elemen hingga
Post on 02-Oct-2015
68 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
TUGAS MATA KULIAH ELEMEN HINGGA
oleh :
091910301073 IMAM SAPUTRO
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS JEMBER
2013
-
TUGAS I
Element stiffness matrix
[K] = EA
cos2 cos sin -cos
2 -cos sin
cos sin sin2 - cos sin -sin
2
L -cos2 - cos sin cos
2 cos sin
- cos sin -sin2 cos sin sin
2
[K]1 = EA
cos2 30 cos 30 sin 30 -cos
2 30 -cos 30 sin 30
cos 30 sin 30 sin2 30 - cos 30 sin 30 -sin
2 30
L -cos2 30 - cos 30 sin 30 cos
2 30 cos 30 sin 30
- cos 30 sin 30 -sin2 30 cos 30 sin 30 sin
2 30
Fx1 3/4 /4 -3/4 - /4 X1
Fz1 =
EA
/4 1/4 - /4 -1/4 Z1
Fx3 L -3/4 - /4 3/4 /4 X3
Fz3 - /4 -1/4 /4 1/4 Z3
[K]2 = EA
cos2 90 cos 90 sin 90 -cos
2 90 -cos 90 sin 90
cos 90 sin 90 sin2 90 - cos 90 sin 90 -sin
2 90
L -cos2 90 - cos 90 sin 90 cos
2 90 cos 90 sin 90
- cos 90 sin 90 -sin2 90 cos 90 sin 90 sin
2 90
Fx1 0 0 0 X1 Fz1
= EA
1 0 -1 Z1
Fx2 L 0 0 0 X2 Fz2 0 -1 1 Z2
1
1
3
3
Fz1
Fx1
Fz2
Fx2
Fz3
Fx3
f z1
f x1
2
1
2
3
2
P
-
[K]3 = EA
cos2 -30 cos -30 sin -30 -cos
2 -30 -cos -30 sin -30
cos -30 sin -30 sin2 -30 - cos -30 sin -30 -sin
2 -30
L -cos2 -30 - cos -30 sin -30 cos
2 -30 cos -30 sin -30
- cos -30 sin -30 -sin2 -30 cos -30 sin -30 sin
2 -30
Fx2 3/4 - /4 -3/4 /4 X2
Fz2 =
EA
- /4 1/4 /4 -1/4 Z2
Fx3 L -3/4 /4 3/4 - /4 X3
Fz3 /4 -1/4 - /4 1/4 Z3
Assembling
Fx1
=
3/4 /4 0 0 -3/4 - /4 X1
Fz1 /4 1+1/4 0 -1 - /4 -1/4 Z2
Fx2 EA 0 0 3/4 - /4 -3/4 /4 X2
Fz2 L
0 -1 - /4 1+1/4 /4 -1/4 Z2
Fx3 -3/4 - /4 -3/4 /4 3/4+3/4 /4- /4 X3
Fz3 - /4 -1/4 /4 -1/4 /4- /4 1/4+1/4 Z3
Fx1
=
3/4 /4 0 0 -3/4 - /4 0
Fz1 /4 5/4 0 -1 - /4 -1/4 0
Fx2 EA 0 0 3/4 - /4 -3/4 /4 0
Fz2 L
0 -1 - /4 5/4 /4 -1/4 0
0 -3/4 - /4 -3/4 /4 3/2 0 X3
-P - /4 -1/4 /4 -1/4 1/2 Z3
Nodal displacements
X3 = PK 122
=
L 3/2 0 -1
=
PL 0
Z3 EA 0 1/2 -P EA -2
Support reaction
Fx1 -3/4 - /4 /2 P Fz1
= 12K = EA
- /4 -1/4
PL 0
= 1/2 P
Fx2 L -3/4 /4 EA -2 - /2 P Fz2 /4 -1/4 1/2 P
Support reaction check
Fx = 0 Fz = 0
0 = Fx1+Fx2+Fx3 0 = Fz1 + Fz2 + Fz3
0 = /2 P - /2 P + 0 0 = P + P P
0 = 0 (OK !!!) 0 = 0 (OK !!!)
