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Claudio Duchi
ESERCIZI SVOLTI DI MATEMATICAQUINTO
Release: (e3fb3fd) Autore:Claudio Duchi 2018-11-17
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2
Sicuramente, in questo lavoro vi sono errori e imprecisioni, per cortesia segnalatemeli.
Copyright © 2018, Claudio Duchi.Quanto segue è stato rilasciato con licenza c Creative Commons 3.0 Attribuzione −
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b Attribuzione: Devi riconoscere il contributo dell’autore originario.
n Non commerciale: Non puoi utilizzare il contenuto di questo documento per scopicommerciali.
d Non opere derivate: Non puoi alterare modi�care o sviluppare questo documento.
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sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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Indice
1 Limiti 51.1 Limite in�nito per x che tende a valore �nito . . . . . . . . . . . . 51.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limite in�nito per x che tende ad in�nito. . . . . . . . . . . . . . 81.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Forma indeterminata zero su zero . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Forma indeterminata in�nito su in�nito . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Asintoti 172.1 Asintoti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Asintoti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 Esercizi di riepilogo asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Derivate 493.1 Razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Massimi e minimi 584.1 Razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Gra�co probabile 675.1 Funzioni razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3
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INDICE 4
Appendice 97
A Mezzi usati 98
Indice analitico 99
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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1 Limiti
1.1 Limite in�nito per x che tende a valore �nito
Esercizio 1.1.1: Calcoliamo il seguente limite limx→2+1
x− 2Soluzione a pagina 6
Esercizio 1.1.2: Calcoliamo il limite limx→−5−x− 3
x + 5Soluzione a pagina 6
Esercizio 1.1.3: Calcoliamo il limite limx→−32
(x + 3)2
Esercizio 1.1.4: Calcoliamo il limite limx→−22x
(x + 2)2
Esercizio 1.1.5: Calcoliamo il limite limx→0−
(1
x3+ x
)
5
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1.2. SOLUZIONE ESERCIZI 6
1.2 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 1.1.1 di pagina 5:Calcoliamo il seguente limite limx→2+
1
x− 2Sostituendo due al denominatore otteniamo uno diviso zero. Possiamo risolverel’esercizio in due modi. Primo metodo intuitivo, se sostituiamo all’incognita neldenominatore, valori leggermente superiori al due la di�erenza è positiva quindi
limx→2+
1
x− 2= +∞
Secondo metodo analitico. Studiamo, con una disequazione, il segno della frazione
x− 2 > 0
otteniamo il gra�co
2
Quindi la frazione è positiva per valori a destra del due. Segue che
limx→2+
1
x− 2= +∞
Soluzione dell’esercizio 1.1.2 di pagina 5:Calcoliamo il limite limx→−5−
x− 3
x + 5Sostituendo meno cinque al denominatore ot-
teniamo meno otto diviso zero. Possiamo risolvere l’esercizio in due modi. Primometodo intuitivo, sostituendo meno cinque all’incognita nel numeratore otteniamoun valore negativo. Procedendo in modo analogo al denominatore otteniamo unvalore negativo (attenzione che consideriamo valori a sinistra di meno cinque).Quindi in numeratore e il denominatore sono entrambi negativi per cui la frazionea sinistra è positiva. Segue
limx→−5−
x− 3
x + 5= +∞
Secondo metodo analitico. Studiamo, con una disequazione, il segno della frazione
x− 3 >0
x >3
x + 5 >0
x >− 5
otteniamo il gra�co
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CAPITOLO 1. LIMITI 7
−5 3
+ − +
Quindi la frazione è positiva per valori a sinistra di meno cinque. Segue che
limx→−5−
x− 3
x + 5= +∞
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1.3. LIMITE INFINITO PER X CHE TENDE AD INFINITO 8
1.3 Limite in�nito per x che tende ad in�nito
Esercizio 1.3.1: Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x3 − x2 − x− 1Soluzione a pagina 9
Esercizio 1.3.2: Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x5 + x2 − x + 8
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CAPITOLO 1. LIMITI 9
1.4 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 1.3.1 di pagina 8:Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x3 − x2 − x− 1 Per valori di x che tendono all’in�nitole varie parti del polinomio tendono a più o meno in�nito. Per ovviare a questacontraddizione procediamo come segue:
limx→+∞
3x3 − x2 − x− 1 =
= limx→+∞
x3
(3− x2
x3− x
x3− 1
x3
)= lim
x→+∞x3
(3− 1
x− 1
x2− 1
x3
)i termini all’interno della parentesi tendono a tre mentre il termine all’esternotende a più in�nito quindi
= +∞
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1.5. FORMA INDETERMINATA ZERO SU ZERO 10
1.5 Forma indeterminata zero su zero
Esercizio 1.5.1: Calcoliamo il limite limx→1x2 − 1
x− 1Soluzione a pagina 11
Esercizio 1.5.2: Calcoliamo il limite limx→−22x2 + x− 6
4x2 + 9x + 2Soluzione a pagina 11
Esercizio 1.5.3: Calcoliamo il limite limx→12x2 + x− 3
x2 − xSoluzione a pagina 12
Esercizio 1.5.4: Calcoliamo il limite limx→12x2 + 5x− 6
x2 + x− 2
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CAPITOLO 1. LIMITI 11
1.6 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 1.5.1 di pagina 10:
Calcoliamo il limite limx→1x2 − 1
x− 1
limx→1
x2 − 1
x− 1=
0
0
scomponiamo il numeratore
= limx→1
(x− 1)(x + 1)
x− 1
sempli�cando
= limx→1
(x + 1)
= 2
Soluzione dell’esercizio 1.5.2 di pagina 10:
Calcoliamo il limite limx→−22x2 + x− 6
4x2 + 9x + 2
limx→−2
2x2 + x− 6
4x2 + 9x + 2=
0
0
Per risolvere questa forma indeterminata scomponiamo il numeratore
2x2 + x− 6 =0
x1,2 =−1±
√1 + 48
4
=1± 7
4
=
x1 = −2
x2 =3
2
2x2 + x− 6 =2(x− 3
2)(x + 2)
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1.6. SOLUZIONE ESERCIZI 12
scomponiamo il denominatore
4x2 + 9x + 2 =0
x1,2 =−9±
√81− 32
8
=−9± 7
8
=
x1 = −2
x2 = −1
4
4x2 + 9x + 2 =4(x +1
4)(x + 2)
quindi
limx→−2
2x2 + x− 6
4x2 + 9x + 2=
= limx→−2
2(x− 3
2)(x + 2)
4(x +1
4)(x + 2)
sempli�cando
= limx→−2
2(x− 3
2)
4(x +1
4)
= limx→−2
2x + 3
4x + 1
=1
7
Soluzione dell’esercizio 1.5.3 di pagina 10:
Calcoliamo il limite limx→12x2 + x− 3
x2 − x
limx→1
2x2 + x− 3
x2 − x=
0
0
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CAPITOLO 1. LIMITI 13
Per risolvere questa forma indeterminata scomponiamo il numeratore
2x2 + x− 3 =0
x1,2 =−1±
√1 + 24
4
=1± 5
4
=
x1 = 1
x2 = −3
2
2x2 + x− 3 =2(x +3
2)(x− 1)
scomponiamo il denominatore
x2 − x =0
x1,2 =1±√
1
2
=1± 1
2
=
{x1 = 0
x2 = 1
x2 − x =x(x− 1)
quindi
limx→1
2x2 + x− 3
x2 − x=
= limx→1
2(x +3
2)(x− 1)
x(x− 1)
sempli�cando
= limx→1
2(x +3
2)
x
= limx→1
2x + 3
x
=5
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1.7. FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO 14
1.7 Forma indeterminata in�nito su in�nito
Esercizio 1.7.1: Calcoliamo il limite limx→+∞2x− 3
1− 5xSoluzione a pagina 15
Esercizio 1.7.2: Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − 3x + 4
x2 + x− 6Soluzione a pagina 15
Esercizio 1.7.3: Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − x + 1
x4 − 3x + 4Soluzione a pagina 15
Esercizio 1.7.4: Calcoliamo il limite limx→+∞x5 − 3x + 1
2x + 1Soluzione a pagina 16
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 1. LIMITI 15
1.8 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 1.7.1 di pagina 14:Calcoliamo il limite limx→+∞
2x− 3
1− 5xLimite del tipo in�nito su in�nito, procediamo
riscrivendo la frazione
limx→+∞
2x− 3
1− 5x=
= limx→+∞
x
(2− 3
x
)x
(1
x− 5
)sempli�co
= limx→+∞
2− 3
x1
x− 5
= −2
5
Soluzione dell’esercizio 1.7.2 di pagina 14:
Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − 3x + 4
x2 + x− 6Limite del tipo in�nito su in�nito,
procediamo riscrivendo la frazione
limx→+∞
x2 − 3x + 4
x2 + x− 6=
= limx→+∞
x2
(1− 3x
x2+
4
x2
)x2
(1 +
x
x2− 6
x2
)sempli�co
= limx→+∞
1− 3
x+
4
x2
1 +1
x− 6
x2
= 1
Soluzione dell’esercizio 1.7.3 di pagina 14:
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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1.8. SOLUZIONE ESERCIZI 16
Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − x + 1
