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EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA Matemática Básica y Matemática para Ciencias de la Salud MATEMATICA53.WEBNODE.CL
Claudio Gaete Peralta
2013
Claudio Gaete Peralta matematica53.webnode.cl
CLAUDIO GAETE PERALTA
MATEMATICA53.WEBNODE.CL
TABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOSTABLA DE CONTENIDOS
INTRODUCCION ................................................................................................................... 3
ECUACIONES ........................................................................................................................... 4
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................... 8
FUNCIONES .............................................................................................................................. 9
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 18
LIMITES .................................................................................................................................... 20
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 23
CONTINUIDAD .................................................................................................................... 24
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 27
DERIVADAS ............................................................................................................................ 28
EJERCICIOS PROPUESTOS ................................................................................................. 32
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
3
INTRODUCCION
Estos apuntes fueron diseñados con el fin de complementar el aprendizaje matemático junto con lo visto en clases. Se presentan diversos ejercicios resueltos y propuestos, principalmente para carreras de Ciencias de la Salud.
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ECUACIONES
1. Resuelva la ecuación �� !� "�� � # = 1.
Solución: Como el discriminante de &' + & + 1 es negativo y el coeficiente que acompaña a &' es
positivo, tenemos que &' + & + 1 > 0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones
previas para resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos
&' + 5& + 6&' + & + 1 = 1/∗ (&' + & + 1) &' + 5& + 6 = &' + & + 1
5& + 6 = & + 1 4& = −5 & = − 54
Lo que resuelve el ejercicio ∎
2. Resuelva la ecuación '�4#'� # = � 5�4' Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones
• 2& + 1 ≠ 0 → & ≠ − #'
• & − 2 ≠ 0 → & ≠ 2
Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser − #' ni 2. Procedamos a
resolver la ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que:
(2& − 1)(& − 2) = (2& + 1)(& + 3) 2&' − 4& − & + 2 = 2&' + 6& + & + 3 −5& + 2 = 7& + 3 −1 = 12& − ##' = & ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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3. Resuelva la ecuación (& + ;)' − (& − ;)' = (; + <)', donde ;, < son números reales no nulos.
Solución:
(& + ;)' − (& − ;)' = (; + <)' &' + 2;& + ;' − (&' − 2;& + ;') = (; + <)' &' + 2;& + ;' − &' + 2;& − ;' = (; + <)' 4;& = (; + <)' & = (; + <)'4; ∎
4. Resuelva la ecuación '5� − 5& = 710 − 32&
Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que & ≠ 0. La idea principal es poder
quitar los denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador,
tenemos que
>. ?. > (3,2,10) = 301 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30&, seremos capaces de eliminar los
denominadores y trabajar con una ecuación que será más sencilla
23& − 5& = 710 − 32& / ∗ 30&
20 − 150 = 21& − 45 −130 = 21& − 45 −85 = 21& − 8521 = &
1 Note que no se consideró el coeficiente que acompañó a &.
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5. Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuación.resolver una ecuación.resolver una ecuación.resolver una ecuación. Resuelva la ecuación "E�4FE #' + 'E�4GE 5 − 5E�4!E G = 0
Solución: Tenemos que
6;' − 7; + 12 + 2;' − 4; + 3 − 3;' − 5; + 4 = 0 6(; − 3)(; − 4) + 2(; − 1)(; − 3) − 3(; − 1)(; − 4) = 0/∗ (; − 3)(; − 4)(; − 1) 6(; − 1) + 2(; − 4) − 3(; − 3) = 0
6; − 6 + 2; − 8 − 3; + 9 = 0 5; − 5 = 0 5; = 5 ; = 1 Con lo que habremos resuelto la ecuación. Sin embargo, esta no puede ser solución, pues,
tenemos que ; = 1 anula la expresión IJ − KI + L, que forma parte de un denominador en la
ecuación que acabamos de resolver. De esta forma, la ecuación no tiene solución ∎
6. La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que tendrá Pedro en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos años más?
Solución: Denotemos por T, U las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente.
