elementi di teoria dei segnali - ispamm – intelligent...
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Master "Tecniche per la Multimedialità" 1
Elementi di Teoria dei Segnali
Ing. Michele Scarpinitimichele.scarpiniti@uniroma1.it
http://ispac.ing.uniroma1.it/scarpiniti/index.htm
Master "Tecniche per la Multimedialità" 2
Il concetto di segnale
� I segnali sono funzioni nel senso ordinario del termine
� Il temine segnale si riferisce all’impiego di questi enti matematici in un contesto dove si effettua lo scambio di messaggi informativi tra soggetti diversi, individuabili come sorgente e destinatario, come accade in un sistema di comunicazione
Master "Tecniche per la Multimedialità" 3
Classificazione dei segnali
� Rispetto alla conoscenza a priori:� Certi;� Aleatori.
� Rispetto al codominio:� Reale;� Complesso.
� Rispetto alla tipologia della coppia dominio-codominio:
� Continuo-continuo;� Continuo-discreto;� Discreto-continuo;� Discreto-discreto.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 4
Classificazione dei segnali
Master "Tecniche per la Multimedialità" 5
Classificazione dei segnali
� Rispetto al contenuto energetico:� Segnali di energia: energia finita e non nulla
� Segnali di potenza: potenza finita e non nulla
( ) ( ) ( ) 2*sE s t s t dt s t dt
∞ ∞
−∞ −∞
= ⋅ =∫ ∫
( ) 22
2
1lim
T
Ts TP s t dt
T
∆
∆∆ →∞ −=
∆ ∫Un segnale di energia ha potenza nulla; un segnale di potenza ha energia infinita. Se il segnale è periodico, la potenza è calcolata su un periodo.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 6
Esempi di segnali
0 50 100 150 200 250 300 350 400-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
( ) ( )0cos 2s t A f tπ ϕ= +
0
1f
T=
A: ampiezza;
f0: frequenza;
ϕ: fase;
T: periodo
Master "Tecniche per la Multimedialità" 7
Esempi di segnali
( ) ( )Ts t rect t=
( ) ( )Tx t tri t=t
x(t)
1
T-T
Master "Tecniche per la Multimedialità" 8
Esempi di segnali
( ) ( )1s t u t−=
( ) ( ) ( )0x t u t tδ= =
t
s(t)
1
0
t
x(t)
1
0
Master "Tecniche per la Multimedialità" 9
Esempi di segnali
� Un segnale molto usato nella teoria dei segnali e dei sistemi è il seno cardinale o semplicemente sinc.
( ) ( )sinsinc
ts t t
t= =
E’ da notare che il valore di sinc(t) per t=0 è 1, cioèsinc(0)=1
Master "Tecniche per la Multimedialità" 10
Il sistema
� Un sistema T è una “scatola nera” che preleva il segnale x(t) e gli fa corrispondere un segnale in uscita y(t).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 11
Il sistema
� Un sistema T è lineare se:� x1(t)→y1(t)
� x2(t)→y2(t), allora
� a1x1(t)+a2x2(t) → a1y1(t)+a2y2(y)
� Un sistema T è permanente se:� x(t)→y(t), allora
� x(t-T)→y(t-T)
Master "Tecniche per la Multimedialità" 12
L’uscita del sistema
� Si chiama risposta impulsiva di un sistema T l’uscita corrispondente ad un impulso di Dirac.
� La risposta impulsiva caratterizza completamente il sistema T.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 13
L’uscita del sistema
� Nota la risposta impulsiva h(t) di un sistema T è allora nota l’uscita y(t) per un generico ingresso x(t):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y t x h t d x t h tτ τ τ∞
−∞
= ⋅ − =∫
� La formula precedente è detta integrale di convoluzione.
