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El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene definido, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, por la siguiente matriz:

1.- Determinar de forma analítica:a) Los dos primeros invariantes del tensor de tensionesb) Los valores de las tres tensiones principalesc) Los tres vectores unitarios que definen las tres direcciones principalesd) La tensión tangencial máxima que se produce en las proximidades del punto considerado

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

0000202002050

T

600202050

7020502

2

1

=−⋅=

=+=

I

Ia) b) Una de las tensiones principales (σz) es nula. Las otras dos las calcularemos resolviendo:

106002020

20500 21 ==⇒=

−−−−

=− σσσ

σσIT

Por tanto, las tensiones principales son: 01060 321 === σσσ y

c) Como el eje z es una dirección principal ( ), las otras dos las calcularemos resolviendo:kurr

=3 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−00

20202050

2

1

uu

σσ

Dirección principal 1: jiuaa rrr 4473089430

00

40202010

12

1 ,, −=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

Dirección principal 2: jiuaa rrr 8943044730

00

10202040

22

1 ,, +=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

d) La tensión tangencial máxima será:( ) 3053025

210

260

21060

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ,,max,,maxmaxτ

Ejercicio 1.5

2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar gráficamente: e) El círculo de Mohr f) Las coordenadas (σ,τ) del polo de dicho círculo g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho círculo h) Los dos planos sobre los que actúa la tensión tangencial máxima i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensión forma el mayor ángulo posible con la normal a dichos planos. j) El plano al que representa el polo del círculo de Mohr

σ

τ

Plano Y

Plano X 50

20

20

x

y

POLO

σ

τ

Plano Y

Plano X 50

20

20

x

y

POLO

Planoprincipal IPlano

principal II

σ

τ

Plano Y

Plano X

50

20

20

x

y

60

10

x

y

POLO

Planoprincipal IPlano

principal II

Plano demáxima tensión tangencial

Plano demáxima tensión tangencial

σ

τ

Plano Y

Plano X

50

20

20

x

y

35

25

x

y

35

POLO

Plano en el queel vector tensión formael mayor ángulo posiblecon la normal

Plano en el queel vector tensión formael mayor ángulo posiblecon la normal

σ

τ

POLO

Plano correspondienteal polo del círculo de Mohr

σ

τ