x4 − 3x + 4Limite del tipo in�nito su in�nito,
procediamo riscrivendo la frazione
limx→+∞
x2 − x + 1
x4 − 3x + 4=
= limx→+∞
x2
(1− x
x2+
1
x2
)x4
(1− 3x
x4+
4
x4
)sempli�co
= limx→+∞
1− 1
x+
1
x2
x2
(1− 3
x3+
4
x4
)= 0
Soluzione dell’esercizio 1.7.4 di pagina 14:
Calcoliamo il limite limx→+∞x5 − 3x + 1
2x + 1Limite del tipo in�nito su in�nito,
procediamo riscrivendo la frazione
limx→+∞
x5 − 3x + 1
2x + 1=
= limx→+∞
x5
(1− 3x
x5+
1
x5
)x
(2 +
1
x
)sempli�co
= limx→+∞
x4
(1− 3
x4+
1
x5
)2 +
1
x=∞
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2 Asintoti
2.1 Asintoti verticaliRisolvi i seguenti esercizi
Esercizio 2.1.1: f(x) =2x2 + 1
x− 1
Esercizio 2.1.2: y =x2 − 5x + 6
x2 − 1Soluzione a pagina 35
Esercizio 2.1.3: f(x) =x2 + 1
x2 − 4
Esercizio 2.1.4: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 5x + 2
x2 − 1Soluzione a pagina 36
Esercizio 2.1.5: f(x) =2x2 + x
x2 + 2x + 1
Esercizio 2.1.6: Trovare gli asintoti richiesti y =x2 + 4x + 3
x2 + 3x + 5Soluzione a pagina 39
17
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2.1. ASINTOTI VERTICALI 18
Esercizio 2.1.7: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 1
x3 + x2
Soluzione a pagina 39
Esercizio 2.1.8: Trovare gli asintoti richiesti f(x) =x + 1
2x− 1
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 19
2.2 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 2.1.2 di pagina 17:
y =x2 − 5x + 6
x2 − 1Studiamo il dominio della funzione.
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1+)2 − 1 >0
(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1−)2 − 1 <0
(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
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2.2. SOLUZIONE ESERCIZI 20
quindi x = 1 è un asintoto verticale. Calcoliamo il limite
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1+)2 − 1 <0
(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0
otteniamo
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=−∞
Calcoliamo il limite
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1−)2 − 1 >0
(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0
otteniamo
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
quindi x = −1 è un asintoto verticale.
Soluzione dell’esercizio 2.1.4 di pagina 17:
y =3x2 + 5x + 2
x2 − 1
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 21
Calcolo il dominio
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
0
0
Per risolvere questa forma indeterminata scompongo il numeratore
3x2 + 5x + 2 =0
x1,2 =−5±
√25− 24
6
=−5± 1
6
=
x1 = −1
x2 = −2
3
3x2 + 5x + 2 =3(x +2
3)(x + 1)
quindi
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
= limx→−1
3(x +2
3)(x + 1)
(x− 1)(x + 1)
sempli�co
= limx→−1
3x + 2
x− 1
=1
2
Quindi x = −1 non è asintoto verticale. Utilizzando i calcoli precedenti otteniamo illimite:
limx→1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1= lim
x→1
3x + 2
x− 1
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2.2. SOLUZIONE ESERCIZI 22
Studiamo con una disequazione il segno della funzione
y =3x + 2
x− 1≥ 0
3x + 2 ≥0
x ≥− 2
3x− 1 >0
x >1
otteniamo il gra�co
− 23 1
+ − +
Quindi la frazione è positiva per valori a destra di uno e negativa a sinistra. Segueche
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Quindi x = 1 è asintoto verticalePotevamo procedere anche come segue:Calcoliamo il limite
limx→1+
3x + 2
x− 1=
Dato che
1+ − 1 >0
3 · (1+) + 2 >0
otteniamo
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
3x + 2
x− 1=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 23
Dato che
1− − 1 <0
3 · (1−) + 2 >0
otteniamo
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Soluzione dell’esercizio 2.1.6 di pagina 17:
y =x2 + 4x + 3
x2 + 3x + 5Determiniamo il dominio ponendo il denominatore uguale a zero
x2 + 3x + 5 =0
x1,2 =−3±
√9− 20
2
L’equazione non ha soluzioni reali
La funzione non ha asintoti verticali
Soluzione dell’esercizio 2.1.7 di pagina 18:
y =3x2 + 1
x3 + x2
x3 + x2 =0
x2(x + 1) = 0
x1,2 =0±√
0 + 0
2=0
x + 1 =0
x3 =− 1
Quindi il dominio è x 6= 0 e x 6= −1Studiamo il segno della funzione.
y =3x2 + 1
x3 + x2
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.2. SOLUZIONE ESERCIZI 24
Dato che è una razionale fratta studiamo il segno del numeratore
3x2 + 1 =0
x1,2 =0±√
0− 12
2
L’equazione non ha soluzioni reali
Utilizzando i risultati precedenti otteniamo il gra�co
0−1
− ++
In base a quanto detto
limx→0
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
limx→1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
limx→1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
Otteniamo lo stesso risultato nel seguente modo:
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(0+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0+)2(0+ + 1) >0
otteniamo
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 25
Dato che
3(0−)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0−)2(0− + 1) >0
otteniamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
concludiamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1+)2(−1+ + 1) >0
otteniamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1−)+ + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1−)2(−1− + 1) <0
otteniamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.3. ASINTOTI ORIZZONTALI 26
2.3 Asintoti orizzontalii seguenti esercizi
Esercizio 2.3.1: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 5x + 2
x2 − 1Soluzione a pagina ??
Esercizio 2.3.2: Trovare gli asintoti richiesti y =x2 + 4x + 3
x2 + 3x + 5
Esercizio 2.3.3: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 1
x3 + x2
Soluzione a pagina ??
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 27
2.4 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 2.1.2 di pagina 17:
y =x2 − 5x + 6
x2 − 1Studiamo il dominio della funzione.
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1+)2 − 1 >0
(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1−)2 − 1 <0
(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.4. SOLUZIONE ESERCIZI 28
quindi x = 1 è un asintoto verticale. Calcoliamo il limite
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1+)2 − 1 <0
(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0
otteniamo
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=−∞
Calcoliamo il limite
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1−)2 − 1 >0
(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0
otteniamo
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
quindi x = −1 è un asintoto verticale.
Soluzione dell’esercizio 2.1.4 di pagina 17:
y =3x2 + 5x + 2
x2 − 1
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 29
Calcolo il dominio
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
0
0
Per risolvere questa forma indeterminata scompongo il numeratore
3x2 + 5x + 2 =0
x1,2 =−5±
√25− 24
6
=−5± 1
6
=
x1 = −1
x2 = −2
3
3x2 + 5x + 2 =3(x +2
3)(x + 1)
quindi
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
= limx→−1
3(x +2
3)(x + 1)
(x− 1)(x + 1)
sempli�co
= limx→−1
3x + 2
x− 1
=1
2
Quindi x = −1 non è asintoto verticale. Utilizzando i calcoli precedenti otteniamo illimite:
limx→1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1= lim
x→1
3x + 2
x− 1
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2.4. SOLUZIONE ESERCIZI 30
Studiamo con una disequazione il segno della funzione
y =3x + 2
x− 1≥ 0
3x + 2 ≥0
x ≥− 2
3x− 1 >0
x >1
otteniamo il gra�co
− 23 1
+ − +
Quindi la frazione è positiva per valori a destra di uno e negativa a sinistra. Segueche
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Quindi x = 1 è asintoto verticalePotevamo procedere anche come segue:Calcoliamo il limite
limx→1+
3x + 2
x− 1=
Dato che
1+ − 1 >0
3 · (1+) + 2 >0
otteniamo
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
3x + 2
x− 1=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 31
Dato che
1− − 1 <0
3 · (1−) + 2 >0
otteniamo
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Soluzione dell’esercizio 2.1.6 di pagina 17:
y =x2 + 4x + 3
x2 + 3x + 5Determiniamo il dominio ponendo il denominatore uguale a zero
x2 + 3x + 5 =0
x1,2 =−3±
√9− 20
2
L’equazione non ha soluzioni reali
La funzione non ha asintoti verticali
Soluzione dell’esercizio 2.1.7 di pagina 18:
y =3x2 + 1
x3 + x2
x3 + x2 =0
x2(x + 1) = 0
x1,2 =0±√
0 + 0
2=0
x + 1 =0
x3 =− 1
Quindi il dominio è x 6= 0 e x 6= −1Studiamo il segno della funzione.