Tenemos que
I. T = V'
II. T − 3 = #5 (U + 9)
Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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U2 − 3 = 13 (U + 9) U2 − 3 = U3 + 3 U2 − U3 = 6/∗ 6
3U − 2U = 36 U = 36
Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que T = 18. De esta forma, las
edades actuales de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos
años más, sus edades serán de 20 y 38 años y así, sumarán 58 años ∎
7. Resuelva la ecuación #'(�4#) + '(�4#)� = #G(� 5) Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que & ≠ 1, & ≠ −3.
La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si
multiplicamos a ambos lados por (& − 1)'(& + 3) habremos quedado libres de incógnitas en los
denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no
queda conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario
multiplicar a ambos lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4
>. ?. > (2,4) = 4
De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4(& − 1)'(& + 3) podremos
trabajar solamente con numeradores y no con denominadores:
12(& − 1) + 2(& − 1)' = 14(& + 3) / ∗ 4(& − 1)'(& + 3)
2(& − 1)(& + 3) + 8(& + 3) = (& − 1)' 2(&' + 2& − 3) + 8& + 24 = (&' − 2& + 1) 2&' + 4& − 6 + 8& + 24 = &' − 2& + 1 &' + 14& + 17 = 0 Las raíces de esta ecuación son &# = 4#G √#'X' y &' = 4#G4√#'X' , lo que resuelve el problema ∎
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EJERCICIOS PROPUESTOS
A. Resuelva las siguientes ecuaciones i. (& + 1)5 − (& + 1)5 = 6&(& − 3) ii. 7(18 − &) = 6(3 − 5&) − (7& + 21) − 3(2& + 5) iii. 3 − �' − 1 − �5 = 7 − & + �' iv. −[−2 − \3 − (& − 2&)] + 4^ = 4 − 5& v. !� ! + "� " − #(� ")� = 3 B. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos leen? C. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más? D. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcular las edades.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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FUNCIONES
8. Considere la función c(&) = E� de� f , donde ;, <, ? y g son números reales y ? ≠ 0. Determine el Dominio y Recorrido de esta función. Solución: En primer lugar, debemos notar que c es una función racional, luego su
denominador debe ser distinto de cero. Así, tenemos que
?& + g ≠ 0 & ≠ − g? Con esto, tenemos que hi>c = j − k− fel. Para determinar el recorrido, hagamos m = c(&) y
despejemos & en función de m
m = ;& + <?& + g / (?& + g) m(?& + g) = ;& + < m?& + mg = ;& + <
m?& − ;& = < − mg &(m? − ;) = < − mg
& = < − mgm? − ;
Donde la división puede ser realizada siempre que m? − ; ≠ 0, es decir m ≠ Ee. Así, jn?c = j − kEel ∎
9. Dada la función c(&) = ;&' + <& + ?, con ;, < y ? números reales, con ; ≠ 0. Determine dominio y recorrido de dicha función. Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre j.
Para determinar el dominio de esta función, debemos analizar dos casos:
Caso 1: I > 0. En este caso, el recorrido de la función será 2
jn?c = oc p− <2;q , ∞ +o
2 Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo.
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Caso 2: I s 0. En este caso, el recorrido de la función será
10. La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo según
donde t es la concentraciónpara que haga efecto durante milígramos por litro? . Grafique la problema.
Solución: Notemos que la gráfica de la
parábola va hacia abajo. Además, tenemos que el vértice es
Con esto, tenemos que la porción de
Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de
y se da al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la
concentración del medicamente es
Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro
resolver la ecuación
es decir,
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En este caso, el recorrido de la función será
jn?c $ v2∞, c/2 d'E0v ∎
La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo según
t/w0 $ 2w' ( 6w
concentración del calmante en el suero medida en milígramospara que haga efecto durante t horas. ¿En qué instante la concentración
Grafique la función e interprete resultados en el contexto del
gráfica de la función es una parábola con a $ 21. Además, tenemos que el vértice es
x $ /2 <2; , t/2 <
2;0 0 $ /3, t/30 0 $ /3,90
porción de gráfica de la función es
Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de 9 milígramos por litro
al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la
entración del medicamente es 0 y t y 6.
Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro
8 $ 2w' ( 6w
w' 2 6w ( 8 $ 0
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La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su
milígramos por litro concentración es de 8
e interprete resultados en el contexto del
s 0, por lo que esta
9 milígramos por litro
al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la
Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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Debemos tener en cuenta que las raíces de una ecuación cuadrática se determinan por la
fórmula
w = −< ± √<' − 4;?2;
En este caso, ; = 1, < = −6 y ? = 8, por lo que, reemplazando dichos valores, tenemos que las
raíces de t(w) son
w# =4 y w' =2 ∎
11. Considerelafunción{(&) = √3& + 5.Determinesiestafunciónesbiyectivaono.Encasoafirmativo,encuentrelafuncióninversa{4#.Solución: En primer lugar, debemos tener en cuenta que hi>c = |− !5 , ∞ +|.
Recordemos que una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la
inyectividad. Sean }, ~ ∈ hi>c tales que {(}) = {(~). Es decir,
√3} + 5 = √3~ + 5/()'3} + 5 = 3~ + 5/−53} = 3~ /: 3} = ~Por lo que la función es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un
codominio especificado3.
Para determinar la función inversa, hagamos m = {(&). Con esto, tenemos que
m = √3& + 5 /()' m' = 3& + 5 m' − 5 = 3& m' − 53 = &
Por lo que {4#(&) = ��4!5 ∎
3 Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la función.
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12. Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,0).
Solución: Primero, debemos recordar que la ecuación de la recta que pasa por el punto (;, <) y tiene pendiente > viene dada por la fórmula
m − < = >(& − ;) Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuación buscada es
m − 0 = 3(& − 1)
Es decir, m = 3& − 3 (Ecuación principal de la recta) o bien 3& − m − 3 = 0 (Ecuación general de
la recta) ∎
13. Dé un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior.
Solución: Dos rectas con pendientes ># y >', respectivamente, son perpendiculares, si el
producto de sus pendientes es −1. De esta forma, la pendiente > de la recta buscada debe
cumplir con 3> = −1
es decir, > = − #5. Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sería de la
forma
y = − #5 & + � , � ∈ j ∎
14. Encuentre el punto de intersección de las rectas m = 2& − 3 e m = #G & + #'. Solución: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas),
ambas rectas se intersectan (en un único punto).
Resolvamos la ecuación 2& − 3 = 14 & + 12 2& − 14 & = 12 + 3 74 & = 72 & = 72 ∗ 47 & = 2 Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y = 1. Así, el punto de intersección es (2,1) ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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15. Determine el valor de � para que la recta �& + (� + 1)m + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3& – 2m – 11 = 0 Solución: Sean �# , �' rectas dadas por �#: �& + (� + 1)m + 3 = 0 y �': 3& – 2m – 11 = 0
Para determinar la pendiente de la recta �#, despejamos m :
�& + (� + 1)m + 3 = 0 (� + 1)m = −�& − 3 m = − �� + 1 & − 3� + 1
Siempre que � ≠ −1. Así, la pendiente de �# es − �� #. Análogamente, la pendiente de �' es 5'.
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser −1, es
decir, − �� + 1 ∗ 32 = −1
�� + 1 = 23
3� = 2(� + 1) 3� = 2� + 2 � = 2
Con esto, tenemos que si � = 2, las rectas serán perpendiculares ∎
16. La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada 1.000 personas. Supongamos que � denota la natalidad por cada 1.000 personas y � representa el tiempo medido en años desde 1995. a) Determine la función lineal de natalidad4. b) Si el modelo lineal se mantiene igual. ¿Cuál será la natalidad esperada para el año 2015?
