ejercicios engranes de dientes rectos para disenho de maquinas
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Ejercicios resueltos de engranes
16 de mayo de 2010
Nicols Franco - Rodrigo Lebrn - Carolina Pineda - Jos Snchez
1
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1. Engranes Rectos
1. Un engrane con 40 dientes, un pin con 16 dientes, un paso diametral de 2 pulgadas y un
ngulo de presin de 20.
Ejemplo 14.3 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.
Hallar
1. Determine el paso circular pc, la distancia central cd y el radio base para el pin rbg y elengrane rbp.
a) Si la distancia central se incrementa 0.25 pulg, encuentre los dimetros de paso para el
engrane y el pin pd, y el ngulo de presin .
Datos
Ng = 40 Nmero de dientes en el engrane
Np = 16 Nmero de dientes en el pin
pd = 2 pulg1Paso diametral
= 20 ngulo de presin
Solucin
a) Primero se determina el paso circular pc = pi/pd = pi/2 pulg = 1, 571 pulg.
Los dimetros de paso del engrane y pin son
dg =Ngpd
=40
2= 20 pulg
dp =Nppd
=16
2= 8 pulg
La distancia central es
cd =(dp + dg)
2=
(8 + 20)
2= 10 pulg
Los radios de los crculos de base para el pin y el engrane son
rbp =dp2cos =
8
2cos20=3,759 pulg
rbg =dg2cos =
20
2cos20=9,397 pulg
b) Si la distancia central se incrementa 0.25 pulg,
cd = 14, 25 pulg
Este valor corresponde a un incremento de 1,79% en la distancia central. Pero
cd =(dp + dg)
2= dp + dg = 2(14, 25) = 28, 5 pulg (1)
2
-
Podemos encontrar otra relacin de la ecuacin del mdulo
m =dgNg
=dpNp
16dp
=40
dg(2)
De esta forma se tienen dos ecuaciones y dos incgnitas. De la Ecuacin 1
dp = 28, 5 dg (3)Sustituyendo la Ecuacin 3 en la Ecuacin 2 se obtiene
1628,5dg =
40dg
16dg = 40(28, 5) 40dg
56dg = 1114
dg = 20, 36 pulg (4)
Sustituyendo la Ecuacin 4 en la Ecuacin 1 se obtiene
dp = 28, 5 20, 36 = 8, 143 pulg (5)Se determina el paso diametral
pd =Npdp
=16
8, 143= 1, 965 pulg
Tambin,
pd =Ngdg
=40
20, 36= 1.965 pulg
Se obtienen el paso circular
pc =pi
pd=
pi
1, 965= 1, 599 pulg
Cambiando la distancia central no afecta al crculo base del pin o del engrane. De
esta forma, el ngulo de presin es
= arc cos
(rbprp
)= arc cos
(3, 7598,1432
)= 22, 60
Tambin
= arc cos
(rbgrp
)= arc cos
(9, 36720,362
)= 22, 60
As, un incremento de 1,79% en la distancia central da como resultado un incremento
en el ngulo de presin de 2,60
3
-
2. En la Figura 1 se presenta el pin A y el engrane B. El pin A gira a 1750 rpm, impulsado
directamente por un motor elctrico. La mquina es una sierra industrial que requiere una
potencia de 25 hp.
Ejemplo 14.9 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.
Figura 1: Tren de engranajes utilizado en el ejemplo 2
Hallar
a) Calcule el esfuerzo debido a la exin en el pin tp y en el engrane tg.
