enspg 2a physique du solide cours 2004
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7/22/2019 ENSPG 2A Physique Du Solide COURS 2004
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Introduction la Physique du SolideENSPG Tronc Commun 2me Anne
2003/2004Cours : 14 heuresUlrich GOTTLIEB
TD : 12 heuresS. Pignard, E. Lhotel, L. Lyard, U. Gottlieb
Prrequis : Mcanique Quantique, Physique statistique, Cristallographie
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Bibliographie :
De base :
R. E. Hummel : Electronic Properties of Materials (Springer 1992)
C. Kittel : Introduction to Solid State Physics (Wiley 1976)H. P. Myers : Introductory Solid State Physics (Taylor & Francis 1990)Y. Qur : Physique des Matriaux (Ellipses 1988)
Dun niveau plus lev :
N. W. Ashcroft, N. D. Mermin : Solid State Physics(Saunders College 1976)J. M. Ziman : Principles of the Theory of Solids(Cambridge University Press 1972)
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Plan du cours :I. Introduction
Historique, Approche Classique : le Modle de DrudeII. Premire Approche Quantique : le Modle de Sommerfeld
Approximation par un modle quantique, thorie des lectrons libres
Statistique de Fermi-Dirac, Proprits Physiques des lectrons libreIII. lectrons dans un Potentiel Priodique : Bandes d'nergieThorme de Bloch, Zones de Brillouin, lectrons presque libres,
Surfaces de Fermi, Mtal - Semiconducteur - IsolantIV. Vibrations du Rseau : PhononsApproche classique, Approche quantique, Capacit calorifique,Thorie d'Einstein, Approximation de Debye, Diffusion inlastiquedes neutrons
V. Dynamique des lectrons de BlochCollisions, Proprits de Transport, Masse effective,
Notion de trous
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Les copies des transparentsne sont pas
un polycopi complet !
L'auteur ne prend aucune responsabilitquant aux fautes rsiduelles
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I. Introduction
1. Historique
2. Le Modle de Drude2.1. Description microscopique d'un solide
2.2. Principes de base du modle de Drude2.3. Dynamique du gaz d'lectrons2.4. Proprits Physiques
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1. Historique
But de la Physique du Solide : Expliquer avec un modlemicroscopique la grande varit de proprits physiquesobserves pour diffrents matriaux massifs
Exemple : rsistivit l'ambiante de certains matriaux
(m10-8 10-6 10-4 10-2 100 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018
mtaux
CuFe Mn
semiconducteurs
SiGeSi dop
GaAs
isolants
Caoutchouc QuarzVerreNaCl
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Quelques dcouvertes historiques importantes
1897 Dcouverte de l'lectron par Thompson1900 Thorie de la cintique des gaz par Maxwell
et Boltzmann1900 Thorie de Drude : Premire thorie des mtaux1926 quation de Schrdinger - Mcanique Quantique
1926 Modle de Sommerfeld : Thorie quantique d'un gazd'lectrons libres1928 Thorme de Bloch - Thorie des bandes
1948 Invention du transistor par Bardeen et Brattain
etc.
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2. Le Modle de Drude
C'est le premier modle microscopique pour dcrire
le comportement des mtaux. Les lectrons de conductiony sont traits comme un gaz classique. Dans certains domaines,
par exemple la rsistivit d'un mtal, le modle donne desrsultats satisfaisants. Cependant pour dcrire d'autres
proprits physiques, son chec est total
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2.1. Description microscopique d'un solide
Comment dcrire un atome dans un solide :Soit un atome de nombre atomique ZA
lectrons de valence :Charge totale Z e
ZC lectrons de cur :Charge totale ZC e
Noyau : charge +ZA eIon
La neutralit lectrique fait que : ZA = ZC + Z
Plus de 99% de la masse d'un atome se trouve dans les ions !
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Lors de la formationd'un solide les lectronsde valence sont librspar les atomes
Ions Gaz d'lectrons
Consquence :un gaz d'lectrons libres
Les ions sont considrsimmobiles cause de la
diffrence de massemIon = 10-26 kg
mlectron=9,1 10-31 kg
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Les lectrons libres subissent des collisions essentiellement
avec les ions
ions
Exemple de trajectoire d'un lectron
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Estimation de la densit du gaz d'lectrons :
Considrons un mtal de masse molaire MA, de valence Z etde densit mIl y a N
A= 6,022 1023 atomes/mole
m/MA moles/cm3
La densit du gaz est donne par :
A
mA M
ZNVNn ==
Exemple Cuivre : m = 8,96 gr/cm3, MA = 63,55 gr/moleZ = 1N = 8,5 1022 lectrons/cm3
103 fois plus lev qu'un gaz classique
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2.2. Principes de base du modle de Drude
a) Entre collisions les lectrons sont libres !pas d'interaction ni avec les ions ni entre eux
b) Les collisions sont des vnements instantans !Changement "brutal" de vitessec) Les changes d'nergie entre les lectrons et
l'environnement se font uniquement par les collisions !aprs collision un lectron possde une vitesse v dedirection alatoire et de module correspondant lavitesse thermique du lieu de la collision
d) La probabilit qu'un lectron subisse une collision dansun intervalle de temps dt est dt/ ! : temps de relaxation ou temps moyen entre collisions
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2.3. Dynamique du gaz d'lectrons
Gaz de N lectronsA un instant t, chacun possde une impulsion pi(t)
et subit une force fi(t)
avec ( ) ( )dt
tdptf ii =
Moyennant sur tous les lectrons on obtient :
( ) ( )=
=N
1ii tpN
1tp
( ) ( ) ( )==
== N1i
iN
1ii dt
tdpN1tf
N1tf
f(t) peut tre interprt comme une force extrieurep(t) est l'impulsion moyenne
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Un lectron aura une collision entre t et t + dtavec une probabilit dt/
Il ne subira pas de collisionAvec une probabilit (1 - dt/)
Question : Quelle est la valeur de p(t+dt) ?Pendant dt, les lectrons vont acqurir
l'impulsion dp = f(t)dt + O(dt2
)( ) ( )( ) dpdtdptpdt1dttp
++
=+
Contribution des lectronsqui ont subit une collision
pendant dt
Contribution des lectronsqui n'ont pas subit de
collision pendant dt
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )2
22
dtOdttfdttptp
dtOdttfdtdtOdttftpdt1dttp
++
=
+
+++
=+
Par consquent, l'quation de mouvement est :
( ) ( ) ( ) ( )( )tf
tpdt
tdpdt
tpdttp+==
+
-p(t)/ est un terme de "frottement" causpar les collisions des lectrons
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2.4. Proprits Physiques
a) Rsistivit lectrique
( ) ( )=
+ etp
dttdp
L'application d'un champ lectrique E est l'origine d'uneforce sur l'ensemble des lectrons de f = -eE
En rgime stationnaire : ( ) 0dt
tdp = et p0 = -eE
t
p0
p(t)Solution de l'quation diffrentielle :
( )
=
texp1ptp 0
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Remarque : p0 = mvdavec v
dla vitesse de drift du gaz d'lectrons
En rgime stationnaire la densit de courant est donne par :
EE ==== mnempnenevj2
0d
Et la conductivit lectrique : mne2
=
Pour la mobilit on trouve :
= neme=
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b) Magntorsistance et Effet Hall
Gomtrie et fait exprimentald
VH
I
B
Un chantillon paralllpipde d'paisseur d est parcouru
d'un courant I et soumis un camp magntique B
perpendiculaire au courantIl apparat une tension VH perpendiculaire la fois au
champ magntique et au courant :
d
BIRV HH= RH : Constante de Hall
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Mise en quation :
+ + + + + + + + +- - - - - - - - --v jx
Ex
Ey
B
dl
Chaque lectron subit la force :BveEeF
rrrr=
( )BvEev
mdt
vd
m
rrrrr
+=
+
L'quation de mouvement est donc :
Avec un systme de coordonnes adapt, i. e. :
=
z
y
x
vvv
vr
=
z
y
x
EEE
Er
=
B00
Br
d
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0dtdv
dtdv
dtdv zyx ===On obtient en rgime stationnaire, i.e.
