elettromagnetismo cap 1 2
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04/03/01 1.1
1. Aspetti fenomenologici
Introduzione all’elettromagnetismo
Tutti i fenomeni della realtà quotidiana sono di naturaelettromagnetica
L’interazione elettromagnetica è molto più intensa di quellagravitazionale:
Rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale tra dueprotoni:
|Fe|/|Fg| = 1036
La materia è stabile grazie alla sostanziale neutralitàelettrica
Differenza tra Meccanica ed Elettromagnetismo
Meccanica: la forza è dominante
Elettromagnetismo i campi sono dominanti
Cenni storici
L’esistenza di fenomeni elettrici è nota dall’antichità
Elektron = ambra in greco
Studio sistematico dalla II metà del 700
Coulomb, Faraday, Maxwell
04/03/01 1.2
Elettrizzazione per strofinio
Se strofiniamo una bacchetta di ambra (plastica) o vetrocon un panno questa attrae piccoli pezzi di carta
Una bacchetta di ambra attrae una bacchetta di vetrosospesa ad un filo e respinge una bacchetta di ambra
Esistono cariche di 2 tipi che chiamiamo + e –
Alcuni materiali non si caricano per strofinio
Questo avviene perché le cariche si disperdono (conduttori)
Se consideriamo un conduttore con un manico isolantequesto si carica per strofinio
Isolanti e conduttori (struttura microscopica)
La materia è costituita da atomi:
Nucleo con protoni e neutroni (mp=mn=10-27kg, carica +)
Elettroni (me = 10-30 kg, carica -)
A = numero di massa, Z = numero atomico
Le proprietà della materia sono determinate dagli elettroni
Negli isolanti gli elettroni sono “legati” agli atomi o allemolecole
Nei conduttori gli elettroni degli “orbitali esterni” sono liberidi muoversi in tutto il materiale
Conservazione della carica
Nell’elettrizzazione per strofinio la carica viene ridistribuita
04/03/01 1.3
Alcuni elettroni (ad esempio 106) si trasferiscono dal vetro alpanno (carica -) o dal panno all’ambra (carica +)
La carica NON si crea ma si ridistribuisce
Quando si generano delle particelle a partire da energia(creazione di coppie e+ e-) la carica si conserva (qtot = 0)
La conservazione della carica deriva da una simmetria dellanatura
Quantizzazione della carica
Da raffinati esperimenti si è osservato che le cariche liberesono multiple della carica fondamentale (carica edell’elettrone e del protone)
e = 1.6 10-19 C
Questa carica è così piccola che negli esperimenti usuali lacarica può essere considerata continua
Esperimento di Millikan → misura della carica dell’elettrone
L’elettroscopio a foglie
L’elettroscopio a foglie mette in evidenza la presenza dicariche su un materiale (isolante o conduttore)
Funziona anche senza contatto. Come e’ possibile ?
Induzione elettrostatica
L’induzione elettrostatica permette di caricare unconduttore senza contatto
04/03/01 1.4
La carica elettrica come grandezza fisica
Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe digrandezze fisiche quando tra gli enti è possibile stabilire relazionidi confronto (uguale, maggiore e minore) ed effettuare leoperazioni di somma e differenza (e quindi di prodotto per unnumero e di rapporto)
L’elettroscopio consente di effettuare operazioni diconfronto tra le cariche possedute da due corpi
Possiamo sommare le cariche o meglio dividerle per unfattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttoriuguali)
⇒ La carica e’ una grandezza fisica
Per misurarla usiamo un procedimento indirettoconsiderando la forza che si esercita tra due corpi carichi(forza di Coulomb)
In questo modo sarebbe possibile definire la carica elettricacome grandezza derivata
È preferibile definire la carica come grandezzafondamentale
In realtà si definisce come grandezza fondam. la carica perunità di tempo (intensità di corrente)
04/03/01 2.5
2. Il campo elettrostatico
Legge di Coulomb
Per studiare la legge di Coulomb usiamo una bilancia ditorsione
r221
r
qqk uF =
ATTENZIONE: La forza agente su una carica elettrica èdata da questa espressione solo se la carica è ferma(elettrostatica)
Si noti la dipendenza della forza elettrica dall’inverso delquadrato della distanza. Verifica indiretta (Th. di Gauss)
La forza è centrale come la forza gravitazionale
La forza è attrattiva o repulsiva a seconda del “segno” dellecariche
Diverse espressioni della costante k
Sistema c.g.s. k = 1 ⇒ carica = unità derivata
Sistema Internazionale k = 1/(4πε0) ⇒ Carica unitàfondamentale (coulomb)
In realtà come unità fondamentale si definisce l’ampere (A)= 1 coulomb/1 secondo
ε0 = 8.85 10-12 C2 kg-1m-3s2 [oppure più usualmente Farad/m]
12
122
12
21
0r2
12
21
0 rr
qq4
1
r
qq4
112
ruF
πε=
πε=
04/03/01 2.6
La forza tra due cariche di 1 C ad un metro è di 109 N !!
