问题提出2 问题提出...

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摘要

本文旨在优选光伏电池板的铺设方案。对于太阳能小屋外表面的光伏电池板

的铺设，要求总发电量尽可能大而单位发电量的费用尽可能小，这是一个典型的

多目标优化问题，鉴于多目标优化问题的复杂性与实现难度，本文利用权重法，

协调两者，将多目标规划问题转化为单目标规划问题。通过求解单目标规划来获

得比较合理的铺设方案。

对两个独立的指标进行标准化，消除量纲的影响，通过正互反矩阵获得权值，

利用加权系数法将多目标规划问题转化为单目标规划问题，以此来对光伏电池板

和和逆变器的进行优化选择装配。考虑规划的约束条件时，主要从功率、电压的

限制、特定几何形状平面内可填充矩形电池板的数量方面进行约束。考虑矩形填

充时分析面积利用率，考虑几种典型的排布方式通过组合排布获得数量最大值。

在处理可架空安装的情况时，由于光伏电板的的架空会导致光伏电板之间的太阳

光遮挡，很难对这种遮挡情况限定约束条件，定义“面积扩张因子”的概念进行

辅助分析。“面积扩张因子”即在最佳倾角条件下架空安装的光伏电板在全年内

最大的遮挡范围与该光伏电板本身的实际面积的比值。通过该因子可巧妙地化简

复杂的遮挡问题的处理，直接将光伏电板架空条件下的安装问题转化为仅用贴附

安装方式的优化选配问题，大大减小了解题的复杂性。

经过规划软件的计算及后期人工的微调，最终获得了较合理小屋外表面的铺

设方案：问题一中结果为东西立面、南立面及向南倾伏的顶面进行铺设，而北立

面和向北倾伏的顶面不铺设，最终得到整体的单位发电量的成本约为 0.27 元

/kWh，小于民用电价 0.5 元/kWh，并可以在约 18 年后收回成本；问题二中东西

立面仍采用贴附安装方式，南立面及向南倾伏的顶面均采用向南朝向、倾角为

38.4 的最佳倾角的架空铺设方案，北立面及向北倾伏的顶面仍然不进行铺设，

最终得到整体的单位发电量成本再次降低至约为 0.23元/kWh，小于民用电价 0.5

元/kWh，并可以在更短的时间约 15 年后收回成本；对于问题三，在既考虑房屋

的建筑要求，又兼顾到该地区的气象特征，以及问题二中分析得到的最佳朝向及

倾角的条件下进行房屋设计，在增大房屋外表面积，平面尺寸的选择，门窗合理

布置，朝向合理选择等方面进行反复推敲。经过与问题二的类似优化计算后，最

终得到整体的单位发电量成本降低至更低水平，约 0.17元/kWh，35 年总利润可

达 281785 元，并可以在约 13年后收回成本。模型最终总体上得到了令人满意的

结果，实现了问题所要求的两个指标。但由于在规定两目标权重时，将目标“单

位发电量的费用尽可能小”的权重设计得相对较大，因此所得结果更侧重于单位

发电量费用尽可能小，而总的发电量尽可能大的目的体现得相对较弱。模型目标

函数的设计导致总利润并不能达到最高，这仅与权重的分配有关，不影响模型的

正确性。

关键字：多目标规划 加权系数法 几何图形填充 面积扩张因子

2

问题提出

以太阳能发电为背景，对所给小屋外表面进行铺设光伏电池，光伏电池组件

所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使用，并将剩余

电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发

电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建

筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）

等。因此，在太阳能小屋的设计中，需要对小屋外表面光伏电池进行优化铺设。

题目要求根据附件提供的资料及数据，在满足各种限定条件下，对下列三个

问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案及对应的铺设分组阵列图形及组

件连接方式，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用

尽可能小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益及投资

的回收年限。

问题 1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏

电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选

配相应的逆变器的容量和数量。

问题 2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空

方式安装光伏电池，重新考虑问题 1。

问题 3：根据附件给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要

求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及

分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。

模型假设

1、 模型所针对分析的小屋有六个独立的外表面，由于电池特殊的连接要求，在

不同表面上即使相同型号的电池也不能进行串、并联连接，并且逆变器之间

相互独立，这样不同面上电路独立；而且六个外表面每个面的发电量、成本

在计算总发电量、总成本时具有可加性，同时为了简化模型的分析与求解，

本文将问题分解为六个面，每个面进行单独考虑。

2、 问题中假定小屋的使用年限为 35年，当地民用电价为 0.5元/kWh，由于电

价一般处于波动状态，影响电价的因素较复杂，无从考究。为了简化计算，

假设小屋的在使用年限内当地民用电价不发生改变，不考虑外界的经济因素。

3、 在铺设多块矩形电池时，为了简化电池铺设过程的分析，并且在一些情况下

使尽可能多的铺设电池板，本文在建模过程中弱化电池边界的安装条件，认

为电池板之间可以紧密连接。这样假设对于像小屋、电池板这种现实物体的

堆积影响一般不大，实际铺设中可以灵活利用空隙来提供边界的安装条件，

减少模型假设的影响。

4、 模型在考虑电池板的串联并联时，没有考虑连接导线的布置。由于导线面积

相对于屋面与电池板的面积较小，而且导线有线路灵活的特点，可以通过墙

体、屋面埋入布设等等，因此本文在讨论时不考虑线路的布置。即当所需电

池板布置好后，期望的串联并联线路都能实现。

5、 介于散射辐射方向十分复杂，故假设其散射分量是各向同性的[1]。

6、 考虑到地面反射能量与地形条件的关系十分复杂，且反射系数小，故此处假

设反射能量为零。

3

符号约定

θ：表示某一斜面的倾角（与水平面的夹角）；

IDN：法向太阳直射辐射强度(w/m2)，表示垂直于太阳光形成的面上阳光直接辐

射的强度；

IDH：水平直射辐射强度(w/m2)，法向太阳直射辐射强度的水平投影；

IdH：水平散射辐射强度(w/m2)，水平总辐射强度与水平直射辐射强度的差；

I：总辐射强度(w/m2)；

Iθ：在平面倾角为θ的时候的总辐射强度(w/m2)；

IRθ：表示在水平地面反射下的辐射强度(w/m2)，但在本文忽略该影响因子；

IDθ：法向太阳直射倾角为θ斜面的辐射强度(w/m2)；

Idθ：水平散射在倾角为θ斜面的辐射强度(w/m2)；

θ1：朝南面房顶倾角；

θ2：朝北面房顶倾角；

hnt：将一年天数按从1月 1号开始排序到12月 31号共365天，故hnt表示第n天

第t个小时的太阳高度角；

φ：表示当地维度，这里取40.1°;

