easitmasi parameter arima
Post on 01-Jul-2015
493 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ESTIMASI PARAMETERESTIMASI PARAMETERARIMAARIMA
Dr. Ruminta
@Ruminta 2009
EstimasiEstimasi NilaiNilai ParameterParameter
• Model AR (p) Parameter AR yaitu nilai φi diperoleh dari fungsi autokorelasi (ρk) melalui persamaan Yule Walker :
p-kp2-k21-k1k ... ρφρφρφρ +++=Untuk k =1,2,3, …, p diperoleh :
p2-p21-p1p
2-pp2112
1-pp1211
... ....................................
...
...
φρφρφρ
ρφφρφρ
ρφρφφρ
+++=+++=
+++=
+++=
@Ruminta 2009
Atau dalam bentuk persamaan matrik :
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
pppp
p
p
p φ
φφ
ρρρ
ρρρρρρ
ρ
ρρ
M
K
MOMMM
K
K
M2
1
321
211
121
2
1
.
1
11
Jadi parameter model φI :
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
pppp
p
p
p ρ
ρρ
ρρρ
ρρρρρρ
φ
φφ
M
K
MOMMM
K
K
M2
1
321
211
121
2
1
-1
1
11
.
@Ruminta 2009
Varians dari model AR :
pp
ey φρφρφρ
σσ−−−−
=...1 2211
22
Untuk model AR(1) disebut juga proses Markov :
ttt eyy += −11φ
11
−
=k
k
ρρφ Karena ρ0 = 1 dan k=1, maka :
11
0
1
11 1
ρρρρ
ρρφ ====−k
k
@Ruminta 2009
Varians dari model AR (1):
21
2
11
22
11 φσ
φρσσ
−=
−= ee
y
tttt eyyy ++= −− 2111 φφParameter model AR (2):
21
111 1
)1(ρρρφ
−−
=
21
212
2 1 ρρρφ
−−
=
Varians dari model AR (2):2211
22
1 φρφρσσ−−
= ey
@Ruminta 2009
• Model MA (q)Parameter MA yaitu nilai θi diperoleh dari fungsiautokorelasi (ρk) melalui persamaan :
222
21
qk-q1-k1k ...1
...
q
k
θθθθθθθθ
ρ++++
+++−=
Varians dari model MA :
2222
21
2 )...1( eqy σθθθσ ++++=
Parameter MA (1) :
011 1
1212
1
11 =++⇔
+−
=ρθθ
θθρ
ttt eey += −11θ
@Ruminta 2009
Atau
1)2(
121
1)2(
121
211
1
211
1
−−−=
−+−=
ρρθ
ρρθ
Varians dari model MA (1):
221
2 )1( ey σθσ +=
tttt eeey ++= −− 2211 θθParameter MA (2) :
22
21
211 1
)1(θθθθρ++−−
=
@Ruminta 2009
22
21
22 1 θθ
θρ++
−=
Varians dari model MA (2): 222
21
2 )1( ey σθθσ ++=
• Model ARMA (p,q) dan ARIMA (p,d,q)Parameter ARMA atau ARIMA yaitu nilai φi dan θidiperoleh dari fungsi autokorelasi (ρk) :
2k ,1
))(1(1
2 1
1-k1k
22
1
11111
22
1
112
10
≥=−
−−=
−−+
=
ρφρ
σθ
θφθφρ
σθ
θφθρ
e
e
@Ruminta 2009
tttt eeyy ++= −− 1111 θφParameter ARMA (1,1) :
Dengan mengeliminasi varians σe2 pada persamaan
autokrelasi diperoleh paramater model ARMA melaluipersamaan berikut
112
1
11111 21
))(1(θφθθφθφρ
−+−−
=
112 ρφρ =
Varians model ARMA (1,1) :
2
11
21
21
2 21)1(
1ey n
σρρ
ρφ
σ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
=
@Ruminta 2009
tttt eeyy ++∆=∆ −− 1111 θφParameter ARIMA (1,1,1) :
Dengan mengeliminasi varians σe2 pada persamaan
autokrelasi diperoleh paramater model ARIMA melaluipersamaan berikut
112
1
11111 21
))(1(θφθθφθφρ
−+−−
=
112 ρφρ =
Varians model ARMA (1,1,1) :
2
11
21
21
2 21)1(
1ey n
σρρ
ρφ
σ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
=
@Ruminta 2009
PengujianPengujian DiagnostikDiagnostik(Diagnostic Checking)(Diagnostic Checking)
• Pengujian model ARIMA dilakukan terhadapautokorelasi sisa (residual), menggunakan statistikQ Ljung-Box. Pengujian ini disebut test Portmanteau. Statistik Q mempunyai distribusi Chi Kuadrat (χ2) dengan db = k-p-q yang diuji. Ujiautokorelasi juga dapat dilakukan dengan ujiDurbin-Watson (d).
