連続と離散 微分方程式の視点から - infsup.jp · 惑星運動の方程式...

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�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

連続と離散

� 微分方程式の視点から �齊藤 宣一 �東京大学大学院数理科学研究科�

��世紀 ���プログラム:科学技術への数学新展開拠点数学公開講座「現象と数理」

����年 ��月 ��日 東京大学大学院数理科学研究科

はじめに

� はじめに数理モデル今日の予定

惑星運動の方程式

単振動

ロジスティック方程式

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

数理モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

�現象

ビルの間の風の流れ天気予報金融派生商品の価格

���

数理モデル

方程式・不等式�

数理モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

��

現象

ビルの間の風の流れ天気予報金融派生商品の価格

���

数理モデル

方程式・不等式�

可視化・数値化

解く

���

���

���

数理モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

��

現象

ビルの間の風の流れ天気予報金融派生商品の価格

���

数理モデル

�微分方程式�

連続的な変数・値

可視化・数値化

解く ���

���

���

���

数理モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

��

��

近似

コンピュータ

現象

ビルの間の風の流れ天気予報金融派生商品の価格

���

数理モデル

�微分方程式�

連続的な変数・値

可視化・数値化

離散化

���

���

���

今日の予定

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� 微分方程式の離散化に現れる問題 � ���を �つ紹介したい:

� 惑星運動の方程式

� 単振動

� ロジスティック方程式

� 「無限と連続」という古くて現代的な問題の一側面

惑星運動の方程式

はじめに

� 惑星運動の方程式ケプラーの法則惑星運動の方程式惑星運動の方程式数値解法の導入

����� 法の導出計算例 ������ 法�

����� 法の考察

� 次 � 高次

����� 法の一般化 �高精度化�

��� 法の導出 �スカラー値の場合�

����� 法の一般化 �高精度化�

数値計算結果

単振動

ロジスティック方程式

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � ��

ケプラーの法則

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � ��

� 惑星は太陽を焦点の �つとする楕円軌道上を運動する �����

� 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定である �����

� 惑星の公転周期の自乗は,楕円軌道の長半径の三乗に比例する

�����

� ヨハネス・ケプラー

�� ������ ������,��������

� ティコ・ブラーエ

����� �����,�������

惑星運動の方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� � � 太陽の質量,�� 惑星の質量.��� � �と仮定�

� 太陽の位置を位置ベクトルの基準 原点�

� �����,������ 時刻 �における惑星の位置ベクトル

� �� 万有引力定数

� ��� ������� � ������ 太陽と惑星の距離

� �

��

������ � �

���

�����

�������

� ��

������ � �

���

�����

�������

��

� �

� アイザック・ニュートン � ��� ������,���������)

自然哲学の数学的諸原理 �プリンキピア�  ����年

惑星運動の方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

���

���� � ���

���������

���

���� � ���

�������� ��

適当な初期条件 ���� � ��� ���� � ��� ����� � ��� ����� � ���

� �

� ��を満たす ������ �����を見つければ惑星の運動がわかったことになる 微分方程式を解くということ�

� 初等的な求積法

���

���� � �� ���� � �� ����� � � � ���� � �� � �� �

惑星運動の方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

���

���� � ���

���������

���

���� � ���

�������� ��

適当な初期条件 ���� � ��� ���� � ��� ����� � ��� ����� � ���

� �

� 初等的な求積法は適用できない.

� 解を初等的な関数を用いて表現できない.解析的には解けない�

� しかし,ニュートンがやったように�間接的な方法で,ケプラーの法則を証明することはできる.

