elastooptyka - biomech.pwr.wroc.pl · elastooptyka 1. wprowadzenie elastooptyka, mimo rozwoju...
Post on 28-Feb-2019
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ludomir J. JANKOWSKI ® Wszelkie prawa zastrzeżone
ELASTOOPTYKA
1. WPROWADZENIE
Elastooptyka, mimo rozwoju innych doświadczalnych technik pomiarów, a także
numerycznych metod obliczeń, nadal stanowi bardzo ważne narzędzie doświadczalnej
identyfikacji pól naprężeń i odkształceń, przede wszystkim w płaskich i
trójwymiarowych modelach obiektów rzeczywistych obciążonych statycznie lub
dynamicznie. Jej zaletą jest możliwość wyznaczania składowych dwu- i
trójwymiarowego stanu naprężenia wewnątrz badanego modelu, a po uwzględnieniu
skal podobieństwa modelowego - w obiektach rzeczywistych. Elastooptyka umożliwia
również badania konstrukcji rzeczywistych (za pomocą techniki elastooptycznej
warstwy powierzchniowej lub tensometrów elastooptycznych), modelowanie zagadnień
plastyczności, termosprężystości, a nawet przepływu cieczy. Poniżej przedstawiono
podstawy elastooptyki dwu- i trójwymiarowej oraz techniki elastooptycznej warstwy
powierzchniowej.
2. PODSTAWY ELASTOOPTYKI
Istotą elastooptyki jest wykorzystywanie światła, jako nośnika informacji, oraz
związku między właściwościami optycznymi niektórych materiałów, a polem
odkształceń (naprężeń). W celu opisu podstawowych zjawisk towarzyszących
pomiarom elastooptycznym wykorzystywany jest model falowy światła, który opisują
równania Maxwella. Wiążą one pole elektryczne i magnetyczne z właściwościami
ośrodka, przez który biegnie światło. Zakładając propagację fali elektromagnetycznej
w izotropowym dielektryku równania Maxwella można przedstawić w postaci:
- równania falowego składowej elektrycznej
2E - μμ0 εε0 Ë = 0 (1.1)
- równania falowego składowej magnetycznej
2H - εε0 μμ0 H = 0 (1.2)
gdzie: 2 - operator Laplace'a, μ (μ0) - względna przenikalność magnetyczna
ośrodka (próżni), ε(ε0) - względna przenikalność elektryczna
ośrodka (próżni).
Z analizy tych równań (np. dla składowej elektrycznej) wynika, że fale
elektromagnetyczne są poprzeczne, płaskie, a wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i
drgają w zgodnej fazie.
y
kierunek propagacji fali świetlnej
płaszczyzna polaryzacji H
E x
z płaszczyzna drgań wektora E
Rys. 1. Składowe fali elektromagnetycznej
To sprzężenie obu wektorów umożliwia analizowanie, np. tylko wektora E (składowej
elektrycznej), co jest zasadne m.in. dlatego, że odbierane przez zmysł wzroku natężenie
światła jest wprost proporcjonalne do kwadratu rzeczywistej amplitudy natężenia pola
elektrycznego. W postaci zespolonej składowe wektora E mają postać:
Ex = E0x exp [ iω (t - z/cn)]; Ey = E0y exp [ iω (t - z/cn)] (1.3)
gdzie: cn = 1 / √ εε0 μμ0 - prędkość fazowa fali w ośrodku,
z - kierunek propagacji fali (współrzędna czoła fali),
t - czas, ω - częstość kołowa,
E0 = m exp [-iφ0] - amplituda zespolona wektora E (φ0 - faza
początkowa, m - rzeczywista amplituda wektora E).
Natężenie światła można wyrazić jako:
I = E Ē = m2 (1.4)
gdzie: Ē - oznacza sprzężenie funkcji zespolonej E.
Z analizy wzorów (1.3), po wyeliminowaniu fazy początkowej, i wprowadzeniu
przesunięcia fazowego zdefiniowanego jako różnica faz obu składowych (φ = φx - φy)
wynika, że w ogólnym przypadku dla constz jest spełnione równanie:
[Ex / mx]2 - 2∙Ex∙Ey∙cos φ / mx∙my + [Ey / my]
2 = sin
2φ (1.5)
Tak więc, koniec wektora E propagującego wzdłuż współrzędnej z , zatacza w
przestrzeni krzywą spiralną (helisę), której "przekrój" płaszczyzną constz jest elipsą.
Ten stan fali świetlnej jest określany mianem polaryzacji eliptycznej.