• Jika hasil uji menunjukkan ada autokorelasi yaitunilai Q signifikan (Q>χ2
tabel) atau nilai d tidakmendekati 2, perlu kembali ke tahap indentifikasiuntuk mengevaluasi model melalui penggunaan lag berikutnya.
@Ruminta 2009
Uji Portmanteau
@Ruminta 2009
Pengujian autokorelasi residu model ARIMA menggunakan statistik Q Ljung-Box :
dimanan = jumlah observasi data deret waktuk = lag (time lag)m = jumlah lag yang dijujirk = fungsi autokorelasasi residu pada periode lag k
∑= −
+=m
k
k
knr
nnQ1
2
)2(
Formulasi pengujian hipotesis :
0 0
11
10
≠=
ρρ
:H:H
Kriteria uji Portmanteau : nilai Q
Nilai kritis : χ2 pada Tabel Chi Kuadrat (db = m-p-q dan taraf nyata α)
⎩⎨⎧
≠→>=→≤
0: Terima0: Terima
Bila1
2,
2,
ρχρχ
α
α
HH
Qdb
odb
Kaidah keputusan :
Apabila nilai Q signifikan menunjukkan masih adaautokorelasi residu sehingga model tidak layakdigunakan untuk peramalan.
@Ruminta 2009
UjiUji Durbin Watson (Durbin Watson (dd))
∑
∑
=
−=
−= n
tt
t
n
tt
e
eed
1
2
21
2
)(
Pengujian autokorelasi residu model ARIMA menggunakan uji Durbin Watson (d) :
@Ruminta 2009
Kriteria nilai uji Durbin Watson (d) :
Nilai d Kriteria0 Menunjukkan autokorelasi positif
sempurna (perfect positive correlation)
2 Menunjukan tidak ada autokoralsi(no autocorrelation)
4 Menunjukkan autokorelasi negatifsempurna (perfect negative autocorrelation)
@Ruminta 2009
PeramalanPeramalan (Forecasting)(Forecasting)• Peramalan dapat dilakukan oleh model ARIMA
yang dinyakatan secara statistik layak untukdipergunakan setelah model tersebut dijui melauitest Portmanteau atau uji Durbin-Watson.
• Test terhadap model ARIMA sangat pentingsampai sejauh mana model tersebut dapatdigunakan untuk peramalan dengan baik.
• Pengujian model dapat dilakukan di dalamsampel ataupun di luar sampel data deret waktuyang dianalisis. Tetapi yang paling baik adalahterhadap data deret waktu di luar yang dianalisis.
@Ruminta 2009
TipeTipe PeramalanPeramalan• Peramalan satu tahap ke depan (one-step-ahead)
: peramalan hanya untuk satu observasiberikutnya.
• Peramalan multi tahap ke depan (multi-step-ahead) : peramalan untuk 1,2,3,…s tahap kedepan.
• Peramalan rekursif : peramalan dimana waktuestimasi awal ditentukan tetapi setiap observasitambahan dimasukan satu per satu ke dalampanjangnya waktu estimasi.
• Peramalan “rolling” : peramalan dimana periodewaktu estimasi ditentukan tetapi waktu dimulai dandiakhiri meningkat secara suksesif setia 1 tahap.