y =3x2 + 1
x3 + x2
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2.4. SOLUZIONE ESERCIZI 32
Dato che è una razionale fratta studiamo il segno del numeratore
3x2 + 1 =0
x1,2 =0±√
0− 12
2
L’equazione non ha soluzioni reali
Utilizzando i risultati precedenti otteniamo il gra�co
0−1
− ++
In base a quanto detto
limx→0
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
limx→1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
limx→1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
Otteniamo lo stesso risultato nel seguente modo:
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(0+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0+)2(0+ + 1) >0
otteniamo
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 33
Dato che
3(0−)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0−)2(0− + 1) >0
otteniamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
concludiamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1+)2(−1+ + 1) >0
otteniamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1−)+ + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1−)2(−1− + 1) <0
otteniamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.5. ASINTOTI OBLIQUI 34
2.5 Asintoti obliquii seguenti esercizi
Esercizio 2.5.1: Trovare gli asintoti richiesti y =2x3 + x2 + 2
x2 + 1Soluzione a pagina ??
Esercizio 2.5.2: Trovare gli asintoti richiesti f(x) =2x2 + 1
x− 1
Esercizio 2.5.3: Trovare gli asintoti richiesti y =4x4 + 1
3x3 + 1Soluzione a pagina ??
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 35
2.6 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 2.1.2 di pagina 17:
y =x2 − 5x + 6
x2 − 1Studiamo il dominio della funzione.
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1+)2 − 1 >0
(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(1−)2 − 1 <0
(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0
otteniamo
limx→1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.6. SOLUZIONE ESERCIZI 36
quindi x = 1 è un asintoto verticale. Calcoliamo il limite
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1+)2 − 1 <0
(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0
otteniamo
limx→−1+
x2 − 5x + 6
x2 − 1=−∞
Calcoliamo il limite
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1=
Dato che
(−1−)2 − 1 >0
(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0
otteniamo
limx→−1−
x2 − 5x + 6
x2 − 1= +∞
quindi x = −1 è un asintoto verticale.
Soluzione dell’esercizio 2.1.4 di pagina 17:
y =3x2 + 5x + 2
x2 − 1
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 37
Calcolo il dominio
x2 − 1 =0
x1,2 =0±√
0 + 4
2
=±2
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
0
0
Per risolvere questa forma indeterminata scompongo il numeratore
3x2 + 5x + 2 =0
x1,2 =−5±
√25− 24
6
=−5± 1
6
=
x1 = −1
x2 = −2
3
3x2 + 5x + 2 =3(x +2
3)(x + 1)
quindi
limx→−1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1=
= limx→−1
3(x +2
3)(x + 1)
(x− 1)(x + 1)
sempli�co
= limx→−1
3x + 2
x− 1
=1
2
Quindi x = −1 non è asintoto verticale. Utilizzando i calcoli precedenti otteniamo illimite:
limx→1
3x2 + 5x + 2
x2 − 1= lim
x→1
3x + 2
x− 1
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.6. SOLUZIONE ESERCIZI 38
Studiamo con una disequazione il segno della funzione
y =3x + 2
x− 1≥ 0
3x + 2 ≥0
x ≥− 2
3x− 1 >0
x >1
otteniamo il gra�co
− 23 1
+ − +
Quindi la frazione è positiva per valori a destra di uno e negativa a sinistra. Segueche
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Quindi x = 1 è asintoto verticalePotevamo procedere anche come segue:Calcoliamo il limite
limx→1+
3x + 2
x− 1=
Dato che
1+ − 1 >0
3 · (1+) + 2 >0
otteniamo
limx→1+
3x + 2
x− 1= +∞
Calcoliamo il limite
limx→1−
3x + 2
x− 1=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 39
Dato che
1− − 1 <0
3 · (1−) + 2 >0
otteniamo
limx→1−
3x + 2
x− 1=−∞
Soluzione dell’esercizio 2.1.6 di pagina 17:
y =x2 + 4x + 3
x2 + 3x + 5Determiniamo il dominio ponendo il denominatore uguale a zero
x2 + 3x + 5 =0
x1,2 =−3±
√9− 20
2
L’equazione non ha soluzioni reali
La funzione non ha asintoti verticali
Soluzione dell’esercizio 2.1.7 di pagina 18:
y =3x2 + 1
x3 + x2
x3 + x2 =0
x2(x + 1) = 0
x1,2 =0±√
0 + 0
2=0
x + 1 =0
x3 =− 1
Quindi il dominio è x 6= 0 e x 6= −1Studiamo il segno della funzione.
y =3x2 + 1
x3 + x2
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.6. SOLUZIONE ESERCIZI 40
Dato che è una razionale fratta studiamo il segno del numeratore
3x2 + 1 =0
x1,2 =0±√
0− 12
2
L’equazione non ha soluzioni reali
Utilizzando i risultati precedenti otteniamo il gra�co
0−1
− ++
In base a quanto detto
limx→0
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
limx→1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
limx→1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
Otteniamo lo stesso risultato nel seguente modo:
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(0+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0+)2(0+ + 1) >0
otteniamo
limx→0+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
[git] • Branch: Asintoti@e3fb3fd • Release: (2018-11-17)
CAPITOLO 2. ASINTOTI 41
Dato che
3(0−)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(0−)2(0− + 1) >0
otteniamo
limx→0−
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
concludiamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1+)2 + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1+)2(−1+ + 1) >0
otteniamo
limx→−1+
3x2 + 1
x3 + x2= +∞
continuiamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=
Dato che
3(−1−)+ + 1 >0
x3 + x2 =x2(x + 1)
(−1−)2(−1− + 1) <0
otteniamo
limx→−1−
3x2 + 1
x3 + x2=−∞
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.7. ESERCIZI DI RIEPILOGO ASINTOTI 42
2.7 Esercizi di riepilogo asintoti
Esercizio 2.7.1: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x2 + 2x
x− 1Soluzione a pagina 43
Esercizio 2.7.2: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 2
x3 − 1Soluzione a pagina 44
Esercizio 2.7.3: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =1
x + 1
Esercizio 2.7.4: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 5x
x + 1Soluzione a pagina 45
Esercizio 2.7.5: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x2 − 2x + 4
3x− 5Soluzione a pagina 47
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 43
2.8 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 2.7.1 di pagina 42:
f(x) =x2 + 2x
x− 1Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero
x− 1 = 0
x = 1. Il dominio è R− {1}. Veri�chiamo se x = 1 è un asintoto verticale.
limx→1+
x2 + 2x
x− 1=
Dato che
(1+)2 + 2 · 1+ >0
1+ − 1 >0
limx→1+
x2 + 2x
x− 1= +∞
limx→1−
x2 + 2x
x− 1=
Dato che
(1−)2 + 2 · 1− >0
1− − 1 <0
limx→1−
x2 + 2x
x− 1=−∞
Quindi x = 1 è un asintoto verticale Dato che il grado del numeratore supera di unoil grado del denominatore veri�chiamo se esiste un asintoto obliquo. Calcoliamo illimite
m = limx→+∞
x2 + 2x
x− 1· 1
x=
= limx→+∞
x2 + 2x
x2 − x
= limx→+∞
x2
(1 +
2
x
)x2
(1− 1
x
)
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.8. SOLUZIONE ESERCIZI 44
Dato che
x2
x2=1
limx→+∞
1
x=0
otteniamo
m =1
q = limx→+∞
[x2 + 2x
x− 1− x
]= lim
x→+∞x2 + 2x− x2 − x
x− 1
= limx→+∞
x
x− 1
= limx→+∞
x
x
(1− 1
x
)Dato che
x
x=1
limx→+∞
1
x=0
otteniamo
q =1
L’asintoto cercatoy = x + 1
Soluzione dell’esercizio 2.7.2 di pagina 42:
f(x) =x3 + 2
x3 − 1Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero
x3 − 1 = 0
x = 1. Il dominio è R− {1}. Veri�chiamo se x = 1 è un asintoto verticale.