-
Nodal displacements in local coordinates for Element 1
U = |R|. u
X1 cos - sin 0 u1 PL
Z1
= sin cos 0 v1
EA X3 0 cos - sin u3 Z3 0 sin cos v3
cos 30 - sin 30 0 0 -1 0 u1
sin 30 cos 30 0 PL
0 =
v1
0 cos 30 - sin 30 EA 0 u3 0 sin 30 cos 30 -2 v3
/2 -1/2 0 0 -1 0 u1
1/2 /2 0 PL
0 =
v1
0 /2 -1/2 EA 0 u3
0 1/2 /2 -2 v3
0 u1
PL
0 =
v1
EA -1 u3
- v3
Element 1 strain
EA
P
EAPL
LLux
011 B (Compression/tekan)
Element 1 stress
A
PxEx (Compression/tekan)
Element 1 axial force
PAxxF
Element 3 axial force
=
cos30 sin 30
3 13 1
=
3
2
1
2
0 02 0
=
u1
0
=
u3
- PL
EA
-
TUGAS II
11 2 3
4 5
6
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m 4 m
5 t
2 t 5 t
E = 2. 10
6 kg/cm
2 = 2.10
7 t/m
2
A = 0,025 m2
E C S C2 S
2 CS L A
1-4 60 1/2 /2 1/4 3/4 /4 4 0,025
4-2 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025
2-5 60 1/2 /2 1/4 3/4 /4 4 0,025
5-3 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025
4-6 60 1/2 /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025
6-5 -60 1/2 - /2 1/4 3/4 - /4 4 0,025
Element 1-4
Fx1
=
1/4 /4 -1/4 - /4 U1=0
Fy1 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V1=0
Fx4 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U4
Fy4 - /4 -3/4 /4 3/4 V4
Element 4-2
Fx4
=
1/4 - /4 -1/4 /4 U4
Fy4 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V4
Fx2 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U2=0
Fy2 /4 -3/4 - /4 3/4 V2=0
Element 2-5
Fx2
=
1/4 /4 -1/4 - /4 U2=0
Fy2 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V2=0
Fx5 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U5
Fy5 - /4 -3/4 /4 3/4 V5
Element 5-3
Fx5
=
1/4 - /4 -1/4 /4 U5
Fy5 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V5
Fx3 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U3=0
Fy3 /4 -3/4 - /4 3/4 V3=0
Element 4-6
Fx4
=
1/4 /4 -1/4 - /4 U4
Fy4 2.107. 0,025 /4 3/4 - /4 -3/4 V4
Fx6 4 -1/4 - /4 1/4 /4 U6
Fy6 - /4 -3/4 /4 3/4 V6
Element 6-5
Fx6
=
1/4 - /4 -1/4 /4 U6
Fy6 2.107. 0,025 - /4 3/4 /4 -3/4 V6
Fx5 4 -1/4 /4 1/4 - /4 U5
Fy5 /4 -3/4 - /4 3/4 V5
-
Assembling
Fx1 1/4 /4 0 0 0 0 -1/4 - /4 0 0 0 0 ` U1
Fy1 /4 3/4 0 0 0 0 - /4 -3/4 0 0 0 0 V1
Fx2
=
0 0 1/4 /4 0 0 -1/4 /4 -1/4 - /4 0 0 U2
Fy2 0 0 /4 3/4 0 0 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0 V2
Fx3 0 0 0 0 1/4 - /4 0 0 -1/4 /4 0 0 U3
Fy3 1,25.10
5
0 0 0 0 - /4 3/4 0 0 /4 -3/4 0 0 V3
Fx4 -1/4 - /4 -1/4 /4 0 0 1/4+1/4+1/4 /4- /4+ /4 0 0 -1/4 - /4 U4
Fy4 - /4 -3/4 /4 -3/4 0 0 /4- /4+ /4 3/4+3/4+3/4 0 0 - /4 -3/4 V4
Fx5 0 0 -1/4 - /4 -1/4 /4 0 0 1/4+1/4+1/4 - /4- /4+ /4 -1/4 /4 U5
Fy5 0 0 - /4 -3/4 /4 -3/4 0 0 - /4- /4+ /4 3/4+3/4+3/4 /4 -3/4 V5
Fx6 0 0 0 0 0 0 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/4+1/4 - /4+ /4 U6
Fy6 0 0 0 0 0 0 - /4 -3/4 /4 -3/4 - /4+ /4 3/4+3/4 V6
Fx1 -1/4 - /4 0 0 0 0 `
Fy1 - /4 -3/4 0 0 0 0
Fx2
=
-1/4 /4 -1/4 - /4 0 0
Fy2 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0 U4
Fx3
1,25.105
0 0 -1/4 /4 0 0 V4
Fy3 0 0 /4 -3/4 0 0 U5
2 3/4 /4 0 0 -1/4 - /4 V5
0 /4 9/4 0 0 - /4 -3/4 U6
5 0 0 3/4 - /4 -1/4 /4 V6
0 0 0 - /4 9/4 /4 -3/4
0 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/2 0
-5 - /4 -3/4 /4 -3/4 3/2
U4
= 8.10-6
3/4 /4 0 0 -1/4 - /4 -1
2
V4 /4 9/4 0 0 - /4 -3/4 0
U5 0 0 3/4 - /4 -1/4 /4 5
V5 0 0 - /4 9/4 /4 -3/4 0
U6 -1/4 - /4 -1/4 /4 1/2 0 0
V6 - /4 -3/4 /4 -3/4 3/2 -5
U4
= 8.10-6
V4
U5
V5
U6 7
V6
-
Cek !!
