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ELEMENTOS FINITOS
Nestor Abel Sanchez Goycochea
24 de mayo de 2015
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Indice general
1. Introduccion 11.1. Un problema uni-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodo debil (Distribucional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Vuelta al problema unidimensional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Espacios de Sobolev de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional . . . . . . . . . . . . 7
2. Teoremas de Lax-Milgram 92.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Teorema de Lax Milgram generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejemplo unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Metodo de Galerkin 153.1. Existencia y unicidad de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. TLM Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. TLM generalizado (discreto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Calculo de la solucion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Estimacion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5. Caso particular de a simetrica yHelptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Parte) . . . . . . . . . . 233.7. Propiedad de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Formulacion Mixta 274.1. Un Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Vuelta al problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Formulacion mixta del problema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida) . . . . . . . . . . . . . 324.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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Captulo 1Introduccion
Fecha: 24 de marzo del 2015
1.1. Un problema uni-dimensional
(P ) =
8
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1.2. Metodo debil (Distribucional)
Cn0 () := f' 2 Cn() : sop(') es compacto en gdonde
sop(') = f' 2 : '(x) 6= 0g
EJEMPLO.
1. =] 1; 1[ ' 2 C0(); sop(') = [12 ; 12 ]; ' =2 C10()
2. =]0; 1[ ' 2 C10(); '(13) = '(23) = 0; '0(13) = '0(23) = 0
Este tipo de funciones se pueden construir por intermedio del interpolante de Hermi-te (unico polinomio de grado 3 tal que '(1
3) = '(2
3) = 0; '0(1
3) = '0(2
3) = 0). En
general no es simple encontrar funciones en Cn0 ()). Una posibilidad es buscar polino-mios de grado conveniente que satisfagan las condiciones requeridas.
Definamos ademas el conjunto:
C10 () := f' 2 C1() : sop(') es compacto en g
' son llamadas funciones test.
EJEMPLO. La funcion
: R ! Rt 7! (t) =
e
1t ; t > 0
0; t 0
2 C1(R) ya que (n)(0) = 0;8 n 2 N.
Ahora dado x0 2 Rn y > 0, se define:
x0; : Rn ! Rx 7! x0;(x) =
1 jjxx0jj2
2
x0;(x) =
(e 2
2jjxx0jj2 ; si jjx x0jj < 0; si jjx x0jj
se sigue que sop( x0;) = B(x0; ). Notemos ademas que x0; = r con
r(x) = 1 jjx x0jj2
2
de donde x0; 2 C10 ();8 Rn abierto, tal que B(x0:) .
Nestor Abel Sanchez Goycochea 2
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Cap. 1: Introduccion
1.3. Vuelta al problema unidimensional:
(P )
u00 + u0 + u = f; en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0
Multiplicando por ' 2 C10 () e integrando por partes, se tiene:1Z
0
f' =
1Z0
(u00 + u0 + u)'
= 1Z
0
u00'+
1Z0
u0'+
1Z0
u'
=
1Z0
u0'0 u0'10| {z }
0
+
1Z0
u0'+
1Z0
u'
Luego se verifica Z 10
(u0'0 + u0'+ u') =Z 10
f'; 8 ' 2 C10 ()
DEFINICION 1.1. Sea R abierto. Se define el siguiente espacio vectorial.
L2() =
v : ! R
.Z
jvj2 < +1
Este espacio es Hilbert, con el producto interno:
hu; vi0; = hu; viL2() =Z
uv; 8 u; v 2 L2()
y su correspondiente norma inducida esta dada por:
jjvjj0; = jjvjjL2() = hv; vi1=20; =Z
jvj21=2
En particular , la norma y el producto interno satisfacen
jhu; vij =Z
uv
jjujj0;jjvjj0;; 8 u; v 2 L2() (Cauchy-Schwarz)DEFINICION 1.2. Dada v 2 L2(), se dice que v0 2 L2() en el sentido distribucional(debil) si existe ! 2 L2() tal que:Z
v'0 = Z
!'; 8 ' 2 C10 ()
A la funcion ! se le llama derivada distribucional o derivada debil de v.
3 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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1.3. Vuelta al problema unidimensional:
Note que si v 2 C1() Z
v'0 = Z
v0'+ v'@| {z }
0
; 8 ' 2 C10 ()
y luego Z
v'0 = Z
v0' ; 8 ' 2 C10 ()
es decir, si v 2 C1(), entonces la derivada distribucional o debil coincide con la derivadafuerte o en el sentido clasico.
EJEMPLO 1.1. =]0; 1[
v(x) =
8
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Cap. 1: Introduccion
1.4. Espacios de Sobolev de orden 1DEFINICION 1.3.
H1() = fv 2 L2() : v0 2 L2()gSobre H1() se define el siguiente producto interior
hu; vi1; :=Z
uv +
Z
u0v0; 8 u; v 2 H1()
y se demuestra que (H1(); hi1;) es un espacio de Hilbert.DEFINICION 1.4.
H10 := C10 ()
jjjj1;
donde
jjvjj1; :=0@Z
(v2) +
Z
(v0)2
1A1=2
=kvk20; + kv0k20;
1=2= hv; vi21;
Equivalentemente,
v 2 H10 ()() v 2 H1() y 9 f'jgj2N C10 () : jjv 'jjj1; j!1! 0Es posible demostrar que:
H10 () = fv 2 H1() : v(0) = v(1) = 0gOBSERVACION 1.1. Esto solo es posible en 1D
H1() C()
1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)Recordemos que a partir de (P ) llegamos a la ecuacion integral:Z
u0'0 +Z
u0'+Z
u' =
Z
f'; 8 ' 2 C10 ()
De acuerdo a la definicion deH10 () podemos plantear un nuevo metodo para resolver el PVC(Problemas de valores de contorno) (P ), el cual consiste en hallar u 2 H10 () tal que:Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv =
Z
fv 8 v 2 C10 () (P )
5 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)
Por otro lado podemos plantear el siguiente problema alternativo: Hallar u 2 H10 () tal que,Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv =
Z
fv 8 v 2 H10 () (P0)
LEMA 1.1.P () P0
Demostracion.