� ある時刻 �で,���� ��,���� ��

� そこで,����� � �,����� � � �を求める 数値解法�

数値解法の導入

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

��� �

���� � �������� ���� � � ��

� �

� ��

�����

����

���

��� ��

����

���

���

��� � � ��

�����

����

���

��� �

���� ��

��������

�����

�����

������

��� ��

���

����

�������

�������

����

数値解法の導入

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

��� �

���� � �������� ���� � � ��

� �

� � � � � �

� � � �� � � �� � � 自然数�

� �� � �� �� � �� �� � � � � ��

� �� � �����

tt

tt T1 2 3

� �

���� � �� � �� ����� � � � � ��

� �

数値解法の導入

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

��� �

���� � �������� ���� � � ��

� �

� � � � � �

� � � �� � � �� � � 自然数�

� �� � �� �� � �� �� � � � � ��

� �� � �����

tt

tt T1 2 7

� �

���� � �� � �� ����� � � � � ��

� �

�����法の導出

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

スカラー値関数 ����� �

���� � ������� ��

� �

�����

� �����

�������� ����

��

����� ��� ����

�� � �� 十分小�

� �

���� � ��� �����

� ��������

� �

�����法の導出

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

スカラー値関数 ����� �

���� � ������� ��

� �

�����

� �����

�������� ����

��

����� ��� ����

�� � �� 十分小�

� �

����� � ��

���� � ��

� �����

� �

計算例 ������法�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

�����法 � � � � �� � � �������

計算例 ������法�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

�����法 � � � � �� � � �������

�����法の考察

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

定理 ������法の誤差�:� �

���

���������������� � ���

� �

� ��� � ��������� ����� ����� ����� � ��

�����

����

���

���

� �� ���� � �

��

� � ���

�������������� � � ���

������������ � � ���

�������

���

����� ����� ������

�������

�����法の考察

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

定理 ������法の誤差�:� �

���

���������������� � ���

� �

� この事実は,次に基づく:

�������� �����

� �������� 定数�� �

� 誤差� � 定数�� � の形 � �次精度の解法

� �����法は �次精度の解法 � もっと高精度の解法

�次 � 高次

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

上� �� 中� ��� 下� ��

�����法の一般化 �高精度化�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

一般化� �

���� � �� � �� ����

� �

�����法 �次精度�

� ���� � ������

���

���������������� � ���

�����法の一般化 �高精度化�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

一般化� �

���� � �� � �� ����

� �

���法 ��次精度�

� ���� ���� � ���

��� � � ����� ��� � ���� � ���� ��

���

���������������� � ���

��� 法の導出 �スカラー値の場合�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

次のようにおいて,�と を求める:

! ���� � �"� � "�� "� � ������ "� � ���� � �"���

� �

�� �����, � ���� と書くことにすると,

�� �

�������� �����

� � �������

�������� �����

� � � � � ��� � � �� �

��� � � �� と ���� � �� を,それぞれ ��� �� を中心に ���� � 展開して代入:

�� ��� �� �� � � � � �����

��

�� �

�� ��

���������

� ��

������

��

��� ��� ���� � ������ �� ��� ���� � ������ �� � � ��� ���

を得る これより, � ��� と選ぶと,���� � �定数�� ��

�����法の一般化 �高精度化�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

一般化� �

���� � �� � �� ����

� �

���法 ��次精度�

� ���� ���� � ���

��� � � ����� ��� � ���� � ���� ��

���

���������������� � ���

�����法の一般化 �高精度化�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

一般化� �

���� � �� � �� ����

� �

もっと高精度を!

� ���� ��� � ���� � ���� � ��� �

��� ������ ��� ���� � ����� ����� ���� � ����� �� �

�� ���� � ����� ��

とおいて, ������������ �����

� � ����������� � �定数�� ��

となるように,� �� �� Æ� �� �� � を求める.

�����法の一般化 �高精度化�

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

一般化� �

���� � �� � �� ����

� �

����������法 ��次精度�

� ���� ���� � ���� � ���� � ���

��� � ������ ��� � ���� � ����� ��

��� � ���� � ����� �� �

�� � ���� � ���� ��

���

���������������� � ����

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

!���法 � � � � �� � � ������

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

"��#�$%����法 � � � � �� � � ������

単振動

はじめに

惑星運動の方程式

� 単振動単振動数値解法数値計算結果エネルギーの保存

ロジスティック方程式

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

単振動

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

��

������ � ���� ��

� �

一般解は,

���� � # ��� ��$ �� � �#�$� 定数�

数値計算 初期値 ���� � �,����� � $ � ���������とする.