@Ruminta 2009
AkurasiAkurasi PeramalanPeramalan
1. Error Total (ET)2. Mean Error (ME)3. Mean Absolute Error (MAE)4. Percentage Error (PE)5. Mean Percentage Error (MPE)6. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)7. Mean Squared Error (MSE)8. Root Mean Squared Error (RMSE)
Akurasi peramalan didasarkan pada perbedaanantara hasil peramalan dengan data observasi padawaktu yang sama (t) dapat dianalisis melalui :
@Ruminta 2009
Error Total (ET)Error Total (ET)• Jumlah semua error :
• Menggunakan error asli (positif ataunegatif)
• Total error (ET) dapat positif ataunegatif
• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik ET mendekati nol.
∑∑==
=−=n
tt
n
ttt eYYET
11)ˆ(
@Ruminta 2009
Mean Error (ME)Mean Error (ME)• Rataan dari semua error :
• Menggunakan error asli (positif ataunegatif)
• ME dapat positif atau negatif• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik ME mendekati
nol.
∑=
=n
tte
nME
1
1
@Ruminta 2009
Mean Absolute Error (MAE)Mean Absolute Error (MAE)• Rataan dari semua error :
• Menggunakan error asli (positif ataunegatif)
• MAE bernilai positif• Mengukur bias dalam peramalan• Peramalan yang baik MAE mendekati
nol.
∑=
=n
tte
nMAE
1
1
@Ruminta 2009
Percentage Error (PE)Percentage Error (PE)
• Persetase error :
• Bernilai positif atau negatif• Mengukur bias, model yang baik PE
mendekati nol
100ˆ
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
t
ttt Y
YYPE
@Ruminta 2009
Mean Percentage Error (MPE)Mean Percentage Error (MPE)
• Rataan dari persetase error :
• Bernilai positif atau negatif• Mengukur bias, model yang baik MPE
mendekati nol
∑=
=n
ttPE
nMPE
1
1
@Ruminta 2009
Mean Absolute Percentage Error Mean Absolute Percentage Error (MAPE)(MAPE)
• Rataan dari persentase error absolut :
• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya (magnitude) error• Satuan : %
[ ] 1MA1∑=
=n
ttPE
nPE
@Ruminta 2009
Mean Squared Error (MSE)Mean Squared Error (MSE)
• Rataan dari error kuadrat :
• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya error
∑=
=n
tte
nMSE
1
21
@Ruminta 2009
Root Mean Squared Error (RMSE) Root Mean Squared Error (RMSE) • Akar kuadrat dari MSE :
• Selalu bernilai positif• Mengukur besarnya error• Standar deviasi dari error peramalan.
∑=
=n
tte
nRMSE
1
21
@Ruminta 2009
Uji U Theil
terbaikyang siidentifika hasilARIMA model hanya1U terbaikyang modelperamalan hasil hanya1U
akuratnya samaadalah modelperamalan hasil maupun siidentifika hasilARIMA modelbaik 1U
peramalan waktu ss waktu tpada observasi data
siidentifika hasilARIMA model dariperamalan nilai
)(
)(
,
,
2,
1
→>→<
→==
+=
=
−
−
=
+
=
+
+
+
+
∑
st
st
T
Tt
st
stst
st
stst
yfb
xfby
xfy
u
@Ruminta 2009
Teladan 1Tentukan Model ARIMA yang paling cocok untuk menggambarkan model data :
1. Produksi BBM, 2. Impor beras3. Penjualan CPO,4. Jumlah sunspot,
seperti ditunjukkan pada gambar dantabel berikut.
