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ENSINO DE GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA POR MEIO
DA EXPRESSÃO GRÁFICA
Keilla Cristina Arsie Mestranda do Programa de Pós Graduação em Educação em Ciências e
Matemática – UFPR e Professora da Rede Estadual de Ensino - PR keillacamargo@gmail.com
Ana Maria Petraitis Liblik Setor de Educação/UFPR
ampliblik@ufpr.br
Simone da Silva Soria Medina Departamento de Expressão Gráfica/UFPR
moni@ufpr.br
Resumo
Neste artigo traçamos um possível caminho para se introduzir o estudo das Geometrias não – Euclidianas no Ensino Médio, o qual é proposto desde 2006 pelas Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná. Este caminho será trilhado a partir do estudo da Geometria Esférica, por meio da Expressão Gráfica, especialmente com uso de imagens mentais, explorando a imaginação para auxiliar na apropriação de conceitos deste conteúdo e sua representação, acreditando que a Expressão Gráfica é uma ferramenta facilitadora na construção do conhecimento, buscando metodologias alternativas e recursos visuo-espaciais que auxiliem o aluno no seu processo de aprendizagem. Palavras-chave: Expressão Gráfica, Geometria, Educação.
Abstract
In this paper we outline a possible way to introduce the study of the Non - Euclidean Geometries in High School, which is proposed at the 2006 Basic Education Curriculum Guidelines for Mathematics in the State of Paraná. This path will be pursued from a study of Non-Euclidean Geometries, the Spherical Geometry, by means of Graphic Expression, especially with the use of mental imagery, exploring the imagination to help in the appropriation of concepts and content, and its representation, believing that Graphic Expression is a tool in facilitating construction of knowledge, seeking alternative methods and resources visuo - spatial assist students in their learning process. Keywords: Graphic Expression, Geometry, Education.
1 Introdução
Este artigo é fruto da nossa preocupação com o Ensino das Geometrias não
Euclidianas, devido a ele ainda não estar concretizado nas escolas públicas do Estado
do Paraná, apesar de estar proposto nas Diretrizes Curriculares de Matemática da
Educação Básica do Estado. As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná
apresentam a fundamentação teórica e os encaminhamentos metodológicos que
definem o rumo de cada disciplina da formação básica.
A inserção das Geometrias não Euclidianas, nas aulas de Matemática, não ocorre,
segundo Franco e Thomaz (2008), por algumas hipóteses: a falta de formação do
professor, que não as estudou na sua grade curricular; a ausência do assunto nos
livros didáticos utilizados pelas escolas; a carga horária reduzida da disciplina; ou
ainda por seu conteúdo não estar contemplado nos cursos de formação de
professores.
No documento das Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEB) de
Matemática tem-se a seguinte afirmação:
A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às ideias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Deste modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios. (DCEB, 2008, p.).
Entretanto é preciso dar condições ao aluno para que estas estratégias possam se
concretizar de fato, motivando-o a partir da sua visão de mundo, pelas suas opções
diante da vida, e assim conquistar seu interesse para aprender matemática.
Franco e Thomaz (2008) acreditam que as Geometrias não – Euclidianas auxiliem
nesta motivação e interesse, pois este conteúdo apresenta algo que já está inserido no
seu cotidiano, mais do que a própria Geometria Euclidiana. Os autores fazem a
seguinte pergunta intuitiva: “a geometria euclidiana é para superfícies planas, então
como podemos definir situações geométricas sobre uma superfície curva, como por
exemplo, a superfície da Terra?” (p. 4).
Quando falamos na superfície física da Terra, muitas imagens são criadas em
nosso pensamento. A imaginação pode ser uma ferramenta facilitadora na apropriação
de conceitos e assim, na construção do conhecimento matemático.
Segundo Bronowski (1998) a imaginação é uma qualidade comum dentro da
ciência e da arte, nos atingindo de formas diferentes. O homem tem o dom de recriar o
mundo por meio da imaginação. A imaginação, nas palavras do autor, é “o hábito
humano de produzir imagens mentais” (p. 26). Assim, cada pessoa fará a sua
interpretação, pois imaginar é uma atividade particular e ninguém recriará para si as
mesmas imagens mentais de outros.
