elementos de análise numérica
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Elementos de Análise numérica
Solução de problemas em engenharia
• Sem computador • Com computador
Formulação
Solução
Interpretação
Formulação
Solução
Interpretação
Tópicos
• Interpolação• Ajuste de equações• Derivadas numéricas• Integração numérica• Raízes de equações• Sistemas de equações lineares• Sistemas de equações não lineares• Equações diferenciais
• Raizes da equaçao de manning• Canal prismático• Canal com seção dada em tabela
• Equação de remanso• Solução da equação para encontrar dx ideal para
muskingun cunge• Solução da propagação de reservatório usando
Newton• Erros simples (método de Euler)
Interpolação numérica
• Em várias aplicações de recursos hídricos existem relações entre variáveis que não podem ser expressas por funções analíticas simples.
• Curva cota-volume de um reservatório.• Relação cota-área molhada ou cota – raio hidráulico
de uma seção transversal
• Nestes casos é importante a interpolação para aproximar uma função aos dados.
Interpolação numérica
Cota Volume
100 400
102 1000
104 2000
109 4500
Qual é o volume para a cota 106?
cota
volu
me
Interpolação linear
• A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta
Interpolação numérica
cota
volu
me
)()()(
)()(1 001
010 xx
xx
xfxfxfxf
x
Interpolação quadrática
• Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos
Interpolação numérica
cota
volu
me )()(2 102010 xxxxbxxbbxf
x
Splines
• Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.
• Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau)
• Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas.
• Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.
Interpolação numérica
Splines
• Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.
Interpolação numérica
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Splines
• Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
35
37
39
41
43
45
47
0 5 10 15 20 25
Splines
• Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
35
37
39
41
43
45
47
0 5 10 15 20 25
Rotinas para interpolação
• Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines.
• Calculadora, Matlab, Excel, etc…• Rotina FINT usa interpolação linear
Interpolação numérica
Ajuste de equações
• Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam razoavelmente um conjunto de dados.
• Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário respeitar todos os pontos.
• A idéia é minimizar os erros com uma função simples.
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Ajuste – exemplo em simulação
• Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA na bacia do rio Taquari-Antas
• Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.
Ajuste de equações
0.4106baciario A3.2466 B
0
50
100
150
200
250
300
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Área da bacia (km2)
Larg
ura
do r
io (
m)
Ajuste – exemplo em simulação
• Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.
Ajuste de equações
Derivadas numéricas
• Considerando que a definição de derivada é:
• quando dt vai a zero.• Então é intuitivo
considerar uma aproximação para a derivada utilizando um dt pequeno.
t
v
dt
dv
lim
Derivadas numéricas
dt
dv
t
v
t
v
Erros de truncamento
• As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas.
Derivadas numéricas
t
f
dt
df
• É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor
Séries de Taylor
• A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.
Derivadas numéricas
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
• Onde h é a diferença entre xi+1 e xi.
• A série de Taylor é infinita.• A aproximação da derivada numérica é finita
Séries de Taylor
• O resto
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
Derivadas numéricas
11
)!1(
)(
nn
hn
fRn
O resto é dado por
Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 eé um valor entre xi+1 e xi
Séries de Taylor
Derivadas numéricas
11
)!1(
)(
nn
hn
fRn
A magnitude do valor do resto é da ordem de hn+1
Séries de Taylor e derivadas
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
Rnhxfxfxf iii ...)()()( 1
Derivadas numéricas
h
Rn
h
xfxfxf iii
)()(
)( 1
Por isso a derivada numérica é apenas uma aproximação, com erroDe truncamente dado por Rn/h
Séries de Taylor e derivadas
h
Rn
h
xfxfxf iii
)()(
)( 1
Derivadas numéricas
O valor do erro Rn/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf iii
Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menoro passo (incremento), menor o erro da aproximação.
Erros de arredondamento
Derivadas numéricas
Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes pararepresentar os números reais.
Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento
Derivadas numéricas
arredondamento
truncamento
totalerro
Incremento
Tipos de derivadas numéricas
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf iii
)()()(
)( 1 hOh
xfxfxf iii
Derivadas numéricas
)(2
)()()( 211 hO
h
xfxfxf iii
Progressivaforward
Regressivabackward
CentradaCentered
Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.