δ：表示当时的太阳赤纬，即太阳直射纬度；

ω：表示为时角；

A：表示太阳方位角；

问题分析

1. 问题背景分析

当今社会，新的清洁能源的研发与利用正越来越受人们的重视，其中，太阳

能的利用就是现在社会上的热点问题之一，太阳能发电正是利用太阳能的一个最

主要用途。利用太阳能发电既保护环境。从长远看来又会创造巨大的经济效益。

太阳能发电并非直接利用太阳能，而是通过光伏组件将太阳能转化为电能从而间

接利用太阳能，但中间会有转化效率的问题。另外，太阳能发电板的朝向与倾角

均会对其转化效率及接受太阳能辐射总量产生影响。因此，在利用太阳能发电过

程中对太阳能的合理高效利用是当今研究的重要方向。

2. 问题分析

题目以太阳能电池板发电为背景，要求在给定气象条件下设计太阳能小屋外

表面的光伏电池铺设方案以达到小屋全年太阳能发电量尽可能大而单位发电量

的费用及可能小。该问题属于一个多目标规划问题，而发电量尽可能大、单位发

电量费用尽可能小的两个目标往往不能同时得到满足，因此，需要通过人为设定

两个目标的优先级来

模型准备

1.气象数据的分析与处理

4

对附件 1 中山西省大同市一年内逐时、不同方向的太阳辐射强度进行处理。

针对小屋的六个外表面，因为总辐射强度包括直射辐射强度与散射辐射强度，其

中东、南、西、北四个面的辐射强度可以直接参考四个方向各总辐射强度来处理；

由于屋顶面分为南向倾面与北向倾面，存在一定的倾斜角，太阳总辐射强度不能

仅由水平总辐射强度来计算，需要根据倾斜平面接受阳光辐射能量的计算方法进

行计算。

2.光伏电池参数分析与处理

题目中给出 6 种 A 型、7 种 B 型、11 种 C 型共 24 种光伏电池的性能参数，

通过分析可得出以下结果：

a. 尺寸

由于所给电池为太阳能电池板，电池板最终贴附与架空方式安装都是根据其

大的表面计算发电，所以对于电池板的厚度参数不予考虑，接受光照面积只

为电池板的长度与宽度的乘积；

b. 价格

题目所给价格数据单位为‘元/Wp’，所以，用所给数据乘以其组建功率记

得到每种型号电池板的单价；

c. 电池板发电计算

单个电池板发电量根据公式（1）：

i i i j

j

W S w

进行计算。其中， iW 为电池板i的全年总发电量， i iS和 分别为电池板i的转

换效率和接受光照面积， j

j

w 为在统计时间范围内，电池板i单位面积上接

受的总的太阳能；

d. 太阳光辐照阀值

由于 A 型电池当太阳光辐照阀值小于 2200W m 时，其转换效率小于正常转

换效率的 5%，此时其转换效率已经是个很小值，因此，可以认为，当太阳光

辐照阀值小于 2200W m 时，A 型电池板不发电；另外由附件一可知，为简

化计算，电池板启动发电时其表面所应接受的最低辐射限值，A 型和 B 型电

池板启动发电的表面总辐射量 2800W m 、C 种型号电池表面总辐射量

230W m 。 综上所述，可以认为，当电池板表面总辐射能低于 230W m

时三种电池均不能发电；当 230W m 电池板表面总辐射能 280W m 时只有

C种型号电池发电；当 280W m 电池板表面总辐射能 2200W m 时，B型和

C 型电池板均可发电，A 种不发电；当电池板表面总辐射能 2200W m 时，

5

三种电池均发电。

3.逆变器参数处理

所给数据只有各种型号逆变器的额定电压与额定电流，所以用公式（2）：

=P I U额 额 额

计算每种型号逆变器的额定功率以备后面规划中的功率约束条件之用。

4.气象数据处理

根据所给东南西北四方向总辐射强度数据统计出下列指标：

a. 四方向各自所有时间段内光照辐射强度 230W m 的时段（以小时计）数量

以及这些数据的总量，即全年 C种型号电池可发电的时段的光照辐射总强度，

分别记为eastsumC northsumC westsumC northsumC、 、 、 ；

b. 四方向各自所有时间段内光照辐射强度 280W m 的时段（以小时计）数量

以及这些数据的总量，即全年 B种型号电池可发电的时段的光照辐射总强度，

分别记为eastsumB northsumB westsumB northsumB、 、 、 ；

c. 四方向各自所有时间段内光照辐射强度 2200W m 的时段（以小时计）数

量以及这些数据的总量，即全年 A种型号电池可发电的时段的光照辐射总强

度，分别记为eastsumA northsumA westsumA northsumA、 、 、 ；

模型建立

问题一：

问题分析：问题一要求根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，

选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和

容量，选配相应的逆变器的容量和数量。小屋可铺设的面包括东西南北四面及顶

上向南倾伏与向北倾伏的两个面。对于东南西北四个面而言，其面上电池板接受

的总太阳能可以根据附件 4中已知的东向总辐射强度、西向总辐射强度、南向总

辐射强度、北向总辐射强度四列数据分别统计得到，然后可以直接计算。但是，

对于顶上的两个倾斜面而言，附件里没有直接的数据可以利用，只能利用附件 4

里的水平总辐射强度、水平散射辐射强度、法向直射辐射强度三列数据及每天不

同时刻、每年不同时间的具体情况进行间接计算得到这两个倾斜面上各自能得到

的全年总阳光辐射，进而计算这两个面上各自能发的电量。

1.目标函数建立：

由上述分析，目标函数应体现两方面的信息，一方面使小屋的全年太阳能光

伏发电总量尽可能大，另一方面使单位发电量的费用尽可能小，这是一个多目标

规划问题。考虑到多目标规划的实现难度与电池板和逆变器种类的数据规模，采

取标准化、归一化处理目标项数据，并加设各分量权重，来构造出新的目标函数。

即将多目标规划问题化为有权重分配的单目标规划问题。

6

1.1数据归一化处理

1.1.1全年太阳能光伏发电总量

由于小屋的全年太阳能光伏发电总量量纲与单位发电量的费用的量纲不同，

并且两者数量级相差很大，因此，为将两者统一到一个目标中，应先将两数据分

别进行归一化处理。

年光伏发电总量：

由于发电量的大小具有可加性，考虑采用线性函数进行归一化。利用下式进

行：

max

(w)=W

fW

实际 （3）

其中， (w)f 为电池总发电量归一化后的结果，W实际

为电池在约束条件下

所能达到的实际总发电量， maxW 为电池在给定光照辐射条件下的理论最大发电量，

在此用未考虑“使单位发电量的费用尽可能小”的目标的条件下，即只考虑发电

量为最大的条件下电池所能达到的最大发电量代替，在计算每个面时分别进行考

虑。

W实际

的计算：实际发电量为所有贴附的电池在一年内能发电的总和，即得到公

式（5）：

24 24

=1 =1

= ( )i i i j

i i j

W W S w 实际

（

然而，由之前分析可知，A、B、C三种型号电池板各自能启动发电的光照条

件不同，所以对于某一屋面（或顶面）在计算电量时三种电池板接受的总辐射强

度是不同的，所以应根据下式计算W实际

，记为公式（6）：

6 13 24

=1 =7 =14

= + +A B C i i i i i i

i i i

W W W W sumA S sumB S sumC S 实际

其中， A B CW W W、 、 分别为所计算墙面（或顶面）上 A、B、C 三种电池板各自

发的总电量；

sumA sumB sumC、 、 分别为该面上 A、B、C三种电池板各自能得到的总辐

射 能 ， 如 以 正 东 墙 为 例 ： sumA sumB sumC、 、 分 别 为

eastsumA sumB sumC、east 、east ，其它面类似。

1.1.2单位发电量的费用：

由已知信息，当地居民用电电费为每千瓦时 0.5元，即若想盈利单位发电量

的费用应该降至 0.5 元以下。另外，显然费用与目标函数应该是负相关的关系。

考虑到单价 0.5元的实际意义与单价永远大于 0性质，还有利用软件解规划问题

的计算能力，仍然采用线性的归一化函数：

7

g (𝑝

𝑤) = 1 −

𝑐𝑜𝑠𝑡_sum35∗𝑊

实际⁄

0.5， （7）

图一

如图一所示，所需费用为所用电池板的总价加上所需逆变器的总价，即可记为公

式（8）：

24 18

=1 =1

cos _ = cos _ + cos _i i j j

i j

t sum x t battery n t inverter

1.2利用层次分析法选取权重

[2]据资料显示，目前太阳能发电的转换效率比较低，仅为 12%至 16%，全世

界还没有国家能够突破这个数字。但其凭借无污染、可随地安置、维护方便、使

用寿命长等诸多优点，广泛应用于航天、通讯、军事、交通、城市建设、民用设

施等诸多领域。太阳能与其他新能源相比在资源潜力和持久适用性方面具有优势，

但是受限于其高昂的成本。以发电技术为例，如以燃煤发电成本计为 1，则小水

电发电成本约为煤电的 1.2倍，生物质发电（沼气发电）为煤电的 1.5 倍，风力

发电成本为煤电的 1.7 倍，而光伏发电的煤电的 11到 18倍。