� Un esempio di convoluzione tra due rettangoli è mostrata nella slide successiva.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 14
L’uscita del sistema
Master "Tecniche per la Multimedialità" 15
L’uscita del sistema
� Per la serie e il parallelo di due diversi sistemi di risposta impulsiva h1 e h2, valgono le seguenti relazioni:
Master "Tecniche per la Multimedialità" 16
L’auto e cross-correlazione
� Si definisce funzione di auto-correlazione:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*xxR t x x t d x t x tτ τ τ
∞
−∞
= ⋅ + = ⊗∫
� Si definisce funzione di cross-correlazione:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*xyR t x y t d x t y tτ τ τ
∞
−∞
= ⋅ + = ⊗∫
Master "Tecniche per la Multimedialità" 17
L’auto e cross-correlazione
� In particolare:
( )0x xxE R=� Mentre si definisce energia incrociata:
( ) ( ) ( )*0xy xyE R x x dτ τ τ∞
−∞
= = ⋅∫
� Relazioni analoghe valgono per i segnali di potenza.
� Si definisce coefficiente di correlazione:xy
xy
x y
E
E Eρ =
Master "Tecniche per la Multimedialità" 18
Filtro
� In generale la h(t) è complessa.
� Se h(t) è reale allora il sistema è idealmente realizzabile (IR).
� Se il sistema è anche causale (cioè h(t)=0 pert<0) allora il sistema è fisicamente realizzabile (FR).
� Un sistema lineare e permanente è detto filtro.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 19
Filtro
� Un filtro è instabile se l’uscita, in corrispondenza di ingressi limitati in ampiezza, assume valori illimitati.
� Un filtro è stabile se l’uscita rimane limitata.
� Condizione necessaria e sufficiente affinchéun filtro sia stabile è che:
( )h t dt∞
−∞
< ∞∫
Master "Tecniche per la Multimedialità" 20
Lo sviluppo in serie di Fourier
� Se un segnale è periodico (x(t)=x(t+T)) allora è sviluppabile in serie di Fourier:
( ) 02j nf tn
n
x t X e π∞
=−∞
= ∑
( ) 0
22
2
1T
j nf tn
T
X x t e dtT
π−
−
= ∫
� La sequenza dei coefficienti Xn è detto spettro del segnale periodico x(t).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 21
Lo sviluppo in serie di Fourier
Master "Tecniche per la Multimedialità" 22
Lo sviluppo in serie di Fourier
� La potenza si può calcolare direttamente coi i coefficienti dello sviluppo in serie, tramite il teorema di Parseval:
2
x nn
P X∞
=−∞
= ∑
� Inoltre le funzioni di auto e cross-correlazionesono periodiche di periodo T, e i relativi spettri valgono:
xyn n nX YΦ = *xyn n nR X Y=
Master "Tecniche per la Multimedialità" 23
La trasformata di Fourier
� Un segnale non impulsivo e quindi non di energia non può essere sviluppato in serie di Fourier
� Si può però definire un’operazione detta trasformata di Fourier, che è un concetto limite della serie.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 24
La trasformata di Fourier
� Si può passare dal segnale x(t) alla sua trasformata di Fourier X(f) e viceversa (antitrasformata di Fourier), tramite le:
( ) ( ) ( ){ }2 1j ftx t X f e df X fπ∞
+ −
−∞
= =∫ F
( ) ( ) ( ){ }2j ftX f x t e dt x tπ∞
−
−∞
= =∫ F
Master "Tecniche per la Multimedialità" 25
La trasformata di Fourier
� Un esempio: trasformata del rettangolo:
Master "Tecniche per la Multimedialità" 26
La trasformata di Fourier
� In generale X(f) è complessa:� X(f)=XR(f)+jXI(f)=M(f)ejΦ(f)
� Se x(t) è reale allora X(f)=X*(-f)� Cioè XR(f) e M(f) sono funzioni pari;
� XI(f) e Φ(f) sono funzioni dispari.
� La trasformata di Fourier è un operatore lineare.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 27
La trasformata di Fourier
� Proprietà della traslazione nel tempo:
( ){ } ( )2j fTx t T e X fπ−− =F
� Proprietà della derivazione nel tempo:
( ) ( )2d
x t j fX fdt
π =
F
� Proprietà del prodotto nel tempo:
( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f⋅ =F
Master "Tecniche per la Multimedialità" 28
La trasformata di Fourier
� Vale il teorema di Parseval:
( ) 2
xE X f df∞
−∞
= ∫� Teorema della convoluzione:
( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f= ⋅F
� Teorema della correlazione:
( ) ( ){ } ( ) ( )*x t y t X f Y f⊗ = ⋅F
Master "Tecniche per la Multimedialità" 29
La trasformata di Fourier
� Se l’ingresso x(t) di un filtro è un segnale sinusoidale a frequenza f0, allora anche l’uscita sarà un segnale sinusoidale di frequenza f0, ma di ampiezza e fase diversi.