Derivadas numéricas
t
vregressiva
analítica
progressiva
Derivadas numéricas
t
vregressiva
analítica
progressiva
centrada
Derivadas numéricas
Exemplo derivada numérica
• A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por:
• onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal
dA
dQc
Derivadas numéricas
Exemplo derivada numérica
• Considerando uma seção prismática regular: dA
dQc
n
SRAQ
21
32
hdh
dAdh
dQc
Derivadas numéricas
Exemplo derivada numérica
• Considerando uma seção prismática regular: dA
dQc
n
SRAQ
21
32
hdh
dAdh
dQc
h
AAh
chhh
hhh
Derivadas numéricas
Exemplo derivada numérica• Considerando uma seção qualquer
dA
dQc
n
SRAQ
21
32
dhdA
dhdQ
c
h
AAh
chhh
hhh
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas deA; R e Q em função de h
interpolação
Integração numérica
• Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y.
• Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Integração numérica
Integração numérica
Itegração numérica
• Aproximar pontos sucessivos por polinômio simples e integrar polinômio.
• Caso mais simples: polinômio de grau 1 = reta = integração por trapézios
Integração numérica
Regra trapezoidal
x
f(x)
a b
f(b)
f(a)
2ba ff
abI
Aproxima área sob a curva pela área do trapézio
Integração numérica
Regra trapezoidal
x
f(x)
a b
f(b)
f(a)
2ba ff
abI
Aproxima área sob a curva pela área do trapézio
ERRO!
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Integração numérica
• Exemplo hidrograma unitário derivado do reservatório linear simples.
• Gráfico corresponde a• K=5 dias
• Dt =1 dia
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20 25 30 35
Integração numérica
k
t
ek
t
1
)(
• Exemplo hidrograma unitário derivado do reservatório linear simples.
• Aproximação discreta de função contínua, mantendo a mesma área.
• Representação discreta mais apropriada para programar modelos matemáticos em computadores
Integração numérica
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 5 10 15 20 25 30 35
Raízes de equações
• Em recursos hídricos surgem muitas equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares.
• Métodos numéricos são úteis para este tipo de problema.
Métodos numéricos para encontrar raízes de equações
• Bissecção
• Falsa posição
• Newton-Raphson
• Secantes
Raízes de equações
f(x)
x
raiz
Método de bissecção
• No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais de valor de x que “cercam” a raiz.
• Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:
Raízes de equações
2lu
r
xxx
Método de bissecção
Raízes de equações
F(x)
x
Método de bissecção
Raízes de equações
2lu
r
xxx
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja exatamenteentre xu e xl
Método de bissecção
Raízes de equações
2lu
r
xxx
F(x)
x
Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl
Se não, busca entre xr e xu
Método de bissecção
Raízes de equações
2lu
r
xxx
F(x)
x
Busca entre xr e xu
Busca termina de acordoCom critério de parada
Método de bissecção
• Critérios de parada– Incremento de x menor que limite dado– Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é
menor que limite dado
Raízes de equações
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posição
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
• Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados
• Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicialderivada
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicialderivada
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
derivada
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Método de Newton-Raphson
• Novamente a série de Taylor
Rnhxf
hxf
hxfxfxf iiiii
...
!3
)(
!2
)()()()( 32
1
Raízes de equações
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(
ii xxh 1se então
Método de Newton-Raphson
• Novamente a série de Taylor
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(
Raízes de equações
0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)
)(
)(1
i
iii xf
xfxx
Problemas do método de Newton-Raphson
• É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
Raízes de equações
x
Problemas do método de Newton-Raphson
• É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da raiz
Raízes de equações
x
Método das Secantes
• Um possível problema do método de Newton-Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
• Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
Raízes de equações
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
Método das Secantes• Um possível problema do método de Newton-
Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função.
• Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes.
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
Raízes de equações
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Método das Secantes
Raízes de equações
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Comparação de métodos
• Newton-Raphson é mais rápido, seguido do método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção.
• Newton-Raphson e Secantes podem divergir.
• Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica).