因此，如何降低太阳能发电的成本是当前该领域面临的重要的课题。小屋太

阳电池板的铺设要考虑光伏发电总量与单位发电量的费用两个因素，根据当前的

实际现状，即认为“单位发电量费用最小”目标在最终目标中的的优先级应比“总

发电量”目标在最终目标中的优先级要高一些，所以，可以利用层次分析中的特

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

元 /kWh

单位发电量的费用线性归一化函数

8

征根法获得两者在最终目标中的权重。在这里层次分析法的相关概念不再赘述。

首先构造正互反矩阵 A，根据上述分析，利用 1-9尺度，选择尺度 3即认为

单位发电量的费用比发电总量的影响稍强。正互反矩阵如下：

A = |1 1/33 1

|，

由于 1，2阶的正互反矩阵总是一致阵，因此不需要进行一致性检验。

用对应于正互反矩阵 A的最大特征根的特征向量，进行归一化后作为权向量

ω，即ω满足

Aω = λω， （9）

经过计算得

ω = (0.25000.7500

)。

2.约束条件

2.1 面积约束

由前面分析，对各个面单独考虑，所以对每个面而言，该面上所用的所有电

池板的总面积应小于该墙面（或顶面）的总面积，即为公式（10）：

24

=1

i i

i

x s S

其中， ix 为每种电池板的使用个数，

is 为每种电池板面积，

S 为要铺设的墙面（或顶面）的可贴附电池板的总面积。

2.2 功率约束

有附件 1可知。不论电池板最终是串联还是并联，其总功率都是将所有的电

池板功率求和相加，因此，在选用逆变器时，逆变器的最低要求是其允许的额定

功率要大于要铺设的电池板的功率总和，即为公式（11）：

18 24

=1 =1

battery

j i

j i

n w x w 额j 额i

其中， j in x、 分别为每种逆变器使用的个数和每种电池板的使用个数，

battery

i iw w额 额、 分别为每种逆变器的额定输入功率和每种电池的额定功率。

2.3 每种电池板的最大使用个数约束

假设某一墙面（或顶面）只使用一种电池板进行贴附，会得到一仅用该电池

贴服时的最大电池使用数，最终考虑所有电池均可使用进行决策时，每种电池的

使用量必须小于单独使用该电池进行贴服时的使用数目，即为公式（12）

, =1,2,...,24i ix a i

9

其中， ix 为每种电池的使用个数；

ia 为单独使用某种电池进行贴附时的最大使用量。

ia 的计算由下面算法得出：

首先，注意到电池板的平面几何图形都是矩形，房屋表面平面大部分为矩形

的组合，假定电池板矩形的边分别与房屋平面的边平行。否则，如果不平行呈一

定的角度，如图二

图二

当矩形倾角为30°时该图形中，第一种情况的面积利用率为59.33%，第二种

情况的利用率为67.24%，相对平行布置的紧密排列在利用率上较差，倾斜放置

仅在尺寸特殊的情况下相比平行放置有优势，而在本文所讨论的小屋表面上较少

体现，即使出现影响结果并不大，因此在这里假设所有的矩形电池板都采取平行

放置的方向。

另外考虑一些特殊的组合方式，如图三

图三

在应对一些特殊平面尺寸时这种排布能够显现一定的优势，图中第一种排布

的面积利用率为88.89%，第二种利用率为96%，利用率较高，并且矩形越接近

正方形利用率越高，这是因为越接近紧密堆积。但是这种排布方式仍是针对特殊

10

情况，对于小屋的表面覆盖适用度不大，因而不予以考虑。

进一步简化，由于小屋表面存在门窗，不能铺设，致使表面形状不规则。为

了简化覆盖的计算，预先将各个面划分成若干矩形，划分的原则以保留较大矩形

优先。对于较复杂、有多种分割可能的平面，分别计算几种划分方案下的填充矩

形电池板的数量，取最大值。这样简化对于数量最优解的获得有影响，主要在于

分割平面为子矩形时分割处可能存在面积浪费，但是比较小屋平面尺寸与一般的

电池板尺寸大小后，发现这种简化的影响较小，可以接受。另一方面，矩形划分

的简化使电池板填充的计算大大简化，所以认为采用这种预处理是有必要的。

接下来进行矩形块在矩形区域里的填充，只采用短边堆积与长边堆积两种方

式的组合覆盖。首先进行全部的短边堆积填充，对于纵向的剩余长度试图进行横

向长边堆积补充，至此得到总数量记录为数量最大值；接下来减少一列短边堆积，

考察横向的剩余长度，并对其进行长边堆积补充，得到新的总数量与之前的数量

最大值比较，如果新的数量较大则更新数量最大值；重复减少一列短边堆积，对

剩余长度长边堆积，比较最大值；重复上述步骤直至全部长边堆积。

该过程的流程图如下：

图四

填充过程的示意图如下

重复步骤四到五，直到全部长边堆积

统计总数与最大值比较

减少一列短边堆积，补充长边堆积

统计填充量总数记为最大值

纵向剩余长度进行横向长边堆积补充

短边堆积填充

11

图五

利用 Matlab 7.11.0 软件编写计算程序，对每个平面的每种矩形电池板进行

填充，记录填充的最大数量入表。以西立面为例，统计计算结果如下表：

平面 电池板型号 平面尺寸 填充最大数量

西立面

A1 1580×808 17

A2 1956×991 10

A3 1580×808 17

A4 1651×992 12

A5 1650×991 12

A6 1956×991 10

B1 1650×991 12

B2 1956×991 10

B3 1482×992 14

B4 1640×992 12

B5 1956×992 10

B6 1956×992 10

B7 1668×1000 12

C1 1300×1100 12

C2 1321×711 21

C3 1414×1114 12

C4 1400×1100 12

C5 1400×1100 12

C6 310×355 221

C7 615×180 215

C8 615×355 111

C9 920×355 72

C10 818×355 82

C11 1645×712 17

表一

12

2.4 电压约束

对于固定数量的某种型号的电池而言，记其串联在一起时两端总电压为

maxU ，记其以每支路只有一个电池的所有这些电池并联起来两端的总电压为

minU ，不管其组合方式如何，其两端的总电压U 一定满足 min maxU U U ，

而对于某种特定的逆变器而言其有自己的额定输入电压范围，当输入电压范围的

下界大于电池电压的上界时，或者输入电压范围的上界小于电池电压下界，都不

满足要求。前者是因为即使所有电池串联使电压最大，仍没有达到逆变器启动电

压；后者是因为即使所有电池并联使电压最小，仍然超过逆变器工作允许输入电

压的最大值。

最终得到的优化模型如下公式（13）：

1 2

max

cos _max = + (1- )

0.5 35

W t sum

W W

实际

实际

s.t.

24

=1

18 24

=1 =1

, =1,2,...,24

0, =1,2,...,24

i i

i

battery

j i

j i

i i

i i

x s S

n w x w

x a i

x x i

额j 额i

且 为整数，

当然，由于墙面（或顶面）的形状不规则以及发电板之间的串并联关系约束

的原因 ，单凭以上约束的出的结果不一定能够实施，出现这种情况应根据实际

情况来进行人为微调使能找到一个与所得结果相差不大而又切实可行的方案，具

体的分析过程见模型求解部分。

问题二

问题分析：问题二要求考虑电池板的架空安装方式然后再次进行问题一中的

求解问题。如果墙面（或顶面）上考虑架空安装方式，首先需要确定的是架空的

朝向，由于山西大同地处北半球北回归线以北区域，全年无阳光直射，且全年太

阳总在房屋南方位，因此，考虑架空方式时优先选择朝向为向南；其次，需要考

虑架空的倾角，不同的倾角会导致全年接受到的太阳辐射总量不同，因此，为使

全年接收到的太阳辐射强度最大应确定一个最优的倾角，然后，在南朝向与该最

优倾角的条件下进行电池板的选择安装以寻求最优的电池板选择方案及安装方

式。但与问题一中的求解不同在于，问题一仅考虑贴附安装，不会产生电池板之

间的遮挡光照问题，问题二中考虑了架空方式安装，会产生电池板与电池板之间

遮挡光照的问题。

13

C

A B

图六

如图所示，记太阳光线与水平面的最小夹角为 ，电池板倾角为 ，则在

范围 AB 内将受到前面电池板的遮挡，为简化起见，假设在这种情况下在范围 AB

内不能再安装电池板。因此可以认为，前面电池板占用的面积与只考虑贴附安装

时占据的面积（即电池板面积）相比，扩大了AB

AC 的倍数，记为公式（14）：

sin ( + )= =

sin

AB

AC

称为考虑架空安装且安装倾角为 时电池板的面积扩张因子，即将电池板本来

面积乘以扩张因子后再加入到问题一优化模型中的面积约束里面，寻求在该种情

况下的最优解，这样，通过扩张因子 就将架空方式的优化选板问题转化为问

题一中的只考虑贴附安装方式优化选板的问题。

因此，以最优倾角 架空安装方案的优化模型为如下，记为公式（15）：

1 2

max

cos _max = + (1- )

0.5 35

W t sum

W W

实际

实际

s.t.