@Ruminta 2009
Tahun Produksi BBM WaktuY t
1960 6.577 11961 6.855 21962 6.939 31963 7.557 41964 8.065 51965 8.314 61966 8.009 71967 8.357 81968 9.404 91969 9.447 101970 9.388 111971 9.831 121972 10.409 131973 11.551 141974 11.301 151975 12.168 161976 12.852 171977 12.426 181978 13.346 191979 14.657 201980 14.561 211981 15.144 221982 15.254 231983 16.224 241984 16.118 251985 17.389 261986 17.94 271987 18.483 281988 18.398 291989 19.233 301990 19.16 311991 19.334 321992 19.854 33
1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Tahun
Produksi BBM (100 Ribu Ton)
1. Data Produksi BBM
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Produksi BBM
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Produksi BBM
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Produksi BBM
Dari ACF tidak meluruh menunjukkan data tidakstasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Produksi BBM (d=1)
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Produksi BBM
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Produksi BBM
ACF dan PACF menunjukkan meluruhsecara osilasi dimulai pada lag 1. Jadimodel yang cocok adalah ARIMA (1,1,1)
@Ruminta 2009
35302520151051
25
20
15
10
5
Time
Prod
uksi
BBM
Time Series Plot for Produksi BBM(with forecasts and their 95% confidence limits)
@Ruminta 2009
Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.0379 0.3680 0.10 0.919MA 1 0.5418 0.3140 1.73 0.095Constant 0.40619 0.03589 11.32 0.000
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 8.8 15.0 * *DF 9 21 * *P-Value 0.456 0.824 * *
∆Yt=0.406 + 0.038 ∆Yt-1+ et + 0.542et-1
Yt – Yt-1 =0.406 + 0.038 (Yt-1 –Yt-2) + et + 0.542et-1
Yt =Yt-1 + 0.406 + 0.038 (Yt-1 –Yt-2) + et + 0.542et-1
@Ruminta 2009
3 3 504 4 2001 5 2502 6 1503 7 2004 8 3001 9 3502 10 2003 11 1504 12 4001 13 5502 14 3503 15 2504 16 5501 17 5502 18 4003 19 3504 20 6001 21 7502 22 5003 23 4004 24 6501 25 8502 26 6003 27 4504 28 700
4 8 12 16 20 24 28
50
99
148
197
246
295
344
393
442
491
540
589
638
687
736
785
834
883
Quorter
Impor Beras (Ribu Ton)
2. Data Impor Beras
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Impor Beras
7654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Impor Beras
7654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Impor Beras
Dari ACF dan PACF tidak meluruh menunjukkandata tidak stasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Impor Beras (d=1)
7654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Impor Beras
7654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Impor Beras
ACF dan PACF menunjukkan meluruhsecara osilasi dimulai pada lag 1. Jadimodel yang cocok adalah ARIMA (2,1,2)
@Ruminta 2009
4035302520151051
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Time
Impo
r Be
ras
Time Series Plot for Impor Beras(with forecasts and their 95% confidence limits)
@Ruminta 2009
Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.0615 0.0794 0.77 0.447AR 2 -0.9988 0.0808 -12.36 0.000MA 1 1.0130 0.2339 4.33 0.000MA 2 -0.0672 0.2467 -0.27 0.788Constant 42.7707 0.6239 68.56 0.000
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 11.3 16.4 * *DF 7 19 * *P-Value 0.126 0.632 * *
∆Yt=42.771 + 0.062 ∆Yt-1-0.999 ∆ Yt-2 + et + 1.013et-1 -0.067et-2
Yt – Yt-1 = 42.771 + 0.062 (Yt-1 –Yt-2) -0.999(Yt-2 –Yt-3) + et + 1.013et-1 -0.067et-2
Yt = Yt-1 + 42.771 + 0.062 (Yt-1 –Yt-2) -0.999(Yt-2 –Yt-3) + et + 1.013et-1 -0.067et-2
@Ruminta 2009
Minggu Penjualan CPO1 2752 2913 3074 2815 2956 2687 2528 2799 26410 28811 30212 28713 29014 31115 27716 24517 28218 27719 29820 30321 31022 29923 28524 25025 26026 24527 27128 28229 30230 285
