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El sistema de numeración indo-arábigo

Nuestro sistema de numeración actual, con sus diez cifras decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Representación sencilla y absolutamente racional de cualquier número utilizando únicamente diez símbolos.

Permite realizar muy fácilmente cálculos muy complejos.

Las cifras romanas: una invención de pastores

Suma utilizando cifras romas

CCCXXXIIDCXIII

MCCXXIVMMDLI

MMMMDCCXX

Las cifras romanas: una invención de pastores

Suma utilizando cifras romas

CCCXXXIIDCXIII

MCCXXIVMMDLI

332613

12242551

MMMMDCCXX 4720

Utilización de nueve símbolos gráficos desvinculados de cualquier intuición visual para representar las nueve unidades básicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Utilización del principio posicional.

Existencia del concepto de cero, como indicador de la nada.

El sistema posicional

El valor de una cifra depende de la posición que ocupe.

Número Unidades de millar Centenas Decenas Unidades

45 4 5

53 5 3

573 5 7 3

5438 5 4 3 8

El sistema posicional en base 10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

10 = 1 x 10 + 0 x 1 = 1 x 101 + 0 x 100

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

10 = 1 x 10 + 0 x 1 = 1 x 101 + 0 x 100

11 = 1 x 101 + 1 x 100

12= 1 x 101 + 2 x 100

13= 1 x 101 + 3 x 100

14= 1 x 101 + 4 x 100 … 19= 1 x 101 + 9 x 100

20 = 1 x 10 + 10 x 100 = 2 x 10 + 0 x 100

21 = 2 x 101 + 1 x 100 …29 = 2 x 101 + 9 x 100

30= 2 x 10 + 10 x 100 = 3 x 10 + 0 x 100

99= 9 x 101 + 9 x 100

20 = 1 x 10 + 10 x 100 = 2 x 10 + 0 x 100

21 = 2 x 101 + 1 x 100 …29 = 2 x 101 + 9 x 100

30= 2 x 10 + 10 x 100 = 3 x 10 + 0 x 100

99= 9 x 101 + 9 x 100

100= 9 x 101 + 10 x 100 = 10 x 10 = 102 =

1 x 102 + 0 x 101 + 0 x 100

101 = 1 x 102 + 0 x 101 + 1 x 100

437 = 4 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100

999= 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100

101 = 1 x 102 + 0 x 101 + 1 x 100

437 = 4 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100

999= 9 x 102 + 9 x 101 + 9 x 100

1000= 9 x 102 + 9 x 101 + 10 x 100 =

= 9 x 102 + 10 x 101 = 9 x 102 + 102 = 103

= 1 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 0 x 100

Surgió hace unos 1500 años (siglo V) en el norte de la India.

Utilización de nueve símbolos gráficos desvinculados de cualquier intuición visual para representar las nueve unidades básicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Utilización del principio posicional.

Existencia del concepto de cero, como indicador de la ausencia de unidades de un cierto orden.

Técnicas operacionales sencillas y rápidas.

Perfeccionamiento definitivo de la numeración escrita.

Democratización del cálculo.

Bastante generalizado en la India a mediados del siglo V.

Difundido en el mundo árabe.

“Sobre el cálculo con numerales hindúes” de Al-Khwarizmi, publicado en el año 825.

“Liber Abbaci” de Leonardo de Pisa (Fibonacci), publicado en el año 1202.

Todavía se necesitaron varios siglos para que desplazara definitivamente el ábaco tradicional.

Las primeras numeraciones posicionales

de la historia

Babilonia (comienzos del milenio II a.C. En base 60)

China (dinastía de los Han, del siglo II a.C. al siglo III d.C. En base 10)

Civilización maya (hacia el siglo IV a.C. En base 20)

La numeración de los sabios de Babilonia

Descubrieron el principio posicional entre los años 3.000 y 2.000 a.C.

Base sexagesimal: base 60.

Unidades de primer orden: números del 1 al 59.

Representados mediante un sistema de agrupación simple utilizando únicamente dos símbolos:

1 clavo = = una unidad

1 espiga = = diez unidades

La numeración de los sabios de Babilonia

Símbolos cuneiformes

7 = 7 clavos =

17 = 10 + 7 = 1 espiga + 7 clavos =

56 = 50 + 6 = 5 espigas + 6 clavos =

Los números babilónicos del 1 al 59

Los números babilónicos a partir del 60

Base sexagesimal: base 60.

