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Transformada Z
ENGC33: Sinais e Sistemas II
Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA
23 de janeiro de 2017
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 23
Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 23
Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 23
Apresentacao
Objetivos da aula de hoje:
Apresentar a transformada Z como ferramenta para analise desistemas de tempo discreto.
Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 23
Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 23
IntroducaoAspectos gerais
A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.
Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.
Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).
Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma
x [n] = zn = (rejΩ)n,
com z = rejΩ.
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 23
IntroducaoAspectos gerais
A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.
Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.
Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).
Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma
x [n] = zn = (rejΩ)n,
com z = rejΩ.
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 23
IntroducaoAspectos gerais
A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.
Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.
Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).
Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma
x [n] = zn = (rejΩ)n,
com z = rejΩ.
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 23
IntroducaoAspectos gerais
A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.
Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.
Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).
Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma
x [n] = zn = (rejΩ)n,
com z = rejΩ.
Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 23
IntroducaoAspectos gerais
A Transformada Z corresponde a transformada de Laplace para ossistemas de tempo discreto.
Permite analisar sinais que nao sao absolutamente somaveis.
Extensao da transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT).
Para tanto, vamos considerar uma exponencial complexa na forma
x [n] = zn = (rejΩ)n = rn cos(Ωn) + jrnsen(Ωn)
com z = rejΩ.
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Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 23
Transformada ZCaracterizacao de um sistema
Seja z = rejΩ ⇒ zn = rnejΩn.
Para x [n] = zn, temos y [n] = H(z)zn.
Sistemax[n] y[n]
De maneira similar a analise de resposta em frequencia:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
Para r = 1⇒ z = rejΩ = ejΩ, temos
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n ⇒ H(ejΩ) =
∞∑n=−∞
h[n]e−jΩn.
Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 23
Transformada ZCaracterizacao de um sistema
Seja z = rejΩ ⇒ zn = rnejΩn.
Para x [n] = zn, temos y [n] = H(z)zn.
Sistemax[n] y[n]
De maneira similar a analise de resposta em frequencia:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
Para r = 1⇒ z = rejΩ = ejΩ, temos
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n ⇒ H(ejΩ) =
∞∑n=−∞
h[n]e−jΩn.
Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 23
Transformada ZCaracterizacao de um sistema
Seja z = rejΩ ⇒ zn = rnejΩn.
Para x [n] = zn, temos y [n] = H(z)zn.
Sistemax[n] y[n]
De maneira similar a analise de resposta em frequencia:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
Para r = 1⇒ z = rejΩ = ejΩ, temos
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n ⇒ H(ejΩ) =
∞∑n=−∞
h[n]e−jΩn.
Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 23
Transformada ZCaracterizacao de um sistema
Seja x [n] = zn.
Sistemax[n] y[n]
Sabemos que
y [n] = x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n] =∞∑
k=−∞
x [k ]h[n − k ]
=∞∑
k=−∞
x [n − k ]h[k ].
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Transformada ZCaracterizacao de um sistema
Seja x [n] = zn.
Sistemax[n] y[n]
Sabemos que
y [n] = x [n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x [n] =∞∑
k=−∞
x [n − k ]h[k ]
=∞∑
k=−∞
x [n − k ]h[k ] =∞∑
k=−∞
zn−k h[k ] = zn∞∑
k=−∞
z−k h[k ]
= zn∞∑
n=−∞z−nh[n] = zn
∞∑n=−∞
h[n]z−n
︸ ︷︷ ︸H(z)
.
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Transformada ZComentarios
A resposta ao impulso (h[n]) e um sinal especial - caracteriza umsistema linear invariante no tempo (SLIT).
A transformada Z bilateral tambem caracteriza um SLIT:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
A transformada Z bilateral pode ser utilizada para um sinal x [n]:
X (z) =∞∑
n=−∞x [n]z−n.
Se comparada a transformada de Fourier, temos:
X (z) = X (rejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]r−ne−jΩn =∞∑
n=−∞
(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
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Transformada ZComentarios
A resposta ao impulso (h[n]) e um sinal especial - caracteriza umsistema linear invariante no tempo (SLIT).
A transformada Z bilateral tambem caracteriza um SLIT:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
A transformada Z bilateral pode ser utilizada para um sinal x [n]:
X (z) =∞∑
n=−∞x [n]z−n.