Desta forma, pensou-se numa atividade introdutória às Geometrias não –
Euclidianas e que foi desenvolvida e aplicada a um grupo de sete alunos voluntários
de turmas do Segundo Ano e Terceiro Ano do período da manhã, do Colégio Estadual
Professor Altair da Silva Leme, que estará descrita a seguir e logo após, serão feitas
as considerações finais relevantes para esta análise.
2 Desenvolvimento do trabalho
A partir das discussões em sala, durante as aulas de Didática da Imagem, disciplina
do Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, surgiu a
proposta de se aplicar uma atividade que aproveitasse elementos previamente
conhecidos dos alunos, desenvolver esta ideia até se chegar ao tema de estudo:
Ensino de Geometrias não – Euclidianas.
Para a realização da atividade, que será descrita a seguir, foram convidados
alunos dos Segundo e Terceiro Anos, do período matutino, do Colégio Estadual
Professor Altair da Silva Leme, escola da periferia de Colombo – PR. Foram sete os
alunos que aceitaram o convite e vieram à escola no período da tarde, ou seja, no
contra-turno, para o desenvolvimento da atividade em duas aulas.
2.1 Atividade
Para a atividade, utilizamos o poema de Thomas Empson, “Para uma velha Dama”,
encontrado em Bronowski (1998, p. 44), para primeiramente iniciar uma viagem pela
imaginação e aproximar a Matemática da Literatura:
A maturidade é tudo, no seu planeta que esfria. Respeite – a, não a julgue extinta
Nem me despache num foguete. Os deuses duram Muito mais do que o sol; perdem calor um de cada vez.
(...) Não. Espiemos pelo telescópio, ela e a paisagem,
Enquanto durar seu ritual; Enquanto seus templos se afundam nas areias
Que em ondas recobrem as torres em ruínas.
(...) Não a desarticula a precessão dos anos,
Ela segue a bússola segura de seu norte; Confiante, não tem limites na sua esfera,
O que lhe falta continua sob controle.
(...).
Os alunos foram convidados a ouvir este poema e todos receberam papel e lápis.
Numa segunda leitura, foram motivados a escrever o que vinha à sua imaginação
quando os versos lhes tocavam os sentidos. Após, fizeram representações daquilo
que imaginaram e apresentaram suas ideias para o grupo.
As figuras 1 e 2 correspondem a algumas imagens do que os alunos fizeram:
Figura 1: Representação do Aluno 1
Figura 2: Representação Aluno 2
O poema então foi explicado com mais detalhes e assim, este foi o gancho
utilizado para iniciar a introdução das Geometrias não – Euclidianas, partindo da
Geometria Esférica, mostrando a diferença entre esta e a Geometria Euclidiana.
Bronowski (1998) afirma que a velha dama está num planeta, que não se sabe
qual é, mas que não é a Terra. Este planeta está esfriando e morrendo e ela não pode
ser salva. Se um foguete a tentasse salvar, seria repelido, assim como as abelhas
fazem com a rainha, apesar de sua necessidade dela. Nada pode ser feito, a não ser
observá-la com um binóculo; ver os seus gestos e como está crente que sua
existência está na direção certa. Não tem noção de que possam existir outras
civilizações e que embora pertençamos ao mesmo sistema solar, estejamos tão
afastados dela, pois nossa visão é perturbada pela superficialidade de uma civilização
comum. Apenas quando forem esquecidas estas semelhanças é que se poderá vê–la.
A figura 3 ilustra a visão do observador do planeta da velha dama.
Figura 3: Mundos
Fonte: http://www.tuswallpapersgratis.com/wallpaper/Dos-Mundos/
Este poema, inicialmente, pode nos deixar frios diante de seus versos. Mas numa
releitura, começamos a sentir seu calor, quando eles nos ficam mais claros. Isto
porque sua linguagem pertence a uma época científica e a uma mente científica.