数値解法

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

��� �

���� � �������

� �

� ���

���

��

���

� � ��� ������

������

������

数値解法

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

��� �

���� � �������

� �

�����法

���� � �� � �� ����

���

� ���

��

� �

�� �

� �

� �

修正 �����法

� ����

� ���

� �

�� �

� �

� �

��� ��

数値解法

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

��� �

���� � �������

� �

修正 �����法

� ����

� ���

� �

�� �

� �

� �

��� ���

���

���������������� � ����

����������法� � � � � �

���

���������������� � ����

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10

���� � ��� ��$ �� �

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10���� � ��� ��$ �� �

いずれも,� � ��

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10

�����法 � � � � ���

-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10"��#�$%����法 � � � � ���

いずれも,� � ��

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

�����法 � � � � ���

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30"��#�$%����法 � � � � ���

いずれも,� � ��

数値計算結果

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

-1

-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60 80 100

�����法 � � � � ����

-1

-0.5

0

0.5

1

0 20 40 60 80 100"��#�$%����法 � � � � ����

いずれも,� � ��

エネルギーの保存

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� 単振動の方程式 ��の解 � � ����

% ��

���

� �� � �に依存しない定数� ��

� 修正 �����法の解 �

��� � �

��� ��� � � �に依存しない定数�

� "��#�$%����法の解 �

� � � � � ��

ロジスティック方程式

はじめに

惑星運動の方程式

単振動

ロジスティック方程式

マルサスの法則ロジスティック方程式

����� 法の計算例修正 ����� 法正値性の保存森下の差分方程式森下の差分方程式への注意拡散増殖モデル

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

マルサスの法則

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� ある地域に住む生物の個体群の数 密度�:� � ����

� 出生率� �,死亡率� �

� 個体数の時間変化 マルサスの法則�

���� � ����� �� � ��� マルサス係数�

� 簡単に解ける:���� � �������

� � � �のとき,���で ������ 発散�

� � & �のとき,���で ����� � 絶滅�

� & " '���(� ���������,英)経済学者

ロジスティック方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� 個体数が増加�増加率は減少� � � '� (����

� 個体数の時間変化 ロジスティック方程式�

���� � �'� (��������

� 佐藤總夫:「自然の数理と社会の数理!微分方程式で解析する!� 」�日本評論社,����年� では,

ピアノの生産台数やエアコンの生産台数の伸展,�"� テレビ受信契約数の推移を表現したモデル

として登場 �昭和 �� 年代後半~昭和 �� 年代のデータを使用�.

� 「����年にベルハルストが考案した。彼は、人口増加を説明するモデルとして、この式を考案した

(彼が兵站学 �ロジスティクス�教官であったためロジスティックと命名したといわれる)」出典# フ

リー百科事典・ウィキペディア($%&%��'%�),『ロジスティック式』より

ロジスティック方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� 個体数が増加�増加率は減少� � � '� (����

� 個体数の時間変化 ロジスティック方程式�

���� � �'� (��������

非線形だが,変数分離法で簡単に解ける:

���� �

'����

� � (����

� �

��

'� (���

初期時刻:� � �,初期値:���� � ��とした�

ロジスティック方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� 個体数が増加�増加率は減少� � � '� (����

� 個体数の時間変化 ロジスティック方程式�

���� � �'� (��������

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

���� �

'����

� � (����

���

���� �'

(

上� �� ���

下� �� &��

ロジスティック方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� 個体数が増加�増加率は減少� � � '� (����

� 個体数の時間変化 ロジスティック方程式�

���� � �'� (��������

数値解法 � � �� � � �� �� � �� �� � � ��� ) � � ������ �

�����法

) ��� � ) �

� �'� () ��) �� ) � � �� ��

� �

�����法の計算例

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

�����法

) ��� � ) �

� �'� () ��) �� ) � � �� ��

� �

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2

�� � ���� ' � �,( � �

� � ����

良さそうである

�����法の計算例

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

�����法

) ��� � ) �

� �'� () ��) �� ) � � �� ��

� �

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2

しかし,同じ条件で� � ���とすると

�����法の計算例

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � � � ��

� �

�����法

) ��� � ) �

� �'� () ��) �� ) � � �� ��

� �

� 一般論から

���

������������ ) �� � ��

は保障されている.