.constvEmev
vEm
e
v
vEmeBv
meE
mev
zzz
xcyy
ycxyxx
=
=
+
=
==
o meB
c= est la frquence cyclotron
Le calcul du courant se fait par l'intermdiaire de :
vnej rr
=
2
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Avec la notation on obtient :m0=
ne2
+
+
=
z
y
x
22
c
c
c
22c
0
z
y
x
E
EE
100
0101
1
j
jj
Tenseur de conductivit
Remarque : pour obtenir la rsistivit il faut inverser le tenseurOn obtient :
[ ]
= 100 01
01
c
c
0 avec = 20 nem
On constate que xx = yy = zz = 0
La magntorsistance / est donc nulle
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BjRBjne1E xHxy ==
+ + + + + + + + +- - - - - - - - --v jx
Ex
Ey
B
dl
On pratique on ne mesure pas Ey et jxmais plutt VH et I
Comme Ey = VH/l et jx = I/dl
On obtient :
d
BIRV HH= avec
ne
1RH =
Rappel
Accord avec les observations exprimentales ?
Na : RH = -2,5 1010
m3
/C mesurRH = -2,55 1010 m3/C calcul OK
Zn : RH = +3,3 1010 m3/C mesur
RH = -5,1 1010 m3/C calcul?
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Remarques :
i. RH permet de mesurer la densit de porteurs
ii. RH possde le signe des porteurs dominants
iii. est la frquence cyclotronmeBz
c=c correspond au nombre de tours qu'un lectron
peut faire sous influence du champ magntique avantde subir une collision
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c) Chaleur spcifique (Capacit calorifique)
La chaleur spcifique est donne par :
.constV
intV
T
U
V
1C=
=
Pour un gaz classique de N particules dans un volume V
l'nergie interne Uint s'crit :
TkN
2
3U Bint =
.constkVN
23C BV ==
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Comparaison avec les rsultats exprimentaux :
CV
T
Basse T : Cela ne marche pas
Haute T : CV = const., mais les valeurs numriques sont fausses !
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II. Premire Approche Quantique :le Modle de Sommerfeld
1. Approximations pour un modle quantique
2. Thorie des lectrons libres2.1. Les bases du modle2.2. L'tat fondamental, T = 0K
2.3. Le gaz d'lectrons libres T > 0K3. Proprits du gaz d'lectrons libres3.1. Chaleur spcifique
3.2. Paramagntisme de Pauli3.3. Conductivit lectrique
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1. Approximation par un modle quantique
Considrons un chantillon massif constitu uniquement pardes atomes d'un seul lment de nombre atomique ZA( Ngligeons l'effet du spin)
- il contient Ne lectrons de masse me et Nn noyauxde masse mn
- La condition de neutralit lectrique impose :Ne = ZA x Nn- Les coordonnes de l'lectron i sont donnes par : eir
r
- Les coordonnes du noyau j sont donnes par : njrr
lectrons et noyaux peuvent tre considrs comme ponctuel
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lectrons et noyaux sont chargs :
O
eir njrrr
Interaction coulombienneL'nergie potentiel d'interaction entre
2 particules : ( )njeiCAnjei
2A rrVZrreZV rrrr =
=
L'nergie potentiel total s'crit :( ) ( ) +
+=
j,injeicA
i,ieieic
j,jnjnjc
2Atotal rrVZrrV2
1rrVZ21V
''
''
rrrrrr
Interactionnoyau - noyau
Interactionlectron -lectron
Interactionlectron-noyau
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iei
e
2
m2h
j njn
2
m2h
pour les lectrons pour les noyaux
L'oprateur d'nergie cintique est donne par :
ei : Le Laplacien ne s'applique qu'au coordonnes de l'lectron i
( )
( )
+
+
+
+=
j,injeicA
i,ieieici
eie
2
j,jnjnjc
2A
jnj
n
2
rrVZ
rrV21
m2
rrVZ21
m2H
''
''
rr
rrh
rrh
Solution de l'quation de Schrdinger rigoureusement impossible
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Premire approximation : On rduit le nombre de particules
Soit un atome de nombre atomique ZAOn reprend l'hypothse du modle de Drude
lectrons de valence :Charge totale Z e
ZC lectrons de cur :Charge totale ZC e
Noyau : charge +ZA eIon
Un ion est considr comme entit. Pour tenir compte de la
prsence des lectrons de cur, on modifie le potentiel gnrpar un ion, i.e. il n'est plus forcement purement coulombien !
