eletromagnetismo aplicado 4 teorema de poynting
Post on 19-Jun-2015
44 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Teorema de Poynting
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez‐Esquerre
Equações de Maxwell
( ) ( ),H r tE r t μ
∂∇× = −( ),E r t
tμ∇× =
∂
( )E r t∂( ) ( ) ( ),, ,
E r tH r t J r t
tε∂
∇× = +∂
( ) ( ). , ,D r t r tρ∇ =
( ). , 0B r t∇ =( ),
EE H E J Eε ∂∇× = +i i iE H E J E
tε∇× = +
∂i i i
E∂EE J E H Et
ε ∂= ∇× −
∂i i i
( ) ( ) ( )A B B A A B∇ × = ∇× − ∇×i i i
( ) ( ) ( )E H H E E H∇ × = ∇× − ∇×i i i
( ) ( ) ( )E H H E E H∇× = ∇× −∇ ×i i i
( ) ( ) EE J H E E H Eε ∂= ∇× −∇ × −
∂i i i i( ) ( )
t∂
( ) ( ) EE J H E E H E ∂∇ ∇( ) ( )E J H E E H E
tε= ∇× −∇ × −
∂i i i i
HEt
μ ∂∇× = −
∂
( )H EE J H E H Eμ ε∂ ∂⎛ ⎞= − −∇ × −⎜ ⎟i i i i( )E J H E H Et t
μ ε∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( )H EE J H E E Ht t
μ ε∂ ∂= − − −∇ ×
∂ ∂i i i i
( )21 1 1 1E EE E E EE E E
∂∂ ∂ ∂ ∂i( )2 2 2 2
E E Et t t t t
∂ ∂ ∂= = + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂i i i
2 2H Eμ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ( )
2 2H E
E J E Ht t
μ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= − + −∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
i i
( )2 2H E
E Jdv dv E H dvμ ε⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= − + − ∇ ×⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( )
2 2E Jdv dv E H dv
t t⎜ ⎟= + ∇ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i
s cE Jdv E J dv E J dv= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i i∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫2 2⎛ ⎞2 2
2 2
2 2 2 2H E
dv H E dvt t t
μ ε μ ε⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫2 2 2 2t t t⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫( )E H dv E H ds∇ × = ×∫∫∫ ∫∫i i
S E H= ×
2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
tμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i2 2t ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
( ) φ⎡ ⎤⎡ ⎤
Teorema Complexo de Poynting
( ) Re Re Ajj t j tA t Ae Ae eφω ω⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) Re Re Bjj t j tB t Be Be eφω ω⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) Re ReB t Be Be e⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) Re Re Rej t j t j tA t B t Ae Be ABeω ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ≠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )cos cosA t B t A t B tω φ ω φ+ +( ) ( ) ( ) ( )cos cosA BA t B t A t B tω φ ω φ= + +
( ) ( ) ( ) ( )AB⎡ ⎤( ) ( ) ( ) ( )cos cos 2
2 A B A BABA t B t tφ φ ω φ φ= − + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
1AB( ) ( ) ( ) *1cos Re2 2A B
ABA t B t ABφ φ ⎡ ⎤= − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) *1cos Re2 2A B
E HS E t H t E Hφ φ× ⎡ ⎤= × = − = ×⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 2*S E H= ×
E j Hωμ∇× = −
H j E Jωε∇× = +H j E Jωε∇× = +
* *H E j H Hωμ∇× = −i iH E j H Hωμ∇
* * *E H j E E E Jωε− ∇× = −i i i
2 2* * *H E E H j H j E E Jωμ ωε∇× − ∇× = − + −i i i
( ) 2 2* *E H j H j E E Jωμ ωε∇ × = − + −i i
( ) 2 2* *E H j H j E E Jωμ ωε∇ × = − + −i i( ) j jμ
( ) ( )2 2* *E H dv j H E dv E J dvω μ ε∇ × = − − −∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( ) ( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
( )2 2* *E H ds j H E dv E J dvω μ ε× = − − −∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i( )∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
2 2 *1 1 1 12S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i
[ ] ( )1 Im 2S ds W W Pω= +∫∫ i
22 4 4 2
S ds j H E dv E J dvω μ ε⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
[ ] ( )Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i
Parte Real
[ ] 2*1 1 1Re Re2 2 2SS ds E J dv E dvσ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i
Parte Real
2 2 2
[ ]1 Re2 S CS ds P P= −∫∫ i
Parte Imaginária
[ ] 2 2 *1 1 1 1Im 2 Im2 4 4 2
S ds H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i⎝ ⎠
[ ] ( )1 Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i2 ∫∫
Exemplo:Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos
( ) ( )0ˆ, cosE r t xE t kzω= −
( ) ( )0ˆ, cosEH r t y t kzω= −
Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a, y=b e z=c.