� Facendo variare la f0, posso ricostruire l’uscita per ogni frequenza e disegnare quindi, la risposta in frequenza.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 30
I filtri
� Un filtro, visto in frequenza può dividersi in tre categorie:� Passa basso;
� Passa alto;
� Passa banda.
� Questi filtri eliminano le alte frequenze, le basse frequenze e le frequenze al di fuori di una certa banda, rispettivamente.
� La trasformata di Fourier del risposta impulsiva di un filtro caratterizza completamente il funzionamento del filtro in frequenza, ed è chiamata funzione di trasferimento del filtro.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 31
I filtriPassa Basso: passano inalterate tutte le frequenze inferiori a fL.
Passa Alto: passano inalterate tutte le frequenze superiori a fH.
Passa Banda: passano inalterate tutte le frequenze comprese tra f1 e f2.
B=f2-f1 è detta larghezza di banda.
f0=(f1+f2)/2 è detta frequenza di centro banda.
f
H(f)
1
fL-fL
f
H(f)
1
fH-fH
Master "Tecniche per la Multimedialità" 32
I filtri
� Consideriamo il filtro passa basso ideale, precedentemente disegnato.
� Risulta che: H(f) = rect2fL(f)� Quindi nel tempo ho una risposta nel tempo
pari a: h(t)=2fLsinc(πfLt)� E’ chiaro che h(t) risulta non nulla per t<0, e
quindi il filtro passa basso ideale non risulta fisicamente realizzabile.
� I filtri reali hanno una pendenza più dolce: scendono verso zero più lentamente.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 33
I filtri
� Grazie al teorema della convoluzione, l’uscita in frequenza Y(f) di un filtro è dato semplicemente dal prodotto della trasformata di Fourier dell’ingresso al filtro X(f) con le sua funzione di trasferimento H(f):
H(f)X(f) Y(f)=H(f)·X(f)
Master "Tecniche per la Multimedialità" 34
Spettro di densità di energia
� Si consideri il segnale x(t) ed il seguente filtro:
� Si definisce energia del segnale x(t) nella banda [f,f+∆f], l’energia in uscita dal filtro precedente quando si pone x(t) in ingresso.
� Tale energia si indica con: Ex,f,f+∆f.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 35
Spettro di densità di energia
� Si faccia ora l’ipotesi che la banda sia infinitesima, ovvero che ∆f→0.
� Allora al seguente rapporta si dà il nome di spettro di densità di energia:
( ) , ,
0lim x f f f
xf
EE f
f+∆
∆ →=
∆
� L’energia del segnale x(t) può quindi essere calcolata con questa nuova grandezza, come:
( )x xE E f df∞
−∞
= ∫
Master "Tecniche per la Multimedialità" 36
Spettro di densità di energia
� Per i segnali di energia vale il risultato seguente, noto come Teorema di Wiener:
( ) ( ) ( ){ }2
x xxE f X f R t= =F
� Quindi lo spettro di densità di energia di un segnale x(t) può essere calcolato come trasformata di Fourier della funzione di auto-correlazione del segnale x(t).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 37
Spettro di densità di potenza
� In modo analogo si definisce la potenza del segnale x(t)nella banda [f,f+∆f], e la si indica con: Px,f,f+∆f.
� Si definisce spettro di densità di potenza Px(f):
( ) , ,
0lim x f f f
xf
PP f
f+∆
∆ →=
∆
� La potenza del segnale x(t) può quindi essere calcolata come:
( )x xP P f df∞
−∞
= ∫
� Vale il teorema di Wiener, per i segnali di potenza:
( ) ( ){ }x xxP f R t=F
Master "Tecniche per la Multimedialità" 38
Il segnale analitico
� Si consideri il segnale x(t) ed il seguente filtro, dato da un gradino in frequenza:
H(f)
1
0 f
� L’uscita del segnale x(t) dal filtro precedente è chiamato segnale analitico ed indicato con x+(t).