Potentiel d'interaction entre deux particules :
ion
jeiion rrZVV
rr
=
'
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Au lieu d'avoir Nn + Ne = Nn (1+ZA) particules on a maintenant :
Nn ions de charge +Ze Z x Nn lectrons de charge -eCeci correspond une rduction du nombre de particules
d'environ d'un facteur 10 100
( )( )
+
+
++=
j,i
ionjeiion
i,i eieici eie
2
j,jionjionjion2j
ionjion
2
rrZVrrV2
1
m2
rrVZ21m2H
' '
''
rr
rrh
rrh
Le Hamiltonien devient :
Toujours impossible traiter par "force brute"
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D l l f d' l
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De plus les forces d'interaction entre ions sont ngliges,les ions gardent leurs places, c'est tout.
( )
( )
+
+
+
+=
j,i
ionjeiion
i,ieieic
i
ei
e
2
j,j
ion
j
ion
jion
2
j
ion
jion
2
rrZV
rrV
2
1
m2
rrVZ2
1
m2H
'
'
' '
rr
rrh
rrh
Le problme de la dynamique des ions est trait sparment(Voir chapitre 4 du cours)
P l t d l t il t d
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( ) ( ) +
+= j,i ionjeiioni,i eieic
iei
e
2
rrZVrrV21m2H ' 'rrrrh
Le dernier terme est le seul terme d'interaction lectron - ion
Pour le systme des lectrons il reste donc :
La cristallographie nous apprend :les ions sont arrangs de manire priodiques sur un rseau
On remplace donc
j,i
ion
jeiionrrZV rr
par Vpriodique
avec ( ) RrVrV priodiquepriodiquerrr
+=
: n'importe quel vecteur du rseau cristallographiqueRr
Il t d
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Il nous reste donc :
( ) ++
+= ' 'i,i eieicpriodique
iei
e
2
rrV21Vm2H rrh
Souvent on nglige le terme d'interaction lectron - lectronDonc :
priodiquei eie
2
Vm2H ++=
h
L'quation de Schrdinger commence devenir abordable
2 Thorie des lectrons libres
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2. Thorie des lectrons libres
Nous avons vu que les approximations mnent un Hamiltonien :
priodiquei
eie
2V
m2H ++=
h
La plus simple fonction priodique est Vpriodique = const.
De plus comme on peut choisir le zro de l'nergie :
Vpriodique = const. = 0
2 1 L b d dl
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2.1. Les bases du modle
On ngligera donc :- les interactions lectrons - ions- les interactions lectrons - lectrons
Le systme : N lectrons dans un volume L3
Sans perdre de validit onsuppose le volume cubique
L
x
y
z
L ti d S h di
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Lquation de Schrdinger :
avec
= EH
+++=
N21rrr
2
m2
H rrr Lh
ne contient pas de drives mixtesHSolution :
NN2211N21rrrr,r,r rLrrrLrr =
avec N21 EEEE +++= L
O b i l2
h
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On obtient les i par :iii E
m2
= h
quation de Schrdinger une particule
Solution gnrale :( )rkiexpAi
rr= ( )2z2y2x
222
i kkkm2m2k
E ++== h
rh
Remarque :
Ici
i est une solution envisageable car le volume est fini ! =V
2i 1dV 3L
1A=
Condition aux limites :
-
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Condition aux limites :
Les lectrons sont enferms dans une bote
Cela suggre de poser :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0L,y,xz,L,xz,y,L
00,y,xz,0,xz,y,0
iii
iii
===
===
Conditions aux limites fixes
Ceci est absolument valableMais : Ceci donne des solutions figes
Meilleure solution pour tudier la dynamique :
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Meilleure solution pour tudier la dynamique :
Conditions aux limites priodiques (Born von Karman)( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )z,y,xLz,y,xz,y,xz,Ly,x
z,y,xz,y,Lx
ii
ii
ii
=+
=+
=+
L
chantillon
( )zkykLkxki zyxxAL +++C
-
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( )
( ) Liki
yi
x
zyxx
ez,y,x
Aez,y,Lx
=
=+Consquences :
1e Likx =
xx mL
2k =
yy mL2k =
zz mL2k =
mx, my, mz entier
( )2z
2y
2x
2
i mmmL2
m2E ++
=
h
Les valeurs possibles des k et des nergies sont quantifies !
Visualisation des tats lectroniques dans lespace des k
-
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Visualisation des tats lectroniques dans l espace des k
kx
ky
kz
L
2
Les tats lectroniquespossibles forment un rseau
cubique primitif dans
lespace des k !
Pour simplification : reprsentation d'un seul quadrant
Problme : Espace des k = Espace discret
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Problme : Espace des k = Espace discret
Consquence : Calculs compliqusSolution : On considre que chaque vecteur k possible
occupe un volume de (2/L)3
dans lespace des k
kx
ky
Dessin en 2D2/L
Mais : Il ne faut pas oublier que les valeurs de k sont discrtes
2 2 L'tat fondamental T = 0K
-
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2.2. L tat fondamental, T 0K
Rappel : T = 0 K , E est minimalRemarque : les dessins sont en 2D pour la clart !
Les tats possibles sont donns
par les valeurs de k possibles
kx
ky
Lnergie dun tat Ei correspond
sa distance par rapport loriginecar :
m2
kE
2i
2
ih
=
ki
On a N lectrons placer sur les tats dnergies les plus basses
-
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On a N lectrons placer sur les tats d nergies les plus basses
( )2z2y2x2
i mmmL2m2E ++ = h
Rappel :2 lectrons par place cause du spin !
kx
ky
6 tats : 12 lectrons
8 tats : 16 lectrons
6 tats : 12 lectrons
etc.
Jusqu avoir plac tous les N lectrons
Finalement :
-
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Finalement :
kx
ky
kF
kF : Rayon de Fermi
Les tats remplis setrouvent lintrieur
dune sphrede rayon kF
Dtermination de kF :
-
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Dtermination de kF :
tatparVolume sphreladeVolumeoccupstatsdesNombre =
3
3
F
L2
k3
4
2N
=
Spin
( ) 3123
1
32F n3LN3k =
=
n : densit dlectrons
-
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Exemple : Sodium
-
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E mp um
Na : cc, a = 4,23 , monovalent328
3 m1065,2
a
2n ==
19F m1022,9k
=
eV24,3EF =
sm101,1v 6F =
K23500TF =
Commentaires :
-
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i. n est de lordre de 1029 m-3 ce qui correspond une densit 1000 fois plus leve que celle des
gaz classiquesii. vF correspond la vitesse thermique classique
iii. vF est de l'ordre de 10% de c mais la vitesse
thermique classique est nulle T = 0 K
nergie de ltat fondamental :
-
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5F2
32k
0
2322
kk kk
332222
k
m10
Ldkk4
2
L
m2
k2
kd2L
m2k
2m2k
2E
F
FF
=
=
==
< EF sont vides : taux d'occupation = 0
Comparaison avec Fermi - Dirac
E
g(E)f(E)
EF =
g(E) ~ E1/2
1
f(E)
E
T = 0 K : = EF
Question : Comment varie-t-il avec la temprature ?
