ensino superior 4. derivadas parciais amintas paiva afonso cálculo 3
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Ensino Superior
4. Derivadas Parciais
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é
Significado matemático
x
yxfyxxfyxf xx
),(),(lim),( 0
y
yxfyyxfyxf yy
),(),(lim),( 0
1) Derivada parcial em x:
2) Derivada parcial em y:
Nomenclatura
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:
xx Dx
fyxf
),(
A Técnica de Derivadas Parciais
A Técnica de Derivadas Parciais
Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis
Ex.5
A Técnica de Derivadas Parciais
Exercícios propostos
Exemplos
),,( ),,(etermine ,643),,( )1
31
322322
zyxfezyx fdxyzyxzyxzyxfSe
Derivada em relação a x
Derivada em relação a z
323321 686),,( yzyxzxyzyxf
224223 49),,( yxzyxzyxf
Exemplos
),,( ),,(etermine ),5()4(cot)(),,( )1
23
3222
zyxfezyx fdzxysenzygzxtgzyxfSe
Derivada em relação a z Derivada em relação a y
332222223 5)5cos(24)4(cos)(sec),,( xyzxyzyzyeczxzyxf
2322222 15)5cos(8)4(cos),,( zxyzxyyzzyeczyxf
Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis
Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis
Derivada Total
).,,(),,( ),,(etermine ),cot()()2(),,( )1
321
33232
zyxfzyxfzyx fdzyzxtgyxsenzyxfSe
2223221 3)4(sec4)2cos(),,( zxzxxyyxzyxf
32332222 3)5(cos2)2cos(),,( zyzyecxyxzyxf
2333232323 3)(cos2)(sec),,( zyzyeczxzxzyxf
A derivada total é a soma das derivadas parciais.
Exercícios
yxxyyx ffffacharxxyyxfSe ,,, ,),( )1 32
zyx fffachar
zyxxxyzyxfSe
,,
,..2),,( )2 22
Tabela de Derivadas
Tabela de Derivadas
Interpretação Geométrica da Derivada Parcial
Significado geométrico
Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e x, de abscissa yo. A reta pertence a este plano.
Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e y, de ordenada xo. A reta pertence a este plano.
Significado geométrico
Significado geométrico
Eixo horizontal no plano y = yo
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Reta tangente
Eixo vertical no plano y = yo
Significado geométrico
Eixo vertical no plano x = xo
Reta tangente
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Eixo horizontal no plano x = xo
Significado geométrico
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)
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