� In frequenza il segnale analitico ha solo un contributo a frequenze positive
Master "Tecniche per la Multimedialità" 39
L’inviluppo complesso
� Si definisce inviluppo complesso il segnale ottenuto dalla seguente espressione:
( ) ( ) 022 j f tx t x t e π−+=
� L’ inviluppo complesso è un segnale complesso, che quindi ha una parte reale ed una parte immaginaria, denominate componenti analogiche di bassa frequenza in fase e quadratura:
( ) ( ) ( )c sx t x t jx t= +
Master "Tecniche per la Multimedialità" 40
L’inviluppo complesso
� Un segnale x(t) è detto limitato in banda [f1,f2] intorno ad una frequenza f0, se è nullo lo spettro X(f) al di fuori di questa banda.
� La banda B del segnale è B=f2-f1� f0=(f1+f2)/2
Master "Tecniche per la Multimedialità" 41
L’inviluppo complesso
� Un segnale x(t) limitato in banda [f0-fB,f0+fB]intorno a f0 può essere riportato in banda base intorno allo zero [-fB,fB] tramite l’inviluppo complesso.
� Il segnale nella banda originale intorno a f0 può essere riottenuto tramite le componenti analogiche in bassa frequenza (ricavate dall’inviluppo complesso):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0cos 2 sin 2c sx t x t f t x t f tπ π= −
Master "Tecniche per la Multimedialità" 42
L’inviluppo complesso
� Quanto detto precedentemente è illustrato nel seguente esempio:
Master "Tecniche per la Multimedialità" 43
Il campionamento
� Si vuole ora passare da un segnale continuo-tempocontinuo ad un segnale continuo-tempo discreto.
� Una procedura è leggere il segnale ad istanti regolari di tempo: ogni Tc, prendo il valore del segnale (x(0), x(Tc), x(2Tc), x(3Tc),…).
� Il processo è chiamato campionamento, mentre Tc èdetto periodo di campionamento.
� La sequenza …,x(0), x(Tc), x(2Tc), x(3Tc),… è detta sequenza di campionamento, mentre il singolo x(kTc)è detto campione di x(t) all’istante kTc.
� Fc=1/Tc è detta frequenza di campionamento.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 44
Il campionamento
� Un metodo pratico per leggere un segnale x(t) ogni Tc èquello di moltiplicare il segnale x(t) per un treno di impulsi s(t) equispaziati di Tc.
� Il segnale ottenuto (segnale campionato) viene indicato con xc(t).
� Si ricorda che la trasformata di Fourier di un treno di impulsi è un treno di impulsi equispaziati di fc e scalati di Tc, mentre la convoluzione in frequenza tra un segnale e un treno di impulsi dà come risultato lo spettro del segnale riportato sopra ogni impulso (replica).
� E’ molto istruttivo vedere il processo di campionamento contemporaneamente nel tempo che in frequenza.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 45
Il campionamento
f
X(f)
1
0t
x(t)
t
s(t)
t
xc(t)
f
Xc(f)
fc 2fC-2fc -fc
t
S(f)
0
fc 2fC-2fc -fc 0
fM-fM0
0
0Tc
Tc 2Tc 3Tc-3Tc-4Tc -2Tc
1 1/Tc
1/Tc
Master "Tecniche per la Multimedialità" 46
Il campionamento
� Per poter ricostruire il segnale x(t), quindi devo far passare il segnale campionato xc(t) in un filtro passa basso ideale H(f) con frequenza di taglio fM.
� In questo modo isolo la replica intorno all’origine ottenendo il segnale y(t) che coincide con il segnale x(t).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 47
Il campionamento
� Il segnale ricostruito y(t) può quindi essere espresso come segue:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
sinc 2
sinc 2
c c c Mk k
c M ck
y t x t t kT h t x kT t kT f t
x kT f t kT
δ δ = ⋅ − ∗ = − ∗ =
= −
∑ ∑
∑
Master "Tecniche per la Multimedialità" 48
Il campionamento
� Se ora si diminuisce il periodo di campionamento Tc e quindi di conseguenza si aumenta la frequenza di campionamento fc (cioè prendo più informazione dal segnale), le repliche in frequenza si allontanano.