limx→1+
x3 + 2
x3 − 1=
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
[git] • Branch: Asintoti@e3fb3fd • Release: (2018-11-17)
CAPITOLO 2. ASINTOTI 45
Dato che
(1+)3 + 2 >0
(1+)3 − 1 >0
ottengo
limx→1+
x3 + 2
x3 − 1= +∞
Calcoliamo
limx→1−
x3 + 2
x3 − 1=
Dato che
(1−)3 + 2 >0
(1−)3 − 1 <0
ottengo
limx→1−
x2 + 2x
x− 1=−∞
Quindi x = 1 è un asintoto verticale Dato che il grado del numeratore e uguale algrado del denominatore veri�chiamo se esiste un asintoto orizzontale. Calcoliamoil limite
limx→+∞
x3 + 2
x3 − 1=
limx→+∞
x3
(1 +
2
x3
)x3
(1− 1
x3
) =
Dato chex3
x3=1
limx→+∞
1
x3=0
otteniamo
limx→+∞
x3 + 2
x3 − 1=1
L’asintoto cercatoy = 1
Soluzione dell’esercizio 2.7.4 di pagina 42:
Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 5x
x + 1
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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2.8. SOLUZIONE ESERCIZI 46
Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero
x + 1 = 0
x = −1. Il dominio è R− {−1}. Veri�chiamo se x = −1 è un asintoto verticale.
limx→−1+
x3 + 5x
x + 1=
Dato che
(−1+)3 + 5 · (−1+) <0
−1+1 >0
ottengo
limx→−1+
x3 + 5x
x + 1=−∞
Calcoliamo
limx→−1−
x3 + 5x
x + 1=
Dato che
(−1−)3 + 5 · (−1−) <0
−1−1 <0
ottengo
limx→−1−
x3 + 5x
x + 1= +∞
Quindi x = 1 è un asintoto verticale Veri�chiamo se esiste un asintoto orizzontale.Calcoliamo il limite
limx→+∞
x3 + 5x
x + 1=
limx→+∞
x3
(1 +
5
x2
)x
(1 +
1
x
) =
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CAPITOLO 2. ASINTOTI 47
Dato che
x3
x=x2
limx→+∞
5
x2=0
limx→+∞
1
x=0
otteniamo
limx→+∞
x2 = +∞
L’asintoto non esisteVeri�chiamo che non ha asintoti obliqui. Calcoliamo il limite:
m = limx→+∞
x3 + 5x
x + 1· 1
x
= limx→+∞
x3 + 5x
x2 + x
= limx→+∞
x3
(1 +
5
x2
)x2
(1 +
1
x
)Dato che
x3
x2=x
limx→+∞
5
x2=0
limx→+∞
1
x=0
ottengo
= limx→+∞
x3 + 5x
x2 + x= +∞
Soluzione dell’esercizio 2.7.5 di pagina 42:
f(x) =x2 − 2x + 4
3x− 5
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2.8. SOLUZIONE ESERCIZI 48
Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero
3x− 5 = 0
x =5
3. Il dominio è R−{5
3}. Veri�chiamo se x =
5
3è un asintoto verticale. Studiamo
il segno della funzione
x2 − 2x + 4
3x− 5>x2 − 2x + 4 = 0
∆ =b2 − 4ac
=4− 16 < 0
Quindi il numeratore è sempre positivo
3x− 5 >0
x >5
3
Otteniamo il gra�co
53
− +
Quindi otteniamo i limiti
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3 Derivate
3.1 Razionali intereRisolvi i seguenti esercizi
Esercizio 3.1.1: Calcola la derivata di y = 2x3
Soluzione a pagina 51
Esercizio 3.1.2: Calcola la derivata di y =2
x2
Soluzione a pagina 51
Esercizio 3.1.3: Calcola la derivata di y = 3x + 5Soluzione a pagina 51
Esercizio 3.1.4: Calcola la derivata di y = −x2 + 3x + 6Soluzione a pagina 52
Esercizio 3.1.5: Calcola la derivata di y = x4
Soluzione a pagina 52
Esercizio 3.1.6: Calcola la derivata di y = x4 + 3x3
Soluzione a pagina 52
Esercizio 3.1.7: Calcola la derivata di y = (x2 + 3)(x + 1)Soluzione a pagina 52
49
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3.1. RAZIONALI INTERE 50
Esercizio 3.1.8: Calcola la derivata di y = (2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3x)Soluzione a pagina 53
Esercizio 3.1.9: Calcola la derivata di y = (x2 + x)(4x2 − 3x)Soluzione a pagina 53
Esercizio 3.1.10: Calcola la derivata di y = (x2 + 1)2
Soluzione a pagina 53
Esercizio 3.1.11: Calcola la derivata di y = (x2 + 32)5
Soluzione a pagina 53
Esercizio 3.1.12: Calcola la derivata di y = (1 + 5x− 3x2)20
Soluzione a pagina 54
Esercizio 3.1.13: Calcola la derivata di y = (2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)Soluzione a pagina 54
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CAPITOLO 3. DERIVATE 51
3.2 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 3.1.1 di pagina 49:Calcola la derivata di y = 2x3
y′ =D[2x3]
Dato che è la derivata di una potenza
=D[2x3]
=6x2
Soluzione dell’esercizio 3.1.2 di pagina 49:Calcola la derivata di y =
2
x2
y′ =D
[2
x2
]Dato che è la derivata di una potenza
=D[2x−2
]=− 4x−3
=− 41
x3
Soluzione dell’esercizio 3.1.3 di pagina 49:Calcola la derivata di y = 3x + 5.
y′ =D [3x + 5]
Dato che è la derivata di una somma
=D [3x] + D [5]
=3 + 0
=3
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3.2. SOLUZIONE ESERCIZI 52
Soluzione dell’esercizio 3.1.4 di pagina 49:Calcola la derivata di y = −x2 + 3x + 6
y′ =D[y = −x2 + 3x + 6
]Dato che è la derivata di una somma
=D[−x2
]+ D [3x] + D [6]
=− 2x + 3 + 0
=− 2x + 3
Soluzione dell’esercizio 3.1.5 di pagina 49:Calcola la derivata di y = x4
y′ =D[x4]
=4x3
Soluzione dell’esercizio 3.1.6 di pagina 49:Calcola la derivata di y = x4 + 3x3
y′ =D[x4 + 3x3
]Dato che è la derivata di una somma
=D[x4]
+ D[3x3]
=4x3 + 9x2
Soluzione dell’esercizio 3.1.7 di pagina 49:Calcola la derivata di y = (x2 + 3)(x + 1)
y′ =D[(x2 + 3)(x + 1)
]Dato che è la derivata di un prodotto
=D[(x2 + 3)
](x + 1) + (x2 + 3)D [(x + 1)]
=2x(x + 1) + (x2 + 3)1
=2x2 + 2x + x3 + 3
=3x2 + 2x + 3
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CAPITOLO 3. DERIVATE 53
Soluzione dell’esercizio 3.1.8 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3)
y′ =D[(2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3x)
]Dato che è la derivata di un prodotto
=D[(2x3 + x2 + 1)
](2x2 + 3x) + (2x3 + x2 + 1)D
[(2x2 + 3)
]=(3x2 + 2x)(2x2 + 3x) + (2x3 + x2 + 1)(4x + 3)
=6x4 + 9x3 + 4x3 + 6x2 + 8x4 + 3x3 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3
=20x4 + 32x3 + 9x2 + 4x + 3
Soluzione dell’esercizio 3.1.9 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + x)(4x2 − 3x)
y′ =D[(x2 + x)(4x2 − 3x)
]=16 x3 − 21 x2 + 6 x
Soluzione dell’esercizio 3.1.10 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + 1)2
y′ =D[(x2 + 1)2
]Dato che è la derivata di funzione di funzione
=2(x2 + 1)2x
=4x(x2 + 1)
Soluzione dell’esercizio 3.1.11 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + 32)5
y′ =D[(x2 + 1)2
]
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3.2. SOLUZIONE ESERCIZI 54
Dato che è la derivata di una potenza
=5(x2 + 32)42x
=10 x(x2 + 32
)4
Soluzione dell’esercizio 3.1.12 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (1 + 5x− 3x2)20
y′ =D[(1 + 5x− 3x2)20
]Dato che è la derivata di una potenza
=20(1 + 5x− 3x2)19(5− 6x)
=20 (−6 x + 5)(−3 x2 + 5 x + 1
)19
Soluzione dell’esercizio 3.1.13 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)
y′ =D[(2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)
]Dato che è la derivata di una potenza
= (4 x + 3)(3 x2 − 5 x + 1