Talvez este seja o motivo de precisarmos reler mais de uma vez para ouvir o que o
poema nos diz, pois contém palavras que à primeira vista nos parecem técnicas, como
telescópio, planeta, foguete, bússola, esfera que nos aproximam desta ideia e
posteriormente começamos a entendê-las como imagens vívidas que se encaixam ao
poema. Sua dificuldade se encontra nas ideias derivadas da ciência e não na
terminologia científica. Estranhamos por que algumas coisas não nos são familiares e
desta forma não conseguimos recriar em nossa imaginação. Os alunos escreveram
em sua folha de papel palavras que se lembraram do poema e que remetem a termos
científicos, como os que foram citados acima.
Para exemplificar a diferença entre as Geometrias Euclidiana e as Não-
Euclidianas utilizamos um globo terrestre, como mostrado na figura 4. Nesta fase os
alunos foram conduzidos a usar a imaginação e assim a se familiarizar com o conceito
da geometria esférica. Utilizou-se então uma fita e foi pedido para um deles esticá-la
sobre uma mesa. Na sequência foram questionados a respeito desta linha:
responderam que esta linha era uma reta. Em seguida, com o globo, o contornamos
com a fita e então foi explicado que a linha numa superfície esférica não era reta e sim
uma curva, denominada geodésica.
Figura 4: Representação de uma geodésica
Após, analisamos sobre o significado de extensão finita e infinita, limitada e
ilimitada e fizemos a seguinte representação, dando a noção de que podemos
percorrer ilimitadamente a superfície terrestre e que sua extensão é finita:
Figura 5: Representação de caminhos diferentes na superfície da Terra
Bronowski (1998) cita um verso em específico que mostra a união que pode ser
feita entre o poema e um conteúdo matemático: “confiante, não tem limite na sua
esfera”. Esta metáfora tem como base a Matemática, onde a superfície pode ser
ilimitada e a sua extensão é finita. A velha dama pode passear livremente por toda a
extensão do planeta, como se fosse infinita. A partir do poema, conseguimos criar uma
imagem e fazer a associação da ideia presente na Matemática, para compreender o
que é superfície de uma esfera.
Figura 6: Esfera Fonte: http://neuroniomatematico.blogspot.com/2008_02_01_archive.html
Pois, segundo Bronowski (1998, p. 65),
A matemática é uma linguagem: a linguagem em que, em primeiro lugar, discutimos as partes do mundo real que podem ser descritas por números ou relações de ordem semelhante. Mas a atividade de traduzir fatos nessa linguagem provoca, nos que tem tal habilidade, um prazer especial, ao descobrir que a linguagem em sim mesma é mais rica do que seu conteúdo; o que ela traduz passa a ser menos importante do que a lógica e o estilo de tradução; daí nasce a matemática como uma literatura científica.
Este foi um ponto de partida para entender uma das geometrias não – euclidianas,
a geometria esférica. Ela está ligada à forma do nosso planeta, que é quase uma
esfera e com isso pode-se usar a imaginação para fazer a introdução deste assunto
por meio de ideias que nos são mais próximas e podem dar a noção de como o
Universo é imenso e que a geometria de Euclides não é suficiente para explicá-la.
Quem não se imaginou viajando por toda a Terra, visitando outros planetas ou
conhecendo um extraterrestre, quando, por exemplo, assistiu os episódios de Guerra
nas Estrelas ou as aventuras do Pequeno Príncipe ou ainda se emocionou com o filme
E.T.?
Então foi solicitado que falassem sobre filmes e desenhos animados que lhes
vinham à mente quando pensavam sobre o planeta, o universo. Citaram: Star Wars,
Homens de Preto, Independence Day, E.T., Power Rangers, Armagedon, Apocalipse,
Liga da Justiça, Pequeno Príncipe e relembramos algumas aulas de Ciências e
Geografia.
Figura 7: O pequeno príncipe Fonte: livro - O Pequeno Príncipe
Figura 8: Cena da bicicleta – Filme E.T. Fonte: http://www.mundogump.com.br/os-melhores-20-filmes-com-extraterrestres/
Seguindo, iniciamos a explicação de mais uma diferença entre as duas
geometrias, em relação aos triângulos. Lembramos a representação de um triângulo
no plano e que a soma de seus ângulos internos é igual a 180º. As figuras 9 e 10
mostram atividades desenvolvidas com relação ao conteúdo de triângulos na
geometria plana.