P0 =) P : Esto es evidente ya que C10 () H10 ()
P =) P0 : Sea u solucion de P . Dado v 2 H10 (), por densidad existef'jgj2N C10 tal que:
jj'j vjj1; j!1! 0De aqu se sigue que:Z
u0'0j +Z
u0'j +Z
u'j =
Z
f'j ; 8 'j 2 N
Luego, Z
u0v0 Z
u0'0j
=Z
u0(v0 '0j)
jju0jj0;jjv0 '0jjj0;
= jju0jj0;jj(v 'j)0jj0;
jjujj1;jjv 'jjj1; j!1! 0
De la misma forma,Z
u0v Z
u0'j
j!1! 0; yZ
uv Z
u'j
j!1! 0y suponiendo que f 2 L2()
Z
fv Z
f'j
j!1! 0lo cual concluye el teorema.
z
Nestor Abel Sanchez Goycochea 6
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Cap. 1: Introduccion
1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensio-nal
Definamos H = H10 ()
F : H ! Rv 7! F (v) = R
Fv; 8 v 2 H
ya : H H ! R
(u; v) 7! a(u; v) = R
u0v0 +R
u0v +R
uv; 8 v 2 H
Entonces el problema P0 se puede escribir como: Hallar u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H (Pv)
Notar que:
F 2 H 0, pues
jF (v)j =Z
fv
jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;
a es bilineal (Tarea) a es acotada
ja(u; v)j =Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv
Z
u0v0
+Z
u0v
+Z
uv
jju0jj0;jjv0jj0; + jju0jj0;jjvjj0; + jjujj0;jjvjj0;
Aplicando Cauchy-Schwarz en R3
ja(u; v)j
0BB@jju0jj20; + jju0jj20; + jjujj20;| {z }jjujj21;
1CCA1=20BB@jjv0jj20; + jjvjj20;| {z }
jjvjj21;
+jjvjj20;
1CCA1=2
jjujj21; + jjujj21;1=2 jjvjj21; + jjvjj21;1=2= 2jjujj1;jjvjj1;
As,ja(u; v)j M jjujj1;jjvjj1;; 8 u; v 2 H10 ();M = 2
7 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional
1. a es elptica (o fuertemente coerciva)
a(v; v) =
Z
(v0)2 +Z
v0v +Z
(v)2
= jjvjj21; +Z
v0v
jjvjj21; Z
v0v
jjvjj21; jjv0jj0;jjvjj0;
Aplicando la desigualdad 12(a2 + b2) ab para a = jjv0jj; b = jjvjj se tiene:
a(v; v) jjvjj21; 1
2
jjv0jj20; + jjvjj20;= jjvjj21;
1
2jjvjj21;
=1
2jjvjj21;
As, a(v; v) jjvjj21;; 8 v 2 H10 (); = 1=2De acuerdo a lo anterior, podemos aplicar el Teorema de Lax-Milgram para demostrar exis-tencia y unicidad del problema (PV).
Nestor Abel Sanchez Goycochea 8
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Captulo 2Teoremas de Lax-Milgram
2.1. Teorema de Lax-MilgramSea H un espacio de Hilbert y a(; ) una forma bilineal, acotada (con constante M > 0) yH-elptica (con > 0). Si:
1. ja(u; v)j M jjujjH jjvjjH ; 8 u; v 2 H2. a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 H
Entonces, para todo F 2 H 0, existe un unico u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8v 2 H
AdemasjjujjH 1
jjF jjH0 (*)
La desigualdad (*) es llamada dependencia continua de los datos o estabilidad
Fecha: 31 de marzo del 2015
OBSERVACION.
1. Dada F 2 H 0 y u 2 H (unica solucion del problema) tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H .
jjF jjH0 = supv2Hv 6=
jF (v)jjjvjjH = supv2H
v 6=
ja(u; v)jjjvjjH
supv2Hv 6=
M jjujjH jjvjjHjjvjjH
M jjujjHPor lo tanto:
jjujjH jjF jjH0 M jjujjH
9
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2.1. Teorema de Lax-Milgram
2. Dados F1; F2 2 H 0 y las respectivas soluciones u1; u2 2 H se tiene:jju1 u2jjH jjF1 F2jjH0 M jju1 u2jjH
3. En el caso que a : HH ! R sea una forma bilineal simetrica (a(u; v) = a(v; u);8 u; v 2H) y suponiendo que a es elptica y continua, entonces a(; ) constituye un productointerior en el espacio H . Mas aun, si jj jja es la norma inducida por la forma bilineal,es decir:
jjvjja = (a(u; v))12 ;8 v 2 H (Norma de la energa)
entonces obtenemos:
jjvjj2H jjvjj2a = a(v; v) M jjvjj2Ho bien p
jjvjjH jjvjja pM jjvjjH ;8 v 2 H (Normas equivalentes)
de donde, si (H; h; iH) es Hilbert, entonces (H; a(; )) tambien es Hilbert.