Raízes de equações
Exemplo
• Calcule o nível da água h se:
n
SRAQ
21
32
Raízes de equações
h
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m
B
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Exemplo
• Calcule o nível da água h se:
n
SRAQ
21
32
Raízes de equações
h
B
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5
m
1
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Exemplo
• Calcule a vazão de um vertedor
Raízes de equações
2
3
22
2
2
gLh
QhLCQ
h g=9,81 m/s2
H=20 cmL=10 mC=2
Exemplo
• Calcule o nível h para uma dada vazão Q
Raízes de equações
n
SRAQ
21
32
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas deA; R e Q em função de h
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Simples busca e interpolação da tabela
Exemplo
• O balanço hídrico de um reservatório é descrito pela equação da continuidade
• onde S é o volume armazenado; I a vazão de entrada e Q a vazão de saída
QIdt
dS
Raízes de equações
02)(
)(
)(22
111
111
tttttt hhhhhh
tttttt
IIQQtSShG
hfQ
hfS
QQII
t
SS
Deve ser resolvida a cada intervalo de tempo!
Exemplo• O balanço hídrico de um reservatório é
descrito pela equação da continuidade• onde S é o volume armazenado; I a vazão de
entrada e Q a vazão de saída
QIdt
dS
Raízes de equações
02)(
)(
)(22
111
111
tttttt hhhhhh
tttttt
IIQQtSShG
hfQ
hfS
QQII
t
SS
Deve ser resolvida a cada intervalo de tempo!
)()(
)(
1
11
ii
iiiii hGhG
hhhGhh
Usando secantes:
Para quando G é suficientemente próxima de zero, ou quando hi+1-hi for menor que valor arbitrado
Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor
)(
)(
)(
hgV
hfO
tfI
OIdt
dV
Raízes de equações
Equação de vertedor
)(
)(
)(
hgV
hfO
tfI
OIdt
dV
2/3shhLCQ
Raízes de equações
Supondo um reservatório
2
3020030200
3020030200
30200
2/32/313856,03856,011
3856,03856,011
3856,0
st
sttttt
tttt
hhLChhLCI
t
hhhh
t
hhhh
dt
dV
hhV
Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?
Raízes de equações
Como encontrar raízes de equações implícitas
2
30200302002/32/313856,03856,011
st
sttttt hhLChhLC
It
hhhh
Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes
E se houver operação de comportas durante uma cheia?
Raízes de equações
Exemplo
• Na aplicação do método de Msukingum-Cunge para a simulação da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação abaixo:
2,08,00
00
0 8,0 xtccSB
Qx
Raízes de equações
• Aplique considerando:• Q0=100 m3/s• c0=1,0 m/s• B = 30 m• S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)
00
05,2
cSB
Qx
Use a equação abaixo paraa estimativa inicial
Exemplo
• O escoamento em regime permanente em um rio pode ser descrito pela equação de remanso, aplicada trecho a trecho.
• Normalmente se conhece a condição de Q a montante e h a jusante (Q1 e hn).
• A equação pode ser resolvida para hn-1 usando um método como Newton-Raphson, ou das secantes, usando como tentativa inicial hn-1=hn+S.dx
Raízes de equações
Solver do Excel
• O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações.
• Não está claro que método que Solver utiliza.• Chute inicial deve estar relativamente próximo da
raiz.
Raízes de equações
Sistemas de equações lineares
• Método de Gauss
• Método de Gauss Seidel
Eliminação de Gauss
Gauss-Seidel
• Método iterativo
iteraçãonovax
tentativax
cxBx
bxA
k
k
kk
_1
1
Gauss-Seidel
• Método iterativo
14103
125203
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
explicitar x1 na equação 1; x2 na equação 2 …
Sistemas de equações não-lineares
• Método de Newton– Equivalente ao método de Newton-Raphson
para raizes de equações
Relembrando o método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicialderivada
Método de Newton para sistemas
• Novamente a série de Taylor
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(
0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é o vetor solução)
Neste casoxi é um vetore f’ é a matriz Jacobiana
)()( ii xfxxf
ii xxx 1
onde
Estimativa inicial gera resto 1
11
111 , rBhQB jj
11
21
11
21
11 ,,, rChhQQC jjjj
11
21
11
21
11 ,,, rMhhQQM jjjj
21
31
21
31
22 ,,, rChhQQC jjjj
21
31
21
31
22 ,,, rMhhQQM jjjj
111
111
11 ,,,
NjN
jN
jN
jNN rChhQQC
111
111
11 ,,,
NjN
jN
jN
jNN rMhhQQM
NjN
jNN rBhQB 11,
Cada equação terá restoprovavelmente diferentede zero.