)+ (6 x− 5)
(2 x2 + 3 x + 1
)=24 x3 − 3 x2 − 20 x− 2
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CAPITOLO 3. DERIVATE 55
3.3 Razionali fratte
Esercizio 3.3.1: Calcola la derivata di y =x2 − 4
x2 − 9Soluzione a pagina 56
Esercizio 3.3.2: Calcola la derivata di y =x− 4
x− 9
Esercizio 3.3.3: Calcola la derivata di y =x2 − 2x + 1
x− 3Soluzione a pagina 56
Esercizio 3.3.4: Calcola la derivata di y =3x2 − 1
(x + 2)2
Soluzione a pagina 57
Esercizio 3.3.5: Calcola la derivata di y =x + 5
(x− 3)3
Soluzione a pagina 57
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3.4. SOLUZIONE ESERCIZI 56
3.4 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 3.3.1 di pagina 55:
Calcola la derivata di y =x2 − 4
x2 − 9
y′ =D
[x2 − 4
x2 − 9
]Dato che è la derivata di una razionale fratta
=D[(x2 − 4)
](x2 − 9)− (x2 − 4)D
[(x2 − 9)
](x2 − 9)2
=2x(x2 − 9)− 2x(x2 − 4)
(x2 − 9)2
=2x3 − 18x− 2x3 + 8x
(x2 − 9)2
=−10x
(x2 − 9)2
Soluzione dell’esercizio 3.3.3 di pagina 55:
Calcola la derivata di y =x2 − 2x + 1
x− 3
y′ =D
[x2 − 2x + 1
x− 3
]Dato che è la derivata di una razionale fratta
=D[(x2 − 2x + 1)
](x− 3)− (x2 − 2x + 1)D [(x− 3)]
(x− 3)2
=(2x− 2)(x− 3)− (x2 − 2x + 1)
(x− 3)2
=2x2 − 6x− 2x + 6− x2 + 2x− 1
(x− 3)2
=x2 − 6x + 5
(x− 3)2
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CAPITOLO 3. DERIVATE 57
Soluzione dell’esercizio 3.3.4 di pagina 55:
Calcola la derivata di y =3x2 − 1
(x + 2)2
y′ =D
[3x2 − 1
(x + 2)2
]Dato che è la derivata di una razionale fratta
=6x(x + 2)2 − 2(x + 2)(3x2 − 1)
(x + 2)4
=6x(x + 2)− 2(3x2 − 1)
(x + 2)3
=6x2 + 12x− 6x2 + 2
(x + 2)3
=2 · 6 x + 1
(x + 2)3
Soluzione dell’esercizio 3.3.5 di pagina 55:Calcola la derivata di y =
x + 5
(x− 3)3
y′ =D
[x + 5
(x− 3)3
]Dato che è la derivata di una razionale fratta
=(x− 3)3 − 3(x− 3)2(x + 5)
(x− 3)6
=(x− 3)− 3(x + 5)
(x− 3)4
=x− 3− 3x− 15
(x− 3)4
=− 2 · x + 9
(x− 3)4
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4 Massimi e minimi
4.1 Razionali intereRisolvi i seguenti esercizi
Esercizio 4.1.1: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =
x(x2 − 2
)2Soluzione a pagina 59
Esercizio 4.1.2: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 (x− 2)
2
Soluzione a pagina 59
Esercizio 4.1.3: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x3 (x− 2)
2
Soluzione a pagina 60
Esercizio 4.1.4: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x4 (x− 2)
2
Esercizio 4.1.5: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =6x3 + 15x2 + 12x + 5
Soluzione a pagina 61
58
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CAPITOLO 4. MASSIMI E MINIMI 59
4.2 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 4.1.1 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x
(x2 − 2
)2y =x (x− 2)
2
y′ =D[x (x− 2)
2]
= (x− 2)2
+ 2 x (x− 2)
Raccogliendo il fattore comune
= (x− 2) (3 x− 2)
Otteniamo due disequazioni di primo grado
x− 2 ≥0
x ≥2
3x− 2 ≥0
x ≥2
3
Otteniamo il gra�co
23 2
+ − +
Per x =2
3la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.
Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.
Soluzione dell’esercizio 4.1.2 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x2 (x− 2)
2
y =x2 (x− 2)2
y′ =D[x2 (x− 2)
2]
=2 x (x− 2)2
+ 2 x2 (x− 2)
Raccogliendo il fattore comune
=4 x (x− 2) (x− 1)
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4.2. SOLUZIONE ESERCIZI 60
Otteniamo tre disequazioni di primo grado
x ≥0
x− 2 ≥0
x ≥2
x− 1 ≥0
x ≥1
Otteniamo il gra�co
0 1 2
− + − +
Per x = 0 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = 1 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.
Soluzione dell’esercizio 4.1.3 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x3 (x− 2)
2
y =x3 (x− 2)2
y′ =D[x3 (x− 2)
2]
=3 x2 (x− 2)2
+ 2 x3 (x− 2)
Raccogliendo il fattore comune
=x2 (x− 2) (5 x− 6)
Otteniamo tre disequazioni
x2 ≥0
x− 2 ≥0
x ≥2
5 x− 6 ≥0
x ≥6
5
Otteniamo il gra�co
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CAPITOLO 4. MASSIMI E MINIMI 61
0
+ + − +
65 2
Per x = 0 la derivata è positiva nulla positiva, quindi la funzione ha un �esso. Perx =
6
5la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo. Per
x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.
Soluzione dell’esercizio 4.1.5 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = 6x3 + 15x2 + 12x + 5Calcolo il segno della derivata prima
y =6x3 + 15x2 + 12x + 5
y′ =D[6x3 + 15x2 + 12x + 5
]=18 x2 + 30 x + 12
18 x2 + 30 x + 12 ≥0
18 x2 + 30 x + 12 =0
3 x2 + 5 x + 2 =0
x1,2 =−5±
√25− 24
6
=−5± 1
6
=
x1 =
−5− 1
6= −1
x2 =−5 + 1
6= −2
3
Otteniamo il gra�co:
−1 − 23
+ − +
Per x = −1 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = −2
3la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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4.3. RAZIONALI FRATTE 62
4.3 Razionali fratte
Esercizio 4.3.1: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4
xSoluzione a pagina 63
Esercizio 4.3.2: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 − 9
x2 − 4Soluzione a pagina 63
Esercizio 4.3.3: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4x
x2 + 6x + 5Soluzione a pagina 65
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 4. MASSIMI E MINIMI 63
4.4 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 4.3.1 di pagina 62:
Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4
xCalcolo il segno
della derivata prima
y =x2 + 4
x
y′ =D
[x2 + 4
x
]=
2x2 − (x2 − 4)
x2
=x2 − 4
x2
=x2 − 4
x2≥ 0
Ottengo due disequazioni
x2 − 4 ≥ 0
x1,2 =±√
+16
2
=±4
2
=
x1 =
+4
2= +2
x2 =−4
2= −2
x2 > 0
Ottengo il gra�co
0
@
−2 +2
+ − − +
Per x = −2 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = 0 la derivata e la funzione non esistono e la funzione non ha un �esso.
Soluzione dell’esercizio 4.3.2 di pagina 62:
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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4.4. SOLUZIONE ESERCIZI 64
Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 − 9
x2 − 4Calcolo il segno
della derivata prima
y =x2 − 9
x2 − 4
y′ =D
[x2 − 9
x2 − 4
]=
2 x(x2 − 4
)− 2 x
(x2 − 9
)(x2 − 4)
2
=2x3 − 8x− 2x3 + 18x
(x2 − 4)2
=10x
(x2 − 4)2> 0
Ottengo due disequazioni
(x2 − 4)2 >0
Il denominatore è sempre positivo e si annulla per
x1,2 =±√
+16
2
=±4
2
=
x1 =
+4
2= +2
x2 =−4
2= −2
Il numeratore invece
10 x ≥0
x ≥0
Otteniamo il gra�co
−2 +20
− − + +@ @
Per x = 0 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = −2 e per x = +2 la derivata e la funzione non esistono e la funzione non haun �esso.