Por otro lado, es facil ver que si
F 2 (H; h; iH)0 , F 2 (H; a(; ))0
Por lo tanto, el TRR (Teorema de representacion de Riesz) se reduce que para todoF 2 (H; a(; ))0, existe un unico u 2 (H; a(; )) tal que:
F (v) = a(u; v); 8 v 2 Hy ademas
jjF jja0 = jjujja pjjujjH
Tarea: ver que pasa con jjF jja0 con jjF jjH04. Recordemos que demostrar la existencia de u 2 H tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H
es equivalente a probar que el operador A : H ! H inducida por la forma bilineala(; ) es biyectivo (hA(u); vi = a(u; v); 8 v 2 H). Esto equivale a demostrar que A esinyectivo y que R(A) = H . En particular, demostrar que R(A) = H es equivalente a laexistencia de > 0 tal que:
jjA(v)jjH jjvjjH ; 8 v 2 Ho equivalentemente
jjA(v)jjH = supw2Hw 6=
hw;A(v)ijjwjjH = supw2H
w 6=
hA(w); vijjwjjH = supw2H
w 6=
a(w; v)
jjwjjH jjvjjH
es decir
supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH jjvjjH ;8 v 2 H
Nestor Abel Sanchez Goycochea 10
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Cap. 2: Teoremas de Lax-Milgram
Por otro lado, A es inyectivo si y solo s
A(v) 6= ; 8 v 2 Hnfg
si y solo ssupw2H
a(v; w) > 0;8v 6=
En efecto,
=) Dado v 2 Hnfg tal que A(v) 6= , basta tomar w = A(v) con lo cual
supw2H
a(v; w) a(v; A(v)) = hA(v); A(v)iH = jjAvjj2H > 0
(= Para todo v 6= tal que
supw2H
a(v; w) = supw2H
hA(v); wi > 0
entonces A(v) 6=
2.2. Teorema de Lax Milgram generalizadoSea H un Hilbert y sea a(; ) una forma bilineal acotada. Entonces, para todo F 2 H 0, existeun unico u 2 H tal que:
a(u; v) = F (v); 8 v 2 Hsi y solo s
(i) (Sobreyectividad) Existe > 0 tal que:
supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH jjvjjH ;8 v 2 H
(ii) (Inyectividad) Para todo v 6=
supw2H
a(v; w) > 0; 8 v 6=
Note que si a(; ) es simetrico, entonces el operador A es autoadjunto, esto es A = A. luego
A es sobreyectivo ) H = R(A) = N(A)? = N(A)?) N(A) = fg ) A es inyectivo.
Asi, una version particular del TLMG es el TLMG version simetrica.
11 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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2.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica
2.3. Teorema de Lax-Milgram version simetricaSea H un Hilbert y a(; ) una funcion bilineal acotada y simetrica. Entonces, para todo F 2H 0, existe un unico u 2 H tal que:
a(u; v) = F (v); 8 v 2 H
si y solo s, existe > 0 tal que:
supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH0 jjvjjH ;8 v 2 H
Demostracion. Basta ver, de lo anterior, que (i)) (ii). En efecto,
supw2H
a(v; w) = supw2H
a(w; v) supw2Hw 6=
a
w
jjwjjH ; v
= supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH0 jjvjjH > 0; si v 6=
z
OBSERVACION 2.1. La condicion
supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH jjvjjH ;8 v 2 H
es equivalente a la condicion
nfv2Hv 6=
0@supw2Hw 6=
a(w; v)
jjwjjH jjvjjH
1A lo que explica el nombre de condicion nf sup para esta desigualdad. Esta condiciontambien se conoce como condicion de Babuska-Brezzi y como condicion d Lady Shenkaya-Babuska-Brezzi (LBB) o como condicion de Neccas
Fecha: 07 de abril del 2015
2.4. Ejemplo unidimensional mas simple
u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0
Nestor Abel Sanchez Goycochea 12
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Cap. 2: Teoremas de Lax-Milgram
La formulacion variacional se reduce a hallar u 2 H10 () tal que:1Z
0
u0v0 =
1Z0
fv; 8 v 2 H10 ()
o bien, hallar u 2 H10 () tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H
donde
a(u; v) =
1Z0
u0v0; F (v) =
1Z0
fv
Es claro que a es acotado y F 2 H 0. En efecto,ja(u; v)j jju0jj0;jjv0jj0; jjujjH jjvjjH
Para la elipticidad vemos que:
a(v; v) =
1Z0
(v0)2 = jjv0jj20; = jvj21;| {z }seminorma
y por lo tanto necesitamos demostrar que existe > 0 tal que:
jvj21; jjvjj21; ; 8 v 2 H = H10 ()La funcion jj1; : H1() ! R se llama seminorma, la cual no es una norma en H1() yaque jvj1; = 0; v = LEMA 2.1. (Desigualdad de Friederids-Poincare) Sea =]a; b[ R: Entonces, existe > 0que dependen de a y b tal que:
jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 ()Demostracion. Dado que C10 es denso en H
10 (), basta demostrar la desigualdad para ' 2
C10 (). En efecto, dado ' 2 C10 .
'(x) =
xZa
'0(t)dt
y luego
j'(x)j2 =
xZa
'0(t)dt
2
0@ xZ
a
12dt
1A0@ xZa
('0(t))2dt
1A (x a)
bZa
('0(t))2dt
= (x a)jj'0jj20; = (x a) j'j21;
13 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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2.4. Ejemplo unidimensional mas simple
es decir:j'(x)j2 (x a) j'j21; ; 8 x 2]a; b[
y luego, integrando obtenemos:
jj'jj20; =bZ
a
j'(x)j2 dx 0@ bZ
a
(x a)dx1A j'j21; = (b a)22 j'j21;
y luego
jj'jj21; = j'j21; + jj'jj20;
j'j21; +
(b a)22
j'j21;
=
1 +
(b a)22
j'j21;
o bien
j'j21; jj'jj21;; con =2
2 + (b a)2
Por ultimo, dado v 2 H10 (), existe f'jgj2N C10 tal que:
jjv 'jjj1; j!1! 0y como
j'jj21; jj'jjj21;; 8 j 2 Ntomando lmite se tiene que:
jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 ()z
OBSERVACION 2.2. Notemos que gracias a la desigualdad de F-P, la seminorma constituyeuna norma en H10 () la cual es equivalente a la norma jj jj1;.
pjjvjj1; jvj1; jjvjj1;; 8 v 2 H10 ()
As, en nuestro ejemplo unidimensional simple, obtenemos que:
a(v; v) = jvj21; jjvjj21;; con = 2=3lo que demuestra que a es Helptica. As, por el T.L.M., existe un unico u 2 H tal que:
a(u; v) = F (v); 8 v 2 Hy ademas
jjujj1; 1jjf jj0;
Nestor Abel Sanchez Goycochea 14
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Captulo 3Metodo de Galerkin
Sea H un Hilbert y a : H H ! R una forma bilineal acotada y F 2 H 0. Supongamos queexiste un unico u 2 H tal que:
a(u; v) = F (v); 8 v 2 H
Sea fHngn2N una sucesion de subespacios de H de dimension finita n y consideremos elproblema:
Hallar un 2 Hn tal que:a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn
PREGUNTAS.