4 Note que como la natalidad disminuye linealmente en función del tiempo, la pendiente debe ser negativa.
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Solución: a) Como � depende linealmente de �, tenemos que � = �(�) = >� + � Para determinar los valores de > y �, debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, � = 0) hubo 35 nacimientos por cada 1.000 habitantes, entonces reemplazando en la ecuación,
tenemos que
35 = > ∗ 0 + �
35 = �
Además, en el año 2000 (es decir, � = 5) hubo 33 nacimientos por cada 1.000 habitantes,
entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que
33 = > ∗ 5 + 35
−2 = > ∗ 5
− 25 = >
Con esto, tenemos que � = �(�) = − 25 � + 35 b) Dado que � = �(�) = − '! � + 35 reemplazando � = 20, tenemos que
� = − 25 ∗ 20 + 35 = −8 + 35 = 27 Así, la natalidad para el año 2015 será de 27 personas por cada 1.000 habitantes ∎
17. Resuelva la siguiente ecuación 2� # ∗ 3�4! = 6 Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que
log(2� # ∗ 3�4!) = log 6 log(2� #) + log(3�4!) = log 6
(& + 1) log 2 + (& − 5) log 3 = log 6
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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& log 2 + log2 + &log3 − 5 log3 = log6 & log 2 + &log3 = log6 + 5 log3 − log2 &(log 2 + log 3) = log6 + 5 log3 − log 2 & = log 2 + log3log 6 + 5 log 3 − log 2 = log6log 14582 = log 6log 729
Lo que resuelve el ejercicio ∎
18. Resuelvalasiguienteecuación logG(& + 1) + logG(&) = 12
Solución: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de
la función logaritmo:
• & + 1 > 0 • & > 0 Intersectando ambas condiciones, llegamos a que & > 0. De encontrar una solución, debe
entonces, ser positiva.
logG(& + 1) + logG(&) = 12 logG\(& + 1)(&)] = 12
(& + 1)(&) = 4#' &' + & = 2 &' + & − 2 = 0
Lo que nos da una ecuación cuadrática, cuyas raíces son &# = 1 y &' = −2. En vista de que & > 0, tenemos que la solución a nuestra ecuación es & = 1 ∎
19. SeanA,� > 0.Sic = A(1 + r)�,demuestreque� = ��� �4�������(# �) .Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que
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log ? = logA(1 + �)� log ? = log� + log(1 + �)�
log ? − log � = � log(1 + �)/:log(1 + �) log c − log Alog(1 + �) = �
Con lo que se tiene la igualdad. ∎
20. Una Isapre calcula que el número de sus afiliados �(w) , después de t años, está dada por : �(w) = 100.000(0,04)�,!� a) ¿Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre? b) ¿Cuántos afiliados tendrá después de 3 años? c) ¿Al cabo de cuántos años habrán 30.000 afiliados? Solución: a) A(0) = 100.000 b) A(3) = 100.000(0,04)�,!∗5 = 100.000(0,04)#,! ≈ 25.298 c) Para esto, resolvemos la ecuación
30.000 = 100.000(0,04)�,!�/: 100.000 0,3 = (0,04)�,!� Aplicando logaritmo, tenemos
log 0,3 = 0,5w log(0,04) log 0,3log 0,04 = 0,5w/: 0,5
0,324 ≈ w ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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21. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados
Dosis administrada en mg 0,5 0,75 1 1,25 Disminución frecuencia cardíaca (latidos por minuto) 9,05 10,075 11,1 12,125
Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine
a) La función que representa el problema b) Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio c) Si se administran 2 mg, ¿Cuál es la disminución en la frecuencia cardíaca? d) ¿Para qué dosis la frecuencia cardíaca disminuye en 10 latidos por minuto?
Solución:
a) Denotemos por F a la frecuencia cardíaca, la cual depende linealmente de la cantidad de
medicamento en milígramos, que denotaremos por C. De este modo, tenemos la
siguiente relación T = T(t) = >t + �
Además la pendiente de esta recta será > = #�,�F!4�,�!�,F!4�,! = #,�'!�,'! = 4,1. Para calcular el valor
de �, usando la tabla vemos que, por ejemplo
9,05 = 4,1 ∗ 0,5 + � 7 = �
De este modo, T(t) = 4,1t + 7
b) El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento,
hay una disminución en la frecuencia cardíaca de 4,5 latidos por minuto.
c) T(2) = 4,1 ∗ 2 + 7 = 15,2 d) 10 = 4,1 ∗ t + 7. Luego, t = 0, 73170��������� ∎
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EJERCICIOS PROPUESTOS A. Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados
• c(2), c(1), c(0), si c(&) = �� #� 5 • ℎ �#'� , ℎ(−1), ℎ(#5), si ℎ(&) = (5&5 + &' + #F)' • { �#G� , {(7), {(−7) , si {(&) =
����� &G + 5, ¡ & ≤ 0
√�� # , ¡ 0 s & s 7##� , ¡ & > 7
¢
B. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de acuerdo a �(&) = −(& − 2)' + 1 donde &, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica. a) Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva. b) ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima? c) Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema.