Il coulomb è una unità molto grande
In un sistema di riferimento cartesiano:
( ) ( ) ( )[ ] 23221
221
221
21
0
21x
zzyyxx
xx4
qqF
−+−+−
−πε
=
...F
...F
z
y
=
=
Il principio di sovrapposizione
Il legame tra forze e carica è lineare ⇒
Vale il principio di sovrapposizione
Legge di composizione vettoriale per la forza agente tra piùcariche
∑πε=
i i
i2
i
i
0 rr
qq4
1 rF
Il campo elettrostatico
Nella legge di Coulomb possiamo pensare che una caricaelettrica generi una perturbazione nello spazio (campoelettrico) e che l’altra carica ne risenta gli effetti
Per definire il campo elettrico dividiamo la forza per unacarica sonda q0 che deve essere molto piccola
04/03/01 2.7
r20
r20
00 r
q4
1
r
qq4
1q
)z,y,x()z,y,x( uu
FE
πε=
πε==
Scomposizione nelle componenti cartesiane:
( ) ( ) ( )[ ] 2321
21
21
1
0x
zzyyxx
xx4
q)z,y,x(E
−+−+−
−πε
=
...)z,y,x(E
...)z,y,x(E
z
y
=
=
Unità di misura: newton/coulomb (N/C) = kg m s-2 C-1
Piu’ usualmente: volt/metro (V/m)
Ovviamente F = q0 E
Anche per il campo E vale il principio di sovrapposizione
Distribuzione di cariche puntiformi:
∑πε=
i i
i2
i
i
0 rr
q4
1 rE
Distribuzione continua di cariche (volume):
ρ = coulomb/metro3
r20 r
zdydxd)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
τ
′′′′′′ρπε
=
Distribuzione continua di cariche (superficie):
σ = coulomb/metro2
04/03/01 2.8
r20 r
dS)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
Σ
′′′σπε
=
Distribuzione lineare di cariche:
λ = coulomb/metro
rL
20 r
dL)z,y,x(4
1)z,y,x( uE ∫
′′′λπε
=
Il campo elettrico si rappresenta con le linee di forza e,come vedremo con le superfici equipotenziali
Le linee di forze escono dalle cariche positive ed entranoin quelle negative
Le linee di forze si incontrano solo in corrispondenza dellesorgenti e si chiudono all’infinito
Esempi di campi elettrici:
Carica puntiforme, 2 cariche uguali, 2 cariche diverse,strato di cariche con distribuzione uniforme
Il lavoro della forza elettrica
La forze elettrica è centrale ⇒ il campo elettrostatico èconservativo
Consideriamo una carica q0 che si muove nel campo Egenerato da una carica q. Il lavoro della forza elettrica è:
drr4
qqcosdsq
rd
qdqddL2
0
0000 πε
=ϑ=⋅=⋅=⋅= Esr
EsEsF
04/03/01 2.9
−πε
=πε
=⋅= ∫∫→BA0
0B
A 20
0B
ABA r1
r1
4qq
r
dr4qq
dL sF
Se il punto B è all’∞:
r1
4qq
L0
0p πε
=∞→
Definiamo potenziale elettrostatico V in un punto P delcampo generato da una carica puntiforme il lavoro che laforza del campo compie quando la carica + unitaria sisposta da P al riferimento (∞)
r1
4q
)p(V0πε
=
Differenza di potenziale tra 2 punti del campo:
∫ ⋅−=−=∆B
AAB dVVV sE
Lavoro che la forza elettrica compie quando una carica q0 sisposta dal punto A al punto B:
( ) UVVqVqL BA00BA ∆−=−=∆−=→
Il segno (-) che compare nella formula precedente dipendedal fatto che ad un lavoro positivo della forza del campocorrisponde una diminuzione di energia potenziale
In un punto generico del campo: U(p) = q0 V(p)
Se il campo è generato da più cariche puntiformi o da unadistribuzione continua di cariche il potenziale si calcola conil principio di sovrapposizione
04/03/01 2.10
∑πε=
i i
i
0 rq
41
V ∫τ
′−′′′′′′ρ
πε=
rrzdydxd)z,y,x(
41
V0
La circuitazione del campo elettrostatico lungo un percorsochiuso è sempre nulla:
∫ =⋅ 0dsE
Si può dimostrare facilmente dividendo in 2 tratti unqualsiasi percorso chiuso