(i) Existe un?
(ii) Es unico?
(iii) Que relacion tiene u y un?
(iv) jju unjjH n!1! 0?
3.1. Existencia y unicidad de un
Notemos que FHn
2 H 0n y a(; ) : Hn Hn ! R es una forma bilineal acotada. Entonces,tenemos la misma estructura que en el caso continuo en H , y por lo tanto podemos aplicar elTLM o el TLM generalizado para asegurar existencia y unicidad.
3.1.1. TLM Discreto
Supongamos que existe n > 0 tal que a(vn; vn) njjvnjj2H ; 8 vn 2 Hn. Entonces existeuna unica un 2 Hn tal que
a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn
15
-
3.2. Calculo de la solucion de Galerkin
Ademas:
jjunjjH 1n
F Hn
H0n
=1
nsup
vn2Hnvn 6=
jF (vn)jjjvnjjH
1njjF jjH0
Demostracion. Directo del TLM continuo. z
OBSERVACION 3.1. Si a es Helptica, entonces a es Hnelptica
3.1.2. TLM generalizado (discreto)Sean an : Hn Hn ! R una forma bilineal acotada. Entonces, para todo Fn 2 H 0n(Fn =FHn
), existe un unico un 2 Hn tal que:
an(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hnsi y solo s, existe n > 0 tal que:
supwn2Hnwn 6=
an(wn; vn)
jjwnjjH njjvnjjHn
o bien, si y solo s
supwn2Hnwn 6=
an(vn; wn)
jjwnjjH njjvnjjHn
En cualquier caso se obtiene que
jjunjjH 1njjFnjjH0n
Demostracion. Es una aplicacion directa del TLMG, notando ahora que en dimension finita;Inyectividad es equivalente a sobreyectividad. z
Fecha: 10 de abril del 2015
3.2. Calculo de la solucion de GalerkinSeaHn un subespacio deH de dimension finita n, y sea fe1; ; eng una base deHn. Enton-ces, hallar un 2 Hn tal que:
a(un; ei) = F (ei); 8 i = 1 ; nA su vez como un 2 Hn, existen 1; ; n 2 R (incognitas) tales que:
un =nX
j=1
jej
Nestor Abel Sanchez Goycochea 16
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Cap. 3: Metodo de Galerkin
de donde nos queda el problema. Hallar 1; ; n 2 R tales que:nX
j=1
ja(ej; ei) = F (ei); 8 i = 1; ; n
lo que matricialmente se escribe como: Hallar ! =
0B@1...n
1CA 2 Rn tal que:A! = !f
con A = (aij);8 i; j 2 f1; ; ng;!f = (f1; ; fn)t; aij = a(ej; ei);8 i; j 2 f1; ; ng yfj = F (ej); 8 j = 1; ; n.
La matriz A se llama Matriz de Rigidez y el vector!f se llama vector carga.
3.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple
u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0
Con H = H10 (); a(u; v) =1R0
u0v0; F (v) =1R0
fv; f 2 L2()
Consideremos 0 = x0 < x1 < < xn+1 = 1 una particion de ]0; 1[
Dibujo
y definamos el siguiente espacio:
Hn :=
vn 2 C() : vn
[xj1;xj ]
2 P1([xj1; xj]);8 j = 1 ; n+ 1; vn(0) = vn(1) = 0
Dibujo
Notar que vn 2 Hn esta determinado de manera unica, por los valores que ella toma en lospuntos x1; x2; ; xn+1. mas aun, no es difcil ver que fe1; ; cng es una base deHn, dondeej con j = 1; ; n es la unica funcion de Hn tal que:
ej(xj) = 1; ej(xi) = 0;8 i 6= j
Dibujo
En efecto, dado un 2 Hn es facil ver que:
vn(x) =nX
j=1
vn(xj)ej(x); 8 x 2
17 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
3.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple
As
a(ej; ei) =
1Z0
(ej(x))0(ei(x))0dx
fj =
1Z0
f(x)ej(x)dx
Dibujo
Notar que si ji jj 2, entonces sop(ei) \ sop(ej) tiene medida nula y por lo tanto aij = 0
Si i = j
aij = aii =
1Z0
(e0i(x))2dx =
xiZxi1
(e0i(x))2dx+
xi+1Zxi
(e0i(x))2dx
Dibujo
ei(x)i=x xi1
hi
ei(x)i+1
=xi+1 xhi+1
As,
aii =
xiZxi1
1
hi
2dx+
xi+1Zxi
1
hi+1
2dx =
1
hi+
1
hi+1
Si j = i+ 1
ai:i+1 =
1Z0
(e0i(x))(e0i+1(x))dx =
xi+1Zxi
(e0i(x))(e0i+1(x))dx
=
xi+1Zxi
1hi+1
1
hi+1
dx =
1hi+1
Dibujo
De la misma formaai+1;i =
1hi+1
Nestor Abel Sanchez Goycochea 18
-
Cap. 3: Metodo de Galerkin
A su vez,
fj =
Z 10
f(x)ej(x)dx =
xjZxj1
f(x)(x xj1)
hjdx+
xj+1Zxj
xj+1 xhj+1
2dx
En resumen, en este caso, la matriz rigidez es:
A =
0BBBBBBB@
1h1
+ 1h2
1h2
0 0 0 1
h21h2
+ 1h3
1h3
0 00 1
h31h3
+ 1h4
0 0...
...... . . .
......