Datos
Ng = 70 Nmero de dientes en el engrane
Np = 20 Nmero de dientes en el pin
pd = 8 pulg Paso diametral
bw = 1, 5 pulg Ancho de la cara
Qv = 6 Nmero del nivel de precisin de la transmisin
Nap = 1750 rpm Velocidad de rotacin del pin
hp = 25hp Caballos de fuerza transmitidos
4
-
Solucin
Se determina el dimetro de paso del pin
dp =Nppd
=20
8= 2, 5 pulg
La velocidad en la lnea de paso, en pies por minuto, es
vt =pidpNap
12=pi(2, 5)(1750)
12= 1145 pies/min
Se halla la fuerza transmitida
Wt =126050hpdpNap
=126050(25)
(2, 5)(1175)= 720, 3 lbf
De la Figura 2 los factores geomtricos para el pin y el engrane son
Yjp = 0, 34
Yjg = 0, 42
La ecuacin que proporciona el esfuerzo exionante para el pin es
tp =WtpdKaKsKm
bwYjpKv=
(720, 3)(8)(1, 0)(1, 18)
(1, 5)(0, 34)(0, 68)= 29410 psi
Donde
Ka = 1, 5 Factor de aplicacin, se obtiene de la Figura 3 para un motor elctrico de op-eracin suave y uniforme, el cual acciona un sierra industrial que genera un im-
pacto moderado
Ks = 1, 0 Factor de tamao, se obtiene de la Figura 4 para un paso diametral de 8 pulg
Km = 1, 18 Factor de distribucin de carga, se obtiene de la Figura 5 para una razn bw/d =0, 6
Kv = 0, 68 Factor dinmico, se obtiene de la Figura 6 para vt = 1145 pies/min y para Qv = 6
Para el esfuerzo exionante para el engrane se obtiene de la misma frmula, los factores de
correccin son los mismos por lo que la expresin sera
tg = tpYjp/Yjg = 29410(0, 34)/0, 42 = 23810 psi
El esfuerzo siempre ser mayor en el pin que en el engrane.
De la Figura 7 podemos notar que el esfuerzo exionante sobre el pin es menor que el
perm (la curva empieza aproximadamente en 25 ksi ) y sabiendo que el factor de seguridadesta dado por la expresin n = perm/, el factor de seguridad sera mayor que 1.
5
-
3. Un pin de 18 dientes gira a 1500 rpm, se acopla con un engrane de 72 dientes y transere
una potencia de 3,2 kW. El mdulo es de 4 mm y el ngulo de presin es de 20. Si los
engranes estn hechos de acero con una resistencia a la uencia de 720 MPa.
Problema 14.39 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.
Hallar
a) Determine el ancho de la cara bw para un factor de seguridad n = 5.
b) El esfuerzo de contacto entre los dientes de acoplamiento c.
Datos
Ng = 72 Nmero de dientes en el engrane
Np = 18 Nmero de dientes en el pin
m = 4mm Mdulo
Sy = 720Mpa Resistencia a la uencia
Nap = 1500 rpm Velocidad de rotacin del pin
H = 3, 2 kW Potencia transmitida
= 20 ngulo de presin
n = 5 Factor de seguridad
Solucin
a) El esfuerzo de exin para un factor de seguridad 5 y una resistencia a la uencia 720
MPa viene dado por la siguiente expresin
tp =Wtpdbw
KaKsKmKvYj
=Syn
=720
5= 144MPa
El dimetro del engrane es dg = Ngm = (72)(4) = 288mm, el del pin es dp = Npm =(18)(4) = 72mm, y para 1500 rpm y 3,2 kW, la carga tangencial transmitida en el pinsera de
Wt =60 103HpidpNap
= 566N
El paso diametral es
pd = 1/m = 1/0, 004m = 250m1
Con la carga tangencial y el paso diametral podemos continuar con la primera ecuacin
para obtener bw
144MPa =Wtpdbw
KaKsKmKvYj
144MPa =(566)(250)
bw
(1)(1)Km(0, 625)(0, 325)
= bw = 4, 84mmKm
Donde
6
-
Yjp = 0, 325 Factor geomtrico para el pin, se obtiene de la (Figura 2) , pues su ngulode presin es 20, para Np = 18 y Ng = 72.
Ka = 1, 0 Factor de aplicacin, se obtiene de la Figura 3 asumiendo carga uniforme.
Ks = 1, 0 Factor de tamao, se obtiene de la Figura 4 para un m = 4 < 5.