24

=1

18 24

=1 =1

, =1,2,...,24

0, =1,2,...,24

i i

i

battery

j i

j i

i i

i i

x s S

n w x w

x a i

x x i

额j 额i

且 为整数，

但与问题一不同的是，目标函数中W实际

的计算方法，如前面所述，架空安

装后的电池板平面的法向方向并非正东、正南、正西或正北方向，因此应根据倾

斜平面接受太阳能辐射的计算方法进行计算。

当然，由于墙面（或顶面）的形状不规则，单凭以上约束的出的结果不一定

能够实施，出现这种情况应根据实际情况来进行人为微调使能找到一个与所得结

果相差不大而又切实可行的方案，具体的分析过程见模型求解部分。

与问题一类似，由于墙面（或顶面）的形状不规则，单凭以上约束的出的结

果不一定能够实施，出现这种情况应根据实际情况来进行人为微调使能找到一个

与所得结果相差不大而又切实可行的方案，具体的分析过程见模型求解部分。

14

问题 3：

太阳能小屋的设计方案

通过对问题 1、问题 2的分析、理解，以及对山西省大同市一年内逐时不同

方向太阳辐照强度统计得到的信息，结合附件给出的小屋建筑要求，进行太阳能

小屋的设计。

首先考虑建筑物的平面尺寸，小屋建筑要求中规定平面体型的长边长度应不

大于 15m，最短边的长度应不小于 3m，并且建筑总投影面积要不大于74𝑚2。根

据当地太阳辐射量在各方向的大小，设计应该使南墙面积尽可能大，但也要兼顾

建筑体型、使用功能与总投影面积。考虑上述因素后，设计小屋的底面为矩形，

东西向边长为10000mm，南北向边长为7200mm，总投影面积为72𝑚2满足要求。

由于建筑采光要求窗地面积比至少应满足不小于 0.2，在总投影面积为72𝑚2

的情况下，窗户的面积应该不小于14.4𝑚2。考虑到北方向太阳总辐射能量较低，

所以方案中尽量把窗户设在北墙上，但是同时要兼顾建筑节能要求应满足相应的

窗墙面积比。另外关注小屋使用高度的要求，最低净空高度不小于 2.8m 而屋顶

最高点高度不大于 5.4m，根据此要求可以构造屋顶斜坡，用来增大太阳辐射量。

使北墙高于南墙，这样构造出朝南的斜坡并且增大了北墙的面积，使得北墙可以

开窗的面积增大。

对于屋顶，选用平面加斜坡组合的方式构成，这样相比较仅用斜坡的方案加

大了屋顶表面积，可以根据适当的倾斜角来选取坡度，有利于太阳能发电；并且

在外形上相对美观，更具有实用价值。

结构与内部构造以及门窗的设置位置借鉴民勤被动式太阳房[3]，结合当地

的气象条件，将门窗主要设在北墙与东墙，同时兼顾建筑各部分的使用功能、采

光、保暖要求，在西墙一侧加一扇窗。

最终的方案轴测图如图：

15

图七

方案的各个里面图及俯视图在附件中给出。

房屋的一些参数如下表：

平面尺

寸

东西向长边(mm) 10000 窗最小总面

积(m*m) 14.4 南北向短边(mm) 7200

面积(m*m) 72

表二

窗

种类一

窗宽(mm) 2100

分

布

北墙

总面积 16.14

窗高(mm) 2300

面积(m*m) 4.83

个数 2

种类二

窗宽(mm) 1800 东墙

窗高(mm) 1800

面积(m*m) 3.24 西墙

个数 2

表三

所设计房屋的优化铺设求解方法同问题二，最佳倾角与前面考虑架空计算时的最

佳倾角相同（实际上在某一特定地理地点，最佳倾角是固定的）。即为公式（16）：

1 2

max

cos _max = + (1- )

0.5 35

W t sum

W W

实际

实际

s.t.

24

=1

18 24

=1 =1

, =1,2,...,24

0, =1,2,...,24

i i

i

battery

j i

j i

i i

i i

x s S

n w x w

x a i

x x i

额j 额i

且 为整数，

模型求解

1.倾斜面接受辐射总量的计算

在考虑屋顶面的太阳辐射强度时，由于受辐射面存在倾角，故两屋顶面不可

仅考虑南北方向的水平辐射强度，还应该考虑竖直方向的辐射。在太阳能利用这

个领域当中，有如下公式用于计算太阳的辐射强度[3]：

I𝜃 = IDθ + IRθ + Idθ； （17）

至此，下文中均引入此公式，作为计算倾斜面能量的公式。

其中由图八可知：

16

图八

图中绿线为电池板，红线为电池板的法线，i 为阳光与法线方向的夹角，θ, h分

别为板的倾角和太阳高度角。在图中由法向直射辐射强度定义可知，直射于电池

面板的辐射强度可以求得为：

IDθ = IDN ∗ cos(i)； （18）

此外，在水平散射的作用下，电池板还会受到阳光散射作用。由于太阳光进

入地球后会经过大气等等物质的散、折射作用，且这个问题十分复杂，故在此假

设散射分量在空气中是均匀分布的，即认为散射辐射量是各向同性的。

如此本组采用Jordan对于水平散射下的倾斜斜面的辐射量[3]：

Idθ = IdH ∗ (1+cos(θ)

2) ; （19）

这样，就可以得到在屋面上的太阳辐射强度。

通过利用Microsoft Excel 2007及matlab 7.13.0.564，本组利用上述模型计算

出了朝南面及朝北面的总能量如下表所示：

辐射强度 30.00 (w/m2) 80.00 (w/m2) 200.00 (w/m2)

辐射总量 1521300wH/m2 1501800wH/m2 1378400wH/m2

可发电时量 4021.00H 3662.00H 2765.00H

单位时间发电量 378.35W/m2 410.11 W /m2 498.51 W/m2

表四.朝南面

辐射强度 30.00 (w/m2) 80.00 (w/m2) 200.00 (w/m2)

辐射总量 410950wH/m2 316010wH/m2 165830wH/m2

可发电时量 3510.000H 1820.000H 558.000H

单位时间发电量 117.080w/ m2 173.632w/ m2 297.192w/ m2

表五.朝北面

但在处理朝南面和朝北面房顶时，处理方法又有不同。

在南面，阳光总是会照到南面屋顶的，但这种情况在朝北面视乎很难实现。

首先，用 CAD 作图得到，南面屋顶倾角θ1在11°左右，而南面屋顶倾角θ2达60

°，

如下图！所示：

17

图九

在图中很清晰的看到，当阳光以小于60°的高度角入射时，背光面总是照不

到。而当太阳高度角h大于60°时，阳光将以一定角度射入倾斜表面。在这里，对

于背光面的计算就出现了一定的分段性。

通过利用matlab，先就全年每天每个小时的白天的太阳高度角做了计算，其

计算公式为：

sin(h) = sin(𝜑) ∗ sin(𝛿) + cos(𝜑) ∗ cos(𝛿) ∗ cos (𝜔) （20）

其中h表式太阳高度角，𝜑表示当地维度，这里取40.1°。

这里对于计算中为负的值，即无光照时，取高度角统一为0°。主要是由于此

时得到的高度角不会对计算结果产生影响。具体结果见附录！“太阳高度角导出

数据”中“可照到朝北面的太阳高度角1”一栏。

从该结果中可以看出在第107天正午，即四月十七日十二时，太阳光线开始

可以照到朝北面房顶。这段时间截止至八月二十五日。即就是说，在除了可以照

到的部分时间外，对于该面的处理只能是计算其受水平散射辐射的影响，而在可

照到的部分则需要考虑法向辐射直射强度的影响。这样才完成了总的朝北面的光

强计算。

通过比较表一、表二，不难发现几点明显的结论。在接收辐射强度时，接受

法向直射辐射是得到能量的主要来源。

2.最佳倾角的计算

如果条件改变，当铺设电池时，可以用支架支撑，则在原有的基础上，该问

题变得更加复杂。由于支架的使用，使得电池倾角可变即根据太阳的高度角通过

式（1）能列出函数式求出最值。由于各面计算有所不同，故每个面都要分开讨

论。下面在做详细阐述前，先讲讲几个角度的关系。

如图一中，由平面几何关系容易得到：

π

2− i = θ + h （21）

另外如下图九所示：

18

图十

图中红、黄各有两条，其中位置在上方的黄线为正午时分太阳的入射光线，位于

下方的是其在水平面的投影，位置位于上方的红线为任意整点时刻的阳光入射光

线，下方的为其在水平面的投影。绿线为倾斜面的法线。i为任意入射阳光与法

线夹角。由公式（21）可知：

在任意时刻，π

2− i = θ红 + h红，∵ h红已经求得，故要求i只需求θ红即可。

在图示四面体中，易知AC ⊥棱 EF，BC ⊥棱 EF，由投影易知，AB ⊥面 BCD

∴有三角函数关系：AB = BD ∗ tan(∠ADB) 及 AB = BC ∗ tan(∠ACB)

