Q ~Q Q ~Q
| | | | | | | |
R ~R R ~R ~R R ~R R
X X X X
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例:已真值樹判定下面命題的真值情況:
((P→Q) P) →Q
解: ((P→Q) P) →Q ~((P→Q) P) Q
~(P→Q) ~P Q , 又 ~(P→Q)=P ~Q
(P ~Q) ~P Q
P ~P Q
│
~Q
由樹枝(P,~Q)知(P,Q)的真值為(T,F)時,所予
命題真值為 T;由另二枝知,(P,Q)的真值為
(F,T)(F,F)及(T,T)時,所予命題均 T.
故此命題 恆真
註:(P,Q)有四種情形:(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)
均使原命題為 T . 故原命題恆真
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組合 1是誰偷吃蛋糕趣味邏輯組合趣味邏輯組合2(例題9-7)至(例題 9-11)趣味邏輯題目11012邏輯與思考趣味邏輯 題目2趣味邏輯題目3邏輯真值樹1邏輯真值樹2邏輯真值樹3
小故事1有效論證推論法無須前題的論證小故事2
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