Kv = 0, 625 Factor dinmico, se obtiene de la Figura 6 para vt = piNapdp = pi(1500 rpm)(
72mm1225,4
)=
1113 pies/min y para Qv 5 suponiendo un engrane comercial sencillo.Buscando un valor razonable para Kmen la Figura 5 vemos que 1, 0 Km 1, 8por lo que bw ser pequea. As que tomamos Km = 1, 1 y bw = 5, 324mm o 6mmredondeando.
b) Para determinar el esfuerzo de contacto primero se debe hallar
1
Rx=
(1
dp+
1
dg
)2
sen=
(1
72+
1
288
)2
sen20
Rx = 9, 85mm
Luego, sabiendo que para el acero E = 207GPa y = 0, 3, se determina
E =2
12aEa
+12bEb
=E
1 2 =207
1 0, 32 = 227GPa
Con los valores hallados de E'y Rx
W =W
bwERx=
(Wtcos
)bwERx
=
(566
cos20
)(0, 006)(227 109)(0, 00985) = 4, 49 10
5
El esfuerzo de contacto esta dado mediante la frmula
c = E(W
2pi
KaKsKmKv
)1/2Los coecientes son los mismo que se utilizaron en la parte a)
c = (227 109)(4, 49 105
2pi
(1)(1)(1, 1)
(0, 625)
)1/2= 767MPa
7
-
2. Engranes Helicoidales
1. Un engrane involuto impulsa una centrfuga de alta velocidad. La velocidad de la centrfuga
es de 18000 rpm, y es impulsada por un motor electrco de 300 rpm a travs de una caja de
velocidades de multiplicacin 6:1. El pin tiene 21 dientes, y el engrane 126, con un paso
diametral de 14 por pulgada. El ancho de los engranes es de 1.8 pulg y el angulo de presin
es 20.
Ejemplo 14.10 Texto: Elementos de mquinas Autores: HAMROCK, JACOBSON y SCHMID.
Hallar
a) La razn de contacto del engrane para un engrane recto.
b) La razn de contacto del engrane para un engrane elicoidal con un ngulo de hlice de
30. Tambin encuentre el ngulo de la hlice si la razn de contacto es 3.
Solucin
a) Engrane recto: El paso circular es
pc = pi/pd = pi/14 = 0, 224 pulg = 5, 700mm
.
La distancia central es
cd =dp + dg
2=Np +Ng2 pd
= 5, 25 pulg = 133, 4mm
Los radios de los crculos de paso para le pion y el engrane son
rp =Np2 pd
=21
2(14)= 0, 75 pulg
rg =Ng2 pg
=126
2(14)= 4, 5 pulg
Luego se obtienen los radios de los crculos de la base para el pin y el engrane
rbp = rpcos = 0, 75 cos20=0,7048 pulg = 17, 90mm
rbg = rgcos = 4, 5 cos20=4,2286 pulg = 107, 4mm
Los radios exteriores para el pin y el engrane son
rop = rp + a = rp +1
pd=0,75+
1
14pulg = 0, 8214 pulg = 20, 86mm
rog = rg + a = rg +1
pd= 4, 5 +
1
14=4,5714 pulg = 116, 1mm
La razn de contacto para el engrane recto es
Cr =1
(0, 2244) cos20
[(0, 8214)
2 (0, 7048)2 +(4, 571)
2 (4, 229)2]5, 250 tan20
0, 2244
8
-
b) Engrane helicoidal: La razn de contacto total para un engrane helicoidal esta dada por:
Crt = Cr + Cra = 1, 712 +(1, 8) tan30
0, 2244= 6, 343
Para obtener una razn de contacto de 3, el ngulo de la hlice tiene que ser tal que
Cra =bw tanpc
= 3, 00 1, 712 = 1, 288
tan = (1, 288) (0, 2244) /1, 8 = 9, 122
Por lo tanto el ngulo de la hlice debe ser de 9,122 para obtener una razn de contacto
de 3.