0 0 0 1hn1
+ 1hn
1hn
0 0 0 1hn
1hn
+ 1hn+1
1CCCCCCCAEn el caso particular en el que la particion es uniforme, es decir hi = h = 1n+1 ; i 2 f1; ; ngnos queda:
A =1
n+ 1
0BBBBBBB@
2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0...
...... . . .
......
0 0 0 2 10 0 0 1 2
1CCCCCCCAFecha: 14 de abril del 2015
3.4. Estimacion de GalerkinSupongamos que existen ; n tal que
(i) supw2Hw 6=
a(v; w)
jjwjjH jjvjjH ; 8 v 2 H
(ii) supw2Hw 6=
a(vn; wn)
jjwnjjHn njjvnjjHn ; 8 vn 2 Hn
(iii) supw2H
a(w; v) > 0; 8 v 6=
Se sigue de (i) y (iii) que 8 F 2 H 0;9!u 2 H tal quea(u; v) = F (v); 8 v 2 H
y de (ii) tenemos que para todo f 2 H 0, existe un unico un 2 Hn tal que:a(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn
19 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
3.4. Estimacion de Galerkin
Para esto notemos primero que:
a(u un; vn) = 0; 8 vn 2 Hn(Propiedad de ortogonalidad del error)
en efecto,a(u un; vn) = a(u; vn) a(un; vn) = F (vn) F (vn) = 0
Aplicando (i) a v = u un obtenemos,
jju unjjH supw2Hw 6=
a(u un; w)jjwjjH
= supw2Hw 6=
a(u un; w + vn vn)jjwjjH
= supw2Hw 6=
a(u un; vn)
jjwjjH +a(u un; w vn)
jjwjjH
= supw2Hw 6=
a(u un; w vn)jjwjjH
jju unjjH Mjju unjjH sup
w2Hw 6=
jjw vnjjHjjwjjH ; 8 vn 2 Hn
con esto no se llega a nada.
Por otro lado, notemos que:
jju unjjH jju vnjjH + jjvn unjjH ; 8 vn 2 HnLuego, aplicando (ii), a (vn un) 2 Hn vemos que
jjvn unjjH 1n
supwn2Hnw 6=
a(vn un; wn)jjwnjjH
=1
nsup
wn2Hnw 6=
a(vn u+ u un; wn)jjwnjjH
=1
nsup
wn2Hnw 6=
a(vn u;wn)jjwnjjH +
a(u un; wn)jjwnjjH
=1
nsup
wn2Hnw 6=
a(vn u;wn)jjwnjjH
Mnjjvn ujjH ; 8 vn 2 Hn
Nestor Abel Sanchez Goycochea 20
-
Cap. 3: Metodo de Galerkin
As,
jjvn unjjH jju unjjH + jjvn unjjH 1 +
M
jju vnjjH ; 8 vn 2 Hn
o bien,
jju unjjH 1 +
M
nf
vn2Hnjju vnjjH ; 8 vn 2 Hn
o bien,
jju unjjH 1 +
M
dist(u;Hn)
Esta estimacion se conoce como la Estimacion de Cea
OBSERVACION.
1. Notemos que para que la estimacion de Cea, sea realmente util, se necesita que n notienda a cero cuando n ! 1. Para esto, asumimos que existe e > 0, tal que n >e; 8 n 2 N con la cual la estimacion de Cea queda
jju unjjH 1 +
Medist(u;Hn)
2. (Utilidad de la estimacion de Cea) Si somos capaces de construir una familia de opera-dores de interpolacion n : H ! Hn, los cuales satisfacen
jjv n(v)jj e(n)jjvjjH ; 8 v 2 H
con e(n) n!1! 0. Entonces de la estimacion de Cea se tiene:
jju unjjH 1 +
Mejju vnjjH ; 8 vn 2 Hn
En particular, para vn = n(u) se tiene:
jju unjjH 1 +
Mejju n(u)jjH
1 +
Mee(n)jjujjH n!1! 0
Por lo tanto, el error tiende a cero si la dimension del espacio tiende a infinito.
21 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
3.5. Caso particular de a simetrica yHelptica
3.5. Caso particular de a simetrica yHelpticaSupongamos que existe > 0 tal que:
a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 Hy que a(; ) es simetrica. Entonces a(; ) constituye un producto interior en H cuya normaasociado denotaremos por jj jja = (a(; ))1=2. La condicion de ortogonalidad del error esta-blece que:
a(u un; vn) = 0; 8 vn 2 Hnlo que en este caso particular es equivalente a que
jju unjja = mnvn2Hn
jju vnjjaes decir, un es la mejor aproximacion de u por elementos de Hn con respecto al productointerior a(; ) o equivalentemente
a(u un; u un) = mnvn2Hn
a(u vn; u vn)
esto es
a(u; u) 2 a(u; un)| {z }F (un)
+a(un; un) = mnvn2Hn
8>:a(u; u) 2 a(u; vn)| {z }F (vn)
+a(vn; vn)
9>=>;y cancelando a(u; u) se tiene
a(un; un) 2F (un) mnvn2Hn
fa(vn; vn) 2F (vn)g
En otras palabras, introduciendo el funcional cuadratico
J(v) := a(v; v) 2F (v); 8 v 2 Hse tiene:
J(vn) = mnvn2Hn
J(vn)
es decir, un es el unico elemento de Hn que minimiza el funcional J en Hn. Finalmente
jju unjj2H a(u un; u un) a(u vn; u vn)M jju vnjj2H ; 8 vn 2 Hn
de donde
jju unjjH rM
jju vnjj; 8 vn 2 Hn
jju unjjH rM
dist(u;Hn)
Fecha: 17 de abril del 2015
Nestor Abel Sanchez Goycochea 22
-
Cap. 3: Metodo de Galerkin
3.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Par-te)
u00 = f en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0
Hallar u 2 H = H10 () tal que:
a(u; v) =
1Z0
u0v0 = F (v) =Z
fv; f 2 L2()
y
Hn =
vn 2 C() : vn
[xj1;xj ]
2 P1([xj1; xj]);8 j = 1; ; n+ 1; vn(0) = vn(1) = 0
Hallar un 2 Hn tal quea(un; vn) = F (vn); 8 vn 2 Hn
Sabemos que ambos problemas tienen una unica solucion.