又cos(∠DBC) = BC

BD

∴ cos(∠DBC) = tan(∠ADB)

tan(∠ACB)=tan (θ

红)

tan (θ) （22）

其中∠ACB 即平面倾角 θ，∠ADB为θ红,又由于∠DBC即为太阳方位角 A

∴ ∠DBC = arcsin (−sin(ω)∗cos (δ)

cos (ℎ)) （23）

（由于arcsin()函数的值域为*−𝜋

2，

𝜋

2+，计算得到的数据若为正，结合大同市的

地理位置等关系可判断此时太阳在东南方向，若为负，则表示在西南方向）

其中ω = 15 ∗ (t𝑠 − 12)，表示时角 t𝑠 为太阳时即我国通常讲的”北京时间“δ 为

赤纬角 δ = 23.45 ∗ sin (2∗𝜋∗(284+𝑛)

365) ，𝑛 为日期序号，h为太阳高度角。

∴可得到：

θ红 = actan(tan(θ) ∗ cos (arcsin (−sin(ω)∗cos(δ)

cos(ℎ))))； （24）

θ红可以用θst表示，这里定义θst为第n天第t个小时的斜倾角，即如图所示的∠ADB。

19

综上所述：可以得到任意时刻的太阳光线与电池板法线（某一倾斜斜面）的

夹角i。

至此，可以开始进行第二步的倾角的计算。

在公式（17）的支持下，现计算正南面墙的电池倾角变化过程中，所获总能

量的变化。

图十一

上图为房子左视图的部分，如上图所示，当电池板与南面墙成一定夹角时，

设其大小为α，故电池板的倾角为θ = 𝜋

2− α 。由前面的叙述可知，在这种情况

下可得到：

θst = actan(tan (𝜋

2− α) ∗ cos (arcsin (

−sin(ω)∗cos(δ)

cos(ℎ𝑠t))))；（25）

∴ i = 𝜋

2− θst − h𝑠𝑡； （26）

即总能量ENERGY（w/𝑚2）可以被表示为：

ENERGY = ∑ ∑ (IDN ∗ cos(i) + IdH ∗ (1+cos(θ)

2))24

𝑡=1365𝑠=1 ， （27）

其中 IDN、IdH均为已知数据。

由于上述函数是关于α单变量函数，如要计算其最大值，可利用函数求最值

得方法。但是明显这个函数式非常复杂，且数据量极大，故可以选择运用数值分

析的方法，将α在其定义域*0，𝜋

2+取值，然后从中找到最大的ENERGY值及其对应

的α。

在用matlab编写程序后得到如下结果，结果已根据电池性能做了分类处理：

每小时辐射强度 30(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1661506.32 3867.00 429.66

5.73 1775697.93 3899.00 455.42

11.46 1832078.48 3911.00 468.44

20

17.19 1864836.30 3936.00 473.79

22.92 1881397.79 3951.00 476.18

28.65 1885239.75 3960.00 476.07

34.38 1878551.83 3979.00 472.12

40.11 1861463.71 3978.00 467.94

45.84 1835631.73 3990.00 460.06

51.57 1800863.43 3993.00 451.01

57.3 1758155.72 4008.00 438.66

63.03 1706977.07 4008.00 425.89

68.75 1648004.91 4008.00 411.18

74.48 1581838.77 4021.00 393.39

80.21 1507887.76 4021.00 375.00

85.94 1426123.41 3999.00 356.62

表六

每小时辐射强度 80(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1643077.10 3527.00 465.86

5.73 1758111.47 3568.00 492.74

11.46 1815473.43 3599.00 504.44

17.19 1848537.05 3625.00 509.94

22.92 1865505.46 3647.00 511.52

28.65 1869802.02 3666.00 510.04

34.38 1863060.74 3681.00 506.13

40.11 1845726.68 3685.00 500.88

45.84 1820311.94 3701.00 491.84

51.57 1785364.94 3705.00 481.88

57.3 1742445.06 3712.00 469.41

63.03 1690840.67 3709.00 455.88

68.75 1631459.13 3704.00 440.46

74.48 1563850.71 3688.00 424.04

80.21 1487879.96 3653.00 407.30

85.94 1396569.26 3473.00 402.12

表七

每小时辐射强度 200(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1560992.03 2924.00 533.86

5.73 1678920.63 2983.00 562.83

11.46 1736003.78 3015.00 575.79

17.19 1766755.08 3031.00 582.90

22.92 1783854.53 3054.00 584.10

28.65 1788639.27 3076.00 581.48

21

34.38 1779203.72 3078.00 578.04

40.11 1766607.86 3110.00 568.04

45.84 1740319.12 3116.00 558.51

51.57 1702894.03 3106.00 548.26

57.3 1655836.37 3085.00 536.74

63.03 1597084.87 3040.00 525.36

68.75 1526972.04 2965.00 515.00

74.48 1449670.18 2873.00 504.58

80.21 1363687.81 2743.00 497.15

85.94 1289327.80 2661.00 484.53

表八

上述表格中表头表示为了选定某种特定的电池板，所需要的功率要求，及表

中内容则是在该功率下能够发电的量。标红的表示在该角度下所获总能量最大。

即在倾斜角为62°左右时发电量最多。

但在参考同类文献时，发现：在处理能量函数时，公式(1)中对于法向直射

辐射强度分配的时候本文采用的分配方式较为简单。下面对模型中参数稍作修改，

将系数cos (i)修改为[1]：

cos(o − (pi

2− sita)) ∗ cos(delta(n)) ∗ sin(omigamin) +

pi

180∗ omigamin ∗ sin(o − (

pi

2− sita)) ∗ sin(delta(n))

cos(o) ∗ cos(delta(n)) ∗ sin(omigamin) +pi

180∗ omigamin ∗ sin(o) ∗ sin(delta(n))

（28）

该系数具体内容见southangle.m

修改后得到的结果如下：

每小时辐射强度 30(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1729741.18 3865.00 447.54

5.73 1923422.25 3895.00 493.82

11.46 2100242.09 3914.00 536.60

17.19 2258982.03 3941.00 573.20

22.92 2397496.46 3958.00 605.73

28.65 2514484.04 3968.00 633.69

34.38 2609247.47 3987.00 654.44

40.11 2680068.50 3989.00 671.86

45.84 2727131.03 4004.00 681.10

51.57 2749148.75 4005.00 686.43

57.3 2746810.49 4022.00 682.95

63.03 2719148.68 4022.00 676.07

68.75 2666950.73 4022.00 663.09

74.48 2591197.40 4037.00 641.86

80.21 2491769.30 4037.00 617.23

85.94 2370122.21 4037.00 587.10

表九

22

每小时辐射强度 80(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1710701.85 3516.00 486.55

5.73 1905899.77 3568.00 534.16

11.46 2083912.47 3608.00 577.58

17.19 2243248.51 3641.00 616.11

22.92 2382516.58 3670.00 649.19

28.65 2500303.96 3695.00 676.67

34.38 2595495.62 3717.00 698.28

40.11 2665990.87 3722.00 716.28

45.84 2713473.73 3740.00 725.53

51.57 2735620.49 3748.00 729.89

57.3 2733007.81 3756.00 727.64

63.03 2705661.51 3764.00 718.83

68.75 2653775.93 3771.00 703.73

74.48 2577400.13 3771.00 683.48

80.21 2477782.02 3770.00 657.24

85.94 2356910.16 3780.00 623.52

表十

每小时辐射强度 200(w/𝑚2)