9
-
2. Un engranaje helicoidal comercial tiene un ngulo de presin normal de 14 , un ngulo de
hlice de 45, un paso diametral transversal de 6 dte/in y 18 dientes
Hallar
a) Dimetro de paso
b) Los pasos circulares transversal, normal y axial
c) El paso diametral normal
d) El ngulo de presin transversal
Solucin
a) Dimetro de paso
d =N
Pt
d =18
6
d = 3 pulg
b) Paso transversal
pt =piPt
pt =pi6
pt = 0, 5236 pulg
c) Paso diametral normal
Pn =Ptcos
Pn =6
cos45
Pn = 8, 485 dientes/pulg
d) El ngulo de presin transversal
t = tan1 tann
cos
t = tan1 tan14, 5
cos45
t = 20, 09
10
-
3. Un pin helicoidal con un ngulo de paso normal de 20, de 17 dientes, con un ngulo de la
hlice de 30 a la derecha, gira a 1800 rpm cuando trasmite 4HP a una corona helicoidal de 52
dientes. El paso diametral normal es de 10 dientes/pulg, el ancho de la cara es de 1,5 pulg. Y
el juego de engrane tiene un nmero de calidad de 6. Los engranes estn montados separados
por cojinetes inmediatamente adyacentes. El pin y la correa son de acero endurecido com-
pletamente con dureza supercial y del nucleo de 240 Brinell en el pin, y dureza supercial
y en el nucleo de 200 Brinell para la corona. La transmisin es uniforme y con esta un motor
elctrico y una bomba centrfuga. Suponga una vida del pin de 108ciclos, una conabilidadde 0,9 y utilice las curvas superiores de las Figura 11 y Figura 12.
Ejemplo 14.5 Texto: Diseo en Ingenieria Mecnica Autores: SHIGLEY, MISCHKE.
Hallar
Los factores de seguridad de los engranes en exin.
Solucin
Factor de sobrecarga Ko = 1, YP = 0, 303, YG = 0, 412
Pt = Pn cos = 10 cos30 = 8, 66 dientes/pulg
dP = NP /Pt = 17/8, 66 = 1, 963 pulg
dG = (52/17) 1, 963 = 6, 004 pulg
mG = 52/17 = 3, 06
La velocidad en la linea de paso es
V =pi dP nP
12=
pi (1, 963) 180012
= 925 pies/min
W t =33000 (4)
925= 142, 7 lbf
Factores dinmicos
B = 0, 25 (12 6) 23 = 0, 8255A = 50 + 56 (1 0, 8255) = 59, 77
KV =
(59, 77 +
925
59, 77
)0,8255= 1, 404
ngulo de presin transversalt = tan1(tanncosy
)= tan1
(tan20cos30
)= 22, 796
Los radios del pin y la corona son
rP = dP /2 = 1, 963/2 = 0, 9815 pulg
,
rG = 3, 06 (0, 9815) = 3, 004 pulg
La cabeza es
a = 1/Pn = 1/10 = 0, 1 pulg
11
-
Los radios del crculo de base del pin y la rueda son
(rb)P = rP cost = 0, 9815 cos22, 796 = 0, 9048 pulg
(rb)G = rG cost = 3, 004 cos22, 796 = 2, 769 pulg
El factor geomtrico de la resistencia supercial es
Z =
(rP + a)
2 r2bP +(rG + a)
2 r2bG (rP + rG) sent
Z =
(0, 9815 + 0, 1)
2 0, 90482+(3, 004 + 0, 1)
2 2, 7692(0, 9815 + 3, 004) sen22, 796Z = 0, 5924 + 1, 4027 1, 54427 = 0, 4509 pulgComo los dos primeros trminos son menores que 1,54427, la ecuacin para Z es correcta. El
paso circular normal es
pN = pn cosn =piPn
cos20 =pi10cos20 = 0, 2952 pulg
La relacin de distribucin de carga es
mN =pN
0, 95Z=
0.2952
0, 95 (0, 4509)= 0, 6891
El factor geomtrico
