eduardo estructura discreta
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República Bolivariana de Venezuela.Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior.
I.U. Politécnico Santiago Mariño.Sede Barcelona, Edo. Anzoátegui
Estructura discreta y grafos.Sección sv.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Profesor :Asdrúbal rojas
Elaborado por :Eduardo Márquez
Definición
Es la colección y agrupamiento de objetos. La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
a, b, c, ..., x, y, z
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:El conjunto a, b, c también puede escribirse: a, c, b , b, a, c , b, c, a , c, a, b , c, b, a
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:El conjunto b, b, b, d, d simplemente será b, d .
Membresía
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:A= a, c, b B= primavera, verano, otoño, invierno
El símbolo ∈ indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como ∉.Ejemplo:Sea B= a, e, i, o, u , a ∈ B y c ∉ B
Subconjunto
Sean los conjuntos A= 0, 1, 2, 3, 5, 8 y B= 1, 2, 5 En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal .
Note que ∈ se utiliza solo para elementos de un conjunto y ⊂ solo para conjuntos.
Clasificación
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.
FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.
El conjunto de días de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos
determinar su longitud.
El conjunto de los números reales
Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:
EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. A = a, e, i, o, u
COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos.
A = x | x es una vocal
Tipos de conjuntos
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o .
A = x2 + 1 = 0 | x ∈ R
El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω
Relaciones entre conjuntos
IGUALDAD DE CONJUNTOS Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.
A = B
SUBCONJUNTO Si todo elemento de un
conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂. A ⊂ B o B ⊃ A
SUBCONJUNTOS PROPIOS Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por ⊆. A ⊆ B o B ⊇ A
CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.
A = 1, 2
El total de subconjuntos es: 2² = 4
1,2, 1, 2,
CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.
F = 1, 2, 3, 4, 5, 6
G = a, b, c, d, e, f
Operaciones
de conjuntos
UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.
A ∪ B = x | x ∈ A o x ∈ B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:
A ∩ B = x | x ∈ A y x ∈ B
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.
A - B = x | x ∈ A, x ∉ B Nota: A - B ≠ B - A
COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE
COMPLEMENTO. Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o Ac.
A’ = x | x ∈ U, x ∉ A
Nota: A’ = U - A
PRODUCTO CARTESIANO. Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.
A x B = (a, b) | a ∈A y b ∈ B
Ejercicios
¿Cuántos elementos hay en el conjunto manzana, pastel, durazno?
3 elementos Si U = 1, 2, 3, 4, 5, 6, entonces 7 ∉ U,
1-. ¿Se podría extraer A= 1, 2, 3, 7 de este universo? No
2-. ¿Se podría extraer B = 2, 5 ,6? Si
A= 1,2,3, B= 1,5,2,71-. ¿Se cumple x ∈ A → x ∈ B ? SI 2-. ¿Se cumple x ∈ B → x ∈A ? NO3-. ¿Son iguales los dos conjuntos? NO C= 6,4Escribe un conjunto D tal que D=C D = 4,6 Enunciar con palabras los siguientes incisos con el método de
extensión
1-. A = x | x2 = 4
R.1-. Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”. Los únicos números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que
A= 2, −2 .
2-. B = x | x − 2 = 5
R.2-. Se lee “B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5”. La única solución es 7, de modo que B =7 .
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