A matriz Jacobiana
• A Matriz Jacobiana é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de um conjunto de equações.
Exemplo: sejam as funções
A matriz Jacobiana é
1111
111
1
1 rBhh
BQ
Q
Bjj
0,,, 12
11
12
111 jjjj hhQQC
0,,, 12
11
12
111 jjjj hhQQM
0,,, 13
12
13
122 jjjj hhQQC
0,,, 13
12
13
122 jjjj hhQQM
0,,, 111
1111
jN
jN
jN
jNN hhQQC
0,,, 111
1111
jN
jN
jN
jNN hhQQM
0, 11 jN
jNN hQB
0, 11
111 jj hQB
1212
121
2
111
1
111
1
1 rChh
CQ
Q
Ch
h
CQ
Q
Cjjjj
e assim por diantepara as outras equações
resto
Expansão em série de Taylor
Novo sistema de equações
Novo sistema de equações
Novo sistema de equações
Novo sistema de equações
Novo sistema de equações
Nova tentativa
• Resolvendo o sistema para os Q e h, as novas tentativas são:
ik
jik
ji
ikjik
ji
hhh
QQQ
11
1
11
1
Nova tentativa - cuidadosa
• Resolvendo o sistema para os Q e h, as novas tentativas são:
ik
jik
ji
ikjik
ji
hhh
QQQ
1
11
11
1
usando menor do que 1 (como 0,4 por exemplo)encontra solução mais lentamente mas o método dificilmente diverge
Jacobiano• Os elementos da matriz Jacobiana podem
ser calculados a partir de derivadas parciais analíticas ou numéricas.
Solução de equações diferenciais
• Problemas em engenharia, especialmente os variáveis no tempo, são descritos por equações diferenciais.
Modelo matemático
• Modelo = Representar a realidade de maneira simplificada.
• Modelo matemático = representar a realidade de maneira simplificada por equações.
• F = k . x (força de uma mola)
Modelos hidrodinâmicos
0qt
A
x
Q
0Sx
hAg
A
Q
xt
Qf
2
Modelo unidimensional
Modelos hidrodinâmicos
2
2
2
2
hcx y
u
x
uAvu
x
zg
y
uv
x
uu
t
u
2
2
2
2
hcy y
v
x
vAuv
y
zg
y
vv
x
vu
t
v
0
y
vzh
x
uzh
t
z
Modelo bidimensional
Modelo simples
• Balanço hídrico num reservatório
OIdt
dV
Modelo simples
• Concentração num tanque fechado
ktecc
kcdt
dc
0
Métodos numéricos
• Modelos matemáticos mais complicados são analisados utilizando métodos numéricos.
• As equações de escoamento, por exemplo, não tem solução analítica.
Diferenças finitas
• Segue o princípio das derivadas numéricas.
• Derivadas são substituídas por diferenças.
• Equações diferenciais são substituídas por equações algébricas
Equações diferenciais
Diferenças finitas
• Esquemas numéricos– Derivadas numéricas podem ser progressivas,
regressivas, centradas.– Derivadas podem ter mais termos da série de
Taylor
Equações diferenciais
Problema
• Lago completamente misturado
• Volume = 1 milhão de m3
• Vazão de entrada e de saída = 1 m3/s
• C entrada = zero
• C inicial no lago = 10 mg/l
• Decaimento k = 0,1 1/dia
Equações diferenciais
Solução analítica
kV
Q
ecc t
0
Equações diferenciais
Solução numérica – método de Euler
cVkcQdt
dcV
t
cc
tt
cc
t
c
dt
dc tt
tt
tt
1
1
1
Equações diferenciais
Vazão de entrada de 1 m3/s
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25 30 35
Tempo (dias)
Con
cent
raçã
o no
lago
(m
g/l)
.
c analiticac euler
Equações diferenciais
Vazão de entrada = 5 m3/s
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25 30 35
Tempo (dias)
Con
cent
raçã
o no
lago
(m
g/l)
.
c analiticac euler
Equações diferenciais
Mais volume e menor k
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80 100
Tempo (dias)
Con
cent
raçã
o (m
g/l)
. c analiticac euler
Soluções muito semelhantes
Equações diferenciais
Considerações
• A solução numérica apresenta erros em relação à solução analítica.