-
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Proprits mathmatiques de f(E) :( )
+
=
TkEexp1
1Ef
B
1
f(E)
E
i. f() = 1/2
ii. ( ) ( ) .constdET,EfdET,Ef
0
2
0
1 ==
Consquence : aire bleu = aire verte n'importe quelle Tiii. f(E) est symtrique par rapport
Premire Hypothse : = const.
-
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1f(E)
2
2 Contraire ii.Le potentiel chimiquevarie en fonction de T
Deuxime Hypothse : augmente avec T
1f(E)
E
Contraire ii. ne peut pas augmenter
avec T
diminue avec T
Finalement on trouve :(calcul avec
2B2 Tk1E
-
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(
dveloppement deSommerfeld)
=2F
F
E121E
Application numrique : Cu : n = 8,5 1028 m-3, EF = 6,3 eV
T = 300 K
5
2F
2B2 10E
Tk
12
=
Consquence : Pour un mtal EF !
3. Proprits du gaz d'lectrons libres3 1 Chaleur spcifique
-
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3.1. Chaleur spcifique
Observations exprimentalesCV
T
Haute temprature :CV = const.
T2
CV/T Basse temprature :CV =T + T3
Calcul de l'nergie interne pour un gaz de fermions :
-
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( ) ( )= 0int dEEfEgEUApplication du dveloppement de Sommerfeld :
( ) ( ) ( ) ( )( )++
ggTk6
dEEgEU 2B2
0
int
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )+++=
ggTk6
dEEgEdEEgE 2B2
E
E
0 F
F
.constU0=
Aprs calcul : ( ) ( )F2
B
2
0int EgTk
6
UU +=
La chaleur spcifique devient :22
-
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( ) TTEg3kTUC F2B
2
.constVintV === =
Comparaison avec les rsultats exprimentaux :
T2
CV/T Basse temprature :
CV =T + T3
Les lectrons sont responsable de la partie linaire !On verra plus tard, l'autre contribution vient des phonons !
( ) TTEg3kC F
2B
2
V =
=Rappel :
-
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3
Cette formule est beaucoup plus gnrale que le modle de
Sommerfeld, car on ne l'a pas utilis jusqu' maintenant !
Possibilit : Mesure de g(EF) !!!
Modle de Sommerfeld : ( )F
F En
23Eg =
TEnk2C F2B
2
V =F
2B
2
theorique Enk2=
3.2. Paramagntisme de Pauli
-
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Chaque lectron possde un spinAu spin est associ un
moment magntique :
T
J1027,9
m2
e 24B
== h
Magnton de Bohr
EF
E
g(E, )g(E, )
Sans champ magntique lesdeux directions du spin
sont quivalentes
Application d'un champ :
-
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Les lectrons avecun spin parallle H
diminuent leur nergie
de BHLes lectrons avec
un spin anti-parallle Hdiminuent leur nergie
de BH
EF
E
g(E, )g(E, ) BH
HEF
EF
Consquence :Les lectrons avec spin changent en spin jusqu' ce que
EF = EF = EF
Rsultat :Plus de spin que
-
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EF
E
g(E, )g(E, ) BH
H
Plus de spin que
Le nombre d'lectronsqui changent de spin est :
( ) HEg21N BF =
L'aimantation :
( ) HEgN2M 2BFB ==
La susceptibilit de Pauli est :Paramagntisme( ) 2BFP EgH
M==
3.3. Conductivit lectrique
-
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kx
ky
kF
Sans champ lectrique
Pour chaque vecteur k
dans la sphre de Fermi
on peut trouver
un vecteur -k
mvkp == h
k
m
v h=
Remarque :Dessins en 2D !
Avec champ lectrique
-
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kx
ky
k
La sphre de Fermi setranslate de k dans
l'espace des k.
Seulement les tats en
noir participent la
conduction, les vitesses
des autres s'annulent !
Supposition : E
-
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Leur nombre est :
E
g(E)
EF
g(E) ~ E1/2E
EEgn F =
Leur vitesse est :
v = vF
La densit de courant transporte par les lectrons peut
-
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s'crire : ( ) ( ) kdkdEEgveEEgvevenjFEE
FFFFF ====
nergie de Fermi : m2
k
E
2F
2
F
h
= FF
2
E vkmdk
dE
F
hh
==
( ) kEgevj F2F = h
Dtermination de k :
dt
dk
dt
dpeF h=== dtedkh
=
=
=hh
etek
( ) = F2F
2 EgvejLa densit de courant devient :
-
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( )FF gjRemarque :
Seulement la projection de
vF sur l'axe x intervient,car les autres composantess'annulent !
Il faut remplacer vF2
par :( ) 2F
2
2
2F v2
1dcosv
= en 2D
kx
ky
k
( ) 2F
2
2
2
2
2F v3
1ddcoscosv =
en 3D
Finalement , on obtient :221
-
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( ) == FF Egve3j
( )=
= F2F
2 Egve
3
11La conductivit lectrique :
Remarque : Application du modle de Sommerfeld
( )F
F En23Eg = 2F2
F
2
F vm21m2kE == h
menvmn223ve312
2F
2F2 ==
Mme rsultat que Drude !
III. lectrons dans un potentiel priodique :Bandes d'nergie
-
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1. Thorme de Bloch
2. Zones de Brillouin3. lectrons presque libres
4. Mtal - Semiconducteur - Isolant5. Surfaces de Fermi
1. Thorme de Bloch
-
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Le modle des lectrons libres n'est en gnral qu'uneapproximation grossire pour le comportement dugaz d'lectrons dans un solide.