Figura 9: Representação do triângulo no plano e seus ângulos Fonte: imagem autoras.
Figura 10: Representação da soma dos ângulos internos de um triângulo Fonte: imagem autoras.
Isto não é válido para a Geometria Esférica e para exemplificar, fizemos a
representação no globo, mostrando que o triângulo numa superfície esférica é
denominado triângulo esférico e que a soma dos ângulos internos é superior a 180º.
Aproveitamos as linhas dos meridianos e equador para a representação, explicitando
dois ângulos retos e não importando o valor do terceiro, pois com sua soma já
teríamos um resultado maior que 180º.
Figura 11: Representação de um triângulo esférico Fonte: imagem autoras.
Os alunos fizeram a sua representação de um triângulo esférico. A seguir, duas
imagens:
Figura 12: Representação feita pelos alunos Fonte: imagem autoras.
Para concluir esta introdução a este novo conteúdo, foi dito que existem outras
geometrias não – euclidianas, consideradas assim pelas Diretrizes.Curriculares de
Matemática: projetiva, fractais e hiperbólica. Apresentamos alguns exemplos de cada
uma e fizemos algumas perguntas recapitulando os conceitos vistos para analisar as
respostas, percebendo se o que foi proposto foi compreendido pelos alunos
participantes.
3 Conclusão
Quando ouvimos um poema, nossa imaginação é convidada a se libertar, mas quando
o que nos chega aos ouvidos é parte de uma teoria matemática, ficamos travados e
não conseguimos criar nenhuma imagem que faça alguma associação com o que
estamos ouvindo. No entanto, se nossos sentidos forem aguçados, se partirmos de um
lugar que é um pouco mais familiar, estaremos mais seguros para esta liberdade do
imaginar.
Quando falamos em Geometrias não – Euclidianas e pedimos para falarem sobre
o que vem à mente, os alunos ficaram sem reação. Após a conclusão da atividade,
conseguiram relatar suas construções mentais sobre o assunto.
Nos versos que se remetem ao planeta da velha dama, poema da atividade, a
imaginação pode voar livre pelas representações que os alunos fazem do Universo e
podem ser inspirados por meio de seus filmes ou livros favoritos, ligados ao tema.
Escolhemos versos que se encaixam ao conteúdo e então seguimos com sua
exploração.
O caminho percorrido não “assustou” os alunos, apesar do assunto ser totalmente
novo para eles e que ainda não tinham visto nas aulas de matemática. Uma das
alunas comentou que: “se as aulas de matemática começassem com atividades como
essa, seria mais divertido aprender”.
A atividade foi positiva, pois se conseguiu também a participação e interação dos
alunos convidados para a sua realização.
Não pretendemos aqui abandonar o rigor matemático e sua formalidade, mas de
uma forma mais entusiasmante motivar o estudo de um assunto e após, seguir com a
estrutura matemática necessária.
Nem professores nem alunos devem aceitar mais o velho algoritmo: título,
definição, exemplos e exercícios. Como afirma Bronowski (1998), toda atividade
científica é uma atividade criativa. Não podemos deixar que os estudantes se tornem
operários da ciência, desprovidos de imaginação criadora.
Referências
BRONOWSKI, Jacob. O olho visionário. Brasília: UnB, 1998.
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Game Stars Wars. Disponível em <http://www.starwars. com/ games/playnow/trench_run/>. Acesso em 31/10/2010.
Infinito ou talvez não! Disponível em <http://neuroniomatematico.blogspot.com/2008_02_01_archive.html>. Acesso em 31/10/2010.
Mão com esfera refletora. Disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/esfera.html>. Acesso em 29/10/2010.
O sistema solar – astronomia planetária. Disponível em
<http://www.pgie.ufrgs.br/portalead/oei/solar/solar.htm>. Acesso em 29/10/2010.
Os 20 melhores filmes de E.T. Disponível em <http://www.mundogump.com.br/os-melhores-20-filmes-com-extraterrestres/>. Acesso em 31/10/2010.
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