角度（度） 辐射总量

（w · H/𝑚2） 总电时长（H）

平均辐射量

(w/𝑚2)

0.00 1710701.85 3516.00 486.55

5.73 1905899.77 3568.00 534.16

11.46 2083912.47 3608.00 577.58

17.19 2243248.51 3641.00 616.11

22.92 2382516.58 3670.00 649.19

28.65 2500303.96 3695.00 676.67

34.38 2595495.62 3717.00 698.28

40.11 2665990.87 3722.00 716.28

45.84 2713473.73 3740.00 725.53

51.57 2735620.49 3748.00 729.89

57.3 2733007.81 3756.00 727.64

63.03 2705661.51 3764.00 718.83

68.75 2653775.93 3771.00 703.73

74.48 2577400.13 3771.00 683.48

80.21 2477782.02 3770.00 657.24

85.94 2356910.16 3780.00 623.52

表十一

由上述表格可知，在倾斜角为38.43°附近时能量值达到最大，记为最佳倾角

best 。

23

在处理朝南立面的时候，由于其朝向相同，故其结果与上面相同。所以，可

以认为在本地区架空形式安装光伏电池板时的最佳倾角为38.43°，在对采用该最

佳倾角在水平面上考虑架空方式安装时的扩张因子为

sin ( + )=

sin

best

（29）

其中， best 为最佳倾角38.43°； 为一年内太阳与水平面的最小交角，可

取冬至日时的太阳高度角进行计算得到，约为26°.需要注意的是，以上两个角均

指电池板、太阳光线与水平面的夹角，当在像所给房屋顶部一样的倾斜平面或四

周竖直墙面上架设太阳板时要根据实际的角度关系计算相应的扩张因子。

3.问题一的求解

通过 lingo8.0 软件得到的问题的解，经常会不满足实际情况。不符合实际

的原因主要是在编写规划的约束条件时，所给约束较弱，得到的解仍需进一步人

工筛选。造成约束较松的原因有两点：对矩形填充的限制，约束条件中只给出同

一种矩形填充数量的上限，而没有考虑多种并存、组合时的数量上限；另一个原

因在于电压的约束，由于实际电压的大小受到串并联的影响，情况较复杂，在规

划约束中体现得不完全，致使软件求得的解需要人工进行检验与调整。

人工解的检验、调整步骤。得到一组解后，首先看逆变器的输入电压范围是

否合理，所选的电池能否通过一定的串并联方式达到输入电压范围；其次检验电

池数量能否同时填充平面，对于无法填充的电池进行删减。删减时要在总发电量

中减去删减电池所产生的电量，还要在总成本中减去删减电池的成本，在后续计

算利润、单位价格、回归年限时都要用调整后的电量和成本；最后，在剩下的电

池中进行组合串并联，检验电压、功率条件。

3.1东立面：

通过表格的形式给出所选电池的型号、数量，逆变器的型号、数量，实际发电量、

实际成本、计算折旧后的利润、计算折旧后的回收年限。

东立面

C1 10 11 1

C6 50

694.44 291.6648 312.498 32

3.2西立面：

24

西立面

C1 12 11 2

C5 2

1162 447.42 522.9 30

以西立面的电池分组阵列为例，如图所示，其余分组阵列在附件中给出。

3.3南立面：

南立面

C1 2 11 2

C2 8

C6 45

880.5 373.46 396.225 33

25

3.4北立面与向北倾伏的顶面：

经过规划模型的计算，在这两个面上所获得的解的总发电量较低、单位电量

成本远大于 0.5元/kWh，因此在这两个平面上决定不铺设电池。

3.5向南倾伏的顶面：

南倾伏

C3 4 11 3

C5 30

C6 16

5269.783 857.1852 2371.403 12

3.6综合汇总

对数据进行简单的整合处理，得到下表：

年发电量 8006.723 年均成本 1969.73 总单价 0.2460095 总利润 57165.344

总发电量 280235.3 总成本 68940.6 折旧单价 0.27334389 回收年限 18

4．问题二的求解

4.1东立面：

东立面

C1 10 11 1

C6 50

694.44 291.6648 312.498 32

4.2西立面：

西立面

C1 12 11 2

C5 2

1162 447.42 522.9 30

26

4.3南立面：

南立面

C10 32 11 1

723.9936 180.0684 325.7971 19

4.4北立面和向北倾伏的顶面：

与问题一同理不予以考虑。

4.5向南倾伏的顶面：

南倾伏

C1 22 12 1

4147.88 489.8998 1866.546 9

4.6：综合汇总

对数据进行简单的整合处理，得到下表：

年发电量 6728.314 年均成本 1409.05 总单价 0.20942141 总利润 56654.088

总发电量 235491 总成本 49316.9 折旧单价 0.23269046 回收年限 15

5.问题三的求解：

5.1东立面：

由于特殊设计的小屋形式，东立面平面被门窗分割零碎，规划求解后发现发电量

较小，单价较高，所以决定不在东立面上铺设电池。

5.2西立面：

27

西立面

C1 16 12 1

1396.488 414.6235 628.4195 23

5.3南立面：

南立面

C1 22 12 1

2295.528 497.772 1032.988 17

5.4北立面：

同理与问题一、问题二，并且在北立面设立大面积窗，所以不予考虑。

5.5向南倾伏的顶面：

南倾伏

B1 5 11 1

B2 15 6 1

16755 2744.469 7539.75 13

5.6 顶部水平平面：

28

水平面

B1 5 11 1

B2 5 4 1

8001.63 1368.279 3600.734 13

5.7综合汇总

对数据进行简单的整合处理，得到下表：

年发电量 29058.11 年均成本 5025.14 总单价 0.17293431 总利润 281785.14

总发电量 1017034 总成本 175880 折旧单价 0.19214923 回收年限 13

结果分析

由于本模型在考虑总发电量和单位电量费用时有所偏向，从结果来看，所得

到的方案都是尽可能降低单位电量费用的，同时在一定程度上兼顾使总发电量尽

可能大。大多数平面上选取的电池为 C 类，这是由于 C 类电池成本较低的缘故。

应该注意的是，单价较小并不一定意味着总利润最大，从实际获得的结果来看，

单价较小的代价是牺牲一定总发电量，致使计算出的总利润不是最大。

从问题一的解来看，主要发电的平面是靠屋顶的南倾伏平面，这与太阳辐照

强度有关，又与该平面净面积较大、可以灵活布设电池有关。

问题二中给予电池可以架空的条件，改善了太阳辐照强度。但值得注意的是

架空后有可能致使电池板之间的互相遮盖，在铺设时电池间应留有避免遮盖的距

离。另外在东立面与西立面，每天以正午为分界线，将有一半的时间没有直射，

因此在东、西立面上仍采用平铺的方式。

通过问题一、二结果的对比，可以发现允许架空后，单位电量费用从 0.27

降至 0.23，投资的回收年限也从 18 年缩减到 15 年，因此电池板架空的做法是

有意义的。

对于问题三，在设计过程中就采用许多有利于降低单价、提高成本的建筑外

形设计，例如增大房屋表面积、朝向尽可能向南、集中墙体开门窗等等。从分析

结果来看，无论是总发电量，单位电量费用还是总利润都较原小屋有了大幅改进，

单位电量费用更是降至 0.17元/kWh，回收年限也缩减到 13年。

结果相当可观，认为小屋的设计是成功的、合理的。

模型评价

优点：

通过归一化及加权系数法将两个完全不同的目标标准后通过设计各自权重

最终合并到一个目标中，有效地处理了两个本身互斥目标的有效统一，从而进行

常规的优化模型创建及求解；

在考虑最佳倾角条件下的架空方式安装光伏电板时，通过计算扩张因子的方

29

法有效地将架空安装电池板的优化选择布设问题转化到仅考虑贴附安装的问题

上去，大大简化了优化求解过程求解；

通过对“单位发电量费用最小”的目标附了较大的权值，最终得到了单位发

电量费用很小的布设方案，使得在相对较短的时间内就能赚回成本。

缺点：

在约束条件中没有体现到电池板及与逆变器之间串并联的约束关系，只能在

结果出来后进行人工检验调整；

单一的以朝向为南方作为最优朝向，没有对其他的朝向进行试验比较，或许

会有更好的朝向供选择；

不同面之间单独考虑，没有将所有面总和考虑，可能导致所得结果不是总和

最优结果。

参考文献

[1] 刘振宇，冯华，杨仁刚，山西不同地区太阳辐射量及最佳倾角分析，山西农

业大学学报（自然科学版），2011,31(3)：272-276，2011。

[2] 中 兴 机 电 能 源 研 究 所 ，《 降 低 成 本 太 阳 能 发 电 》，

http://www.zxkjw.com/dcbfd.htm ，2012年 9月 8日。

[3] 郭廷玮 刘鉴民，太阳能的利用，北京：科学技术文献出版社出版，1987。

附录

附录 1：

lingo11.0 model:

sets:

battery/1..24/:x,y,cost,s,w0,v,bmax;

nbq/1..18/:n,q,wn,wn2,vdown;