Veamos que pasa con jju unjj0;
Sea w 2 H10 () la unica solucion del problema debil:8
-
3.7. Propiedad de aproximacion
En particular se tiene que para ' 2 C01()
a(u; ') =
1Z0
u0'0 =
1Z0
f'
Entonces:u00 = f 2 L2()
Supongamos ahora que existe c > 0 tal que 8 z 2 H2()nf
vn2Hnjjz vnjj1; Ce(n)jjz00jj0;; (Propiedad de aproximacion de Hn)
con e(n) n!1! 0.Puesto que w 2 H2() (w 2 H10 () y w00 = (u un) 2 L2()), de (*) y la propiedad deaproximacion, tenemos que
jju unjj20; M jju unjj1;Ce(n)jjw00jj0;
y como jjw00jj0; = jju unjj0;, entonces:
jju unjj0; MCe(n)jju unj1;
Finalmente, notando que:
jju unjj1; rM
nf
vn2Hnjju vnjj1; (P. de Cea)
rM
Ce(n)jju00jj0; (P. de aproximacion)
se obtiene:
jju unjj0; M3=2C2
1=2(e(n))2jju00jj0;
As, si jjuunjj1; O(e(n)), entonces jjuunjj0; O(e(n)2), dondeO() es el orden deconvergencia.
OBSERVACION 3.3. El argumento que hemos utilizado que se llama Argumento de duali-dad o Truco de Aubin-Nitsche ya que el punto de partida es el problema auxiliar (problemadual)
w00 = u un; en ; w(0) = w(1) = 0
3.7. Propiedad de aproximacionDefinamos el siguiente operador de interpolacion, conocido como Interpolante de Lagrange
In : C() ! Hnv 7! In(v) =
nXj=1
v(xj)ej
Nestor Abel Sanchez Goycochea 24
-
Cap. 3: Metodo de Galerkin
donde ej; j = 1; ; n son las funciones techo y 0 = x0 < x1 < < xn < xn+1 = 1 esla particion del intervalo [0; 1]
Dibujo
Es claro quenf
vn2Hnjju vnjj1; jju In(u)jj1;
TEOREMA 3.1. Sea e(n) := maxj2f1; ;n+1g
fhjg := maxj2f1; ;n+1g
fxj xj1g. Entonces existec > 0, independiente de n tal que
jjv In(v)jj1; Ce(n)jjv00j0;; 8 v 2 H2()
Demostracion. Aqu usamos que si u 2 H2(), entonces u 2 C() (u es continua), de modoque In(v) esta bien definida para todo v 2 H2()
Dado v 2 H2() y sea j 2 f1; ; n+ 1g se define la siguiente funcion
wj(t) = (v In(v))(xj1 + t(xj xj1))
con t 2 [0; 1].
Observemos que wj(0) = wj(1) = 0 y por lo tanto, por teorema de Rolle, existe 2]0; 1[tal que w0j() = 0. As, por teorema fundamental del calculo se tiene que
w0j(t) =
tZ
w00j (s)ds; 8 t 2 [0; 1]
y luego aplicando C.S
w0j(t)2 =
tZ
w00j (s)ds
2
= jt j0@ tZ
(w00j (s))2ds
1A ;8 t 2 [0; 1] jt j jjw00j jj20;; 8 t 2 [0; 1]
As, integrando con respecto a t 2]0; 1[1Z
0
w00j (t)2 dt jjw00j jj20; 1Z0
jt j dt
jwjj21; jjw00j jj20; (*)
25 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
3.7. Propiedad de aproximacion
Notemos que
w0j(t) = (v In(v))0(xj1 + t(xj xj1| {z }hj
))hj
W 00j (t) = v00(xj1 + t(xj xj1))h00j
As de ()1Z
0
[(v In(v))0(xj1 + t(xj xj1))]2 h2jdt 1Z
0
[v00(xj1 + t(xj xj1))]2 h4jdt
Haciendo el cambio de variable x = xj1 + t(xj xj1), vemos que t 2 [0; 1], entoncesx 2 [xj1; xj] y por lo tanto:
xjZxj1
[(v In(v))0(x)]2 hjdx xjZ
xj1
[v00(x)]2 h3jdx
AsxjZ
xj1
[(v In(v))0(x)]2 dx h2jxjZ
xj1
[v00(x)]2 dx
y sumando sobre j 2 f1; ; n+ 1g obtenemos:
jv In(v)j21; f maxj2f1; ;n+1g
hj| {z }e(n)
g2jjv00jj20;
y como v In(v) 2 H10 () y usando Poincare se sigue que
jjv In(v)jj1; 32jv In(v)j21;
3
2(e(n))2jjv00jj20;
con lo cual
jjv In(v)jj1; r
3
2e(n)jjv00jj0;
z
Fecha: 21 de abril del 2015
Nestor Abel Sanchez Goycochea 26
-
Captulo 4Formulacion Mixta
4.1. Un Problema bidimensionalSea R2 un conjunto abierto acotado de R2, con frontera poligonal (Lipschitz continua).Dado f 2 L2(), consideremos el problema de Poisson: u = f; en
u = 0; en @ =
Dado un campo vectorial F 2 [C1() \ C()]n; n 2 N. El teorema de Gauss establece que:Z
divF =
Z
F
donde es el vector unitario exterior a .