Se comparada a transformada de Fourier, temos:
X (z) = X (rejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]r−ne−jΩn =∞∑
n=−∞
(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
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Transformada ZComentarios
A resposta ao impulso (h[n]) e um sinal especial - caracteriza umsistema linear invariante no tempo (SLIT).
A transformada Z bilateral tambem caracteriza um SLIT:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
A transformada Z bilateral pode ser utilizada para um sinal x [n]:
X (z) =∞∑
n=−∞x [n]z−n.
Se comparada a transformada de Fourier, temos:
X (z) = X (rejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]r−ne−jΩn =∞∑
n=−∞
(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
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Transformada ZComentarios
A resposta ao impulso (h[n]) e um sinal especial - caracteriza umsistema linear invariante no tempo (SLIT).
A transformada Z bilateral tambem caracteriza um SLIT:
H(z) =∞∑
n=−∞h[n]z−n.
A transformada Z bilateral pode ser utilizada para um sinal x [n]:
X (z) =∞∑
n=−∞x [n]z−n.
Se comparada a transformada de Fourier, temos:
X (z) = X (rejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]r−ne−jΩn =∞∑
n=−∞
(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
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Introducao a soma de convolucaoComentarios
A Transformada Z e uma extensao da transformada de Fourier:
X (z) =∞∑
n=−∞(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸
s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
Para r = 1, a transformada Z recai na transformada de Fourier.
O fator r e utilizado para garantir que o sinal s[n] = x [n]r−n sejaabsolutamente somavel:
∞∑n=−∞
|x [n]r−n| <∞.
A faixa de valores de z tal que X (z) converge e chamada de regiaode convergencia (RDC).
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Introducao a soma de convolucaoComentarios
A Transformada Z e uma extensao da transformada de Fourier:
X (z) =∞∑
n=−∞(x [n]r−n︸ ︷︷ ︸
s[n]
)e−jΩn = Fx [n]r−n.
Para r = 1, a transformada Z recai na transformada de Fourier.
O fator r e utilizado para garantir que o sinal s[n] = x [n]r−n sejaabsolutamente somavel:
∞∑n=−∞
|x [n]r−n| <∞.
A faixa de valores de z tal que X (z) converge e chamada de regiaode convergencia (RDC).
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Transformada ZExemplos
Exemplo 10.1 (Oppenheim) Considere
x [n] = anu[n],
determine X (z).
Exemplo 10.2 (Oppenheim) Considere
x [n] = −anu[−n − 1],
determine X (z).
Exemplo 10.3 (Oppenheim) Considere
x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],
determine X (z).
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Transformada ZExemplos
Exemplo 10.1 (Oppenheim) Considere
x [n] = anu[n],
determine X (z).
Exemplo 10.2 (Oppenheim) Considere
x [n] = −anu[−n − 1],
determine X (z).
Exemplo 10.3 (Oppenheim) Considere
x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],
determine X (z).
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Transformada ZExemplos
Exemplo 10.1 (Oppenheim) Considere
x [n] = anu[n],
determine X (z).
Exemplo 10.2 (Oppenheim) Considere
x [n] = −anu[−n − 1],
determine X (z).
Exemplo 10.3 (Oppenheim) Considere
x [n] = 7(1/3)nu[n] + 6(1/2)nu[n],
determine X (z).
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Transformada Z IPropriedades da RDC
A regiao de convergencia nao contem polos.
Se x [n] tem duracao finita⇒ RDC e todo plano z, exceto,possivelmente, para z = 0 e/ou z =∞.
Considere uma transformada na forma:
X (z) =
N2∑n=N1
x [n]z−n.
Se o sinal possui “componentes causais” (N2 > 0), entaoz = 0 /∈ RDC.Se o sinal possui “componentes nao-causais” (N1 < 0), entaoz =∞ /∈ RDC.O sinal x [n] = cδ[n] e o unico no qual a RDC e todo plano z.
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Transformada Z IIPropriedades da RDC
Se x [n] e uma sequencia de lado direito e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao todos os valores finitos de z taisque |z| > r0 tambem pertencerao a RDC.