Obok polaryzacji światła, w elastooptyce wykorzystywana jest anizotropia
optyczna. W ogólnym przypadku, w ośrodku anizotropowym można zidentyfikować
różne związki między poszczególnymi wielkościami fizycznymi charakteryzującymi
jego właściwości, co pokazano na poniższym schemacie.
efekt elektrooptyczny efekt magnetooptyczny
efekt piezooptyczny
sprężystość
efekt elastooptyczny przenikalność
elektryczna
efekt piezoelektryczny prosty
efekt piezoelektryczny odwrotny
Rys. 2. Wybrane właściwości ośrodka anizotropowego
współczynnik załamania
światła
natężenie pola
magnetycznego
naprężenie
odkształcenie
natężenie pola
elektrycznego
indukcja
elektryczna
W odróżnieniu od ośrodków charakteryzujących się naturalną anizotropią
właściwości, istnieją ośrodki izotropowe, które zmieniają swoje właściwości na
anizotropowe pod wpływem np. pola elektrycznego lub pola naprężeń. Rozpatrzmy to
zjawisko zwane dwójłomnością wymuszoną, w przypadku ośrodka liniowo
dwójłomnego, który najczęściej jest spotykany w elastooptyce. Fala świetlna wchodząc
do takiego ośrodka, np. w postaci płasko-równoległej płytki, ulega podzieleniu na dwie
fale spolaryzowane liniowo. Ich płaszczyzny drgań, prostopadłe względem siebie, są
ściśle zorientowane względem ośrodka. Podział fali wchodzącej ma charakter
wektorowy, a powstałe fale: szybsza (nadzwyczajna) i wolniejsza (zwyczajna), nie są
składowymi fali wypadkowej propagującej w ośrodku, lecz jego falami własnymi.
Wychodząc z ośrodka fale te, zgodnie z zasadą superpozycji, tworzą falę o innym (w
ogólnym przypadku) stanie polaryzacji niż fala wchodząca. Występujące przesunięcie
faz fal własnych wywołane różnicą dróg optycznych wskazuje, że w ośrodku liniowo
dwójłomnym na kierunku propagacji obu fal występują dwie różne wartości
współczynnika załamania 1n i 2n (odpowiednio dla fali szybszej i wolniejszej). Różnica
dróg optycznych wynosi:
21 nnt (1.6)
a różnica 21 nn jest miarą dwójłomności. Różnicy dróg odpowiada względne
przesunięcie faz obu fal:
/2 (1.7)
Pożądany stan polaryzacji światła, umożliwiający śledzenie efektu
dwójłomności, uzyskuje się w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy
optyczne umożliwiające uzyskanie światła o określonej polaryzacji oraz analizę zmian
wywołanych anizotropią optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat polaryskopu z
transmisyjną wiązką światła pokazano na rys. 3.
zespół polaryzatora zespół analizatora
1
2 3 4 5 4 3 Rys. 3. Schemat polaryskopu transmisyjnego: 1 - źródło światła, 2 - układ optyczny formujący
wiązkę światła, 3 - filtr polaryzacyjny, 4 - płytka fazowa, 5 - płytka dwójłomna.
Rys. 3a. Widok polaryskopu transmisyjnego
Przestrzeń pomiarowa polaryskopu pokazanego na schemacie znajduje się między
zespołami polaryzator (filtr polaryzacyjny, najczęściej foliowy) - płytka fazowa (tzw.
ćwierćfalówka). Często noszą one nazwy: polaryzator (3 - 4) i analizator (4 - 3), przy
czym konstrukcja polaryskopu umożliwia sprzężony obrót tych zespołów, zmianę ich
wzajemnego ustawienia, a także zmianę położenia ćwierćfalówek względem "swoich"
filtrów. Filtr polaryzacyjny (liniowy) charakteryzuje się wyróżnionym kierunkiem
przepuszczania światła, przy czym stosunek natężenia światła przepuszczanego w
kierunku doń prostopadłym do natężenia światła przechodzącego równolegle, jest rzędu
1: 200, a nawet osiąga 1: 300 000.Obecnie najczęściej są stosowane filtry foliowe na
bazie poli(alkoholu) winylowego. Warto podkreślić, że wektor E fali padającej na filtr
ma dwie składowe: prostopadłą do kierunku łańcuchów cząsteczek polialkoholu E┴,
i równoległą E║. Składowa E┴ jest przepuszczana z niewielkimi stratami, natomiast
składowa E║ jest wygaszana.
Zadaniem płytki fazowej współpracującej z filtrem polaryzacyjnym jest
uzyskanie możliwości zmiany stanu polaryzacji z liniowej na kołową (i odwrotnie). W
polaryskopach elastooptycznych stosuje się płytki fazowe zwane ćwierćfalówkami,
których cechą charakterystyczną jest to, że światło propaguje w nich z dwoma różnymi
prędkościami, a więc są one dwójłomne. Tym samym wektory elektryczne tych dwóch
fal własnych są do siebie prostopadłe, a płaszczyzny w których one leżą, wyznaczają
tzw. oś szybką i wolną. Przesunięcie fazowe jest w tych płytkach ściśle określone, i
wynosi 4/ (dla danej długości fali światła). W przypadku gdy oś szybka
ćwierćfalówki jest równoległa do kierunku przepuszczania filtra polaryzacynego, stan
polaryzacji nie ulega zmianie - światło jest nadal spolaryzowane liniowo. Gdy oś
szybka tworzy kąt 4/ z kierunkiem wektora elektrycznego fali opuszczającej filtr,
stan polaryzacji zmienia się i uzyskujemy światło spolaryzowane kołowo. Należy
podkreślić, że usytuowanie osi szybkiej ćwierćfalówki pod innym kątem niż 4/
generuje polaryzację eliptyczną.