� 高精度の解法を適用,それとも

修正�����法

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

修正 �����法

) ��� � ) �

� �'� () ����) �� ) � � �� ���

� �

修正�����法

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� �

修正 �����法

) ��� � ) �

� �'� () ����) �� ) � � �� ���

� �

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2

前と同じ条件

� � ���

どのように �を取ってもうまくいく.近似としての意味は薄れても�

正値性の保存

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

問題� �

) � � � � ) ��� � � �

� �

正値性の保存

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

問題� �

) � � � � ) ��� � � �

� �

� ���については,��� � ) ��� ��� � '��) �

� � (�) �

なので,常に���

正値性の保存

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

問題� �

) � � � � ) ��� � � �

� �

� ���については,��� � ) ��� ��� � '��) �

� � (�) �

なので,常に���

� ��については,�� � ) ��� � �� � �'� �() ��) �なので,

� &

() � � '

ならば���そうでなければ,�� � ) � � �でも ) ��� � �となる

森下の差分方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

' '��� ��� ���)�� �

) ��� ��� � '$�) �

� � ($) �

$ �

��� � �'

����

� �

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

� 各) �は,厳密に,ロジスティック曲線上にある.

) � � ����� �� � �� �� � � ��

� 導出には,ロジスティック方程式の厳密解を使う.�

森下の差分方程式

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

' '��� ��� ���)�� �

) ��� ��� � '$�) �

� � ($) �

$ �

��� � �'

����

� �

� ���� �

) ��� � ) �

$

� �'� () ����) �

� �� � � ��� � � � �' � $ � �

���� �

) ��� � ) �

� �'� () ����) ��

� ��,���はどちらが良い数値解法か?

森下の差分方程式への注意

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

���� � �'� (�������� �

���� ��

����� '� (����

これより,

���� � ��

��

� � �*�� ���と予想される.

森下の差分方程式への注意

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

���� � �'� (�������� �

���� ��

����� '� (����

これより,

���� � ��

��

� � �*�� ���と予想される.しかし実は,

���� � ��

��

� � �*����

拡散増殖モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

ロジスティック方程式において,空間的な拡がりを考慮に入れる:

+� 区間

� � ���� �� �� � +� � � ��� 個体群密度

����

� *���

���� �'� (���� �� � +� � � ��

�境界条件,初期条件�

拡散増殖モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

ロジスティック方程式において,空間的な拡がりを考慮に入れる:

�� 平面内の領域

� � ���� �� �� ���� �� � �� � � ��� 個体群密度

����

� *���

����*

������

� �'� (���� ���� �� � �� � � ��

�境界条件,初期条件�

拡散増殖モデル

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

ロジスティック方程式において,空間的な拡がりを考慮に入れる:

�� 平面内の領域

� � ���� �� �� ���� �� � �� � � ��� 個体群密度

����

� *���

����*

������

� �'� (���� ���� �� � �� � � ��

�境界条件,初期条件�

� ロジスティック方程式への考察が生かされる

� 山口 昌哉 編�:数値解析と非線型現象,日本評論社,����年 オリジナルは ����年�

まとめ

はじめに

惑星運動の方程式

単振動

ロジスティック方程式

� まとめまとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� 微分方程式の離散化に現れる問題 � ���を �つ紹介:

� 惑星運動の方程式

� 単振動

� ロジスティック方程式

� 「無限と連続」という古くて現代的な問題の一側面

まとめ

�� 連続と離散:微分方程式の視点から � �� � ��

� 微分方程式の離散化に現れる問題 � ���を �つ紹介:

� 惑星運動の方程式 � 高精度化

� 単振動 � 構造 エネルギー保存�の保存

� ロジスティック方程式 � 構造 正値性� の保存,非線形性�

� 「無限と連続」という古くて現代的な問題の一側面

謝辞.単振動の方程式に対する修正�����法は,高橋大輔先生 早稲田大学基幹理工学部�から教えて頂きました.ありがとうございます.

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