Unidades del segundo orden: 601 = 60 .

67 = 60 + 7 = 1 x 601 + 7 x 600 = [1,7]60 =

165 = 120 + 45 = 2 x 601 + 45 x 600 = [2,45]60 =

1220 = 1200 + 20 = 20 x 601 + 20 x 600 = [20,20]60 =

2715 = 2700 + 15 = 45 x 601 + 15 x 600 = [45,15]60 =

3599 =3540+59 = 59 x 601 + 59 x 600 = [59,59]60=

Numerosos equívocos y confusiones.

2 = = 2 clavos en las unidades.

61 = 1 x 601 + 1 x 600 = = 1 clavo en la sesentenasy 1 clavo en las unidades.

25 = = 2 espigas + 5 clavos.

615 = 10 x 601 + 15 x 600 = = 1 espiga en las sesentenas y 1 espiga + 5 clavos en las unidades.

1205 = 20 x 601 + 5 x 600 = = 2 espigas en las sesentenas y 5 clavos en las unidades.

El cero babilónico

Necesidad de un símbolo para representar la ausencia de unidades de un determinado orden.

60 = 1 x 601 + 0 x 600 = ??

En el siglo III a.C. introdujeron un símbolo para representar dicha ausencia: el cero babilónico (el cero más antiguo de la humanidad ??)

60 = 1 x 601 + 0 x 600 =

El número 3600 sería el primer número que precisaría de tres órdenes de unidades.

Unidades del tercer orden: 602 = 3600 .

3600 = 602 = 1 x 602 + 0 x 601 + 0 x 600 = [1,0,0]60 =

Unidades del cuarto orden: 603 = 216000.

3600 = 603 = 1 x 603 + 0 x 602 + 0 x 601 + 0 x 600 =

= [1, 0,0,0]60 =

Ventajas de utilizar base 60 para expresar fracciones

La base 60 es el menor número divisible por 1, 2, 3, 4 y 5, por lo que tiene un gran número de divisores.

Esto permite expresar fácilmente muchas fracciones.

En base decimal 1/2 = 0,5 porque

1/2 = 5/10 = 0 x 100 + 5 x 10-1

En base sexagesimal

1/2 = 30/60 = 0 x 600 + 30 x 60-1 = [0;30]60

Ventajas de utilizar base 60 para expresar fracciones

1/3 = 20/60 = 0 x 600 + 20 x 60-1 = [0;20]60

1/12 = 5/60 = 0 x 600 + 5 x 60-1 = [0;5]60

1/15 = 4/60 = 0 x 600 + 4 x 60-1 = [0;4]60

1/9 = 400/3600 =(6 x 60 +40)/3600 = 6/60 + 40/3600 =

= 0 x 600 + 6 x 60-1 + 40 x 60-2 = [0;5,40]60

Tablilla YBC 7289 (c. 1.800 –1.600 a.C.)

[30]60= 30

[42;25,35]60 = 42x600+25x60-

1+35x60-2 = 42,42638888888

[1;24,51,10]60=1x600+24x60-1

+51x60-2+10x60-3=1,41421296296297

Lado del cuadrado = 30

Diagonal del cuadrado = 30 =

Diagonal/Lado =

El sistema posicional chino

En la época de la dinastía de los Han (del siglo II a.C. al siglo III de nuestra era).

Base decimal: base 10

Las cinco primeras unidades: trazos verticales

El número 6:

Los números 7, 8 y 9:

El número 9753:

9753 = 9 x 103 + 7 x 102 + 5 x 101 + 3 x 100 =

Sistema con varias ambigüedades.

Ausencia del cero durante varios siglos.

En el siglo VIII de nuestra aparece el cero en el sistema de numeración chino.

El prestigio de la civilización maya

Independientemente de cualquier influencia extranjera y en el otro extremo del mundo los mayas hicieron los mismos descubrimientos.

La civilización maya alcanzó las más altas cimas en los más variados ámbitos: arte, escultura, arquitectura, educación, comercio, matemáticas, astronomía…

Gran precisión en movimientos del Sol, la Luna y los planetas.

Descubrimientos astronómicos, cálculo del tiempo, calendario maya.

Revolución sinódica de Venus: 584 días (valor exacto 583,92 días)

El prestigio de la civilización maya

Duración del año solar maya: 365,242 días (valor actual más preciso 365,242198 días).