Z punktu widzenia realizacji pomiarów, stan polaryzacji światła wychodzącego
z polaryskopu jest w elastooptyce analizowany przede wszystkim amplitudowo, tzn.
istotne są informacje o natężeniu światła za analizatorem. W polaryskopie liniowym, ze
skrzyżowanymi osiami filtrów polaryzacyjnych (czyli w polaryskopie "z ciemnym
polem widzenia" najczęściej stosowanym w pomiarach elastooptycznych), natężenie
światła jest opisane równaniem:
/sin2sin2/sin2sin 22max
22max III (1.8)
gdzie: - kierunek wektora własnego fali szybszej w ośrodku dwójłomnym,
maxI - maksymalne natężenie światła obserwowane dla
12/sin2sin 22 .
W przypadku polaryskopu kołowego (skrzyżowane filtry polaryzacyjne, osie
szybsze ćwierćfalówek ustawione pod kątem 4/ względem kierunku przepuszczania
światła przez filtr, i pod kątem 2/ względem siebie) rozkład natężenia światła jest
opisany równaniem:
/sin2/sin 2max
2max III (1.9)
Z analizy wzorów: (1.8) i (1.9) wynika, że zmiany natężenia światła za
analizatorem są modulowane przez argumenty funkcji sinus, przy czym 0I uzyskuje
się dla:
0 lub 2/ , tj. wówczas, gdy kierunek jednego z wektorów własnych
ośrodka dwójłomnego pokrywa się z kierunkiem przepuszczania filtra polaryzatora,
a drugi - z kierunkiem przepuszczania analizatora,
N/2/ (N = 1, 2, 3, ...), tj. wówczas, gdy różnica dróg
optycznych fal własnych ośrodka dwójłomnego , jest wielokrotnością długości fali
światła ( N ), przy czym N jest nazywane rzędem prążka.
Zmiany natężenia światła za analizatorem są widoczne w postaci linii (prążków),
dla których spełnione są warunki:
const ( const) (1.10); const (1.11)
Porównując warunki (1.10) i (1.11) ze wzorami (1.8) i (1.9) łatwo zauważyć, że w
polaryskopie liniowym obserwowane są dwie rodziny linii charakteryzujące zmiany
dwójłomności w płytce, natomiast w polaryskopie kołowym - tylko jedna. Linie
(prążki) spełniające warunek (1.10) są nazywane izochromami, a spełniające warunek
(1.11) - izoklinami. Dalsza analiza powyższych zależności prowadzi do następujących
wniosków:
- sąsiadujące ze sobą izochromy mogą mieć rzędy jednakowe lub różniące się o
jeden (czyli różnica dróg optycznych wynosi 0 lub ),
- prążki izochrom i izoklin są od siebie niezależne i mogą "przecinać się" w obrazie
obserwowanym za analizatorem,
- w świetle monochromatycznym wygaszenie światła związane z warunkiem (1.10)
następuje dla długości fali propagującej przez ośrodek dwójłomny, a więc
obserwowane są czarne prążki izochrom na tle obszarów o barwie odpowiadającej
danej długości fali światła; w przypadku światła polichromatycznego (najczęściej
białego) wygaszenie następuje dla wielu długości fal z zakresu widzialnego, gdy
spełniony jest warunek Ni/ , tak więc prążki izochrom obserwowane są jako
pasma barwne, którym odpowiada określona różnica dróg optycznych; wyjątkiem
jest izochroma 0N , obserwowana w postaci czarnego prążka,
- ponieważ człon 2sin2 równania (1.8) nie zależy od , izokliny obserwowane w
świetle monochromatycznym i białym są zawsze prążkami czarnymi.
- przykładowy obraz izochrom całkowitych, w płaskim modelu rozciąganego pasma
z otworem, pokazano na rys. 4.