I =cost sentmG2mN (mG + 1)
I =sen22, 796 cos22, 796 3, 06
2 (0, 6891) (3, 06 + 1)
I = 0, 195
De la Figura 8, los factores geomtricos
JP = 0, 45
y
JG = 0, 54
Asimismo, de la Figura 9 los multiplicadores del factor J son 0,94 y 0,98
JP = 0, 45 (0, 94) = 0, 423
JG = 0, 54 (0, 98) = 0, 529
Factores de tamao
Ks =1
kb= 1, 192
(FY
P
)0.0535
(Ks)P = 1, 192
(1, 50, 303
10
)0.0535= 1, 043
(Ks)G = 1, 192
(1, 50, 412
10
)0.0535= 1, 052
Factor de distribucin de carga
Cpf =F
10d 0, 0375 + 0, 0125F
12
-
Cpf =1, 5
10 1, 963 0, 0375 + 0, 0125 1, 5 = 0, 0577
de la Figura 10
Cmc = 1
Cpm = 1
Cma = 0, 15
Ce = 1
Km = Cmf = 1 + Cmc (CpfCpm + CmaCe)
Km = 1 + (1) (0, 0577 (1) + 0, 15 (1)) = 1, 208
Los factores de los ciclos de esfuerzo en exin son
(YN )P = 1, 558(108)0,0178 = 0, 977
(YN )G = 1, 558(108
/3, 06)0,0178 = 0, 996
El factor de conabilidad esta dado por
Kr = 0, 0657 0, 0759 ln(1 0, 9) = 0, 833KT = 1
Cf = 1
Las resistencias AGMA para 107ciclos y conabilidad de 0,99 se dan mediante
(St)P = 77, 3(240) + 12800 = 31352 psi
(St)G = 77, 3(200) + 12800 = 28260 psi
Flexin del diente del pin
v =W tKoKV Ks
PdF
KmKBJ
v = 142, 7(1)1, 404(1, 043)8, 66
1, 5
1, 208(1)
0, 423= 3446 psi
vperm =31352(0, 977)
(1)0, 833= 36773 psi
(SF )P =36773
3446= 10, 7
Flexin del diente del engrane
v = 142, 7(1)1, 404(1, 052)8, 66
1, 5
1, 208(1)
0, 529= 2778 psi
vperm =28260(0, 977)
(1)0, 833= 33145 psi
(SF )G =33145
2778= 11, 9
13
-
3. Engranajes cnicos
1. Un motor gira a 1160 rpm impulsa a un transportador por medio de engranajes cnicos
rectos con 19 y 58 dientes, M = 4,D = 7, 6 cm, D% = 23, 2 cm, b = 3, 5 cm. El material delos engranages es AISI 3140, QT(tempaldo y revenido) para 300 HBN. El pion est motado
en voladizo y la rueda est montada entre dos soportes. El servicio es tal que se aplica un
factor de servicio Nsf = 1, 2; la temperatura de funcionamiento en normal.
Ejemplo Capitulo 15 Texto: Diseo de Elmentos de Mquinas Autor: V.M.FAIRES
Hallar
Que potencia mxima puede ser transmitida para duracin innita?
Datos
N = 58 Numero de dientes del engrane
N = 19 Nmero de dientes del pion
D = 7, 6 cm Diametro primitivo del pion
M = 4 Modulo(razn de paso sobre el nmero de dientes)
Nsf = 1, 2 Factor de servicio
b = 3, 5 cm Anchura de la cara
D% = 23, 2 cm Dimetro del engrane
Solucin
Para la determinacin de la potencia debemos utilizar la ecuacin
Ft =4500CV
vm
Donde
CV Es la potencia en CV transmitida
vm El la velocidad en la circunferencia primitiva
Ft Carga transmitida
Entonces resolviendo para CV se tiene
CV =Ftvm4500
Se determina la velocidad en la circunferencia primitiva con la frmula
vm = piDn = pi(7, 6
100)(1160) = 276mpm
Se calcula el el coecente de velocidad reducido para engranajes rectos con la frmula
V F =27, 6 +
vm
27, 6=
27, 6 +276
27, 6= 1, 6
14
-
La carga dinmica se puede hallar en funcin de la carga transmitida.