!weather/1/:m,nm;

endsets

data:

w0=215 325 200 270 245 295 265 320 210 240 280 295 250 100 58 100 90 100 4 4 8 12 12 50;

y=0.1684 0.1664 0.1870 0.1650 0.1498 0.1511 0.1621 0.1639 0.1598 0.1480 0.1598 0.1520 0.1499

0.0699 0.0617 0.0635 0.0584 0.0649 0.0363 0.0363 0.0366 0.0366 0.0413 0.0427;

cost=3203.5 4842.5 2980 4023 3650.5 4395.5 3312.5 4000 2625 3000 3500 3687.5 3125 480 278.4 480

432 480 19.2 19.2 38.4 57.6 57.6 240;

s=1276640 1938396 1276640 1637792 1635150 1938396 1635150 1938396 1470144 1626880

1940352 1940352 1668000 1430000 939231 1575196 1540000 1540000 110050 110700

218325 326600 290390 1171240;

v=46.1 46.91 46.1 38.1 37.73 45.92 37.91 45.98 33.6 36.9 44.8 45.1 37.83

138 62.3 99 115.4 100 26.7 12.6 26.7 26.7 26.7 55;

bmax=17 10 17 12 12 10 12 10 14 12 10 10 12 12 21 12 12 12 221

30

215 111 72 82 17;

vdown=21 21 42 42 42 42 99 99 99 99 180 180 180 180 180 180 250 330;

q=2900 4500 4500 6900 10200 15000 10200 15300 35000 63800 4500 6900 10300 15300 22000 35000 43750

54700;

wn=600 1200 1152 2304 3504 5520 3300 5610 11110 22220 1100 2200 3344 5566 8338 10648

26000 26000;

!wn2=336 672 688 1376 2064 3600 2160 3600 7360 14720 752 1504 2256 3760 5640 7520 9730

11676;

m=226.2637;

nm=352.9582;

nnm=469.6744;

!wmax=2236.95;

enddata

!max=w1+w2+w3;

!min=w4;

!max=w;

!max=10000*0.25*w/3442+10000*0.75*(1-w4/0.5);

max=10000*0.25*(w1+w2+w3)/3442+10000*0.75*(1-w4/0.5);

w3=@sum(battery(i)|i#gt#13:3713*w0(i)*x(i)*m/1000000);

w2=@sum(battery(j)|j#gt#6 #and# j#lt#14:2209*w0(j)*x(j)*nm/1000000);

w1=@sum(battery(k)|k#lt#7:1446*w0(k)*x(k)*nnm/1000000);

!w=@sum(nbq(i):n(i)*wn2(i)*nnm);

w4=(@sum(nbq(k):n(k)*q(k))+@sum(battery(b):cost(b)*x(b)))/(35*(w1+w2+w3));

!w4=(@sum(nbq(k):n(k)*q(k))+@sum(battery(b):cost(b)*x(b)))/(35*w);

!w3=0;

w1+w2+w3>1;

!min=w3;

@sum(battery(a):x(a)*s(a))<3200*7100+4260000;

@sum(nbq(b):n(b)*wn(b))>@sum(battery(i):w0(i)*x(i));

@sum(battery(i):v(i)*x(i))>@sum(nbq(j):n(j)*vdown(j));

@for(battery(j):@abs(x(j)-1)>0.1);

@sum(nbq(b):n(b)*wn(b))>w1/1446+w2/2209+w3/3713;

@for(battery(i):x(i)<bmax(i));

@sum(nbq(i):n(i))=2;

n(1)=0;

@for(battery(i):@gin(x));

@for(nbq(k):@gin(n));

end

附录 2：

matlab7.11.0版本 function CUMCM_2012_rectangle(a,b,x,y)

nx=floor(a/x);

ny=floor(b/y);

31

lb=b-ny*y;

nny=floor(lb/x);

nnx=floor(a/y);

mx=0;

my=floor((b-nny*x)/x);

ansn=nx*ny+nnx*nny;

ans1=nx;

ans2=0;

for i=nx:-1:0

la=a-i*x;

mx=floor(la/y);

num=nnx*nny+i*ny+my*mx;

if num>ansn

ansn=num;

ans1=i;

ans2=mx;

end

end

ansn

end

function weather

north=xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','

逐时气象参数','North');

[n1,m1] = find(north>=30);

north_new = north(n1);

north_wsum = sum(north_new);

north_ave = north_wsum/length(north_new);

m1 = find(north_new>=80);

north_newB = north_new(m1);

north_sumB = sum(north_newB);

north_aveB = north_sumB/length(north_newB);

h1 = find(north_new>=200);

north_newA = north_new(h1);

north_sumA = sum(north_newA);

north_aveA = north_sumA/length(north_newA);

sorth=xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','

逐时气象参数','Sorth');

[n2,m2]=find(sorth>=30);

sorth_new = sorth(n2);

sorth_wsum = sum(sorth_new);

sorth_ave = sorth_wsum/length(sorth_new);

32

m2 = find(sorth_new>=80);

sorth_newB = sorth_new(m2);

sorth_sumB = sum(sorth_newB);

sorth_aveB = sorth_sumB/length(sorth_newB);

h2 = find(sorth_new>=200);

sorth_newA = sorth_new(h2);

sorth_sumA = sum(sorth_newA);

sorth_aveA = sorth_sumA/length(sorth_newA);

west=xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','逐

时气象参数','West');

[n3,m3]=find(west>=30);

west_new = west(n3);

west_wsum = sum(west_new);

west_ave = west_wsum/length(west_new);

m3 = find(west_new>=80);

west_newB = west_new(m3);

west_sumB = sum(west_newB);

west_aveB = west_sumB/length(west_newB);

h3 = find(west_new>=200);

west_newA = west_new(h3);

west_sumA = sum(west_newA);

west_aveA = west_sumA/length(west_newA);

east=xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','逐

时气象参数','East');

[n4,m4]=find(east>=30);

east_new = east(n4);

east_wsum = sum(east_new);

east_ave = east_wsum/length(east_new);

m4 = find(east_new>=80);

east_newB = east_new(m4);

east_sumB = sum(east_newB);

east_aveB = east_sumB/length(east_newB);

h4 = find(east_new>=200);

east_newA = east_new(h4);

east_sumA = sum(east_newA);

east_aveA = east_sumA/length(east_newA);

level=xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','

逐时气象参数','level');

[n5,m5]=find(level>=30);

level_new = level(n5);

level_wsum = sum(level_new);

33

level_ave = level_wsum/length(level_new);

m5 = find(level_new>=80);

level_newB = level_new(m5);

level_sumB = sum(level_newB);

level_aveB = level_sumB/length(level_newB);

h5 = find(level_new>=200);

level_newA = level_new(h5);

level_sumA = sum(level_newA);

level_aveA = level_sumA/length(level_newA);

wsum=[north_wsum sorth_wsum west_wsum east_wsum level_wsum];

ave=[north_ave sorth_ave west_ave east_ave level_ave];

wsumB=[north_sumB sorth_sumB west_sumB east_sumB level_sumB];

aveB=[north_aveB sorth_aveB west_aveB east_aveB level_aveB];

wsumA=[north_sumA sorth_sumA west_sumA east_sumA level_sumA];

aveA=[north_aveA sorth_aveA west_aveA east_aveA level_aveA];

wsum

wsumB

wsumA

% ave

% aveB

% aveA

% numA=[length(h5) length(m5) length(n5)];