• Estes erros dependem das características do problema.
• No exemplo do lago misturado, quando a taxa de variação da concentração é muito grande, os erros aumentam.
Equações diferenciais
Problema do paraquedista
F = m.g
F = c.v
Equações diferenciais
Problema do paraquedista
F = m.g-c.v
Equações diferenciais
Problema do paraquedista
F = m.g-c.v
vcgmdt
dvdt
dva
amF
..
.
Equações diferenciais
Problema do paraquedista
F = m.g-c.v tvcgmvv
t
vv
dt
dv
vcgmdt
dv
tt
tt
1
1
Equações diferenciais
Problema do paraquedista
tvcgmvv
t
vv
dt
dv
vcgmdt
dv
ttt
tt
1
1
tm
ce
c
mgtv 1)(
Solução analítica
Equações diferenciais
Colocando números
• Massa do paraquedista m = 68,1 kg• Coeficiente de arrasto c = 12,5 kg/s• Aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2
Solução analítica = tetv 18355,0139,53)(
Velocidade terminal = 53,39 m/s ou pouco mais de 192 km/h
Equações diferenciais
Problema da paraquedista em VBA Excel
Equações diferenciais
Problema da paraquedista em VBA Excel
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
Passo de tempo = 1 s tvcgmvv ttt 1
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
Passo de tempo = 2 s
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
tvcgmvv ttt 1
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
Passo de tempo = 4 s
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
velo
cidad
e (k
m/h
)
.
tvcgmvv ttt 1
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
Passo de tempo = 6 s
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
tvcgmvv ttt 1
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
Passo de tempo = 8 s
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
tvcgmvv ttt 1
Equações diferenciais
Solução analítica x solução numérica
tvcgmvv ttt 1
Passo de tempo = 10.9 s
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
Equações diferenciais
Problemas com métodos numéricos
• A estabilidade da solução depende dos incrementos de cálculo (discretização temporal e espacial)
• Os erros da solução dependem da discretização.
• No exemplo analisado, quanto menor o Dt, menor o erro.
Equações diferenciais
Solução implícita
2
)(
1
1
11
1
21
21
ttt
ttt
ttt
ttt
vvv
tvcgmvv
tvcgmvv
tvcgmvv
Equações diferenciais
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
tvv
cgmvv
tvcgmvv
tvcgmvv
tttt
ttt
ttt
2
)( 11
11
1
Passo de tempo de 4 s
Equações diferenciais
tvv
cgmvv
tvcgmvv
tttt
ttt
2
)( 11
1
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
Passo de tempo de 6 s
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
tempo (s)
ve
loc
ida
de
(k
m/h
)
.
Equações diferenciais
Considerações
• Os erros dependem do esquema numérico que está sendo utilizado.
• Alguns esquemas numéricos reduzem os problemas de instabilidade.
Equações diferenciais
Solução implícita
21
2
221
22
2
)(
2
)(
1
1
11
11
11
tc
tv
ctgmvv
tv
ctgmvtc
v
tv
ctgmvtv
cv
tgmvtvv
cv
tvv
cgmvv
tt
t
ttt
tt
tt
ttt
t
tttt
Equações diferenciais
O que fazer quando não é possível a manipulação algébrica para explicitar o termo buscado?
tvv
cgmvvtt
tt
2/111
2
)(
2/1vcgmdt
dv
Exemplo: arrasto modificado
Equações diferenciais
O que fazer quando não é possível a manipulação algébrica para explicitar o termo buscado?
tvv
cgmvvtt
tt
2/111
2
)(
2/1vcgmdt
dv
Exemplo: arrasto modificado
Equações diferenciais
02
)( 1
2/111
t
tttt vt
vvcgmvvF
Solução: a cada passo de tempo encontrar raiz da equação usandométodo numérico (por exemplo Newton-Raphson)
Exemplo
• Um balde com um furo na sua parte inferior escoa uma vazão que pode ser estimada como:
• O balde tem um formato de tronco de cone com diâmetro de 25 cm na base e 35 cm no topo, e uma altura total de 40 cm.
• Considerando que o nível da água inicial é de 38 cm, simule o esvaziamento do balde até atingir o nível 5 cm.