C. Graficar la función c(&) = 5&' + 6& − 3, indicando su vértice, zona de crecimiento y decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible. D. Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3& + 2m − 1 = 0 y pasa por el punto (−1, '5 ). Grafique esta recta.
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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E. Determine cuál de las siguientes parábolas corta al eje X. Fundamente su respuesta a) m = &' + 9& + 18 b) m = −&' − 8& + 20 c) m = &' − 15& + 54 d) m = 2&' + 8& + 7 e) Todas cortan al eje ¦ F. Resuelva la ecuación log'(7& − 1) − log'(3& + 5) = 1. G. El valor de reventa V de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación V = 750.000e4�,�!¨, en que t son los transcurridos desde el momento de la compra. a) ¿Cuál es el valor original del equipo radiográfico? b) ¿Cuál es el valor esperado de reventa, después de 5 años? c) ¿Después de cuántos años el valor de reventa será de $250.000? H. Encuentre el valor numérico de
n�� #' + log5 127 + log! √125 − logF ª 1343«
I. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el número de estudiantes infectados después de t días, se pronostica por �(w) = 30001 + 2999n4�,X�!� ¿En qué período de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?
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LIMITES
22. Determine el valor de los siguientes límites: a) lim�→# √�4#�4# Solución:
lim�→# √& − 1& − 1 = lim�→# √& − 1& − 1 ∗ √& + 1√& + 1 = lim�→# & − 1(& − 1)¬√& + 1 = lim�→# 1√& + 1 = 12 b) lim�→X √�« 4'�4X Solución:
lim�→X √&« − 2& − 8 = lim�→X ®√&« − 2& − 8 ∗ √&'« + 2√&« + 4√&'« + 2√&« + 4¯ = lim�→X & − 8(& − 8) ∗ (√&'« + 2√&« + 4) = lim�→X 1√&'« + 2√&« + 4 = 112
c) lim�→45 ��4�4#'�� G� 5 Solución:
lim�→45 &' − & − 12&' + 4& + 3 = lim�→45 (& − 4)(& + 3)(& + 1)(& + 3) = lim�→45 & + 4& + 1 = − 12
d) lim�→41 √� 542�241
Solución:
lim�→4# √& + 5 − 2&' − 1 = lim�→4# ®√& + 5 − 2&' − 1 ∗ √& + 5 + 2√& + 5 + 2¯ = lim�→4# & + 5 − 4(& − 1)(& + 1)¬√& + 5 + 2 = = lim�→4# & + 1(& − 1)(& + 1)¬√& + 5 + 2 = lim�→4# 1(& − 1)¬√& + 5 + 2 = − 18 ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
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23. Suponga que el tamaño de una población en el instante w es �(w) = ;w� + w , w ≥ 0
Siendo ; y � constantes positivas. Suponga que el tamaño límite de la población es lim�→± �(w) = 1,24 × 10"
y que en el instante w = 5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite. Utilice la información anterior para determinar el valor de las constantes ; y �. Solución: 1,24 × 10" = lim�→± �(w) = lim�→± ;w� + w = lim�→± ;�w + 1 = ; Por lo que 1,24 × 10" = ;. Además, sabemos que �(5) = 1,24×106
' = 0,62 × 10". Es decir,
25� + 5 = 0,62 × 10" 250,62 × 10" = � + 5 4,032258065 × 104! = � + 5 5 ≈ � ∎ 24. Determine la existencia de lim�→# c(&), donde c(&) = ³|�4#| G4'��4#
Solución: Tenemos que
c(&) =�����√1 − & + 4 − 2&' − 1 , ¡ & s 1
√& − 1 + 4 − 2&' − 1 , ¡ & > 1¢
Analizando los límites laterales, tenemos