Rys. 4. Izochromy całkowite w modelu pasma z otworem
osiowo rozciąganego
Często w pomiarach elastooptycznych jest wykorzystywany stan polaryzacji
kołowej, w którym kierunki przepuszczania światła przez filtry polaryzacyjne są do
siebie równoległe. Wówczas rozkład natężenia światła opisuje funkcja:
/cos2/cos 2max
2max III (1.12)
a wygaszenie światła następuje dla 12N . Obserwowana rodzina izochrom
ma rzędy ...5.2,5.1,5.0N , i jest nazywana rodziną izochrom połówkowych. W
praktyce pomiarowej występuje również potrzeba określania N i w ściśle
określonych punktach, w których z reguły rząd izochromy jest różny od rzędu
całkowitego lub połówkowego. W takim przypadku stosowane są tzw. kompensatory
goniometryczne (azymutalne) lub bezpośrednie. W pierwszym przypadku, kompensacja
rzędu izochromy (czyli pomiar różnicy dróg optycznych lub częściej opóźnienia
względnego faz) dokonywana jest za pomocą elementu układu optycznego polaryskopu
obracanego wokół osi optycznej tego układu. W drugim, używane są specjalne
przyrządy, w których generowany jest dodatkowy efekt dwójłomności (równy co do
wartości, lecz o przeciwnym "znaku"), który po dodaniu do iii yxN , zeruje różnicę
dróg optycznych. Znana wartość opóźnienia wygenerowana w kompensatorze
odpowiada poszukiwanej wartości rzędu izochromy w danym punkcie. W elastooptyce
najczęściej stosowane są goniometryczne kompensatory Senarmonte'a i Tardy'ego oraz
kompensatory bezpośrednie Soleila i Babineta.
Pomiar parametru izokliny iii yx , jest mniej kłopotliwy, gdyż ustalenie jego
wartości w dowolnym punkcie badanego obszaru polega na śledzeniu stopnia
wygaszenia światła w tym punkcie podczas obrotu płaszczyzny polaryzacji w
polaryskopie liniowym. Pozorny ruch prążków izoklin pozwala odróżnić tę rodzinę linii
od izochrom, które nie zmieniają swojego położenia.
3. ZWIĄZKI MIĘDZY DWÓJŁOMNOŚCIĄ A STANEM NAPRĘŻEŃ I
ODKSZTAŁCEŃ
Zależność efektu dwójłomności wymuszonej (opisanego po raz pierwszy w 1816
roku przez Brewstera) od pola odkształceń, została podana przez F.E. Neumanna w
1841r., w postaci wiążącej składowe główne pola odkształceń ze składowymi głównymi
przenikalności dielektrycznej ośrodka:
322111 ; 132212 ; (1.13)
212313
gdzie: - przenikalność dielektryczna ośrodka nie odkształconego,
3,2,1ii - przenikalność dielektryczna na kierunkach głównych,
21, - stałe materiałowe ośrodka.
W roku 1858 J.C.Maxwell podał równania (1.13) w funkcji naprężeń:
322111 cc ; 132212 cc
212313 cc (1.14)
W elastooptyce, najczęściej przytaczane są równania (1.14) w postaci:
)( 3221101 ccnn ; 1322102 ccnn
2123103 ccnn (1.15)
gdzie: 0n - współczynnik załamania światła ośrodka w stanie bez naprężeń,
3,2,1ini - współczynniki załamania światła na kierunkach
głównych,
21,cc - stałe materiałowe (naprężeniowo-optyczne),
3,2,1ii - składowe główne stanu naprężenia w danym punkcie
ośrodka.
Ponieważ w elastooptyce, jako miara dwójłomności najczęściej używane jest względne
przesunięcie faz , będące funkcją różnicy współczynników załamania światła, to
powyższe równania mogą być zapisane w postaci:
2112 cnn ; 3223 cnn ; 1331 cnn (1.16)
przy czym z założenia 321 wynika, że 321 nnn i stała c jest dodatnia.
W płytce (o grubości t ) z materiału wykazującego dwójłomność wymuszoną,
prześwietlanej na wskroś (prostopadle) światłem spolaryzowanym, opóźnienie
względne między falami własnymi propagującymi w płaszczyznach wyznaczonych
przez kierunki główne, wynosi:
2112
2 tc; 3223
2 tc; 1331
2 tc (1.17)
gdzie: ,..12 - opóźnienie względne faz w przypadku propagacji światła w kierunku 3, ...
Z powyższych zależności wynika, że prześwietlając ośrodek np. w kierunku 3,
naprężenie 3 nie ma wpływu na wartość opóźnienia względnego, które jednak liniowo
zależy od długości drogi optycznej światła w ośrodku.
3. ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA NA PODSTAWIE
DANYCH ELASTOOPTYCZNYCH
Rozpatrując układ równań (1.17) dla przypadku płaskiego stanu naprężenia
( 03 ) i prześwietlania płaskiej płytki o grubości t , po wprowadzeniu 2/N
oraz stałej:
cf (1.18)
zwanej naprężeniową wartością rzędu izochromy, pierwsze równanie układu (1.17)
przybiera postać:
fNt
fN21 (1.19)
Stała tff / odnosi się do płytki o określonej grubości, i jest nazywana modelową
wartością rzędu izochromy. Obydwie stałe są wyznaczane najczęściej na drodze
pomiarów wzorcujących, np. na beleczce w próbie zginania czteropunktowego lub
tarczy kołowej ściskanej wzdłuż jej średnicy (rys. 5).
a) a NA NB b)
Rys. 5. Schematy obciążenia próbek do wyznaczania stałej f :
a) zginanie czteropunktowe, b) ściskanie kołowej tarczy.