Se x [n] e uma sequencia de lado esquerdo e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao todos os valores finitos de z taisque 0 < |z| < r0 tambem pertencerao a RDC.
Se x [n] e uma sequencia de ambos os lados e se a circunferencia|z| = r0 pertence a RDC, entao a RDC consistira de um anel noplano z que contem |z| = r0.
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Transformada ZExemplos
Exemplo 10.5 (Oppenheim) Determinar a transformada Z de δ[n] ede δ[n − 1].
Exemplo 10.8 (Oppenheim) Determinar as possıveis RDC quepodem ser obtidas a partir da funcao a seguir:
X (z) =1
(1− (1/3)z−1)(1− 2z−1).
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Transformada ZExemplos
Exemplo 10.5 (Oppenheim) Determinar a transformada Z de δ[n] ede δ[n − 1].
Exemplo 10.8 (Oppenheim) Determinar as possıveis RDC quepodem ser obtidas a partir da funcao a seguir:
X (z) =1
(1− (1/3)z−1)(1− 2z−1).
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Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
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Transformada Z inversaDefinicao
Vimos que
X (rejΩ) = Fx [n]r−n ⇒ F−1X (rejΩ) = x [n]r−n
Assim temos
x [n] = rnF−1X (rejΩ) = rn 12π
ˆ2π
X (rejΩ)ejΩndΩ
=1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ
Como z = rejΩ, temos dz = jrejΩdΩ e
x [n] =1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ =j
2πj
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)n−1(rejΩ)dΩ
=1
2πj
ffiX (z)(z)n−1dz
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Transformada Z inversaDefinicao
Vimos que
X (rejΩ) = Fx [n]r−n ⇒ F−1X (rejΩ) = x [n]r−n
Assim temos
x [n] = rnF−1X (rejΩ) = rn 12π
ˆ2π
X (rejΩ)ejΩndΩ
=1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ
Como z = rejΩ, temos dz = jrejΩdΩ e
x [n] =1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ =j
2πj
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)n−1(rejΩ)dΩ
=1
2πj
ffiX (z)(z)n−1dz
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Transformada Z inversaDefinicao
Vimos que
X (rejΩ) = Fx [n]r−n ⇒ F−1X (rejΩ) = x [n]r−n
Assim temos
x [n] = rnF−1X (rejΩ) = rn 12π
ˆ2π
X (rejΩ)ejΩndΩ
=1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ
Como z = rejΩ, temos dz = jrejΩdΩ e
x [n] =1
2π
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)ndΩ =j
2πj
ˆ2π
X (rejΩ)(rejΩ)n−1(rejΩ)dΩ
=1
2πj
ffiX (z)(z)n−1dz
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.9 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1), |z| > 1
3.
Exemplo 10.10 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1),
14< |z| < 1
3.
Exemplo 10.11 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa dea partir da funcao a seguir:
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1)|z| < 1
4.
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.9 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1), |z| > 1
3.
Exemplo 10.10 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1),
14< |z| < 1
3.
Exemplo 10.11 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa dea partir da funcao a seguir:
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1)|z| < 1
4.
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.9 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1), |z| > 1
3.
Exemplo 10.10 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1),
14< |z| < 1
3.
Exemplo 10.11 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa dea partir da funcao a seguir:
X (z) =3− 5
6 z−1
(1− 14 z−1)(1− 1
3 z−1)|z| < 1
4.
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.12 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.
Exemplo 10.13 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =1
1− az−1 , |z| > a.
Exemplo 10.13 (Continuacao) Determinar a transformada inversade
X (z) =1
1− az−1 , |z| < a.
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.12 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.
Exemplo 10.13 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =1
1− az−1 , |z| > a.
Exemplo 10.13 (Continuacao) Determinar a transformada inversade
X (z) =1
1− az−1 , |z| < a.
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Transformada Z inversaExemplos
Exemplo 10.12 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) = 4z2 + 2 + 3z−1, 0 < |z| <∞.
Exemplo 10.13 (Oppenheim) Determinar a transformada inversa de
X (z) =1
1− az−1 , |z| > a.
Exemplo 10.13 (Continuacao) Determinar a transformada inversade
X (z) =1
1− az−1 , |z| < a.
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Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Transformada Z
4 Transformada Inversa
5 Comentarios Finais
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