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lim�→#µ c(&) = lim�→#µ √1 − & + 4 − 2&' − 1 = lim�→#µ ®√1 − & + 4 − 2&' − 1 ∗ √1 − & + 4 + 2√1 − & + 4 + 2¯ = lim�→#µ (1 − & + 4 − 4)(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ 1 − &(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ −(& − 1)(& + 1)(& − 1)(√1 − & + 4 + 2 = lim�→#µ −1(& + 1)(√1 − & + 4 + 2 = − 18 Mientras que
lim�→#¶ c(&) = lim�→#¶ √& − 1 + 4 − 2&' − 1 = lim�→ ®√& − 1 + 4 − 2&' − 1 ∗ √& − 1 + 4 + 2√& − 1 + 4 + 2¯ = lim�→#µ (& − 1 + 4 − 4)(& + 1)(& − 1)(√& − 1 + 4 + 2 lim�→#¶ & − 1(& + 1)(& − 1)(√& − 1 + 4 + 2 = lim�→#¶ 1(& + 1)(√& − 1 + 4 + 2) = 18 En vista de que los límites laterales son distintos, lim�→# c(&) no existe ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
23
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcule el valor de los siguientes límites (si es que existen) A. lim�→� |�|� B. lim�→'F √�« 45�4'F C. lim�→± √& + 1 − √& D. lim�→± �· �� � '�¸� 5�¹ # E. lim�→# c(&), donde c(&) = º ��4#�4# , ¡ & s 1
√&« + & + 2, ¡ & > 1¢
F. lim�→� �#4√#4�
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CONTINUIDAD
25. Considere la función c(&) =
�������
&' − & + 1, & ≤ 5√& − 1 − √9 − && − 5 , 5 s & ≤ 9
&' − 11& + 18& − 9 , & > 9¢
Estudie la continuidad en j de c. Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos & = 5 y & = 9, en vista de que en el
resto de los puntos, la función es continua.
• Continuidad en & = 5: Haciendo uso de límites laterales, tenemos que lim�→!µ c(&) = lim�→!µ &' − & + 1 = 25 − 5 + 1 = 21
Mientras que
lim�→!¶ c(&) = lim�→!¶ √& − 1 − √9 − && − 5 = lim�→!¶ ®√& − 1 − √9 − && − 5 ∗ √& − 1 + √9 − &√& − 1 + √9 − &¯ =
lim�→!¶ (& − 1) − (9 − &)(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & = lim�→!¶ 2& − 10(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & = lim�→!¶ 2(& − 5)(& − 5)¬√& − 1 + √9 − & =
lim�→!¶ 2¬√& − 1 + √9 − & = 22 + 2 = 12
En vista que los límites laterales son distintos, lim�→! c(&) no existe y por lo tanto, c no es
continua en & = 5.
• Continuidad en & = 9: Nuevamente, haciendo uso de los límites laterales, tenemos que
lim�→�µ c(&) = lim�→�µ √& − 1 − √9 − && − 5 = √84 = √22
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
25
Por otro lado,
lim�→�¶ c(&) = lim�→�¶ &' − 11& + 18& − 9 = lim�→�¶ (& − 9)(& − 2)& − 9 = lim�→�¶ & − 2 = 7
En vista que los límites laterales son distintos, lim�→� c(&) no existe y por lo tanto, c no es
continua en & = 9 ∎
26. Dada la siguiente función {(&) =
����� &5 − ;5& − ; , ¡ & > 1
√&« − √;«& − ; , ¡ & s 1¢
Defina { de modo que sea continua en & = 1. Solución: Debemos definir el valor de {(1) para que la función sea continua en x = 1. Para esto, se debe cumplir que {(1) = lim�→#µ {(&) = lim�→#¶ {(&) Ahora bien,
• lim�→#µ {(&) = lim�→#µ √�« 4 √E«�4E = lim�→#µ p √�« 4 √E«�4E ∗ √��« √�« √E« √E�«√��« √�« √E« √E�« q = lim�→#µ �4E(�4E)� √��« √�« √E« √E�« � =
= lim�→#µ 1√&'« + √&« √;« + √;'« = 11 + √;« + √;'«
• lim�→#¶ {(&) = lim�→#¶ �«4E«�4E = 1 + ; + ;' Luego, necesitamos que5 11 + √;« + √;'« = 1 + ; + ;' (1 + ; + ;') �1 + √;« + ³;'« � = 1
1 + √;« + ³;'« + ; + ; √;« + ; ³;'« + ;' + ;' √;« + ;' ³;'« = 1 ³;'« + ; + ; √;« + ; ³;'« + ;' + ;' √;« + ;' ³;'« = 0
5 El lector observador se dará cuenta que ; = 0 es una solución inmediata de la ecuación, sin la necesidad
de hacer mayores cálculos.