En ralit le potentiel est plutt de la forme
~1/r
xU(x) a
Soit un rseau cristallographique donn par les nuds : rrr
++=r
-
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332211 anananRni entier, les vecteurs de la maille primitiveiar
Le potentiel que subit un lectron possde la mmepriodicit que le rseau cristallographique :( )xVRxV r
rr=+
Les tats lectroniques possibles sont les solutions del'quation de Schrdinger :
( ) ( ) ( )xExxVm2
2rrrh
=
+
Bloch a montr que les solutions sont de la forme :
( ) Rxuxu rr rr += r
xki rrr rrr
-
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( )kk( ) ( )kk exux = avec
i.e. des ondes planes modules par une fonction de lamme priodicit que le rseau
xkieRe rr
( )xuRe krr
( )xRe kr
r
( )xkr
r sont appeles ONDES de BLOCHLes
Le Potentiel est priodique, on peut donc choisir l'origine !
Si on remplace par on voit que :xr Rx rr
+
-
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RkikRkixki
kRxki
kk exeexueRxuRxr
r
rr
r
rr
rr rrrrrr
==+=+ +
car ( ) Rxuxu kkrrr
rr +=
r r r r
La fonction d'onde n'est modifie que par un facteur de phase
ce qui ne change pas la physique !
( ) ( ) Rki
kkexRx
rr
rr rrr
=+
est une autre manire de dfinir une onde de Bloch
Le moment cristallin
-
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Dans le cas des lectrons libre on dit qu'un lectron possdeune impulsion : kp r
hr
=
L'oprateur d'impulsion =
ip h
commute avec l'HamiltonienPour une onde de Bloch par contre : ( ) ( )( )
( ) ( )
( )rconst
rui
erk
ruei
rp
k
krki
k
krki
k
r
rhrrh
rhr
r
r
rr
r
r
rr
r
+=
=
Donc ( )rkrr n'est pas une fonction propre de p
On appelle kp r
hr
= le moment cristallin
2. Zones de BrillouinLes nuds du rseau sont donns par :
-
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332211 anananR rrr ++=r
ni entier, les vecteurs de la maille primitiveiar
mi entier, ( )kjikj*
i aaaaa2a
=
r
Le rseau rciproque est donn par les vecteurs :*33
*22
*11 amamamG
rrrr++=
Dfinition durseau rciproque
En consquence : ij*ji 2aa =rr
et1e GRi =
rr
Si pour une fonction de Bloch on replace par :kr
Gk rr
+ rrrrr rrrr
-
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( ) ( ) ( ) ( ) RkiGkRGkiGkGk exexRx rrrrrr ++++ ==+
( ) ( ) Rkikk exRxrr
rr rrr
=+
Rappel de la dfinition d'une onde de Bloch :
Par comparaison :
Si on remplace par la physique ne change pas !Gk rr
+kr
Le vecteur d'onde n'est dtermin qu' un vecteurdu rseau rciproque prs
k Grr
Le vecteur d'onde n'est dtermin qu' un vecteurdu rseau rciproque prs
k Grr
-
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Maille de Wigner Seitz
Consquences :Premier exemple 1D :
Soit une chane monoatomique de paramtre a
xa
La relation de dispersion pour des lectrons libres est :( )
m2kkE
22
0h
=
On peut reprsenter cette relation dans l'espace des k,i.e. dans le rseau rciproque !
-
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Le rseau rciproque d'une chane monoatomique est aussiune chane unidimensionnelle de paramtre 2/a
1re zone 2me 3me 4me4me 3me 2me
1re zone de Brillouin
Nuds du rseau rciproque
2/akx
Gr
kx
Remarque
Reprsentation de la relation de dispersion E(k)
-
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0 aa
3a
3a
2a
2a
k0 aa
3a
3a
2a
2a
k
On peut remplacer k par k+G !
On doit donc aussi tracer une parabole centr 2/a etc.
Une fois toutes les paraboles traces (une pour chaque G)
-
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0 aa
3a
3a
2a
2a
k
On obtient :
Schma de zones tendusLa relation de dispersion est priodique avec une priode 2/a
On peut se limiter sur une priode [-/a ; /a]
Schma de zone rduite
-
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0 aa
k 1re
"bande"
2me "bande"3
me
"bande"
4me "bande"
1re
zone de Brillouin
En 3D :
Dfinition des zones de Brillouin
-
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On choisit un nud du rseau rciproque comme origine.Ensuite on trace les plans mdiateurs par rapport au nuds
premiers plus proches voisins, deuximes plus proches voisins etc.Le nud d'origine se trouve entour de polydres ferms.
Le polydres avec le plus petit volume est la 1re
zone de BrillouinLe volume entre ce polydres et le 2me plus petit polydres estla 2me zone de Brillouin etc.
Rseau rciproque : l
Illustration en 2D :
-
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3me zone de Brillouin
2me zone de Brillouin
1re zone de Brillouin
Rseau carr plan
Pour aller plus loin en 2D : voir TD 3Exemple en 3D : Cubique centr et cubique faces centres
Rseau rciproque : cc --> cfccfc --> cc
Zones de Brillouin
-
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2me1recc 3me
1recfc 2me 3me
2 exemples particulirement importants
-
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rseau cc rseau cfc
Interlude : Comment reprsenter une relation de dispersion
kyExplication pour le cas en 2D
-
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kx
2a
X
M
La relation de dispersion s'crit :
( )2y2x2
0k kk
m2
E += hr
kx
X
M
Rseau rciproque : rseau carr plan
La premire zone de Brillouin :
On prsente des coupes de cette surface
-
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kx
XM
kx
ky
2
a
X
M
X MM
nergie
(0;0) (/a;0) (/a; /a)(/a; /a)
Structures de bandes dans le cas d'lectrons libres
On suppose une structure cubique centre
-
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Les vecteurs du rseau rciproque sont donns par*
33
*
22
*
11 amamamG
rrrr++=
avec
( )zya2a* +=r
( )xza2b* +=r
( )yxa2c* +=r
Calculs dtaills voir TD 3
1re zone de Brillouin :
L l ti d di i
-
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La relation de dispersion :
( )220
k Gkm2E
rrhr +=
Regardons la direction - H, i.e.