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CAPITOLO 4. MASSIMI E MINIMI 65
Soluzione dell’esercizio 4.3.3 di pagina 62:
Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4x
x2 + 6x + 5Calcolo il
segno della derivata prima
y =x2 + 4x
x2 + 6x + 5
y′ =D
[x2 + 4x
x2 + 6x + 5
]=
(2 x + 4)(x2 + 6 x + 5
)−(x2 + 4 x
)(2 x + 6)
(x2 + 6 x + 5)2
=2x3 + 12x2 + 10x + 4x2 + 24x + 20− 2x3 − 6x2 − 8x2 − 24x
(x2 + 6 x + 5)2
=2x2 + 10x + 20
(x2 + 6 x + 5)2 > 0
Ottengo due disequazioni
(x2 + 6 x + 5
)2>0
Il denominatore è sempre positivo e si annulla per
x1,2 =−6±
√36− 20
2
=−6± 4
2
=
x1 =
−10
2= −5
x2 =−2
2= −1
Il numeratore invece
2x2 + 10x + 20 ≥0
x1,2 =−10±
√100− 160
2
=−10±
√−60
2
Delta negativo
Otteniamo il gra�co
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4.4. SOLUZIONE ESERCIZI 66
−5 −1
@@+ + +
Per x = −5 e per x = −1 la derivata e la funzione non esistono e la funzione nonha un �esso. La derivata rimane di segno costante e la funzione non ha punti diminimo e di massimo
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5 Gra�co probabile
5.1 Funzioni razionali intereRisolvi i seguenti esercizi
Esercizio 5.1.1: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = x3
Soluzione a pagina 68
Esercizio 5.1.2: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 −1)(x− 4)
Soluzione a pagina 70
Esercizio 5.1.3: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 −1)(x2 − 4)
Soluzione a pagina 74
67
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 68
5.2 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 5.1.1 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = x3
• Dominio,La funzione essendo una razionale intera è de�nita su tutto R
• Positività,La funzione è positiva per x > 0
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliDato il dominio, non ha asintoti verticali.
2. Asintoto orizzontale Calcoliamo il limite
limx→+∞
x3 =∞
Quindi non esiste asintoto orizzontale3. Asintoto obliquo
Non esiste asintoto obliquo
• Intersezioni,
1. Asse x
{y = 0
y = x3
{y = 0
x3 = 0
{y = 0
x = 0
Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in un punto.2. asse y {
x = 0
y = x3
{x = 0
y = (0)3 = 0
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =x3
y′ =D[x3]
=3x2
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 69
Studio il segno della derivata
y′ =3x2 ≥ 0
risolvo l’equazione
3x2 = 0
x1,2 =±√
0
6=0
=
{x1 = 0
x2 = 0
Otteniamo il gra�co:
0
+ +
Osservando il gra�co notiamo che prima e dopo di x = 0 la derivata è positivae per x = 0 vale zero. Quindi per x = 0 la funzione ha un �esso.
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che c’è un �esso orizzontale. Per laconcavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =3x2
y′′ =D[3x2]
=6x
Studiamo il segno della derivata
6x ≥0
x ≥0
Otteniamo il gra�co:
0
− +
Da gra�co, per valori di x < 0 la concavità è rivolta verso il basso. Per valoridi x > 0 la concavità è rivolta vero l’alto. Per x = 0 è un punto di �esso.
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 70
• Gra�co probabile,
−2. −1. 1.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0
Soluzione dell’esercizio 5.1.2 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 − 1)(x− 4)
• Dominio, La funzione è intera quindi è de�nita su tutto R
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 71
• Positività, Studiamo il segno di f(x) = (x2 − 1)(x− 4)
(x2 − 1)(x− 4) ≥0
Risolviamo le due disequazioni
x− 4 ≥0
x ≥4
x2 − 1 ≥0
x2 − 1 =0
x1,2 =±√
4
2=
{x1 = +1
x2 = −1
Otteniamo il gra�co:
−1
− + − +
1 4
Dal diagramma vediamo che la funzione è positiva per valori di x compresitra meno uno e più uno e per valori di x maggiori di quattro −1 ≤ x ≤ 1 ox ≥ 4
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliVisto il dominio non esistono asintoti verticali.
2. Asintoto orizzontale Calcoliamo il limite
limx→+∞
(x2 − 1)(x− 4) =
limx→+∞
(x3 − 4x2 − x + 4) =
limx→+∞
x3(1− 4x2
x3− x
x3+
4
x3) =∞ · 1 =∞
Quindi non esiste asintoto orizzontale3. Asintoto obliquo
Non esiste asintoto obliquo
• Intersezioni,
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 72
1. Asse x{y = 0
y = (x2 − 1)(x− 4)
{y = 0
(x2 − 1)(x− 4) = 0
{y = 0
x2 − 1 = 0{y = 0
x1 = −1
{y = 0
x2 = 1
{y = 0
x− 4 = 0{y = 0
x3 = 4
Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in tre punti2. asse y
{x = 0
y = (x2 − 1)(x− 4)
{x = 0
y = (−1)(−4) = 4
Quindi la curva incontra l’asse y in un punto.
• Derivata della funzione e segno della derivata,y =(x2 − 1)(x− 4)
y′ =D[(x2 − 1)(x− 4)
]=2x(x− 4) + x2 − 1
=2x2 − 8x + x2 − 1
=3x2 − 8x− 1
Studio il segno della derivata
y′ =3x2 − 8x− 1 ≥ 0
risolvo l’equazione
3x2 − 8x− 1 =0
x1,2 =8±√
64 + 12
6
=8±√
76
6
=8±√
22 · 19
6
=8± 2
√19
6=
x1 =
4 +√
19
3
x2 =4−√
19
3
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 73
Otteniamo il gra�co:
4−√
193
4+√
193
+ − +
Osservando il gra�co notiamo che prima di x =4−√
19
3la derivata è positiva,
poi va a zero in�ne è negativa. Quindi per x =4−√
19
3la funzione ha un
massimo. Prima di x =4 +√
19
3la derivata è negativa, poi va a zero in�ne è
positiva. Quindi per x =4−√
19
3la funzione ha un minimo.
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =3x2 − 8x− 1
y′′ =D[3x2 − 8x− 1
]=6x− 8
Studiamo il segno della derivata
6x− 8 ≥0
x ≥8
6=
4
3
Otteniamo il gra�co:
43
− +
Da gra�co, per valori di x <4
3la concavità è rivolta verso il basso. Per valori
di x >4
3la concavità è rivolta vero l’alto. Per x =
4
3è un punto di �esso.
• Gra�co probabile,
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 74
−2. 2. 4.
−10.
−8.
−6.
−4.
−2.
2.
4.
6.
0
Soluzione dell’esercizio 5.1.3 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)
• Dominio, La funzione è intera quindi è de�nita su tutto R
• Positività, Studiamo il segno di f(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)
(x2 − 1)(x2 − 4) ≥0
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 75
Risolviamo le due disequazioni
x2 − 4 ≥0
x2 − 4 =0
x1,2 =±√
16
2=
{x1 = +2
x2 = −2
x2 − 1 ≥0
x2 − 1 =0
x1,2 =±√
4
2=
{x1 = +1
x2 = −1
Otteniamo il gra�co:
−2 2−1 1
+ − + − +
Dal diagramma vediamo che la funzione è positiva quando x ≤ −2, −1 ≤ x ≤ 1e x ≥ 2.
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliVisto il dominio non esistono asintoti verticali.
2. Asintoto orizzontale Calcoliamo il limite
limx→+∞
(x2 − 1)(x2 − 4) =
limx→+∞
(x4 − 4x2 − x2 + 4) =
limx→+∞
(x4 − 5x2 + 4) =
limx→+∞
x4(1− 5x2
x4+
4
x4) =∞ · 1 =∞
Quindi non esiste asintoto orizzontale3. Asintoto obliquo
Non esiste asintoto obliquo
• Intersezioni,
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 76
1. Asse x{y = 0
y = (x2 − 1)(x2 − 4)
{y = 0
(x2 − 1)(x2 − 4) = 0
{y = 0
x2 − 1 = 0{y = 0
x1 = −1
{y = 0
x2 = 1
{y = 0
x2 − 4 = 0{y = 0
x3 = −2
{y = 0
x4 = +2
Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in quattro punti2. asse y {
x = 0
y = (x2 − 1)(x2 − 4)
{x = 0
y = (−1)(−4) = 4
Quindi la curva incontra l’asse y in un punto.