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√;« �√;« + ³;'« + ; + ;√;« + ³;G« + ;' + ;'√;« � = 0 Entonces, uno puede ver que una solución a esta ecuación debe cumplir que √;« = 0, es decir, ; = 0. Con esto, la función
{(&) =�������&5 − 1& − 1 , si& > 11, ¡& = 1√&« − 1& − 1 , si& < 1
¢
Es continua en & = 1∎
27. Calculeelvalordelim�→±ª; + && − ;
Solución: Por continuidad de la función raíz, tenemos que
lim»→±ª; + && − ; = ª lim�→± ; + && − ; = ¼ lim�→± ;& + 11 − ;& = ª lim�→±11 = 1∎28. Dadalafunción
ℎ(&) = º&' − 4& + 3& − 3 , ¡& ≠ 35, ¡& = 3 ¢
Determinesilafunciónℎescontinuaen& = 3.Solución: Para que la función sea continua en & = 3, debe de ocurrir que lim�→5ℎ(&) = ℎ(3) = 5Ahora bien, tenemos que lim�→5 ℎ(&)=lim�→5 &2−4&+3&−3 = lim�→5 (�4#)�45)�45 = lim�→5(& − 1) = 2 ≠ 5
Por lo tanto, ℎno es continua en & = 5 ∎
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
27
EJERCICIOS PROPUESTOS
A. Considere la función c(&) =
������� √& − 1& − 1 , ¡ 0 s & s 1
; , ¡ & = 112 &5 + & − 1, ¡ & > 1
¢ Determine el valor de ; para que la función sea continua en & = 1 B. Dada la función
{(&) = ���& + &'|&| , ¡ & ≠ 0
0, ¡ & = 0¢
Determine si { es o no continua en & = 0.
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DERIVADAS
29. Dada la función c(&) = √& , encuentre el valor de c´(2) mediante su definición. Solución: Tenemos que
c´(2) = lim�→' c(&) − c(2)& − 2 = lim�→' √& − √2& − 2= lim�→' ®√& − √2& − 2 ∗ √& + √2√& + √2¯ = lim�→' & − 2(& − 2)¬√& + √2 = lim�→' 1√& + √2 = 12√2 ∎ 30. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la función c(&) = √& , en el punto (2,1)
Solución: Recordemos lo siguiente
Ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto (?, c(?))
j�: m − c(?) = c´(?)(& − ?) Ecuación de la recta normal a una función f(x) en el punto (?, c(?))
j�: m − c(?) = − 1c´(?) (& − ?) Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que c´(2) = #'√'. Luego,
j�: m − c(2) = c´(2)(& − 2)
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
29
m − √2 = 12√2 (& − 2) m = 12√2 & − 1√2 + √2
Mientras que j�:m − c(2) = − 1c´(2) (& − 2) m − √2 = −2√2(& − 2)
m = −2√2& + 5√2 ∎
31. Encuentreladerivadadelafunciónℎ(&) = n� # ∗ ln(3&' + 2)Solución: Haciendo uso de la fórmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que
ℎ´(&) = e� # ∗ ln(3&' + 2) + | "�5�� 'v e� #∎32. Calculeunpolinomiodesegundogrado¾(&) = ;&' + <& + ?,con¾(−1) = 6, ¾´(1) = 8, ¾´´(0) = 4.Solución: Tenemos que
• ¾´(&) = 2;& + < → 8 = ¾´(1) = 2; + < • ¾´´(&) = 2; → 4 = ¾´´(0) = 2; → 2 = ;. • 6 = ¾(−1) = ; − < + ?. (*)
Con toda esta información, tenemos que < = 4 y así, en (*) tenemos que ? = 8. De esta forma, el
polinomio buscado es ¾(&) = 2&' + 4& + 8 ∎
33. Unbiólogorealizóunexperimentosobrelacantidaddeindividuosenunapoblacióndeparameciumenunmedionutritivoyobtuvoelmodelo {(w) = ln(w' − 2w + 5)dondewsemideendíasy{(w)eselnúmerodeindividuosenelcultivo.Hallarladerivadadelafunción{.