� Riesco allora a ricostruire il segnale anche con un filtro meno performante di quello ideale (che non èfisicamente realizzabile).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 49
Il campionamento
� Se viceversa si aumenta il periodo di campionamento Tc e quindi di conseguenza si diminuisce la frequenza di campionamento fc (cioè prendo meno informazione dal segnale), le repliche in frequenza si avvicinano.
� Riesco allora a ricostruire il segnale solo con un filtro sempre più performante (che può non essere fisicamente realizzabile).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 50
Il campionamento
� Se Tc aumenta troppo e quindi di conseguenza si fcdiminuisce troppo (cioè prendo troppo poca informazione dal segnale), le repliche in frequenza si sovrappongono.
� Non riesco allora a ricostruire il segnale originale con il filtro passa-basso, in quanto l’uscita di tale filtro contiene anche informazione proveniente dalle repliche adiacenti.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 51
Il campionamento
� Questo fenomeno della sovrapposizione delle repliche è detto aliasing.
� Quando ho aliasing non riesco più a ricostruire il segnale.
� La frequenza di campionamenti fc minima per cui non ho aliasing è fc=2fM.
� Per poter ricostruire il segnale devo campionare ad una frequenza fcP2fM (fM è la massima frequenza del segnale).
� Il risultato precedente (fc P 2fM) è noto come Teorema del Campionamento o di Nyquist, mentre f=2fM è detta frequenza di Nyquist.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 52
La quantizzazione
� Il passo successivo è quello di trasformare un segnale continuo-tempo discreto in un segnale discreto-tempo discreto, ovvero digitale.
� Il segnale digitale non può assumere qualsiasi valore, ma solo un certo numero limitato.
� Risulta cioè quantizzato.� La quantizzazione, allora, è il processo che
trasforma gli infiniti valori del codominio di un segnale tempo-continuo nei “pochi” valori del codominio del segnale digitale.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 53
La quantizzazione
� Un metodo per effettuare la quantizzazione consiste ne dividere la dinamica del segnale (l’intervallo tra il minimo e massimo valore del codominio) in un certo numero L di livelli.
� Vedere la sequenza campionata all’istante kin quale intervallo appartiene.
� Associare al campione x(kTc) il valore del livello di appartenenza.
� In questo modo il segnale digitale può assumere solamente L valori distinti.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 54
La quantizzazione
� Ovviamente quanto più il numero L di livelli èelevato tanto più il segnale quantizzato xq(t)sarà “simile” al segnale originale x(t).
� In ogni caso sarà sempre presente un errorepari alla differenza del valore vero del campione ed il valore quantizzato: eq(kTc)=x(kTc)-xq(kTc).
� Tale errore viene detto errore o rumore di quantizzazione.
� L’errore di quantizzazione è tanto più piccolo quanto più elevato è il numero di livelli L.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 55
La quantizzazione
� Vediamo un esempio con L=11 livelli di quantizzazione:
� La sequenza quantizzata ottenuta è: {…,2,2,4,4,4,5,6,9,11,10,8,5,…}
Master "Tecniche per la Multimedialità" 56
La quantizzazione
� Si capisce intuitivamente che la sequenza quantizzata non coincide completamente con il segnale originale, come si può vedere dalla seguente figura:
t
xq(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
� Il processo di quantizzazione è quindi irreversibile.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 57
La quantizzazione
� Vista la natura binaria di molte applicazioni pratiche (su PC), solitamente il numero di livelli L è preso come una potenza di 2.
� Così se utilizzo N bit ottengo L=2N livelli differenti.
� Per esempio con N=8 ho L=256, con N=16 ho L=65536 , con N=16 ho L=16777216 livelli.
� Si noti che raddoppiando il numero di bit il numero di livelli incrementa molto più del doppio: l’andamento èesponenziale.