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =(x2 − 1)(x2 − 4)
y′ =D[(x2 − 1)(x− 4)
]=2x(x2 − 4) + 2x(x2 − 1)
=2x3 − 8x + 2x3 − 2x
=4x3 − 10x
Studio il segno della derivata
y′ =4x3 − 10x ≥ 0
risolvo l’equazione
2x(2x2 − 5) =0
x1 =0
x ≥0
2x2 − 5 =0
x2,3 =±√
40
4
=± 2√
10
4=
x2 = +
√10
2
x3 = −√
10
2
Otteniamo il gra�co:
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 77
0−√
102
√102
− + − +
Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −√
10
2la derivata è negativa,
poi va a zero in�ne è positiva. Quindi per x =4−√
19
3la funzione ha un
minimo. Prima di x = 0 la derivata è positiva, poi va a zero in�ne è negativa.
Quindi per x = 0 la funzione ha un massimo. Prima di x =
√10
2la derivata è
negativa, poi va a zero in�ne è positiva. Quindi per x =4−√
19
3la funzione
ha un minimo.
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =4x3 − 10x
y′′ =D[4x3 − 10x
]=12x2 − 10
Studiamo il segno della derivata
12x2 − 10 ≥0
12x2 − 10 =0
x1,2 =±√
480
24
=± 4√
30
24
=±√
30
6
=
x2 = +
√30
6
x3 = −√
30
6
Otteniamo il gra�co:
−√
3024
√30
24
+ − +
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.2. SOLUZIONE ESERCIZI 78
Quindi la funzione ha prima la concavità positiva, successivamente diventanegativa per tornare in�ne, positiva.
• Gra�co probabile,
−3. −2. −1. 1. 2.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 79
5.3 Funzioni razionali fratteRisolvi i seguenti esercizi
Esercizio 5.3.1: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =2x + 1
3x− 2
Esercizio 5.3.2: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =2x + 1
3x− 1Soluzione a pagina 80
Esercizio 5.3.3: Trovare il gra�co probabile della funzione y =x2 − 1
x + 5Soluzione a pagina 83
Esercizio 5.3.4: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =4x2 + 4x + 1
x2
Soluzione a pagina 88
Esercizio 5.3.5: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =x2 − 9
x2 − 4Soluzione a pagina 92
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 80
5.4 Soluzione esercizi
Soluzione dell’esercizio 5.3.2 di pagina 79:Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =
2x + 1
3x− 1
• Dominio,
3x− 1 =0
x =1
3
x 6=1
3
• Positività,
2x + 1
3x− 1≥0
2x + 1 ≥0
x ≥− 1
23x− 1 >0
x >1
3
Otteniamo il gra�co:
− 12
13
+ − +@
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliUtilizzando il gra�co precedente
limx→ 1
3−
2x + 1
3x− 1=−∞
limx→ 1
3+
2x + 1
3x− 1= +∞
x =1
3
è asintoto verticale
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 81
2. Asintoto orizzontale
limx→+∞
2x + 1
3x− 1=
= limx→+∞
x
(2 +
1
x
)x
(3− 1
x
)=
2
3
y =2
3
asintoto orizzontale
3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui.
• Intersezioni,
1. Asse x y =2x + 1
3x− 1y = 0
{2x + 1 = 0
y = 0
x = −1
2y = 0
2. asse y y =2x + 1
3x− 1x = 0
y =0 + 1
0− 1x = 0
{y = −1
x = 0
3. Asintoti y =
2x + 1
3x− 1
y =2
3
Non ha soluzione
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 82
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =2x + 1
3x− 1
y′ =D
[2x + 1
3x− 1
]=
2(3x− 1)− 3(2x + 1)
(3x− 1)2
=6x− 2− 6x− 3
(3x− 1)2=
−5
(3x− 1)2
Studio il segno della derivata
y′ =−5
(3x− 1)2≥ 0
Sia il denominatore che è unquadrato, che il numeratore hanno segno costante
Ottengo il gra�co
13
− @ −
La derivata ha segno costante e non esiste per x = 13 ne massimo ne minimo
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =−5
(3x− 1)2
y′′ =D
[−5
(3x− 1)2
]=
30(3x− 1)
(3x− 1)4
=30
(3x− 1)3
Studiamo il segno della derivata
=30
(3x− 1)3≥ 0
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 83
il numeratore è positivo
Segno denominatore
(3x− 1)3 >0
3x− 1 >0
x >1
3
Ottengo il gra�co
13
@− +
Quindi prima di un terzo la concavità è rivolta verso il basso poi verso l’alto.
• Gra�co probabile,
−5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
Soluzione dell’esercizio 5.3.3 di pagina 79:
Trovare il gra�co probabile della funzione y =x2 − 1
x + 5
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 84
• Dominio,
x + 5 =0
x =− 5
x 6=− 5
• Positività,
x2 − 1
x + 5≥0
x + 5 >0
x >− 5
x2 − 1 ≥0
x2 − 1 =0
x1,2 =±√
4
2
=
{x1 = +1
x2 = −1
Otteniamo il gra�co:
−1 +1−5
− + − +@
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliUtilizzando il gra�co precedente
limx→−5−
x2 − 1
x + 5=−∞
limx→−5+
x2 − 1
x + 5= +∞
x =− 5
è asintoto verticale
2. Asintoto orizzontaleDato che il grado del numeratore è maggiore del grado denominatorel’asintoto non esiste.
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 85
3. Asintoto obliquo
m = limx→∞
x2 − 1
x + 5
1
x
= limx→∞
x2 − 1
x2 + 5x
= limx→∞
x2
(1− 1
x2
)x2
(1 +
5x
x2
) = 1
q = limx→∞
[x2 − 1
x + 5− x]
= limx→∞
x2 − 1− x2 − 5x
x + 5
= limx→∞
−5x− 1
x + 5
= limx→∞
x
(−5− 1
x
)x
(1 +
5
x
) = −5
y =x− 5
• Intersezioni,
1. Asse xy =x2 − 1
x + 5y = 0
{x2 − 1 = 0
y = 0
{x1 = +1
y = 0
{x2 = −1
y = 0
2. asse y y =x2 − 1
x + 5x = 0
y = −1
5x = 0
3. Asintotiy =x2 − 1
x + 5y = x− 5
x2 − 1
x + 5= x− 5
y = x− 5
{x2 − 1 = x2 − 25
y = x− 5
non ha soluzione
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 86
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =x2 − 1
x + 5
y′ =D
[x2 − 1
x + 5
]=
2(x + 5)− (x2 − 1)
(x + 5)2
=x2 + 10x + 1
(x + 5)2
Studio il segno della derivata
y′ =x2 + 10x + 1
(x + 5)2≥ 0
Dato che il denominatore è un quadrato e quindi sempre positivo, studiamosolo il segno del numeratore
risolvo l’equazione
x2 + 10x + 1 =0
x1,2 =−10±
√100− 4
2
=−10±
√96
2
=−10±
√24 · 6
2
=−10± 4
√6
2
=
{x1 = −5 +
√6
x2 = −5−√
6
Otteniamo il gra�co:
−5−√6 −5 +
√6
+ − +
Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −5−√
5 la derivata è positiva,poi va a zero in�ne è negativa quindi per x = −5 −
√5 la funzione ha un
massimo. Per x = −5+√
5 la derivata è negativa, poi va a zero in�ne è positivaquindi per x = −5 +
√5 la funzione ha un minimo.
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 87
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =x2 + 10x + 1
(x + 5)2
y′′ =D
[x2 + 10x + 1
(x + 5)2
]=
(2x + 10)(x + 5)2 − 2(x2 + 10x + 1)(x + 5)
(x + 5)4
=(2x + 10)(x + 5)− 2(x2 + 10x + 1)
(x + 5)3
=2x2 + 10x + 10x + 50− 2x2 − 20x− 2
(x + 5)3
=48
(x + 5)3
Studiamo il segno della derivata
=48
(x + 5)3≥ 0
il numeratore è positivo
Segno denominatore
(x + 5)3 >0
x + 5 >0
x >− 5
Otteniamo il gra�co:
−5
− +@
Da gra�co, per valori minori di meno cinque la concavità è rivolta verso ilbasso. Per valori superiori la funzione ha concavità rivolta vero l’alto. Perx = −5 non abbiamo un �esso perché la funzione non esiste.
• Gra�co probabile,
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 88
−20. −10. 10.
−30.
−20.
−10.
10.
20.