% wmax=max(north_new);

% x = length(find(west_new>1000));

% length(west_newA);

% length(west_newB);

% length(west_new);

% length(find(west_newA>=200));

end

matlab 7.13.0.564 northe 对应 太阳高度角导出数据 朝北面屋顶能量计算

tic

clear

num = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\2012\cumcm2012B附件4_山西

大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','逐时气象参数','E4:G8763'); %参数

num,o,k,a(),b(),c(),q

o = 40.1/360*2*pi;

k = 0;

q = 0;

sita = pi/6;

sita1 = pi/3;

%%

34

for n = 1:365;

for t = 1:24;

k = k+1;

a(n,t) = num(k,1) ; %水平总辐射

b(n,t) = num(k,2) ; %水平散射强度

c(n,t) = num(k,3) ; %法向总辐射

end

end

%%

for n = 1:365;

delta(n) = 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365)/360*2*pi;

for t = 1:24;

w = 15 * (t - 12)/360*2*pi;

q = q+1;

sinalfa = sin(o) * sin(delta(n)) + cos(o) * cos(delta(n)) * cos(w);

alfa(n,t) = asin(sinalfa)/2/pi*360;

if alfa(n,t) < 0

alfa(n,t) = 0;

end

if alfa(n,t)>0

sinA = (-sin(w)*cos(delta(n)))/cos(alfa(n,t)/360*2*pi);

A(n,t) = asin(sinA);

if A(n,t)<0

A(n,t) = abs(A(n,t));

end

Ai = A(n,t);

else

Ai = 0;%无光可以任意赋值；

end

if alfa(n,t) < 60

I(n,t) = b(n,t)*cos(sita)^2;

else

i = pi/2 + atan(cos(Ai)*tan(sita1)) - alfa(n,t)/360*2*pi;

I(n,t) = c(n,t) * cos(i) + b(n,t) * cos(sita)^2;

end

alfa1(q) = I(n,t);

end

end

alfa1 = alfa1';

%%

b = alfa1;

c = alfa1;

k = 0;

for i = 1:8760

35

if alfa1(i)<30

alfa1(i)=0;

else

k = k+1;

end

end

a = sum(alfa1)

k

a/k

%%

k = 0;

for i = 1:8760

if c(i)<80

c(i)=0;

else

k = k+1;

end

end

a = sum(c)

k

a/k

%%

k = 0;

for i = 1:8760

if b(i)<200

b(i)=0;

else

k = k+1;

end

end

a = sum(b)

k

a/k

%%

toc

north 对应 太阳高度角导出数据 所有太阳高度角

tic

clear

o = 40.1/360*2*pi;

k = 0;

for n = 1:365;

delta(n) = 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365)/360*2*pi;

36

for t = 1:24;

w = 15 * (t - 12)/360*2*pi;

k = k+1;

% delta 为赤纬角，W为时角；

% a = xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方

向辐射强度','逐时气象参数','H4:K8763');

sinalfa = sin(o) * sin(delta(n)) + cos(o) * cos(delta(n)) *

cos(w);

alfa(n,t) = asin(sinalfa)/2/pi*360;

if alfa(n,t) < 60

alfa(n,t) = 0;

end

alfa1(k) = alfa(n,t);

alfa1 = alfa1';

if alfa(n,t) < 60

alfa(n,t) = 0;

end

end

end

toc

second 对应 太阳高度角导出数据 朝南面屋顶能量计算中方位角计算

tic

clear

%%

o = 40.1/360*2*pi;

k = 0;

for n = 1:365;

delta(n) = 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365)/360*2*pi;

% pause 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365)/360*2*pi

for t = 1:24;

w = 15 * (t - 12)/360*2*pi;

k = k+1;

% delta 为赤纬角，W为时角；

% a = xlsread('cumcm2012B附件4_山西大同典型气象年逐时参数及各方

向辐射强度','逐时气象参数','H4:K8763');

sinalfa = sin(o) * sin(delta(n)) + cos(o) * cos(delta(n)) *

cos(w);

alfa(n,t) = asin(sinalfa)/2/pi*360;

if alfa(n,t) < 0

37

alfa(n,t) = 0;

end

alfa1(k) = alfa(n,t);

%%

% 太阳方位角计算

if alfa(n,t)>0

sinA = (-sin(w)*cos(delta(n)))/cos(alfa(n,t)/360*2*pi);

A(n,t) = asin(sinA);

if A(n,t)<0

A(n,t) = abs(A(n,t));

end

Ai(k) = A(n,t);

else

Ai(k) = 0;

end

%%

end

end

alfa1 = alfa1';

Ai = Ai';

toc

southangle 对应 角度计算 最后选角

tic

clear

sitacount = 0;

allenergy = zeros(9,1);

for sita = 0.8:0.01:1 ;

num = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\2012\cumcm2012B附件4_山西

大同典型气象年逐时参数及各方向辐射强度','逐时气象参数','E4:G8763'); %参数

num,o,k,a(),b(),c(),q

o = 40.1/360*2*pi;

k = 0;

q = 0;

sitacount = sitacount + 1;

%%

for n = 1:365;

for t = 1:24;

k = k+1;

a(n,t) = num(k,1) ; %水平总辐射

b(n,t) = num(k,2) ; %水平散射强度

38

c(n,t) = num(k,3) ; %法向总辐射

end

end

%%

for n = 1:365;

delta(n) = 23.45*sin(2*pi*(284+n)/365)/360*2*pi;

for t = 1:24;

w = 15 * (t - 12)/360*2*pi;

q = q + 1;

sinalfa = sin(o) * sin(delta(n)) + cos(o) * cos(delta(n)) * cos(w);

alfa(n,t) = asin(sinalfa)/2/pi*360;

if alfa(n,t) < 0

alfa(n,t) = 0;

end

if alfa(n,t)>0

sinA = (-sin(w)*cos(delta(n)))/cos(alfa(n,t)/360*2*pi);

A(n,t) = asin(sinA);

if A(n,t)<0

A(n,t) = abs(A(n,t));

end

Ai = A(n,t);

else

Ai = 0; %无光可以任意赋值；

end

% if alfa(n,t) < 60

% I(n,t) = b(n,t)*cos(sita)^2;

% else

% i = pi/2 + atan(cos(Ai)*tan(sita1)) - alfa(n,t)/360*2*pi;

% I(n,t) = c(n,t) * cos(i) + b(n,t) * cos(sita)^2;

% end

% i = pi/2 - atan(cos(Ai)*tan(pi/2-sita)) - alfa(n,t)/360*2*pi;

omiga(1) = acos(-tan(o)*tan(delta(n)));

omiga(2) = acos(-tan(o-(pi/2-sita))*tan(delta(n)));

omigamin = min(omiga);

i =

(cos(o-(pi/2-sita))*cos(delta(n))*sin(omigamin)+pi/180*omigamin*sin(o

-(pi/2-sita))*sin(delta(n)))/(cos(o)*cos(delta(n))*sin(omigamin)+pi/1

80*omigamin*sin(o)*sin(delta(n)));

% I(n,t) = c(n,t) * cos(i) + b(n,t) * cos((pi/2-sita)/2)^2;

% j =

I(n,t) = c(n,t) * i + b(n,t) * cos((pi/2-sita)/2)^2;

alfa1(q) = I(n,t);

end

end

39

alfa1 = alfa1';

%%

bb = alfa1;

cc = alfa1;

kk = 0;

for i = 1:8760

if alfa1(i)<30

alfa1(i)=0;

else

kk = kk+1;

end

end

allenergy(1,sitacount) = sum(alfa1);

allenergy(2,sitacount) = kk;

allenergy(3,sitacount) = allenergy(1,sitacount)/kk;

%%

kk = 0;

for i = 1:8760

if cc(i)<80

cc(i)=0;

else

kk = kk+1;

end

end

allenergy(4,sitacount) = sum(cc);

allenergy(5,sitacount) = kk;

allenergy(6,sitacount) = allenergy(4,sitacount)/kk;

%%

kk = 0;

for i = 1:8760

if bb(i)<200

bb(i)=0;

else

kk = kk+1;

end

end

allenergy(7,sitacount) = sum(bb);

allenergy(8,sitacount) = kk;

allenergy(9,sitacount) = allenergy(7,sitacount)/kk;

%%

end

toc