� Il numero N di bit da utilizzare per rappresentare Llivelli differenti è: N=log2L.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 58
La quantizzazione
� Alcuni esempi:
� CD Audio:� Fc=44100 Hz;
� N=16 bit (L=65536).
� PCM telefonico:� Fc=8000 Hz;
� N=8 bit (L=256).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 59
La quantizzazione
� L’insieme di campionatore e quantizzatorepermette di passare da un segnale analogico ad uno digitale, e per questo motivo prende il nome di convertitore analogico-digitale o ADC.
� Il processo inverso, cioè il passaggio da un segnale digitale ad uno analogico, è ottenuto attraverso il convertitore digitale-analogico o DAC.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 60
I segnali aleatori
� Purtroppo i segnali con cui funzionano i sistemi reali non appartengono alla tipologia di segnali certi, altrimenti non ci fornirebbero nessuna informazione, ma appartengono alla classe dei segnali aleatori.
� C’è un certo grado di non conoscenza dell’informazione trasmessa dai segnali “reali”.
� Se non conosciamo nulla del segnale, questo viene detto completamente aleatorio.
� Se conosciamo alcune caratteristiche ed altre no, viene detto ad aleatorietà parametrica (ad esempio di un oscillatore conosciamo l’ampiezza del segnale ma non la frequenza, etc.).
� Per studiare i segnali aleatori è necessaria una breve introduzione sulle nozioni di probabilità e statistica.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 61
La probabilità
� Intuitivamente la probabilità che un evento E accada, coincide con il numero di casi favorevoli all’evento E su tutti i casi possibili.
� E’ intuitivo supporre che la probabilità dell’evento E coincida con la frequenza con cui questo evento si presenta.
� Così ad esempio, lanciando in aria una moneta 100volte, ci aspettiamo che escano 50 “teste” e 50 “croci”,da cui una probabilità del 50% di avere ad esempio “testa”.
� In ogni caso la probabilità di avere “testa” si calcola come casi favorevoli (“testa” e quindi 1) su casi possibili (“testa” o “croce” e quindi 2) ottenendo quindi una probabilità di ½, cioè del 50%.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 62
La probabilità
� Matematicamente la probabilità di un evento E è un numero compreso tra 0 ed 1.
� Inoltre la probabilità dell’evento certo vale 1.
� Così ad esempio la probabilità che lanciando un dado esca un numero minore di 7 (è certo che sia così avendo il dado solo 6 facce) è 1, cioè del 100%.
� Le variabili che descrivono l’evento aleatorio prendono il nome di variabili aleatorie (v.a.).
Master "Tecniche per la Multimedialità" 63
La probabilità
� Data la v.a. X, la probabilità che essa assuma valori minori o uguali di x è indicata con Prob{XOx} ed è descritta dalla seguente funzione, detta funzione di ripartizione di probabilità (o cdf):
{ } ( )XProb X x F x≤ =
� La derivata di questa funzione è chiamata funzione di distribuzione di probabilità (o pdf):
( ) ( )X X
dp x F x
dx=
� Da questa funzione posso ricavare:
{ } ( )x
XProb X x p x dx−∞
≤ = ∫
Master "Tecniche per la Multimedialità" 64
La probabilità
� Due concetti molto importanti sono il concetto di media e varianza.
� La media mX di una v.a. X indica il valore medio della distribuzione, quello che divide la pdf in due parti di peso equivalente, e si calcola come:
( ) 1Xp x dx∞
−∞
=∫
� Poiché la probabilità dell’evento certo vale 1, deve essere che l’area al di sotto della pdf sia unitaria, cioè:
{ } ( )X Xm E x xp x dx∞
−∞
= = ∫
Master "Tecniche per la Multimedialità" 65
La probabilità
� La varianza σ2X di una v.a. X indica lo scarto
quadratico medio della distribuzione, cioè mi dice quanto i dati siano dispersi, cioè sparsi, intorno al suo valore medio, e si calcola come:
( ) ( )22X X Xx m p x dxσ
∞
−∞
= −∫
� La radice quadrata della varianza σ2X di una v.a. X,
indicata con σX è detta deviazione standard.