a2;0kx
ky = kz = 0
Dans ce cas :22
0k Gxxa
2m2
E +
=
rhr et 1;0x
4C
3C
Premire possibilit : 0G=r
22
22
0k Cx)xx(22E = = h
r
-
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H
C
2C
3C
0
nergie
000
220k Cx)xx(a2m2E = =
Rappel : *33*22
*11 amamamG
rrrr++=
( )zxa
2G +=r
0_10
( )
( )( ) ( )(( 2x2xC
11xCzx1xC
zxa
2xxa
2m2
E
222
220k
+=+==
+
=
hr
_1
_11
Et il faut le faire pour toutes les valeurs de G
Soit m1 = m3 = 0, m2 = -1 0_10( )
Pour toutes les directions de symtrie :
-
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101/223
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Rseau cc
Dans le cas d'un rseau cfc
-
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102/223
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Rseau cfc
3. lectrons presque libres
Pour se simplifier la vie on se place en 1D
-
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Le cristal est une chane monoatomique
~1/r
xU(x) a
Potentielpriodique
Approche intuitive
Pour des lectrons libres : 22
0k k2E hr = ( ) ikxk ex
On suppose les lectrons faiblement perturb
-
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104/223
LMGP - ENSPG - UMR 5628
Pour des lectrons libres : k km2E( )k ex
i.e. des ondes planes progressives
On sait : Une onde interagit avec une structure priodiquesi la condition de Bragg est satisfaite !
entiern,nsind2 =
Ici 1D donc : d = a = /2
= 2k
dPlans atomiques
onde incidente onde rflchie
k
2na2 = oua
nk =
Il y aura rflexion de l'onde lectronique chaque fois que
ank =
-
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105/223
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aPour approcher le potentiel priodique on suppose :
( ) 0110 UU;xa2
cosUUxU
-
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aaxcos + a
xsin
xacos22 + xasin22 Densit decharge
x
U(x) +(x)
-(x)
Diffrenced'nergiepotentielle
+ : Maximum de charges centrs sur les ions- : Maximum de charges centrs entre les ions
-
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nergie de + < nergie de -
k
E
a
a
EGap
-
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(x) est une onde de Bloch, donc une fonction priodique.
Dveloppement en srie de Fourier( ) ( )= ikxekCx
-
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( )k
ekCx
Dans Schrdinger :
( ) ( ) ( ) =
++
>
k
ikx
k
ikx
0G
iGxiGxG2
22ekCEekCeeU
xm2h
( ) ( ) ( ) ( )( ) >
+ =++
0G k
xGkixGkiG
ikx
k
22
0eekCUekCEkm2
h
k satisfait les condition au limites priodiques i.e. k = n 2/LIl existe k' = n' 2/L pour lequel l'quation est aussi valable !
( ) ( ) ( ) ( )( ) x'ik0G k
xGkixGkiG
ikx
k
22
e0eekCUekCEkm2
=++
>
+h
( ) ( ) ( ) ( )( ) x'ikxGkixGkix'ikikx22
h
-
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( ) ( ) ( ) ( )( ) >
+ =++
0G
xik
k
xGkixGkiG
xikikx
k
2 0eeekCUeekCEkm2
h
On intgre de 0 L et on tient compte du fait que
=L
0'kk
x'ikikx Ldxee
( ) ( ) ( )( ) 0G'kCG'kCU'kCEm2'k
0G
G
22=+++
>
h
k+G=k' k-G=k'
m2kE
220k
h= et en renommant k' par kEn introduisant
( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE G0k =+++
-
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0G>
Ce systme d'quations permet la dtermination des C(k)La fonction d'onde devient : ( ) ( ) ( ) =
G
xGkik eGkCx
Comparaison avec le thorme de Bloch : ( ) ( ) xkikk exux r
rr rr=
r
( ) ( ) =G
iGxk eGkCxu
Exemple de l'utilisation de l'expression
( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 0G G0k =+++ >
-
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On se limite au premier termes du dveloppement de U(x) :( ) ( )
++=
>
x
a2ix
a2i
0G
iGxiGxG eeUeeUxU
1Ga2
= est le vecteur lmentaire du rseau rciproque
( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 110k =+++
La fonction d'onde :( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++
=
+
xGkixGkiikxG
xGkik
11 eGkCeGkCekC
eGkCx
-
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++++= 11 11 eGkCeGkCekC
On suppose les C(k - G) = 0 sauf C(k), C(k - G1) et C(k + G1)( ) ( ) ( )( ) 0GkCGkCUkCEE 11
0k =+++
fournit 3 quations linaires pour la dtermination destrois coefficients C(k), C(k - G1) et C(k + G1).
Calcul dtaill voir TD 4
Un systme d'quations linaires ne peut avoir une solutionque si le dterminant des coefficients est gal zro
0UEE0 Gk
-
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0
EEU0
UEEUEE
0 Gk
0k
Gk
1
1
=
+
Cette quation permet la dtermination des relations
de dispersions E(k)
Ici polynme d'ordre 3, donc priori 3 bandes d'nergie
Prsentation graphique du rsultat
E
1 2 3 4 512345
-
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Schma de zone tendu
k0 aa 2a2a 3a 4a3a4a
3me bande
2me bande
1re bande
E
On admet qu'il y a plusieursrelations de dispersion En(k)
Comme pour les lectrons libres on peut se limit laPremire zone de Brillouin
-
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k0 aa
3me bande
2me
bande1re bande
Schma de zone rduite
n : indice de bande
4. Mtal - Semiconducteur - IsolantStructures de Bandes relles
Question prliminaire :
-
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Quel est le nombre d'tats lectroniques dans une bande ?
Une bande contient un nombres d'tats gal au volume dela 1re zone de Brillouin : ( )
32
La densit des tats dans l'espace des k est :
(Conditions aux limites priodiques !)
3
L2
( )
NL
L2
23
3
3
=
=
Une bande contient donc
tats
-
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N : Nombre de mailles primitives de l'chantillonUn tats peut abriter 2 lectrons
Il y a 2N places pour les lectrons par bande !
Question supplmentaire :O se situe le niveau de Fermi ?
D'abord 1D
Exemple de la chane monoatomique
Atomes monovalents :
E
-
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Il y a 1 lectron par maille primitive !
Donc N lectrons dans la chane
Il y a 2N places dans la 1re bande
Les lectrons vont occuperles N places de plus basse
nergie
Comportement lectrique : mtallique
EF se situe au milieu de la premire bande
EFa
a 0 k
Exemple de la chane monoatomique
Il y a 2 lectrons par maille primitive !
E Atomes divalents :
-
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Donc 2N lectrons dans la chane
Il y a 2N places dans la 1re bande
Les lectrons vont occuperles 2N places de la premirebandeaa 0 k
EF se situe en haut de la premire bande
EF
Comportement lectrique : isolant ou semiconducteur
Exemple de la chane monoatomique
Il y a 3 lectrons par maille primitive !