F
F F Nc
D
F
D l
h
Wartość stałej f oblicza się na podstawie pomiaru wartości rzędu izochromy,
zmierzonego w punktach pokazanych na powyższych schematach, dla zadanych
warunków obciążenia i geometrii próbek. Dla przypadku pokazanego na rys. 4a, stałą
f określa wzór:
,6
2hN
aFf
śr
2
BAśr
NNN (1.20)
natomiast dla przypadku pokazanego na rys. 4b:
cND
Ff
8 (1.21)
Na podstawie prawa Hooke'a dla płaskiego stanu naprężenia, z którego wynika,
że w zakresie odkształceń liniowo-sprężystych jest:
2121
1
E (1.22)
równanie (1.19) przybiera postać:
t
fN
t
fN
E
121 (1.23)
Bezpośrednio z danych elastooptycznych można wyznaczyć także wartość naprężenia
stycznego oraz różnicę naprężeń normalnych:
2sin2 t
fNxy (1.24)
2cost
fNyx (1.25)
Jednak w ogólnym przypadku wyznaczenie wartości poszczególnych składowych stanu
naprężenia (tzw. rozdzielenie składowych stanu naprężenia) stwarza pewne trudności.
Korzystając ze wzoru (1.19) można jednak niekiedy bezpośrednio określić składowe
stanu naprężenia. I tak, np. na nieobciążonej krawędzi płaskiego modelu obiektu
rzeczywistego, jedno z naprężeń głównych jest równe zeru )0( 2 , stąd drugie
(działające stycznie do tej krawędzi) wynosi:
t
fN1 (1.26)
Jeśli na krawędź modelu działa znane co do wartości ciśnienie p , to wówczas składowa
1 jest dana wzorem:
pt
fN1 (1.27)
W przypadku krzywoliniowego brzegu, opisanego funkcją xfy , wartość
naprężenia stycznego b działającego w punkcie A tego brzegu może być wyznaczona
ze wzoru:
AA
AA
bt
fN2sin
22sin
2
)( 21 ; dx
dfarctg (1.28)
Wewnątrz badanego obszaru wyznaczenie składowych stanu naprężenia wymaga
zastosowania metod obliczeniowych (najczęściej numerycznych) lub pomiarów
uzupełniających, z reguły innymi metodami. Jedną z najbardziej popularnych metod
rozdzielania składowych stanu naprężenia na podstawie danych elastooptycznych, jest
metoda różnic naprężeń stycznych, która wykorzystuje równania równowagi dla
płaskiego stanu naprężenia:
0yx
yxx ; 0xy
xyy
Całkując, np. pierwsze równanie tego układu dla składowej x , otrzymuje się wzór:
dxy
yx
xx 0 (1.29)
Po wprowadzeniu różnic skończonych równanie to można przedstawić w postaci:
xy
i
i
iyx
xix1
0
)( (1.30)
y
xi
A B y
O x
C D
x
Rys. 6. Schemat siatki do obliczania różnic skończonych
W równaniu (1.30) różnica iyx wynosi:
CD
iyx
AB
iyxiyx (1.31)
natomiast 0x jest wartością składowej x w punkcie początkowym przekroju Ox (na
nieobciążonej krawędzi modelu 0x ). Wartości yx należy obliczyć na podstawie
znanych, w węzłach siatki pokazanej na rys. 5, wartości N i :
ii
iyxt
fN2sin
2 (1.32)
Z reguły przyjmuje się, że yx , a przekroje AB i CD przebiegają w odległości:
2/y . Wówczas 1/ yx , i wartość składowej x określa wzór:
i
iiyxxix
10
(1.33)
Drugą składową normalną można obliczyć ze wzoru:
iiixiyt
fN 2cos (1.34)
a następnie wyznaczyć naprężenia główne:
t
fNyx
22/2,1 (1.35)
Zaletą tej metody rozdzielania składowych stanu naprężenia jest możliwość jej
stosowania do obliczeń w zadanym przekroju analizowanego obszaru, a obranie
określonej geometrii siatki umożliwia wyznaczenie wartości N oraz na drodze
kompensacji, od razu w jej węzłach, z dużą dokładnością (ok. 01.0N rzędu prążka i
1-2o). Do rozdzielenia składowych stanu naprężenia można również
wykorzystać równanie Laplace'a o postaci:
02yx (1.36)
którego rozwiązanie numeryczne, bazujące na różnicach skończonych, sprowadza się
do układu n równań z n niewiadomymi dla węzłów siatki ortogonalnej. Dla
poszczególnych węzłów wewnątrz analizowanego obszaru, równanie (1.36) ma postać:
022
2
1,,1,
2
,1,,1
yx
kiyxkiyxkiyxkiyxkiyxkiyx
(1.37)
Jego rozwiązanie, np. metodą iteracyjną, wymaga wyznaczenia wartości składowych
normalnych na konturze analizowanego obszaru.