� La deviazione standard ha un significato analogo alla varianza.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 66
La probabilità
� Un primo classico esempio di densità di probabilità è la distribuzione uniforme, in cui ogni valore è equiprobabile.
� In realtà la distribuzione uniforme può anche non essere simmetrica, ad esempio può estendersi su un intervallo [a,b] qualsiasi.
� La distribuzione disegnata ha mX=0 e σ2X =A2/3.
( )1
, -20,
X
A x Ap x A
altrove
≤ ≤=
Master "Tecniche per la Multimedialità" 67
La probabilità
� Un secondo esempio notissimo è la distribuzione Gaussianadalla classica forma a campana:
( )( )2
22
2
1
2
X
X
x m
X
X
p x e σ
πσ
−−
=
� Per costruire una distribuzione Gaussiana basta conoscere due parametri, la media mX e la varianza
σ2X .
� Si dice che per la Gaussiana è sufficiente la statistica del secondo ordine.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 68
La probabilità
� La distribuzione Gaussiana è molto importante.
� Infatti molti fenomeni fisici e sociali sono modellati come una distribuzione Gaussiana.
� Inoltre se ho tanti processi, ognuno con una sua distribuzione di probabilità, il processo somma di questi avrà una distribuzione Gaussiana.
� Questo risultato è noto come teorema del limite centrale.
� Già con un numero di processi superiori a 5/6 la distribuzione somma risultante approssima abbastanza bene la gaussiana.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 69
La probabilità
� Esitono fenomeni aleatori che dipendono da più variabili aleatorie, ad esempio x1, x2,…, xN.
� Esiste quindi una funzione di distribuzione di probabilità multi-dimensionale px(x1, x2,…, xN), detta funzione di densità di probabilitàcongiunta.
� Le singole pxi(xi) vengono dette funzioni di densità di probabilità marginali.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 70
La probabilità
� Due eventi sono detti statisticamente indipendenti, se il verificarsi dell’uno non condiziona il verificarsi dell’altro.
� Se più eventi sono statisticamente indipendentiallora la funzione di densità di probabilitàcongiunta si fattorizza nel prodotto delle funzioni di densità di probabilità marginali:
( ) ( )1 21
, , ,k
N
N x kk
p x x x p x=
= ∏x …
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La probabilità
� Oltre alla media e alla varianza, esistono tante altre funzioni statistiche chiamate momenti.
� Per v.a. multi-dimensionali, posso definire i momenti misti, che coinvolgono diverse v.a..
� In particolare si definisce il momento misto di ordine 1:
( ) ( )1 2
1,1, 1 2 1 2 1 2 1 2, ,x xm x x x x p x x dx dx
∞ ∞
−∞ −∞
= ∫ ∫ x
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I processi aleatori
� Si definisce sorgente aleatoria Sx un qualsiasi dispositivo fisico che genera un segnale che risulti essere tutto o in parte non noto a priori.
� Indicato con x(t) un generico segnale aleatorio emesso dalla sorgente aleatoria Sx, prende il nome di processo aleatorio X(t) l’insieme {x(t)} di tutti i segnali aleatori che “a priori” la sorgente aleatoria Sxpuò generare.
� Si definisce realizzazione x(t) del processo aleatorio X(t) ciascun singolo segnale “a priori” generabile dalla sorgente aleatoria Sx.
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I processi aleatori
� Ai processi aleatori si possono applicare tutte le tecniche già apprese per i segnali certi.
� La descrizione del processo aleatorio è però fatta in modo statistico.
� La v.a. X1 ottenuta dal processo aleatorio X(t) al tempo t1 è detta v.a. estratta dal processo all’istante t1 ed è descritta dalla funzione di densità di probabilità:
( )1 1 1;xp x t
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I processi aleatori
� La v.a. X=(X1,X2,…,XN) ottenuta dal processo aleatorio X(t) al tempo t1, t2,…,tN è detta v.a. n-dimensionale estratta dal processo all’istante t1, t2,…,tN ed è descritta dalla funzione di densità di probabilità:
( )1 2 1 2, , , ; , , ,N Np x x x t t tx … …
� L’insieme di tutte le densità di probabilità del tipo precedente fino ad uno specificato ordine n, si chiama gerarchia di ordine n del processo aleatorio X(t), e descrive completamente il processo.