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
45
65
85
05
Minggu
Penjualan CPO (Ribu Ton)
3. Data Penjualan CPO
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Penjualan CPO
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Penjualan CPO
87654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Penjualan CPO
ACF dan PACF menunjukkan meluruhsecara osilasi dimulai pada lag 1. Jadimodel yang cocok adalah ARIMA (1,0,1)
@Ruminta 2009
4035302520151051
340
320
300
280
260
240
220
Time
Penj
uala
n CP
OTime Series Plot for Penjualan CPO
(with forecasts and their 95% confidence limits)
@Ruminta 2009
Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 0.5539 1.1559 0.48 0.636SAR 4 -0.9887 0.1177 -8.40 0.000MA 1 0.4073 1.2088 0.34 0.739SMA 4 -0.5709 0.2209 -2.58 0.016Constant 249.124 2.797 89.08 0.000Mean 280.783 3.152
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 4.0 8.6 * *DF 7 19 * *P-Value 0.784 0.980 * *
@Ruminta 2009
4. Data SunspotBulan 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Januari - 1.208 1.202 1.272 1.411 1.431
Februari - 0.700 0.599 0.938 1.089 0.903
Maret - 0.524 0.564 0.785 0.800 0.613
April - 0.444 0.433 0.480 0.552 0.697
Mai - 0.424 0.365 0.488 0.503 0.396
Juni - 0.490 0.459 0.461 0.465 0.528
Juli 0.639 0.904 0.598 0.681 0.603 0.662
Augustus 1.115 0.913 0.889 0.799 0.830 0.830
September 1.371 1.560 1.346 1.272 1.128 1.395
Oktober 1.792 1.863 1.796 1.574 1.638 1.771
November 1.884 2.012 1.867 1.697 1.695 1.846
Desember 1.519 1.088 1.224 1.282 1.445 -
@Ruminta 2009
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61
Waktu (Bulan)
Bila
ngan
Sun
spot
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Jumlah Sunspot
16151413121110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Jumlah Sunspot
16151413121110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Jumlah Sunspot
Dari ACF tidak meluruh menunjukkan data tidakstasioner, data perlu dideferensiasi, untuk d=1 :
@Ruminta 2009
ACF dan PACF Jumlah Sunspot (d=1)
16151413121110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Aut
ocor
rela
tion
Jumlah Sunspot
16151413121110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
Jumlah Sunspot
ACF dan PACF menunjukkan meluruhsecara osilasi dimulai pada lag 2. Jadimodel yang cocok adalah ARIMA (2,1,2)
@Ruminta 2009
8478726660544842363024181261
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Time
Jum
lah
Suns
pot
Time Series Plot for Jumlah Sunspot(with forecasts and their 95% confidence limits)
@Ruminta 2009
Final Estimates of ParametersType Coef SE Coef T PAR 1 -0.2944 0.3092 -0.95 0.346AR 2 0.4651 0.1823 2.55 0.014SAR 12 -0.1621 0.2525 -0.64 0.524MA 1 0.3053 0.3537 0.86 0.393MA 2 0.5876 0.2942 2.00 0.052SMA 12 0.7230 0.2392 3.02 0.004Constant 0.001014 0.001294 0.78 0.437
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statisticLag 12 24 36 48Chi-Square 19.6 32.0 42.3 54.2DF 5 17 29 41P-Value 0.001 0.015 0.053 0.082
@Ruminta 2009
MODEL ARIMA LEADING INDIKATOR
• Memadukan analisis regresi dan deret waktu. Model ini menggunakan prediktor dari variabel lain yang hubungan kausalitasnya tinggi.
• Jika variabel prediktor X1, X2, …, Xn dan variabelrespon (data deret waktu) Yi, maka model ARIMA Leading Indikator dapat dinyatakan sebagai :
ttnttt eLLX
LLX
LLX
LLY
)()(
)()(...
)()(
)()(
,,2,1 φθ
δω
δω
δω
+++=
Regresi ARIMA
@Ruminta 2009
dimana
indikator leading ,...., ,,2,1 =tntt XXX
ttt YYe ˆ−=
( ) )......(1L 221
ppLLL ωωωω ++++=
( ) )......(1L 221
ppLLL δδδδ ++++=
( ) )......(1L 221
ppLLL θθθθ ++++=
( ) )......(1L 221
ppLLL φφφφ ++++=
@Ruminta 2009
top related