Przykładem metody rozdzielania składowych stanu naprężenia wykorzystującej
pomiary uzupełniające jest metoda pomiaru poprzecznego odkształcenia płaskiego
modelu elastooptycznego, wykorzystująca związek:
21E
z (1.38)
Wraz z równaniem (1.19), powyższy związek umożliwia rozwiązanie dla
analizowanego punktu badanego obszaru układu dwóch równań z dwoma
niewiadomymi. Obecnie pomiar z jest przeprowadzany najczęściej
interferometrycznie.
Przydatną informacją o badanym polu naprężeń jest również przebieg trajektorii
(izostat) naprężeń głównych, który można wyznaczyć na podstawie obrazów izoklin
zarejestrowanych dla określonych położeń płaszczyzny polaryzacji światła w
polaryskopie liniowym. Najprostsza, wykreślna technika określania przebiegu
trajektorii polega na obraniu na izoklinie o parametrze 1 punktu, z którego kreśli się
prostą pod kątem 2/21 do przecięcia z izokliną 2 . Przez tak wyznaczony punkt
na izoklinie 2 kreśli się prostą pod kątem 2/32 do przecięcia z izokliną 3 , itd.
Wyznaczona w ten sposób linia łamana przybliża wystarczająco trajektorię 1s jednego z
naprężeń głównych. Kreśląc w ten sam sposób linię łamaną prostopadłą do 1s uzyskuje
się trajektorię 2s drugiego naprężenia głównego.
Pewne problemy w wyznaczaniu trajektorii mogą stwarzać rejony punktów
osobliwych (np. punkt Bielajewa), ze względu na brak wyróżnionych kierunków
głównych. Punkty te można łatwo zidentyfikować śledząc zmianę położenia (ruch
pozorny) izoklin podczas obrotu płaszczyzny polaryzacji światła. W punktach, w
których izokliny o różnych parametrach przecinają się, występuje izotropia kierunków
głównych, generująca charakterystyczne przebiegi trajektorii w ich pobliżu ("pętle" lub
"trójkąty"). Trudność może również nastręczać identyfikacja trajektorii większego
naprężenia głównego 1 . Jednak rozpoczynając kreślenie od nieobciążonego brzegu
badanego modelu można skorzystać z faktu, że na brzegu jest spełniony warunek
0,0 21 , a kierunek 1s naprężenia 1 jest styczny do krawędzi modelu w danym
punkcie.
Identyfikacja znaku naprężenia na nieobciążonej krawędzi badanego modelu może
być przeprowadzona tzw. "metodą igły", która polega na lokalnej zmianie stanu
naprężenia w wybranym punkcie krawędzi i obserwacji zmian w obrazie izochrom w
tym rejonie. W praktyce, stosuje się punktowy nacisk na krawędź (np. za pomocą
wkrętaka). Jeśli w tym rejonie naprężenie styczne do krawędzi ma znak dodatni
(rozciąganie), to przebiegające w bezpośrednim sąsiedztwie izochromy będą oddalały
się lokalnie od punktu przyłożenia obciążenia. Przeciwne zjawisko, tj. zbliżanie się
izochrom do krawędzi w rejonie nacisku, będzie występowało wówczas, gdy na
krawędzi działa naprężenie o znaku ujemnym (ściskające).
5. MATERIAŁY STOSOWANE W ELASTOOPTYCE DWUWYMIAROWEJ
Materiały stosowane w elastooptyce, poza oczywistym wykazywaniem efektu
dwójłomności wymuszonej, powinny spełniać wiele różnych wymogów, często
szczegółowych, ze względu na modelowanie różnych obiektów rzeczywistych. Jednak
kilka cech i właściwości powinno bezwzględnie charakteryzować takie materiały.
Należą do nich: przezroczystość (a ściślej, transmisyjność umożliwiająca obserwację
izoklin i izochrom), duża czułość objawiająca się niską wartością f , liniowość
zależności oraz N21 w badanym zakresie odkształceń modelu, niski
efekt pełzania mechanicznego i optycznego, odpowiedni (dla danego zadania) moduł
sprężystości podłużnej , niski efekt brzegowy (tj. pojawianie się prążków izochrom w
okolicach brzegu nieobciążonego modelu wraz z czasem), a także dobra obrabialność w
przypadku stosowania obróbki mechanicznej do wykonania modelu (alternatywą jest
technika odlewania "na gotowo"). W celu porównania podstawowych właściwości
różnych materiałów stosowanych w elastooptyce, stosuje się charakterystyki ilościowe.
Jedną z nich jest współczynnik jakości:
f
EQ (1.39)
natomiast drugą - współczynnik czułości: f
Sprop.
(1.40)
W tabeli 1.1 podano orientacyjne wartości niektórych wielkości charakteryzujących
materiały elastooptyczne stosowane w elastooptyce dwuwymiarowej.