E Atomes trivalents :
-
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Donc 3N lectrons dans la chane
Il y a 2N places dans la 1re bandeet 2N places dans la 2me bande
Les lectrons vont occuperles 2N places de la premireBande et les N places de plusbasse nergie de la 2me bande
EF se situe au milieu de la deuxime bande
EF
a
a 0 k
Comportement lectrique : mtalliqueEtc
Donc en une dimension c'est simple :
Nombre d'lectrons impair : comportement mtalliqueNombre d'lectrons pair : isolant ou semiconducteur
-
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p
Remarque : Tous les lments de nombre atomique impairsont des mtaux !
Pourquoi les lments avec un nombre atomique pair ne sont
il pas tous des isolants ou des semiconducteurs ?
Illustration de la rponse en 2D
Exemple : rseau carr plan de paramtre a
kyMLa premire zone de Brillouin :
L i t l d i b d
-
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kx
2a
X
La premire et la deuxime bandesont donnes par deux relationsde dispersion :
yx1 k;kE yx2 k;kE
qui peuvent tre reprsentespar des surfaces
XM
kx
E2
XM
kx
E1
Reprsentation en "coupe"
ky
-
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(/a; /a) XM
nergie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MCMV kx
2a
X
M
eMC
Atomes monovalent
N lectrons dans l'chantillon
primitivemaillelectron1
-
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(/a; /a) XM
ne
rgie
(0;0) (/a;0)
XCXV
MC
MV2N places dans la 1re bande
Les lectrons vont occuperles N places de plus basse
nergie
Comportement lectrique : mtalliqueEF se situe quelque part au milieu de la premire bande
EF
primitivemaillelectrons2Atomes divalents 2N lectrons
1er cas : XC > MV
-
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(/a; /a) XM
nergie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MCMV EF
EF au sommet de lapremire bande
Les 2N tats d'nergies
les plus basses setrouvent dans lapremire bande
Comportement : isolant ou semiconducteur
primitivemaillelectrons2Atomes divalents 2N lectrons
2me cas : XC
< MV
Les 2N tats d'nergies
-
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Les 2N tats d nergiesles plus basses se
trouvent la foisdans la premire bandeet la deuxime bande
Comportement : mtallique
Chevauchement de bandes
(/a; /a) XM
nergie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MCMV EF
EF coupe la 1re bande proche
M et la 2me bandeproche X
Na, cc, a = 4,23 Comparaison avec la structure
des lectrons libres
Quelques exemples en 3D
-
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Exemple Cs et Ba : volution du niveau de Fermi
-
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Al, cfc, a = 4,05 Trivalent !
-
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Cu, cfc, a = 3,61
On remarque les bandes d
-
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-
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5. Surfaces de Fermi
Dfinition : La surface de Fermi est la surface, qui danslespace des k spare les tats occups destats vides T = 0 K
-
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tats vides T = 0 K
Cas des lectrons libres :m2kE
220k
h=
: rayon de Fermi31
32
F LN3k
=
Lnergie de Fermi EF est dtermine par le nombre Ndes lectrons :
m2kE
2F
2
Fh
= Cest une sphre !
Exemple en 2D : rseau carr plan de paramtre a(rseau rciproque : carr plan de 2/a)
Laire de la 1re zone de Brillouin :2
a2
Nk2
-
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21
2F LN2k =2
N
L2
k2
2F =
Dtermination de kFEn 2D :
Surfaces disonergie : cercles !
kx
X
M
-
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Atomes divalents :22 a
2LN =
a128,1
a4kF =
-
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Une partie se trouve dans ladeuxime zone !
2me1re
Atomes trivalents :22 a
3LN =
a382,1
a6kF =
-
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Une partie se trouve dans ladeuxime zone !
1re2me
Remarque : k nest dtermin qu G prs
-
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Schma de zone rpt :
1re zone de Brillouin : 2me zone de Brillouin :
-
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-
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Exemple en 2D : rseau carr plan de paramtre a
Comment se modifient les ligne de isonergie dans le casde vraies bandes ?
-
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XM
kx
E1
1re bande
-
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-
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Al rel :
-
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-
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Remarque : La notion de densit d'tats reste valable
Expression gnrale de la densit dtats g(E)
ky
-
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kxE = const.
E + dE = const.
G (E) dE est le nombrediscrets de valeurs de k qui setrouvent entre les surfaces
correspondantes E = const.et E + dE = const. danslespace des k
Par consquence :
( )
( )3
dEE
E
3
L2
kddEEG
=+
dE=const. dk T
= dkdkd3
-
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E+dE=const. On sait que ( )kEgraddkdE kr
=
( )kEgrad
dEd
kd k3
r
=
( ) ( ) ( )=
= .constE k3
3
kEgradd
2L
EG r
Formule gnrale de la densit dtats des lectrons !
Exemple :
Na, cc, a = 4,23
-
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-
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149/223
-
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-
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-
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-
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-
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-
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On cherche des solutions sous la forme d'ondes :( ) ( )tksaiexpAtkxiexpAu ss ==
Onde progressive de vecteur d'onde k : =2/k
Dans l'quation diffrentielle :
-
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= p sikpasps2 ueuCum
Symtrie : pp CC =
>
+=0p
ikpaikpap
2 2eeCm
( )( ) >>
==
0p
2p
0pp
22
kpasinCm4kpacos1C
m2
-
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-
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-
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-
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Approximation des plus proches voisin
>
=
0p
2p
22
kpasinCm4
Rappel : relation de dispersion
-
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Seulement les plus proches voisins : 0C,1p;C p1 =>=
k
a
a
2kasin
m2 =
-
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-
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-
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-
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-
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Remarque :En 3D pour un matriau avec 2 diffrents types d'atomes
3 branches acoustique : 3N modes3 branches optiques : 3N modes
-
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6N modes de vibrations
En 3D pour un matriau avec p diffrents types d'atomes
3 branches acoustique : 3N modes3(p-1) branches optiques : 3(p-1) modes
En totale 3pN modes de vibrations
3. Approche quantique : Les Phonons
Le systme classique de la chane monoatomique
est dcrit par N quations diffrentielles couples
( ) == + 1p1p212
21
2uuCumxm
-
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ptt ( ) =
=
+
p2p2p2
22222 uuC
tum
txm
( ) =
=
+
pNpNp2
N22N2 uuC
tum
txm
Pour rsoudre se systme proprement :Transformations de LegendreAvec N quations diffrentielles non couples !