En particular, tomando F = (0; 0; ; 0|{z}i-esima comp
; ; 0)t con u; v 2 C1() \ C(), vemosque:
divF =@(uv)
@xi=u@(v)
@xi+v@(u)
@xicon lo cual Z
u@v
@xi+v@u
@xi
=
Z
uviZ
u@v
@xi=
Z
v@u
@xi+
Z
uvi (FIPP)
(FIPP: Formulacion de integracion por partes)
Supongamos ahora que u = @w@xi
con w 2 C2() \ C1(). De la FIPP, obtenemosZ
@w
@xi
@v
@xi=
Z
v@2w
@x2i+
Z
v@w
@xii
27
-
4.2. Vuelta al problema bidimensional
y sumando sobre i = 1; ; nZ
rwrv = Z
vw +
Z
vrw
esto es: Z
rwrv = Z
vw +
Z
v@w
@(PIG)
con @w@
= rw8 v 2 C1() (PIG: Primera identidad de Green.)
A su vez, intercambiando w y v en (PIG) vemos que:Z
rwrv = Z
wv +
Z
w@v
@
y restando ambas identidades se llega a:Z
(wv vw) =Z
w@v
@ v@w
@
(SIG)
8 w; v 2 C2() \ C1(), (Segunda identidad de Green)
4.2. Vuelta al problema bidimensionalTomando ' 2 C10 () y multiplicando esta funcion por la ecuacion u = f , y utilizando laPIG obtenemos: Z
f' = Z
u' =
Z
rur'Z
'@u
@| {z }0
entonces Z
rur' =Z
f'; 8 ' 2 C10
DEFINICION 4.1. Se define el espacio de Sobolev de orden n
H1() :=
v 2 L2() : @v
@xi2 L2(); 8 i = 1; ;
donde @v
@xies en el sentido distribucional, esto es, existe wi 2 L2() tal que:Z
v@'
@xi=
Z
wi'; 8 ' 2 C10 ()
Nestor Abel Sanchez Goycochea 28
-
Cap. 4: Formulacion Mixta
Sobre H1() se define el producto interior
hu; vi1; =Z
uv +
Z
rurv
cuya norma asociada esta dada por:
jjvjj1; :=0@Z
jvj2 +Z
jrvj2Rn1A1=2 = (jjvjj20; + jvj21;)1=2
El espacio H1(), con este producto interior es un Hilbert.
DEFINICION 4.2.H10 () := C
10
jjjj1;
esto es,v 2 H10 (), 9 f'jgj2N C10 tal que jjv 'jjj1; j!1! 0
equivalentementeH10 () := fv 2 H1() : v = 0 en g
(v = 0 en el sentido de trazas)
De este modo, el esquema debil del problema de Poisson es:8>>>>>:Hallar u 2 H10 () tal que:R
rurv = R
fv; 8 v 2 H10 ()(argumento de densidad)
o bien, definiendo
H = H10 (); a(u; v) =
Z
rurv| {z }
Formabilineal
; F (v) =
Z
fv
| {z }Funcional
Re-escribimos el problema como8
-
4.3. Formulacion mixta del problema de Poisson
TEOREMA 4.1. (Desigualdad de Friederich-Poincare) Sea un abierto de Rn, acotado enalguna direccion coordenada (9 i 2 f1; ; ng;9 c > 0 : jxij c;8 x = (x1; ; xn) 2 ).Entonces, existe > 0 tal que:
jvj21; jjvjj21;; 8 v 2 H10 () depende solo de la medida del dominio.
Demostracion. (Tarea- Brezis) z
Entonces, aplicando la desigualdad de Poincare, obtenemos que a(; ) es eliptica en H1o ().Finalmente es claro que F es acotado, en efecto,
jF (v)j =Z
fv
jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;; 8 v 2 H10 ()En particular,
jjf jjH0 jjf jj0;
Por lo tanto, aplicando Lax-Milgram, obtenemos que existe un unico u 2 H10 () tal que:
a(u; v) = F (v); 8 v 2 H10 ()Ademas
jjujj1; 1jjf jj0;
4.3. Formulacion mixta del problema de PoissonConsideremos Rn abierto, acotado con frontera poligonal y f 2 L2(). El problema dePoisson esta dado por: u = f; en
u = 0; en
Interesa una formulacion mixta que incluya a
= ru; en
como incognita adicional.
Notando que
div =@1@x1
+ + @n@xn
= div(ru) = u
Vemos que el problema de Poisson se re-escribe como un sistema de primer orden, de lasiguiente forma. 8
-
Cap. 4: Formulacion Mixta
Multiplicando la primera ecuacion por !' = ('1; ; 'n) 2 [C10 ()]n e integrando porpartes, vemos queZ
!' =Z
ru!' =nXi=1
Z
@u
@xi'i =
nXi=1
0@Z
u@'i@xi
+
Z
u'ii
1A = Z
u div !'
es decir, Z
!' +Z
u div !' = 0; 8 !' 2 [C10 ]n
Por otro lado, multiplicando la segunda ecuacion por v 2 L2() e integrando, obtenemos:Z
v div = Z
fv; 8 v 2 L2()
Fecha: 23 de abril del 2015
DEFINICION 4.3.H(div;) := f 2 [L2()]n : div 2 L2()g
div 2 L2(), 9 w 2 L2() tal que:Z
r' = Z
w'; 8 ' 2 C10 ()
w = div .
Sobre H(div;) se define el producto interior
h; idiv; :=Z
+
Z
div div
cuya norma asociada se define
jj jj2div; := jj jj20; + jjdiv jj20;
con este producto interno (H(div;); h; i) es Hilbert.Ademas se puede demostrar que:
[C1o ()]jjjjdiv;
= H(div;)
y por lo tanto, por densidad, nuestro problema nos queda8>>>>>>>>>>>:
Hallar (; u) 2 H(div;) L2() tal que:R
+R
u div = 0; 8 2 H(div;)
R
v div = R
fv; 8 v 2 L2()
31 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)A su vez, definiendo H = H(div;); Q = L2(),
a : H H ! R(; ) 7! a(; ) = R
b : H Q ! R
(; v) 7! b(; v) = R
v div
y los funcionales
F : H ! R 7! F () = 0
G : Q ! Rv 7! G(v) = R
fv
El problema se re-escribe como8>>>>>>>:Hallar (; u) 2 H Q tal que:
a() + b(; u) = F (); 8 2 H
b(; v) = G(v); 8 v 2 QPara analizar este problema, necesitamos el siguiente resultado clasico.