Najczęściej stosowanym materiałem w elastooptyce są kompozycje żywic
epoksydowych sieciowanych (utwardzanych) w temperaturze pokojowej lub
temperaturach podwyższonych (tzw. utwardzanie na gorąco). W przypadku elastooptyki
dwuwymiarowej, posługującej się płaskimi modelami obiektów rzeczywistych,
najczęściej stosowane są kompozycje utwardzane w temperaturze pokojowej, a modele
są wykonywane na drodze obróbki mechanicznej odlanej uprzednio płyty o żądanej
grubości.
Tabela 1. Orientacyjne wartości wybranych wielkości charakteryzujących
materiały na modele elastooptyczne
Materiał
E [MN/m
2]
[-]
prop
[MN/m2]
f
[MN/m∙rz.iz.]
310Q
[1/m]
szkło
żywice epoksydowe
Araldit D
Epidian 5
żywice allylowe
żywice poliestrowe
polimetakrylan metylu
poliwęglan
elastomer uretanowy
żelatyna
68 300
3 600
3 200
1 960
4 000
3 400
2 500
3
0.02
0.22
0.36
0.36
-
0.36
0.36
0.38
0.46
-
29.4
20.6
20.0
20.6
-
19.6
34.5
0.14
-
0.2 - 0.3
0.013
0.0125
0.015
0.025
0.260
0.0073
0.00018
0.0029
233 - 350
250 - 300
230 - 270
~ 130
~ 155
~ 13
~ 350
0.017
0.007
Uwagi: prop - granica proporcjonalności; żelatyna jest materiałem używanym niekiedy do modelowania
ciężaru własnego konstrukcji, natomiast szkło jest historycznie pierwszym materiałem użytym do
budowy modelu elastooptycznego mostu.
Należy zaznaczyć, że zjawisko dwójłomności wymuszonej w tworzywach
polimerowych jest związane z odkształceniami sieci łańcuchów polimeru powstałej w
trakcie procesu polimeryzacji. Dobór odpowiedniego materiału umożliwia
modelowanie różnych obiektów i zjawisk. Przykładowo, zastosowanie elastomerów
uretanowych daje możliwość modelowania obiektów o dużej odkształcalności, np.
opony samochodowej (rys. 7), a odpowiednia modyfikacja kompozycji epoksydowych
umożliwia modelowanie ośrodków uwarstwionych.
Rys. 7. Model przekroju poprzecznego opony - obraz izochrom całkowitych
(obciążenie siłą pionową - widoczne intensywne zginanie boków opony).
6. PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA ELASTOOPTYKI DWUWYMIAROWEJ
Wyznaczanie współczynnika kształtu karbu
Jednym z podstawowych obszarów zastosowania elastooptyki jest analiza
koncentracji naprężeń, a w tym wyznaczanie współczynnika kształtu karbu. Zgodnie z
elementarną definicją, współczynnik k jest definiowany jako:
nomk max (1.41)
gdzie: max- maksymalna wartość naprężenia w karbie,
nom- nominalna (obliczeniowa) wartość naprężenia (najczęściej w elemencie
bez karbu lub w ustalonym przekroju/punkcie odniesienia).
Jeśli krawędzie karbu są nieobciążone, obserwowany w modelu elastooptycznym
rozkład izochrom odpowiada rozkładowi naprężenia stycznego do tej krawędzi, co
wynika bezpośrednio z równania (1.26). Tak więc, współczynnik kształtu karbu można
wyrazić jako stosunek:
nomk NNmax (1.42)
W praktyce, równanie (1.42) zawiera zmienną wyznaczaną bezpośrednio z pomiaru
( maxN ), natomiast druga może być wyznaczona doświadczalnie (np. na modelu przed
wykonaniem karbu) lub obliczona na postawie znanej wartości nom i f .
nomN
maxN F
Rys. 8 Wyznaczanie współczynnika kształtu karbu k na podstawie
wartości rzędów izochromy: u góry pokazano widok izochrom całkowitych
Zastosowanie elastooptyki dwuwymiarowej w mechanice pękania (pomiar IK )
Stan naprężenia wokół wierzchołka szczeliny, w płaskim stanie naprężenia, jest
charakteryzowany za pomocą współczynnika intensywności naprężeń. Elastooptyka
dwuwymiarowa umożliwia wyznaczenie tych współczynników dla przypadku
rozwarcia szczeliny (moda I) i ścinania (moda II), na podstawie danych
elastooptycznych, tj. N i . Na rys. 9 pokazano charakterystyczny obraz izochrom
wokół wierzchołków szczeliny centralnej w paśmie rozciąganym w kierunku
prostopadłym do brzegów szczeliny.
Rys. 9. Obraz izochrom wokół wierzchołka szczeliny centralnej
Rys. 10. Obraz izochrom całkowitych wokół wierzchołka szczeliny – moda I
Składowe stanu naprężenia (w prostokątnym układzie współrzędnych) są
określone wzorami:
xI
xr
K0
2
3sin
2sin1
2cos
2
2
3sin
2sin1
2cos
2 r
KIy (1.43)
2
3cos
2cos
2sin
2 r
KIxy
gdzie: xyx0 - naprężenie w obszarze nie zaburzonym przez szczelinę.
Wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi:
2
002
2222
2
3sinsin
2
2sin
22 xI
xIxyyxm K
rr
K (1.44)
Jeśli przyjąć, że punkt pętli izochromy, w którym 0m , ma współrzędne m i
mr , to IK i x0 można wyrazić za pomocą wielkości określonych na podstawie obrazu
izochrom:
m
m
m
mm
I
rK
tg3
23tg21
tg3
21
1
sin
22
2 (1.45)
2
2
0
sin2
3cos23cos
cos2
mmm
mmx (1.46)
przy czym:
tfNm 2
y ∂τm/ ∂Θ = 0
rm
x
N
Rys. 11. Schemat analizy obrazu izochrom w wierzchołku
szczeliny (metoda Irwin'a).
Metoda wyznaczania IK przedstawiona powyżej (opracowana przez G.R.Irwin'a) jest
czuła na błędy wyznaczania wielkości mierzonych, tj. mN, i mr . Przyjmuje się, że dla
szczeliny centralnej o długości 2a, w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do
szczeliny, kąt m powinien zawierać się w przedziale oo 139,73 . Wówczas wartość
współczynnika intensywności naprężeń jest oszacowana z błędem nie większym niż
5%. Aby poprawić dokładność (błąd rzędu 2%), wprowadza się modyfikacje,
polegające na uwzględnieniu informacji zawartych w więcej niż jednej pętli izochromy.
I tak, wykorzystując dwie pętle izochrom o rzędach 12 NN , współczynnik IK może
być wyrażony za pomocą wzoru:
argK mI ,,2 (1.47)
w którym funkcja arg ,, jest obliczana dla obu izochrom, i ma postać:
arararg 22 223sinsin22sin,, (1.48)
Współczynnik Ix Ka0 przyjmuje się zwyczajowo równy jedności, a po
przekształceniach zależność (1.47) można przedstawić w postaci:
2112
12212
rgrgt
NNrrfKI (1.49)
Inna modyfikacja polega na pomiarze odległości od wierzchołka szczeliny punktów
przecięcia dwóch pętli izochrom iN oraz jN z osią y układu współrzędnych, tj. dla
zadanego kąta o90 . Wówczas współczynnik intensywności naprężeń może być
obliczony ze wzoru:
ji
jmim
iIrr
rK1
222 (1.50)
Wyznaczenie IK umożliwia obliczenie innego parametru stosowanego w mechanice
pękania, którym jest współczynnik uwalniania energii sprężystej iG . Nazywany
również pracą rozwarcia szczeliny, współczynnik ten jest związany ze
współczynnikiem intensywności naprężeń wzorem (dla jednostkowej grubości pasma):
E
K
a
UG I
I
2
(1.51)
w którym a jest połową długości szczeliny, a U - energią potencjalną niezbędną do
powstania szczeliny. Zmiany tej energii, po osiągnięciu pewnej wartości krytycznej,
powodują propagację szczeliny, a odpowiadające stanowi krytycznemu współczynniki
IK i IG są oznaczane odpowiednio: IcK i IcG (wartości krytyczne). Współczynnik
IcK nazywany odpornością materiału na pękanie, jest rzeczywistą charakterystyką
materiału, określającą jego zachowanie w aspekcie zniszczenia.
Szersze omówienie możliwości zastosowania elastooptyki w badaniach
mechanizmów pękania wykracza poza ramy niniejszego opracowania. Warto jednak
zaznaczyć, że techniki pomiarów wykorzystujące elastooptykę umożliwiają
wyznaczanie parametrów pękania dla innych postaci zniszczenia (mody szczeliny), w
przypadku mieszanej postaci obciążenia szczeliny (rozwarcie ze ścinaniem), a także w
analizie pękania ciał trójwymiarowych.
LITERATURA
[1] Ratajczyk F., Dwójłomność i polaryzacja optyczna, Oficyna Wydawnicza P.Wr.,
Wrocław, 2000.
[2] Dally J.W., Riley W.F., Experimental stress analysis (3rd
ed.), McGraw-Hill, Inc.,
1991.
[3] Aleksandrov A.J., Achmetzianov M.N., Polarizacionno-optičeskie metody
mechaniki deformirujemogo tieła, Izd. Nauka, 1973.
[4] Hesin G.L.(red), Metod fotouprugosti, Strojizdat, Moskva, 1975.
[5] Orłoś Z., Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń, PWN, Warszawa, 1977.
[6] Szczepiński W.(red.), Metody doświadczalne mechaniki ciała stałego, PWN,
Warszawa, 1984.
[7] Będziński R., Gomoliński P., Jankowski L., Szlagowski J., Analiza doświadczalna
metodami optycznymi elementów konstrukcji kształtowanych według kryterium
mośności granicznej,Wyd. MET, Warszawa. 1996.
top related