0
Soluzione dell’esercizio 5.3.4 di pagina 79:
Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =4x2 + 4x + 1
x2
• Dominio,
x2 =0
x1,2 = 0x 6= 0
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 89
• Positività,4x2 + 4x + 1
x2≥0
4x2 + 4x + 1 ≥0
4x2 + 4x + 1 =0
x1,2 =−4±
√16− 16
8
=− 4
8
=− 1
2
x2 >0
Otteniamo il gra�co:
− 12
+ + +@
0
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliUtilizzando il gra�co precedente
limx→0+
4x2 + 4x + 1
x2= +∞
limx→0−
4x2 + 4x + 1
x2= +∞
x =0
è asintoto verticale
2. Asintoto orizzontale
limx→∞
4x2 + 4x + 1
x2=
limx→∞
x2
(4− 4x
x2+
1
x2
)x2
=4
y =4
asintoto orizzontale
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 90
3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui
• Intersezioni,
1. Asse xy = 0
y =4x2 + 4x + 1
x2
{y = 0
4x2 + 4x + 1 = 0
y = 0
x1 = −1
2
2. asse y Dato il dominio non esistono intersezioni con l’asse y
3. Asintotiy = −1
2
y =4x2 + 4x + 1
x2
y = −1
24x2 + 4x + 1
x2= −1
2y = −1
28x2 + 8x + 2 + x2
x2= 0
y = −1
29x2 + 8x + 2
x2= 0y = 1
x1,2 =−8±
√64− 72
18
Nessuna intersezione
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =4x2 + 4x + 1
x2
y′ =D
[4x2 + 4x + 1
x2
]=
(8x + 4)(x2)− 2x(4x2 + 4x + 1)
x4
=8x3 + 4x2 − 8x3 − 8x2 − 2x
x4
=−4x2 − 2x
x4
=−4x− 2
x3
Studio il segno della derivata
y′ =−4x− 2
x3≥ 0
Dato che il denominatore è una potenza dispari è positivo solo per valori di xmaggiori di zero, studiamo il segno del numeratore
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 91
risolvo l’equazione
−4x− 2 ≥0
x ≤− 1
2
Otteniamo il gra�co:
− + −
− 12 0
@
Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −1
2la derivata è negativa, poi
va a zero in�ne è positiva. Quindi per x = −1
2la funzione ha un minimo. Per
x = 0 la derivata non esiste.
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =−4x− 2
x3
y′′ =D
[−4x− 2
x3
]=−4x3 + 12x3 + 6x2
x6
=8x3 + 6x2
x6
=8x + 6
x4
Studiamo il segno della derivata
8x + 6
x4≥ 0
il denominatore è positivo
Segno numeratore
8x + 6 ≥0
x ≥− 3
4
Otteniamo il gra�co:
sabato 17 novembre 2018 15:18:43
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 92
− 34
+ − −
0
@
Da gra�co, per valori x 6 −3
4la concavità è rivolta verso l’alto. Per valori
superiori la funzione ha concavità rivolta vero il basso. Per x = 0 non abbiamoun �esso perché la funzione non esiste.
• Gra�co probabile,
−10. −8. −6. −4. −2. 2. 4. 6. 8. 10.
−2.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0
f
g
Soluzione dell’esercizio 5.3.5 di pagina 79:
Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =x2 − 9
x2 − 4
• Dominio,
x2 − 4 =0
x1,2 =±√
16
2=
{x1 = +2
x2 = −2
x 6= +2
x 6= −2
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 93
• Positività,
x2 − 9
x2 − 4≥0
x2 − 9 ≥0
x2 − 9 =0
x1,2 =±√
36
2
=±6
2=
{x1 = +3
x2 = −3
x2 − 4 >0
x2 − 4 =0{x1 = +2
x2 = −2
Otteniamo il gra�co:
−3 −2
@
+2
@
+3
+ − + − +
• Asintoti,
1. Asintoti verticaliUtilizzando il gra�co precedente
limx→−2+
x2 − 9
x2 − 4= +∞
limx→−2−
x2 − 9
x2 − 4=−∞
x =− 2
è asintoto verticale
limx→2+
x2 − 9
x2 − 4=−∞
limx→2−
x2 − 9
x2 − 4= +∞
x = + 2
è asintoto verticale
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 94
2. Asintoto orizzontale
limx→∞
x2 − 9
x2 − 4=
limx→∞
x2
(1− 9
x2
)x2
(1− 4
x2
) =1
y =1
asintoto orizzontale
3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui
• Intersezioni,
1. Asse xy = 0
y =x2 − 9
x2 − 4
{y = 0
x2 − 9 = 0
{y = 0
x1 = +3
{y = 0
x1 = −3
2. asse y x = 0
y =x2 − 9
x2 − 4
x = 0
y =9
4
3. Asintoti Non ha intersezione
• Derivata della funzione e segno della derivata,
y =x2 − 9
x2 − 4
y′ =D
[x2 − 9
x2 − 4
]=
2x(x2 − 4)− 2x(x2 − 9)
(x2 − 4)2
=2x3 − 8x− 2x3 + 18x
(x2 − 4)2
=10x
(x2 − 4)2
Studio il segno della derivata
y′ =10x
(x2 − 4)2≥ 0
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CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 95
Dato che il denominatore è una potenza pari è sempre positivo, studiamo ilsegno del numeratore
risolvo l’equazione
10x ≥0
x ≥0
Otteniamo il gra�co:
−2
@
0 2
@− − + +
Osservando il gra�co notiamo che prima di x = 0 la derivata è negativa, poiva a zero in�ne è positiva. Quindi per x = 0 la funzione ha un minimo. Perx = ±2 la derivata non esiste.
• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda
y′ =10x
(x2 − 4)2
y′′ =D
[10x
(x2 − 4)2
]=
10(x2 − 4)2 − 40x2(x2 − 4)
(x2 − 4)4
=10(x2 − 4)(x2 − 4− 4x2)
(x2 − 4)4
=10(−4− 3x2)
(x2 − 4)3
Studiamo il segno della derivata
10(−4− 3x2)
(x2 − 4)3≥ 0
Segno denominatore. Dato che è una potenza dispari studiamo il segno dellabase
(x2 − 4)3 >0
x2 − 4 >0
x2 − 4 =0
x1,2 =±√
16
2=
{x1 = +2
x2 = −2
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5.4. SOLUZIONE ESERCIZI 96
Segno numeratore
−4− 3x2 ≥0
−4− 3x2 =0
x1,2 =±√−48
−6
Non ha soluzione
Otteniamo il gra�co:
−2
@− + −
+2
@
Da gra�co, per valori di xminori di meno due la concavità è rivolta verso ilbasso. Per valori di x compresi tra meno due e due la concavità è rivolta verol’alto. Per xmaggiori di due la concavità rivolta vero il basso. Per valori ugualia più e meno due la derivata non esiste.
• Gra�co probabile,
−6. −4. −2. 2. 4. 6.
−4.
−2.
2.
4.
0
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Appendice
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A Mezzi usati
• I mezzi usati
– pdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Livehttp://www.tug.org/texlive
– Pacchetti usati1. Per la gra�ca il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ2. Per la matematica il pacchetto AMS3. Per le presentazioni Beamer
– Editor usati1. TEXstudio
http://texstudio.sourceforge.net/2. Tikzedt
http://www.tikzedt.org/index.html3. QTikZ
http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/4. GeoGebra 5
https://www.geogebra.org
• Aiuti e consigli
1. Forum del guIt Gruppo Utilizzatori Italiani di TEXhttp://www.guitex.org/home/it/forum
2. ArsTEXnica la rivista del guIt3. TEX ample.net
http://www.texample.netda cui qualche immagine è stata tratta
4. TEX StackExchangehttp://tex.stackexchange.com
• Aggiornamenti http://breviariomatematico.altervista.org
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Indice analitico
A
Asintotoobliquo, 68, 71, 75, 80, 84, 89, 93orizzontale, 45, 47, 68, 71, 75, 80, 84,
89, 93verticale, 22, 30, 38, 43, 45, 46, 48, 68,
71, 75, 80, 84, 89, 93
C
Concavità, 69, 73, 77, 82, 87, 89, 91, 95
D
Derivatapotenza, 51, 52potenza funzione, 54potenza negativa, 51prodotto, 52, 53
quoziente, 56, 57somma, 51, 52
F
Flesso, 61, 63, 64, 66, 69, 73, 77, 82, 87, 89,91, 95
L
Limitein�nitotende �nito, 6, 7, 22, 30, 38tende in�nito, 9
M
Massimo, 60, 61, 63, 64, 66Minimo, 60, 61, 63, 64, 66
99
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