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Solución: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que
{´(w) = '�4'¨�4'� ! ∎
34. Un equipo de investigación médica determina que w días después del inicio de una epidemia �(w) = 10w5 + 5w + √w personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día?
Solución: Tenemos que
�´(w) = g�gw = 30w' + 5 + 12√w En w = 9 se tiene que
f¿f� ≈ 2435, 16. Esto significa que pasados 9 días la población de
bacterias está aumentando a una razón aproximada de 2435, 16 por día. ∎ 35. Sea c(&) = &' + ;& + <. Hallar los valores de ; y < tales que la recta m = 2& sea tangente a la gráfica de c en el punto de coordenadas (2, 4).
Solución: Como la recta m = 2& tiene pendiente igual a 2, entonces necesitamos que c´(2) = 2, es decir
4 + ; = 2 → ; = −2
Además, como el punto (2,4) pertenece a la gráfica de la función, tenemos que
4 = c(2) = 4 − 4 + < → < = 4 ∎ 36. Hallar los extremos relativos, zonas de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad de la función c(&) = ln(&' + & + 1) Solución: En primer lugar, hi>c = j puesto que &' + & + 1 > 0 para todo número real, ya que su
discriminante es negativo y el coeficiente que acompaña a &' es positivo. Ahora, buscamos los
puntos críticos:
c´(&) = 2& + 1&' + & + 1 = 0 ↔ 2& + 1 = 0 ↔ & = − 12
Además, tenemos que c´(&) > 0 si y solamente si & > − #' por lo que la función es creciente en el
intervalo v− #' , ∞|. Análogamente, la función es decreciente en el intervalo v−∞, − #'|. Derivando
nuevamente, tenemos que
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA
31
c´´(&) = 2(&' + & + 1) − (2& + 1)'(&' + & + 1)' = 2&' + 2& + 2 − 4&' − 4& − 1(&' + & + 1)' = −2&' − 2& + 1(&' + & + 1)'
Luego, c´´(&) > 0 ↔ −2&' − 2& + 1 > 0 ↔ 2&' + 2& − 1 < 0 ↔ 2�& − 4' √#'G � �& − 4'4√#'G � < 0 ↔ ®& − −1 + √32 ¯®& − −1 − √32 ¯ < 0 ↔ & ∈ Á−1 − √32 ,−1 + √32 Â
Por lo que la función es convexa en el intervalo v4#4√5' , 4# √5' | y así, cóncava en j − v4#4√5' , 4# √5' | Notemos que los puntos de inflexión son &# = 4#4√5' y &' = 4# √5' , pues en estos puntos,
c´´(&) = 0∎
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EJERCICIOS PROPUESTOS
A. Derive la función c(&) = (4& + 3&')5'+√n� + & (Ayuda: Use la fórmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena) B. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función {(&) = √n� + & en el punto (0,1). C. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función c(&) = �� � #5� ! + ln & en el punto (1, 5X) D. Derive la función c(&) = (4&' + 7)! ln(7 + & + &X). (Ayuda: Use la fórmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena) E. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función U(w) = 500 p1 + 4w50 + w'q donde w se mide en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos. F. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y decreciente, los intervalos en donde es cóncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus máximos y mínimos locales y un bosquejo de la gráfica. • c(&) = &5 − 3& + 3 • c(&) = &G − 32& + 48 • c(&) = &�« • c(&) = &' + '�
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