( ) ( )η
2 2E Jdv H E dv E H dsμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i2 2t ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
2 2 *1 1 1 122 4 4 2
S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i
2 4 4 2⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
2 2E Jd H E d E H dμ ε∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫2 2
E Jdv H E dv E H dst
μ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i
S E H= × ( ) ( )00ˆ ˆcos cosES xE t kz y t kzω ω
η= − × −
2E ( )20ˆ cosES z t kzωη
= −
( )2 2 20 cos
2 2eW E E t kzε ε ω= = −
( ) ( )2
2 2 2 2002 cos cos
2 2 2m eEW H t kz E t kz Wμ μ εω ω= = − = − =( ) ( )022 2 2m eη
0E Jdv =∫∫∫ i 0E Jdv∫∫∫
( )2 2a b c
H E dv W W dxdydzμ ε⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟∫∫∫ ∫ ∫ ∫( )0 0 0
2 2 m eH E dv W W dxdydz+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ ∫ ∫ ∫
a b c c
∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )2 2 2 20 0
0 0 0 0
cos cosE t kz dxdydz ab E t kz dzε ω ε ω− = −∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 20 0
sin 2 sin 21 cos2
2 2 2 2
ct t kcab abE t kz dz E c
k kω ωε εω
⎛ ⎞−⎡ ⎤+ − = + −⎜ ⎟⎣ ⎦
⎝ ⎠∫ ( )0
2 2 2 2k k⎣ ⎦⎝ ⎠∫
Aplicando d/dt
( ) ( )2 cos 2 cos2t t kcab Eω ωεω ⎛ ⎞−
−⎜ ⎟02E
k k⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )2 2 2abμ ε∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤∫∫∫ ( ) ( )2 2 20 cos 2 cos2
2 2 2abH E dv E t t kc
tμ ε ω ω
η∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ⎝ ⎠∫∫∫
( )2
20ˆ cosES z t kzωη
= −
( ) ( )2 2
2 20 0cos cosa b a b
E EE H ds t dxdy t kc dxdyω ω× = − + −∫∫ ∫∫ ∫∫i
η
( ) ( )0 0 0 0
cos cosE H ds t dxdy t kc dxdyω ωη η
× = +∫∫ ∫∫ ∫∫i
b ( ) ( )20 cos 2 cos2
2abE H ds E t t kcω ωη
⎡ ⎤× = − − −⎣ ⎦∫∫ i
∂ ⎛ ⎞∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
Teorema de Poynting
2 2
2 2E Jdv H E dv E H ds
tμ ε∂ ⎛ ⎞= − + − ×⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫i i
2 2 *1 1 1 12S d j H E d E J d⎛ ⎞⎜ ⎟∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫2
2 4 4 2S ds j H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i
( ) 0ˆ jkzE r xE e−=
E( ) 0ˆ jkzEH r y eη
−=
2* 0 0
0ˆ ˆ ˆjkz jkzE ES E H xE e y e zη η
−= × = × =
Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos perdas, devemos demonstrar que:p , q
[ ]1 Re 02 S CS ds P P= − =∫∫ i2
[ ]2 2
0 01 1R R 0a b a bE ES d d d d d
⎡ ⎤⎢ ⎥∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫[ ] 0 0
0 0 0 0
Re Re 02 2
S ds dxdy dxdyη η
= − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫i
[ ] ( )1 I 2S d W W P∫∫
Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We
[ ] ( )Im 22 m e RS ds W W Pω= − − +∫∫ i
[ ] 2 2 *1 1 1 1Im 2 ImS ds H E dv E J dvω μ ε⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫i i[ ]Im 2 Im2 4 4 2
S ds H E dv E J dvω μ ε ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
2 2 20 0
0 0 0
1 14 4 4
a b c
eabcW E dv E dxdydz Eμ ε ε= = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
2 22 20 01 1a b c E Eabc abcW H dv dxdydz Eμ μ μ ε= = = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 02 2
0 0 04 4 4 4mW H dv dxdydz Eμ μ μ εη η
= = = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫
top related