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I processi aleatori
� In questo modo posso definire la media mx(t1) del processo aleatorio X(t):
( ) ( )11 1 1 1 1;x xm t x p x t dx
∞
−∞
= ∫� Si definisce la varianza σ2
x(t1) del processo aleatorio X(t):
( ) ( )( ) ( )1
221 1 1 1 1 1;x x xt x m t p x t dxσ
∞
−∞
= −∫
� Si definisce momento misto di ordine (1,1) m(1,1)x(t1,t2) del
processo aleatorio X(t):
( ) ( ) ( )1
1,11 2 1 2 1 2 1 2 1 2; , ; ,x xm t t x x p x x t t dx dx
∞
−∞
= ∫
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I processi aleatori
� Un processo aleatorio X(t) è detto stazionario in senso stretto se ogni sua gerarchia di ordine n risulta invarianterispetto ad una traslazione dell’origine dei tempi, cioè:
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , , , , ; , , ,N N N Np x x x t t t p x x x t t tδ δ δ= + + +x x… … … …
� Un processo aleatorio X(t) è detto stazionario in senso latose la sua media non dipende dall’istante temporale di estrazione e il suo momento misto di ordine (1,1) dipende solo dalla differenza dei tempi τ=t2-t1:
( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1,1 1,11 2,
x x
x x
m t m
m t t m τ
≡
≡
Master "Tecniche per la Multimedialità" 77
I processi aleatori
� Una realizzazione x(t) di un processo aleatorio X(t) è detta tipica se da essa ècalcolabile la gerarchia di ordine n qualsiasi, in qualunque punto e per qualsiasi n-pla di tempi t1,t2,…,tN.
� Un processo aleatorio X(t) è detto ergodico, se tutte le realizzazioni sono tipiche.
� Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un processo sia ergodico è che esso risulti essere stazionario in senso stretto.
Master "Tecniche per la Multimedialità" 78
I processi aleatori
� Se un processo aleatorio X(t) è ergodicoallora le medie temporali del primo ordine sono uguali per tutte le realizzazioni x(t) ed inoltre coincidono con le corrispondenti medie d’insieme:
( )( ) ( )22 2 2
x
x x x x
x t m
P x t m mσ
≡
= ≡ ≡ −
� Quindi se il processo X(t) è a media nulla, la potenza coincide con la varianza.
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I processi aleatori
� Analogamente se X(t) è ergodico le medie temporali del secondo ordine (funzioni di auto-correlazione) sono tutte uguali e coincidono con le corrispondenti medie di insieme (momenti misti di ordine (1,1)):
( ) ( ) ( )1,1xx xR mτ τ≡
� Un risultato notevole è il teorema di Wiener-Khintchine: lo spettro di densità di potenza Px(f) coincide con la trasformata di Fourier del momento misto di ordine (1,1):
( ) ( ) ( ){ }1,1x xP f m τ≡F
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I processi aleatori
� Un processo aleatorio X(t) limitato in banda èdetto bianco se lo spettro di densità di potenza è costante all’interno di questa banda.
� Detta quindi B=f2-f1 la larghezza di banda, la potenza del processo X(t) bianco è pari a: Px=2BN.
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I processi aleatori
� Widrow ha dimostrato che il rumore di quantizzazione è ergodico uniforme e bianco, cioè ha una funzione di densità di probabilitàuniforme ed uno spettro di densità di potenza costante.
� La potenza di tale rumore coincide quindi con la varianza del processo che, ponendo q l’intervallo tra due livelli adiacenti, vale: σ2
x=q2/12.
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I processi aleatori
� Ad esempio con una dinamica di ±1Volt, utilizzando N=8 bit, cioè L=256livelli ed esprimendo il risultato in dB, ottengo σ2
x=(2/256)2/12=-53 dB
� Con N=16 bit, cioè L=65536 livelli ottengo σ2
x=(2/65536)2/12=-101 dB
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