Periodo lunar determinado con tan solo 24 segundos de diferencia con respecto a cálculos actuales.

Gracias a la existencia de un herramienta matemática potente y precisa dotada de:

Sistema posicional (en base 20).

Símbolo para el cero.

La civilización maya fue la primera en conocer la abstracción del cero (siglo IV a.C.)

La numeración de los sacerdotes mayas

Base vigesimal: base 20.

Unidades de primer orden: números del 1 al 19.

Representados mediante un sistema de agrupación simple utilizando únicamente dos símbolos:

1 punto = = una unidad

1 raya = = cinco unidades

1 caracol = = el cero maya (siglo IV a.C.)

Números mayas del 1 al 19

Números mayas del 0 al 19

Números mayas en base 20

20 = 1 x 201 + 0 x 200 21 = 1 x 201 + 1 x 200 22 = 1 x 201 + 2 x 200

1 x 20 201 1 x 20 201 1 x 20 201

0 x 1 200 1 x 1 200 2 x 1 200

23= 1 x 201 + 3 x 200 24 = 1 x 201 + 4 x 200 25 = 1 x 201 + 5 x 200

1 x 20 201 1 x 20 201 1 x 20 201

3 x 1 200 4 x 1 200 5 x 1 200

60 = 3 x 201 +0 x 200 79 = 3 x 201 +19 x 200 111 = 5 x 201 +11 x 200

3x20 201 3x20 201 5x20 201

0 x 1 200 19x 1 200 11 x 1 200

202=10 x 201+2 x 200 300=15 x 201+0 x 200 399 =19x201+19 x 200

10x20 201 15x 20 201 19x20

2 x 1 200 0 x 1 200 19 x 1 200

400=1x202+0x201+0x200 2014=5x202+0x201+14x200

1 202 5 202

0 201 0 201

0 200 14 200

4060=10x202+3x201+0x200 6021=15x202+1x201+1x200

10 202 15 202

3 201 1 201

0 200 1 200

10 = 1 x 101 + 0 x 100 11 = 1 x 101 + 1 x 100 12 = 1 x 101 + 2 x 100

1 101 1 101 1 101

0 100 1 100 2 100

13= 1 x 101 + 3 x 100 14 = 1 x 101 + 4 x 100 15 = 1 x 101 + 5 x 100

1 101 1 101 1 101

3 100 4 100 5 100

30 = 3 x 101 +0 x 100 39 = 3 x 101 +9 x 100 56 = 5 x 101 +6 x 100

3 101 3 101 5 101

0 100 9 100 6 100

72=7 x 101+2 x 100 80=8 x 101+0 x 100 99 =9x101+9 x 100

7 101 8 101 9 101

2 100 0 100 9 100

100=1x102+0x101+0x100 506=5x102+0x101+6x100

1 102 5 102

0 101 0 101

0 100 6 100

870=8x102+7x101+0x100 916=9x102+1x101+6x100

8 102 9 102

7 101 1 101

0 100 6 100

Reglas para operar en base 10

Cinco puntos en un nivel equivalen a una raya en el mismo nivel.

Una raya en un nivel equivale a cinco puntos en el mismo nivel.

Dos rayas en un nivel equivalen a un punto en el nivel superior.

Un punto en un nivel equivale a dos rayas en el nivel inferior.

No puede haber más de cuatro puntos ni más de una raya en un mismo nivel.

Cuando un nivel se quede vacío, colocar un caracol.

Suma: 357 + 846

357 846

Suma: 357 + 846

357 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Suma: 357 + 846

357 + 846

Resultado: 357 + 846=1203

Resta: 752 - 644

752 644Reglas básicas de la resta:

Un punto elimina a otro punto en el mismo nivel.

Una raya elimina a otra raya en el mismo nivel.

Empezamos por el nivel inferior.

Si no hay puntos suficientes para hacer la eliminación, los bajamos del nivel superior teniendo presente que un punto del nivel superior equivale a dos rayas del inferior.

Resta: 752 - 644

752 644

Resta: 752 - 644

752 644

Resta: 752 - 644

752 644

Resta: 752 - 644

752 644

Resta: 752 - 644

752 644

Resta: 752 - 644

??8 644

Resta: 752 - 644

??8 644

Resta: 752 - 644

?08 644

Resta: 752 - 644

?08 644

Resultado: 752 – 644=108

108 644