ecuación del trafico
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Ecuación del TraficoEscuela Politécnica Nacional
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Priscila PáezCristina Mantilla
Introducción
El estudio del flujo de tráfico involucra la circulación de vehículos y las interacciones entre los conductores.
Como los conductores suelen comportarse coherentemente, los flujos de tráfico tienden a tener una cierta consistencia razonable y pueden estar representados matemáticamente.
Para representar mejor el tráfico, se han establecido relaciones entre el flujo, la densidad, y la velocidad. Estas relaciones ayudan en la planificación, diseño, y la explotación de las carreteras.
Deducción
Ecuación del Tráfico
Vamos a modelar el caso de una vía congestionada unidireccional, para lo que definimos: densidad de tráfico (de vehículos) como el número de vehículos por unidad de longitud en un tiempo y en un punto x;
flujo de vehículos como el número de autosque atraviesan en un instante de tiempo, t, un punto dado, x, por unidad de tiempo.
Número de vehículos entre x=a y x=b
Ley de conservación del número de vehículos
Analizando la parte derecha de la ecuación [2] e intercambiando la derivada respecto al tiempo con la integral en la parte izquierda de la ecuación:
Entonces como a y b son arbitrarios, de [2] se sigue que:
Que es la ley de conservación del número de vehículos en su forma diferencial.
El número de vehículos que pasan por un determinado puntocada hora es igual a la densidad del tráfico multiplicada por la velocidad del mismo.
Entonces la velocidad de tráfico es:
Velocidad del tráfico
Para simplificar el modelo vamos a suponer que la velocidad del tráfico depende exclusivamente de la densidad del mismo:
En este caso la ley de conservación del número de vehículos [5] se convierte en (ecuación en derivadas parciales cuasi lineal homogénea):
Resolución de la ecuación del tráfico
Por el método de las características.
Una EDP cuasi lineal es aquella que es lineal respecto a las derivadas parciales de mayor orden y en general se puede representar por:
Sabemos que considerando el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuyas soluciones son:
En nuestro caso, de la ecuación [7] tenemos C=0.
Se obtiene el sistema de ecuaciones:
Se tiene que la solución general de [E] es:
ó
Para analizar el significado de estos resultados consideramos la función . medida por un observador móvil con posición , la variación de es:
Esto implica que si el observador se mueve con una velocidad entonces este no notaria cambios en .
Ahora considerando las condiciones iniciales
Sabemos que es constante respecto al tiempo (por [9]), por ello podemos aplicar la condición inicial en y obtener:
De esto obtenemos la solución integrando [10]:
Los diferentes valores de dan lugar a diferentes rectas características.
A lo largo de cada característica, la densidad de tráfico es constante. La densidad en cada tiempo posterior se determina con la característica que pasa por el correspondiente punto de espacio- tiempo.
Ejemplo
Considérese el problema de flujo de trafico:
Suponga
Hallar si el dato inicial es:
GRACIAS POR SU ATENCION
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