Fx = 0 Fy = 0
= Fx1 + Fx2 + Fx3 -5 t = Fy1 + Fy2 + Fy3 +7 t
=
+
-5 =
+
+7
= 0 (OK) = 0 (OK)
Axial force for for Element 1-4
1 4 =
cos sin
4 14 1
= 1,25 105 1
2
3
2 8. 10 6
53
3+ 4
5
3
= 503
3+ 20 = 0,867
Axial force for for Element 4-2
4 2 =
cos sin
2 42 4
= 1,25 105 1
2 3
2 8. 10 6
53
3 4
5
3
= 2 t
Axial force for for Element 2-5
2 5 = 1,25 105
1
2
3
2 8. 10 6
53
3+ 10
5
3
= 5 t
Axial force for for Element 5-3
5 3 = 1,25 105
1
2 3
2 8. 10 5
53
3 10
5
3
= 53
3 5 = 7,887
Axial force for for Element 4-6
4 6 = 1,25 105
1
2
3
2 8. 10 6
7 53
3+ 4
3 20
3+
5
3
= 53
3= 2,887
Axial force for for Element 6-5
6 5 = 1,25 105
1
2 3
2 8. 10 6
53
3+ 10 7
5
3 ( 3
20
3)
= 53
3= 2,887
Fx1
=
-1/4 - /4 0 0 0 0
Fy1 - /4 -3/4 0 0 0 0
Fx2 -1/4 /4 -1/4 - /4 0 0
=
Fy2 /4 -3/4 - /4 -3/4 0 0
Fx3 0 0 -1/4 /4 0 0
7
Fy3 0 0 /4 -3/4 0 0
-
TUGAS III
HUBUNGAN TEGANGAN REGANGAN
{}=[C] {}
xyzxyyzzx
=
1
x
yx
y
yz
z0 0 0
yx
x
1
y
zy
z0 0 0
xzx
yz
y
1
z0 0 0
0 0 01
xy0 0
0 0 0 01
yz0
0 0 0 0 01
zx
xyzxyyzzx
Kondisi isotropis adalah suatu kondisi dimana arah modulus elastisitas pada arah x,y dan z adalah sama, sehingga
pers. (5) menjadi:
xyzxyyzzx
=
1
E
E
E0 0 0
E
1
E
E0 0 0
E
E
1
E0 0 0
0 0 01
G0 0
0 0 0 01
G0
0 0 0 0 01
G
xyzxyyzzx
dimana
=
2(1 + )
sehingga :
xyzxyyzzx
=
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
0 0 02 + 1
0 0
0 0 0 02 + 1
0
0 0 0 0 02 + 1
xyzxyyzzx
{}=[C] {} dan {}=[E] {} sehingga [E] =[C]-1
, jadi:
-
xyzxyyzzx
=
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
0 0 02 + 1
0 0
0 0 0 02 + 1
0
0 0 0 0 02 + 1
1
xyzxyyzzx
xyzxyyzzx
=
1
1 22
1 22
1 220 0 0
1 22 1
1 22
1 220 0 0
1 22
1 22 1
1 220 0 0
0 0 0
2 + 20 0
0 0 0 0
2 + 20
0 0 0 0 0
2 + 2
xyzxyyzzx
xyzxyyzzx
=
(1 + )(1 2)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 01
2 0 0
0 0 0 01
2 0
0 0 0 0 01
2
xyzxyyzzx
Kondisi plane stress
Adalah kondisi dimana harus memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:
a. Tidak ada tegangan yang bekerja pada arah z ( 0)z
b. Tidak ada regangan arah z ( )z unrestrained
c. Nilai dari E dan v adalah hasil dari pengukuran tes tarik.