Pour un traitement quantique :Lquation de Schrdinger :
( ) ( )NN1NN1i
Harm
2i r,,r,rEr,,r,rVm2p
rLrrrLrr = +
Mais les transformations de Legendre permettent de
-
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dcoupler les variables !Pour un cristal rel on obtient finalement :
3pN quations de Schrdinger indpendantes,chacune reprsentante un oscillateur harmonique
une dimension !
-
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Loi de Dulong Petit :
BvibV pNk3C =
CV3pNkB
Rsultats exprimentaux :
-
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T
3pNkB
Le modle classique dcrit le comportementhaute temprature !
-
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-
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-
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Par consquence :
( )
( )
3
d 3
L2
kddZ
=
+
d=const.
+d=const.
dk T = dkdkd3
On sait que ( )kgraddkd kr
=
-
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d const. On sait que ( )kgraddkd k=
( )kgrad
ddkdk
3r
=
( ) ( ) ( )=
= .const k3
3
kgrad
d
2
L
Z r
Formule gnrale de la densit dtats des phonons !
Remarque : Z() peut tre trs difficile calculer
Avec ce formalisme lexpression de Uvib devient :( ) ( )
=
= +
=
00Tkvib dZ2
1dZ1e
UB
hh
h
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
nergie T = 0 K
Calculer le premier terme est compliqu causede la forme de Z()
Cest pourquoi on fait souvent des approximations adaptes
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L'approximation de Debye
On considre le matriau comme un matriau continu etIsotrope, mais on limite le nombre de vibrations 3pN
D
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
kaa
Consquence :
La vitesse de son estconstante dans lapremire zone de Brillouin
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La frquence de Debye D est dtermine par :
( ) pN3dZD
0
=
3 2SD V
Np6v = frquence de Debye
Lexpression de la densit dtats devient : ( ) 32
pN9Z =
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
L expression de la densit d tats devient : ( )D
pN9Z
Dfinition de la temprature de Debye D :
DBD k=h
Cest la temprature partir de laquelle il y a au
moins un phonon dans chacun des 3pN modes de vibration
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Un calcul numrique de CV donne
CV 3pNkB
~T3
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
TD
En excellent accord avec les rsultats exprimentaux
5. Diffusion inlastique des neutrons
Pour "mesurer" les Phonons, quel sont les longueurs d'ondes
et les nergies ncessaires ?Longueur d'onde : quelques
nergie : ==sv2E hh avec kvs = : vitesse de son1000 /
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
nergie v2E avec kv vitesse de son~ 1000 m/s
E ~ quelques meV
Particule possdant les mmes longueurs d'onde et d'nergie :
Neutrons thermiques d'nergies de quelques meVLongueur d'onde :
m2
2
m2pE
222
==h
mE22 h
= qqs
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Racteur M
S
Spectromtre trois axes
Faisceau de neutronsthermiques
Cristal monochromateur
chantillon
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
A
D
q
Dtecteur
Cristal analyseur
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Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct :
Relation de Heisenberg : hrhrr = krpr r
k1r rr
comme 1kr
ar >> r
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
commea
k
a Largeur duPaquet d'ondes
Champ externe
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quations de mouvement :On admets sans preuve la validit des quations de mouvement
classiques pour entre les collisions !k
r
( ) ( ) ( )[ ]t,rBkvt,reFdt
k
t
pnext
rrrrrrrr
h
r
+==
=
avec ( ) ( )kE1rkvrr
rrr
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
avec ( ) ( )kEt
kv nkn hr=
=
Attention : kp hr = n'est plus la quantit de mouvementclassique mais le moment cristallin !
r
Rappel : kr n'est dfini qu' un vecteur durseau rciproque prsG
r
-
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==occupstats
3 vL2evenj rrrDensit de courant :
La densit des tats dans l'espace des k :3
2L2
( ) ( )kE1trkv nknrr
h
rr r==avec
r
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
La densit de courant devient :( ) =
occupstats
nk3
3
kE14
kdej rr
h
rr
-
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3. Application d'un champ lectrique :masse effective et notion de trou
Exemple 1D
E (k)
vn(k)= r
h etkr
( ) ( )h
rr te0ktk =
entre les collisions
r
Rappel :
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
Chemin : OAA'O
k
En(k)
r
Fr
O
A A'Rappel :
( ) ( )kEgrad1
kv nknr
h
rrr
=Mouvement priodique dans
l'espace des k
et dans l'espace rel !
Commentaires :
En(k)
vn(k)
r
Fr
O
A A'
- En bord de zone : v = O !- bande large vitesses leves
- pour une bande entirevmoy = 0
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
k
kx
kyExemple 2D
r
Fr
Mouvement priodique dansl'espace des k
et dans l'espace rel !
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En faisant le mme calcul pour vy et vz
ext
2z
2
yz
2
xz
2
zy
2
2y
2
xy
2 zx
2
yx
2
2
x
2
2 F
kEkk Ekk E
kkE
kE
kkE kk
E
kk
E
k
E
1tv r
h
r
=
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
zyzz
*m1 "masse" effective
Par consquence : ext* F
tvm r=
r
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La densit de courant s'crit( ) ==
occupstats
nk3
3
occupstats
3 kE1
4kdev
L2ej
rr
h
rrr
En(k)
vn(k)Cependant
( ) 0kE1
4
kdev
L
2eentirebande
nk3
3
entirebande
3 =
= rr
h
rr
22
-
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
k
En( )
i.e. 0vL
2evL
2evidestats
3
occupstats
3 =+
rr
Donc :=
occupstats
3 vL2ej r
r
ou +=
vides
tats3 vL
2ej rr
Description du courantsoit par des lectronssoit par des "trous"
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n
ergie
XCXV
MCMV EF
Une bande d'lectronsExemple 2D
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
(/a; /a) XM
(0;0) (/a;0)
Une bande de trous
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Calcul de la pulsation d'une orbitequation de mouvement
dtkEBekd 2 = r
h
r
r
E = const.
E+dE = const
kdr
dA
kdr
kdE
k
eBdt
2 rh
=
Intgrant sur une orbite en tenant compte que :
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LMGP - ENSPG - UMR 5628
Intgrant sur une orbite en tenant compte que :
dAkdkd = rr et = Tdt
( )dEdAeB2T2 2c h ==
c : frquence cyclotrondEdAeBT
2
h=
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