Il campo elettrostatico è conservativo
Questa circostanza più che un vantaggio è un limite perchéuna carica in moto lungo un circuito chiuso non compirebbelavoro
Non funzionerebbe nessuna macchina elettrica
In condizioni non statiche il campo elettrico non èconservativo
Legame tra potenziale e campo elettrostatico:
Per la definizione di potenziale
( )dzEdyEdxEddV zyx ++−=⋅−= rE
V deve essere una funzione continua e derivabile ⇒
dzzV
dyyV
dxxV
dV∂∂+
∂∂+
∂∂=
Quindi
dzzV
EdyyV
EdxxV
E zyx ∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
04/03/01 2.11
VVgrad −∇=−= EE
Interpretazione geometrica del gradiente:Il gradiente fornisce la direzione di massimo incremento diuna funzione scalare, il verso dell’incremento positivo ed iltasso di incremento
nV
V∂∂=∇ derivata normale
Teorema del gradiente:
sssE dVdgradVddV ⋅∇=⋅=⋅−=
∫ ⋅∇=−=∆B
AAB dVVVV s
Operatore ∇:
zyx zyxuuu
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
Può essere scritto anche in altri sistemi di coordinate.Formalmente si presenta come un vettore che deve essereapplicato ad uno scalare o moltiplicato per un altro vettore
In coordinate sferiche:
φϑ φ∂∂
ϑ+
ϑ∂∂+
∂∂=∇ uuu
sinr1
r1
r r
La relazione tra potenziale V e campo E è utile percalcolare il campo
Si calcolano gli integrali di sovrapposizione di una funzionescalare (V) e si ottenere il vettore E tramite la relazione:
04/03/01 2.12
E=-gradV
Rappresentazione di un campo mediante le superficiequipotenziali
Ortogonalità delle linee di forze e delle superfici equipot.
Esempi illustrativi di sup. equipotenziali
Il teorema di Gauss
Definiamo una quantità che deriva da un paralleloidrodinamico e prende il nome di flusso di un vettoreattraverso una superficie
Dato un campo vettoriale v si definisce flusso elementaredel vettore v attraverso la supeficie infinitesima dS ilprodotto:
dSd Nuvv ⋅=ϕ
uN normale alla superficie dS
dScosd ϑ= vv
Il flusso attraverso una superficie estesa S e' datodall'integrale
∫ ⋅=S NdSuvv
Data una superficie chiusa S, si dice flusso uscente delvettore v l’integrale esteso alla superficie chiusa
∫ ⋅=S NdSuvv uN normale uscente
ϑun
v
dS
04/03/01 2.13
Consideriamo una carica puntiforme q ed una superficiesferica con centro in q e raggio R
Il flusso uscente del vettore E attraverso la superficie vale:
( )0
22
0SS NE
qR4
R
q4
1dSdS
ε=π
πε==⋅=ϕ ∫∫ EuE
Il flusso non dipende da R, ma solo dallacarica contenuta entro la superficie
Il risultato ottenuto vale in generale perqualunque superficie chiusa
Consideriamo una generica superficie chiusa S checontenga una carica puntiforme m e calcoliamo il flusso diE
dΩ = angolo solido sotto il quale lasuperficie infinitesima dS e’ vista dalpunto P
r = distanza dell’elemento disuperficie dS da P
l’elemento di superficie dS può essere scritto come
2r
cosdSd
ϑ=Ω ϑΩ=
cosdr
dS2
Integriamo lungo la superficie chiusa S
∫∫ ϑπε
=⋅=φS 2
0S N dScos
r4
qdSuE
M
R G
G
G
M
dsdωur
un ϑ
04/03/01 2.14
04
0S
2
20
qd
4q
cosdr
cosr4
qε
=Ωπε
=ϑΩϑ
πε=φ ∫∫ π
Il teorema di Gauss può essere applicato anche a carichedistribuite con densità ρil flusso del campo E attraverso una superficie chiusa e'pari all'integrale della densità di carica esteso al volumeracchiuso dalla superficie
∫ ρε
=ϕVol
0
d)(1
rr