-
xyzxyyzzx
=
1
0 0 0
1
0 0 0
1
0 0 0
0 0 02 + 1
0 0
0 0 0 02 + 1
0
0 0 0 0 02 + 1
xyzxyyzzx
xyzx
=
1
0
1
0
0 02 + 1
xyxy
xyxy
=
1
0
1
0
0 02 + 1
1
xyzx
xyxy
=
1 2
1 20
1 2
1 20
0 0
2 + 2
xyzx
xyxy
=
1 2
1 0 1 0
0 01
2
xyzx
Kondisi plane strain
Apabila masalahnya sekarang terjadi gerakan pada arah z, contohnya terjadinya sliding disepanjang
struktur seperti dam dan timbunan, kemudian ini mengasumsikan penuh terjadi gerakan atau pergeseran pada
arah Z tetapi regangannya(z =0. kondisi seperti ini dinamakan plane strain untuk kondisi isotropis yang
didefinisikan dengan mencoret baris 3,5 dan 6 dari matrik E yang berukuran 6x6 menjadi sbb:
xyzxyyzzx
=
(1 + )(1 2)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 01
2 0 0
0 0 0 01
2 0
0 0 0 0 01
2
xyzxyyzzx
xyxy
=
(1 + )(1 2)
1 0 1 0
0 01 2
2
xyzx
-
TUGAS IV
BALOK
Elemen Balok Lurus dengan Penampang Prismatis
Aplikasi kondisi batas (4.3) menghasilkan :
1122
=
1 0 0 00 1 0 01 2 3
0 1 2 32
1234
atau {un}=[P]{an}
Dalam bentuk invers menjadi
(4.4)
-
1234
=
1 0 0 00 1 0 0
3
2
2
3
2
1
2
31
2
2
31
2
1122
1234
=1
3
3 0 0 00 3 0 0
3 22 3 2
2 2
1122
atau {an}=[P]-1{an}
subtitusi solusi untuk {an} pada Persamaan ( 4.5) ke dalam Persamaan ( 4.2) menghasilkan:
( ) ( )
(
)
(
)
( ( ) ( ) ( ) ( ))
Persamaan kekakuan
Dimana, ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) (4.12)
( ) ((
) (
) (
) (
))
( ) ((
) (
) (
) (
))
(4.5)
-
Dimana , - *
+
* +
.
/
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
, -
, -
-
TUGAS V
Aplikasi Elemen Balok
Untuk elemen 1-2
1122
=
3
12 6 12 66 42 6 22
12 6 12 66 22 6 42
1122
Untuk elemen 2-3
2233
=2
(2)3
12 6(2) 12 6(2)
6(2) 4(2)2 6(2) 2(2)2
12 6(2) 12 6(2)
6(2) 2(2)2 6(2) 4(2)2
2233
2233
=2
83
12 12 12 1212 162 12 82
12 12 12 1212 82 12 162
2233
2233
=
3
3 3 3 33 42 3 22
3 3 3 33 22 3 42
2233
-
112233
=
3
12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 012 6 12 + 3 6 + 3 3 36 22 6 + 3 42 + 42 3 22
0 0 3 3 3 30 0 3 22 3 42
112233
112233
=
3
12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 012 6 15 3 3 36 22 3 82 3 22
0 0 3 3 3 30 0 3 22 3 42
112233
Dengan , maka hasil assembling disusun kembali dengan mengumpulkan v1, 1,dan v3 mulai dari penyusunan baris lalu kolomnya, sehingga menjadi
223113
=
3
12 6 15 3 3 36 22 3 82 3 22
0 0 3 22 3 42
12 6 12 6 0 06 42 6 22 0 00 0 3 3 3 3
112233
Lalu kolomnya,
2 =
2 = 3 = 01 = 11 = 13 = 3
=
3
15 3 3 12 6 33 82 22 6 22 33 22 42 0 0 312 6 0 12 6L 06 22 0 6 42 03 3 3 0 0 3
223
1 = 01 = 03 = 0
Sehingga dihasilkan
0 =
3 15 3 33 82 22
3 22 42
223
Dan
1103
=
3 12 6 06 22 03 3 3
223
-
Lalu diselesaikan dengan invers matriks
223
=3
15 3 33 82 22
3 22 42
1
0
223
=3
7
69
3
46
5
463
46
17
922
13
922
5
46
13
92237
922
0 =
53
138112
92
32
92
=2
276 10339
Reaksi luar dan momen lentur pada peletakan dapat dihasilkan dengan mensubstitusikan hasil di atas
113
=
3 12 6 06 22 03 3 3
2
276 10339
=
53
4621
46
7
46
Gaya internal elemen diperoleh dengan melakukan substitusi nilai derajat kebebasan nodal yang diketahui
ke dalam Persamaan awal dari masing-masing elemen
Elemen 1-2
1122
=
3
12 6 12 66 42 6 22
12 6 12 66 22 6 42
2
276
00
1033
=
53
4621
46
53
46
16
23
Untuk elemen 2-3
2233
=2
(2)3
12 6(2) 12 6(2)
6(2) 4(2)2 6(2) 2(2)2
12 6(2) 12 6(2)
6(2) 2(2)2 6(2) 4(2)2 2
276
103309
2233
=
43
12 12 12 1212 162 12 82
12 12 12 1212 82 12 162
2
276
103309
2233
=
3
3 3 3 33 42 3 22
3 3 3 33 22 3 42
2
276
103309
=
7
467
23
7
460
-
Dari hasil perhitungan didapatkan
T1
T2
T3
M1
M2
M3 0
top related