Fd = (V F )NsfKmFt
Km = 1.15 Coeciente de distribucin de carga, se determina de la seccin 15.6 del texto setiene para un engraje montado en la entre dos soportes y el otro no
Nsf = 1, 2 Factor de servicio
Ft Carga transmitida
Se tiene
Fd = 1, 6 1, 2 1, 15Ft = 2, 20FtPara la determinacin de Ftse debe igualar la carga dindinmica con la carga el el factorque determina la vida indenida que puede ser la resistencia a la fatiga o la resistencia al
desgaste.
La resistencia a la fatiga dada por la ecuacin
Fs =sdbjM
10
KlKsKtKr
Donde
sb = 1335 esfuerzo de exin de clculo, depende de la dureza del material(300 BHN)
b = 3, 5 Anchura de la cara en centmetros
j = 0, 2 es el coeciente geomtrico, se determina de la Figura 14
M = 4 Modulo(razn de paso sobre el nmero de dientes)
Kl = 1 coeciente de duracin para una vida innita
Ks = 0, 629 coeciente de tamao para M = 4
Kt = 1 coeciente de temperatura se toma el valor para t < 70oC
Kr = 1, 1 coeciente de seguridad funcional para para alta seguridad
Entonces tenemos
Fs =1335 3, 5 0, 2 4
10
1
0, 629 1, 1 = 540 kg
La resitencia a la fatiga esta dada por la ecuacin
Fw = DbIs2cdC2e
(Cl
KtCr
)2 103
Donde
D = 7, 6 cm Diametro primitivo del pion
b = 3, 5 cm Anchura de la cara
I = 0, 082 coeciente geomtrico para desgaste, se determina de la Figura 13
s2cd = 90 106esfuerzo de contacto de clculo, se determina en la Tabla 1para 300 BHNCe = 551 106 Coeente elstico, se determina en la Tabla 2 del texro para una combinacinde acero con acero
Cl = 1 Coeciente de duracin o vida para vida innita
Kt = 1 coeciente de temperatura se toma el valor para t < 70oC
15
-
Cr = 1, 1 Coeciente de seguridad funcionalpara alta seguridad
Fw = 7, 6 3, 5 0, 081 90106551106 (
11,1
)2 103 = 291 kg
Como Fw < Fs, el factor que determina la vida indenida es el desgaste.Por lo tanto se igualaFw = Fd y se determina Ft
Fd = 2, 20Ft
Ft = 132 kg
Con lo que la potencia
CV =Ftvm4500
=132 276
4500= 8, 09CV
16
-
4. Tablas y Curvas
4.1. Engranajes rectos
Figura 2: Factores de geometra de un engrane recto para un ngulo de presin de 20 e involuta
de profundidad completa [AGMA Standard 1012-F90, Gear Nomenclature, Denitions of Terms
with Symbols,1998]
Figura 3: Factor de aplicacin como funcin de la fuente de potencia impulsora y de la mquina
impulsada
17
-
Figura 4: Factor de tamao como funcin del paso diametral o mdulo
Figura 5: Factor de la distribucin de la carga como una funcin del ancho de la cara y de la razn
Figura 6: Factor dinmico como una funcin de la velocidad en la lnea de paso y del nmero de
nivel de precisin de la transmisin.
18
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Figura 7: Efecto de la dureza Brinell sobre el esfuerzo exionante permisible para dos grados de
acero endurecido en la masa.
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4.2. Engranajes Helicoidales
Figura 8: Factores Geomtricos J
Figura 9: Multiplicadores del factor de geometra
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Figura 10: Factor de distribucin de carga
Figura 11: Factor de ciclos de esfuezo repetidamente aplicados de resistencia a la fexin YN .
Figura 12: Factor de ciclos de esfuerzo de resistencia a la picadura ZN
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4.3. Engranajes cnicos
Figura 13: Coeciente geomtrico I para engranajs cnicos de dientes rectos
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Figura 14: Coeciente geomtrico j para engranajs cnicos de dientes rectos
Cuadro 1: Esfuerzo de contacto de clculo
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Cuadro 2: Coecientes elsticos
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Engranes RectosEngranes HelicoidalesEngranajes cnicosTablas y CurvasEngranajes rectosEngranajes HelicoidalesEngranajes cnicos
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