22
3
1rrRRhVolume
r
Rhg2ACQ
Solução de equações diferenciais parciais
Diferenças finitas
• Considere a equação diferencial:
• Utilizando um esquema com derivada numérica centrada no espaço e explícito:
0
x
UV
t
U
02
111
x
UUV
t
UU ti
tit
i
ti
ti
Equações diferenciais parciais
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
x
UU
x
U ti
ti
1
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
x
UU
x
U ti
ti
211
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
x
UU
x
U ti
ti
1
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
011
x
UUV
t
UU ti
tit
i
ti
ti
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
0!
111
x
UUV
t
UU ti
tit
i
ti
ti
Esquemas numéricos
Equações diferenciais parciais
x
t
t
t+1
t-1
i-1 i+1i
Informação conhecida
Informação desconhecida
01 111
11
x
UU
x
UUV
t
UU ti
ti
ti
tit
i
ti
ti
Equação de transporte simplificada
)k(Sx
)CuA(
t
)CA(
1t1i
ti
ti
t1i
t1i
1ti
1ti
1t1i
1t1i
t1i
t1i
1t1i
1t1i Sk
x
CQCQ1
x
CQCQ
t
CACA
Equações diferenciais parciais
Modelo hidrodinâmico de rios0q
t
A
x
Q
0Sx
hAg
A
Q
xt
Qf
2
34
RA
QQnS
2
2
f
t2
ZZZZ
t
Zj
1iji
1j1i
1ji
i
ji
j1i
i
1ji
1j1i
x
ZZ1
x
ZZ
x
Z
2
ZZ1
2
ZZZ
ji
j1i
1ji
1j1i
x
t
i i+1
t+1
t
Equações diferenciais parciais
Modelo hidrodinâmico de rios
0
2
t2
AAAA
x
QQ1
x
QQ ji
1ji
j1i
ji
1j1i
1ji
i
ji
j1i
i
1ji
1j1i
0SxhhAgA
Q
A
Q1
SxhhAgA
Q
A
Q
t2
QQQQx
jfi
ji
j1i
jj
i
2j
1i
2
1jfi
1ji
1j1i
1j1j
i
21j
1i
2
j1i
ji
1j1i
1ji
i
1ii AA5.0A 1ii RR5.0R 3
4RA
QQnS
2
2
f
Equações diferenciais parciais
Equações de degrau
0QQQ tom1j1i
1ji
0A
Q
A
Q
2
1K
Q
QAhhAg
A
Q
A
Q2
i
1j1i
2
1i
1j1i
E1j1i
1j1i1j
i1j1i
i
21j1i
1i
21j1i
Equações diferenciais parciais
Equações de comporta
0QQQ tom1j1i
1ji
0211
hgACQ ji
Equações diferenciais parciais
Reservatório
0hht
AQQQ1QQ j
1i1j1i
srtom
j1i
ji
1j1i
1ji
0hh j1i
1j1i
Equações diferenciais parciais
Estações de bombeamento
0QQ 1j1i
1ji
0Hn,...,2H,1H,tQQ 1ji
Equações diferenciais parciais
Equação de transporte utilizada pelo QUAL2E
CK
xA
CuA
xAxC
EA
t
C
zCgCfCe
xV
CCEA
xV
CCEA
xA
xC
EA
xA
CQCQ
xA
CQ
xA
CuA
t
CC
t
C
1n1i
1ni
1n1i
i
1ni
1n1i
i
1ni
1n1i
1ni
1ni
1n1i
1n1i
ni
1ni
i-1 i i+1
Equações diferenciais parciais
Equação de transporte utilizada pelo QUAL2E
zCgCfCe 1n1i
1ni
1n1i
i-1 i i+1
Aplicação em todos os subtrechos resulta num sistema deequações tridiagonal
Equações diferenciais parciais
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1010
999
888
777
666
555
444
333
222
11
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
fe
gfe
gfe
gfe
gfe
gfe
gfe
gfe
gfe
gf
Coeficientes que multiplicam valores de C no tempo n+1Valores que dependem de C no tempo n
Equações diferenciais parciais
Leituras adicionais
• Capítulo livro Modelos Hidrológicos
• Livro Alejandro Métodos Numéricos
• Numerical Recipes in FORTRAN
• Numerical Methods for Engineers (Chapra)
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