4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)Sea H y Q dos espacios de Hilbert con a : H H ! R y b : H Q ! R dos formasbilineales acotadas tales que:
(i) 9 > 0 tal que:a(; ) jj jj2H ; 8 tau 2 K
donde K := f 2 H : b(; v) = 0;8 v 2 Qg H (K es el kernel de b)(ii) 9 > 0 tal que:
sup2H 6=
b(; v)
jj jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q
Entonces, 8 F 2 H 0; G 2 Q0 existe un unico (; u) 2 H Q tal que:a(; ) + b(; u) = F (); 8 2 H
b(; v) = G(v); 8 v 2 QAdemas, 9 c > 0 tal que:
jjjjH + jjujjQ C (jjF jjH0 + jjGjjQ0)
Para demostrar este teorema se requiere el siguiente resultado previo.
LEMA 4.1. (Clave) Sea B : H ! Q un operador lineal acotado. Las siguientes afirmacionesson equivalentes:
Nestor Abel Sanchez Goycochea 32
-
Cap. 4: Formulacion Mixta
(i) 9 > 0 tal que jjB(v)jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q.(ii) B es un isomorfismo (boyeccion lineal) de Q en [N(B)]?.
(iii) B es un isomorfismo de [N(B)]? en Q y ademas
jjB()jjQ jj jjH ;8 2 [N(B)]?
Demostracion. (TAREA) z
Demostracion. (Teorema de Babubska-Brezzi) SeanA : H ! H yB : H ! Q los operadoreslineales y acotados definidos por:
hA(); iH = a(; ); 8 ; 2 HhB(); vhQ = b(; v); 8 2 H; 8 v 2 Q
Entonces, el problema se re-escribe como: hA(); iH + hB(u); iH = hR(f); iH ; 8 2 HhB(); viQ = hR(G); viQ; 8 v 2 Q
o equivalentemente A() + B(u) = R(F )B() = R(G)
De la condicionnf sup(ii), vemos que:
sup2H 6=
b(; v)
jj jjH = sup2H 6=
hB(); viQjj jjH = sup2H
6=
hB(v); iHjj jjH = jjB
(v)jjH
es decir,jjB(v)jjH jjvjjQ; 8 v 2 Q
Luego, del lema clave se sigue que B es un isomorfismo de [N(B)]? en Q y por lo tanto,existe un unico g 2 [N(B)]? tal que:
B(g) = R(G)y ademas
jjgjjH jjB()gjjQ = jjR(G)jjQ = jjGjjQ0es decir:
jjgjjH 1jjGjjQ0
Sea ahora : H ! K la proyeccion ortogonal de \K", conK := f 2 H : b(; v) = 0; 8 v 2 Qg = f 2 H : B() = Qg = N(B)
de (i) se tiene que dado 2 Kjj jj2H a(; ) = hA(); iH = h(A()); iH jj( A)()jjH jj jjH
33 Nestor Abel Sanchez Goycochea
-
4.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida)entonces:
jj jjH jj( A)()jjH ; 8 2 K (*)
lo que implica que ( A)
K
: K ! K
es biyectivo, y como existe un unico 0 2 K tal que:
(A(0)) = (R(F ) A(g))
y de (*)
jj0jj jj( A)(0)jj = jj(R(F ) A(g))jj jjF jj+ jjAjjjjgjj jjF jj+ 1
jjAjjjjGjj
entoncesjj0jj 1
jjF jj+ 1
jjAjjjjGjj
Ademas,
hA(0); i = h(A(0)); i= h(R(F ) A(g)); i= hR(F ) A(g); i; 8 2 K) hA(0 + g)R(F ); i = 0; 8 2 K) A(0 + g) +R(F ) 2 K? = (N(B))?
lo que implica que gracias a la condicion denf sup, existe un unico u 2 Q tal que:
B(u) = A(0 + g)R(F )
y ademas
jjujj jjB(u)jj = jjA(0 + g)R(F )jj jjAjj(jj0jj+ jjgjj) + jjF jj eC(jjF jj+ jjGjj)
Entonces, haciendo = 0 + g se tiene:
B() = B(0 + g) = B(0)| {z }0
+B(g) = B(g)
entonces: A() +B(u) = R(F )B() = R(G)
Nestor Abel Sanchez Goycochea 34
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Cap. 4: Formulacion Mixta
As, (:u) es solucion del problema y ademas existe C > 0, que depende de ; ; jjAjj tal que:
jjjj+ jjujj C(jjF jj+ jjGjj)
Para la unicidad, demostraremos que si (; u) es solucion del sistema homogeneoA() +B(u) = B() =
entonces = ; v = .
En efecto, de la segunda ecuacion 2 K y aplicando a la primera ecuacion se tiene
( A)() + (B(u)) = ) ( A)() = ) =
y como = , y de la primera ecuacion B(u) = ) u = z
4.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte
8 0 tal que
eS = sup2H(div;)
6=
R
v div
jj jjdiv; jjvjj0;; 8 v 2 L2()
Dado v 2 L2(), si encontramos e 2 H(div;) tal que div e = v y jje jjdiv; Cjjvjj0;, setiene: eS R v div ejje jjdiv; 1C jjvjj
20;
jjvjj0; =1
Cjjvjj0;
35 Nestor Abel Sanchez Goycochea
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4.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte
Para esto, basta considerar e = rz en , con z 2 H10 ()unica solucion del problema z = v
z =
el cual satisfacejjzjj1; Cjjvjj0;
entoncesdiv e = z = v
y
jje jjdiv; = jje jj20; + jjdiv e jj20;1=2=jzj21; + jjvjj20;1=2
C2jjvjj20; + jjvjj20;1=2= C2jjvjj0;
Nestor Abel Sanchez Goycochea 36
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