Il teorema di Gauss consente di calcolare E in tutti i casi incui il sistema presenta particolari simmetrie
Campo elettrico di una sfera con densità di carica ρomogenea e raggio R
Le linee di forza del campo sono radiali per simmetria
il campo E è lo stesso in tutti i punti di una qualunque sup.sferica concentrica con m
Applichiamo il teorema di Gauss ad una generica superficiesferica di raggio r
Per r<R si ha
∫τ ρε
=φ rr d)(1
0
ρ
π
ε=π 3
0
2 r341
r4 E
04/03/01 2.15
03r
ερ=E
Per r>R
0
2 qr4
ε=π E
20 r
q4
1πε
=E
Il campo gravitazionale generato da una distribuzionesferica di carica m è uguale al campo che la stessa caricagenererebbe se fosse tutta nel centro
Strato di caricaCampo nell’intorno di uno strato sup. di carica
0dsEdsEdd21 tt2211 =−=⋅+⋅ sEsE
21 tt EE =
( ) dSdSEEdSdS0
nn2211 12 εσ=−=⋅+⋅ uEuE
0nn 12
EEεσ=−
In definitiva:
n0
12 uEEεσ=−
E r( )
r
V r( )
rR
∝ 1r∝
1r2
∝ r ∝ r2
++++++++++
++++++++++
E1E2
04/03/01 2.16
Le proprietà del campo elettrico in forma locale
Teorema di GaussFlusso attraverso un parallelepipedo infinitesimo
...dydzdxx
dydzd xx +⋅
∂∂++⋅−=φ uA
AuA
...dxdydzx
Ad x +
∂∂=φ
dxdydzz
Ay
A
xA
d zyx
∂
∂+∂
∂+
∂∂=φ
τ⋅∇=τ=φ dddivd AA
Avendo posto:
∂
∂+∂
∂+
∂∂=
zA
y
A
xA
div zyxA
La divergenza di un vettore A in un punto P rappresenta il flussodel vettore A attraverso la sup. che racchiude un elemento divolume dτ nell’intorno di P diviso il volume dτPer un volume esteso:
Il flusso che attraversa elementi di volume adiacenti si elide⇒ resta solo il flusso attraverso la superficie laterale
∫∫ τΣτ⋅∇=⋅=φ ddS)( n AuAA (Th della divergenza)
04/03/01 2.17
Il flusso di un vettore A attraverso una superficie chiusa Σ èpari all’integrale della div A nel volume racchiuso dallasuperficie Σ
Per il campo elettrico:
∫∫∫ ττΣτ
ερ=τ⋅∇=⋅=φ dddS)(0
n EuEE
Quindi: 0ε
ρ=⋅∇ E
Nel vuoto:
0=⋅∇ E
Conservatività del campo elettrico
Rotore di un campo vettoriale
Circuitazione lungo un percorso rettangolare element. ⊥ z
[ ] [ ]dydx
x
Adydx
yA
dy)y,x(Ady)y,dxx(Adx)dyy,x(A)y,x(A
dy)y,x(Adx)dyy,x(Ady)y,dxx(Adx)y,x(AdC
yx
yyxx
yxyxz
∂∂
+∂
∂−=
=−+++−=
=−+−++=
dxdyy
Ax
AdC xy
z
∂
∂−∂
∂=
Componente secondo z del vettore rot A
04/03/01 2.18
zyx
zyx
AAAzyx
rot∂∂
∂∂
∂∂=×∇=
uuu
AA
Componenti del rotore:
zy
yzx
xyz
yAx
x
A
xA
zA
z
A
yA
uuuA
∂
∂−∂
∂+
∂∂−
∂∂+
∂
∂−
∂∂=×∇
dSrotdSddC nAnAlA ⋅=⋅×∇=⋅=
La circuitazione di un vettore A lungo una linea checontorna una superficie infinitesima è data dal flusso delrotore del vettore A attraverso la superficie
La componente del rot A lungo una certa direzione è datadal rapporto della circuitazione di A lungo il contorno di unasuperficie infinitesima ortogonale alla direzione e l’areadella superficie
Viceversa il rotore di un campo indica la direzione lungo laquale deve essere presa la normale ad una superficieinfinitesima per ottenere la massima circuitazione lungouna linea che la contorna
Teorema di Stokes:
Cconaconcatenat
C
ddSrot Σ∀⋅=⋅∫ ∫Σ
lAnA
La circuitazione di un campo vettoriale lungo una lineachiusa C è uguale al flusso del rotore del campo attraversoqualsiasi superficie Σ concatenata con la linea C
04/03/01 2.19
Nel caso del campo elettrico, poiché la circuitazione èsempre nulla si ha anche:
00rot =×∇= EE
Identità vettoriale:
0V0)Vgrad(rotrot =∇×∇=×∇≡= EE
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