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Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________
NOVA School of Business and Economics (a) 1
Estatística para Economia e Gestão Licenciatura em Economia e Licenciatura em Gestão
NOVA School of Business and Economics
Prof. Luís Catela Nunes
Exame Final – 2ª Época
28 de Junho de 2011
Duração: 2 horas
INSTRUÇÕES
Material autorizado: Caneta e este enunciado.
Escreva o seu nome e número de aluno na primeira página deste enunciado.
Este enunciado deve permanecer sempre agrafado.
As respostas às questões devem ser escritas neste enunciado nos locais indicados.
Pode utilizar o verso de cada folha como rascunho.
Qualquer situação de plágio (como sejam a utilização de material não autorizado,
comunicação com colegas, etc.) terá como consequência imediata a reprovação à disciplina
neste semestre.
Não é permitido tirar dúvidas durante o exame.
Antes de iniciar o exame confirme que este enunciado tem 15 folhas numeradas de 1 a 15.
Na folha 12 aparece um formulário com algumas fórmulas estatísticas.
Nas folhas 13 e 14 são incluídas tabelas estatísticas que podem ser necessárias para responder
a algumas das questões deste exame.
Deve permanecer sentado no seu lugar até ao final do exame.
A recolha final do enunciado será feita pelos vigilantes.
Nome: ___________________________________________________________ Nº: _________
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Grupo I (4 Valores)
Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15
Cada resposta certa vale 1,0 valores.
Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3).
Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores.
Suponha que é responsável pela gestão do departamento comercial de uma empresa de
informática com duas lojas em Lisboa. Estas duas lojas vão colocar à venda no próximo mês
de Julho o novo tablet uni-pad. É necessário decidir hoje quantas unidades deverão ser
adquiridas ao fabricante para se poder satisfazer em conjunto a procura nas duas lojas de
Lisboa no mês de Julho. As procuras dos tablet uni-pad nas duas lojas em Julho é incerta
podendo ser consideradas como variáveis aleatórias. A procura na primeira loja pode ser
descrita por uma distribuição normal de média 40 e desvio-padrão 4. A procura na segunda
loja pode ser descrita por uma distribuição normal de média 60 e desvio-padrão 3.
1. Qual a probabilidade da procura de tablets uni-pad na primeira loja exceder 46 unidades
em Julho?
a) 3%
b) 7%
c) 93%
d) 97%
2. Se a correlação entre as procuras nas duas lojas em Julho for igual a 0,5, qual a variância
da procura total do tablet uni-pad nas duas lojas (a soma das procuras na primeira e na
segunda loja) em Julho?
a) 26
b) 31
c) 37
d) 49
3. Se a procura total das duas lojas em Julho for inferior ao número de unidades que a
empresa adquirir ao fabricante, terá algum prejuízo. Pelo contrário, se a procura total
exceder o número de unidades compradas ao fabricante, então não conseguirá satisfazer
toda a sua procura deixando alguns dos seus clientes insatisfeitos. Responda às duas
questões seguintes.
i. Suponha que é possível assumir que em Julho as procuras dos tablet uni-pad nas duas
lojas são independentes entre si. Quantas unidades do tablet uni-pad deverá adquirir
ao fabricante para que se consiga satisfazer toda a procura em Julho (a soma das
procuras na primeira e na segunda loja) com uma probabilidade de 85%?
a) 105
b) 110
c) 115
d) 120
X1~N(40,42)
P(X1>46)=P(Z>(46-40)/4)=P(Z>1,5)
=1-0,9332 (ver pág.13)
=7%
V(X1+ X2)=V(X1)+V(X2)+2Cov(X1,X2)
=42 + 3
2 + 2 × 0,5 × 4 × 3
=37
P(X1 +X2 < k)=0,85
P(Z<(k-100)/5)=0,85
(k-100)/5=1,04 (ver pág. 13)
k = 105
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ii. Se em Julho as procuras de uni-pad nas duas lojas forem correlacionadas entre si,
qual o valor da correlação que requer uma aquisição máxima junto do fabricante para
garantir que conseguirá satisfazer toda a procura em Julho (a soma das procuras na
primeira e na segunda loja) com uma probabilidade de 85%?
a) -1
b) 0
c) 0,5
d) 1,0
Grupo II (3 Valores)
Responda no espaço em branco após cada uma das questões
Uma empresa de fabrico de telemóveis pretende estimar a duração média da bateria do seu
novo modelo. Para esse efeito, a empresa testou 16 desses novos telemóveis escolhidos ao
acaso. De seguida apresentam-se algumas estatísticas descritivas relativas às durações (em
horas) das baterias desses 16 telemóveis:
Mínimo = 20
Máximo = 30
Média = 25
Mediana = 25
Desvio-Padrão = 2
Supondo que se pode assumir que a duração da bateria de um telemóvel escolhido ao acaso
pode ser descrita como uma variável aleatória com distribuição normal, responda às
seguintes questões justificando todos os cálculos necessários.
1. Apresente um intervalo de confiança a 95% para a duração média da bateria do novo
modelo de telemóvel. (2 Valores)
I.C. a 95% para µ :
n
stx n
%5,2
1
4
225 %5,2
15t
4
2131,225 (ver pág. 14)
[24 ; 26]
V(X1+ X2) = 42 + 3
2 + 2 × × 4 × 3 = 25+24
P(X1 +X2 < k)=0,85 P[Z<(k-100)/( 25+24 )]=0,85
k=100+1,04 ×( 25+24 )
k é máximo quando = 1
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2. Se para a amostra inicial de 16 telemóveis fosse apresentado como intervalo de
confiança para a duração média da bateria do novo modelo de telemóvel o seguinte:
[23,7 ; 26,3], qual o grau de confiança utilizado na sua construção? (1 Valor)
Margem de erro =1,3
3,14
22/
15 t
6,22/,
15 t
01,02/ (ver pág. 14)
%2
Grau de confiança = 98%
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Grupo III (4 Valores)
Responda no espaço em branco após cada uma das questões
Vai ser realizado um estudo de opinião acerca das atitudes dos condutores portugueses. Para
tal foi escolhida uma amostra aleatória de 100 condutores. Uma das questões que irá ser
incluída no questionário é a seguinte: “Pensa que guia melhor que um condutor mediano?” a
que cada entrevistado responderá “Sim” ou “Não”. Responda às seguintes questões
justificando todos os cálculos intermédios necessários.
1. Se exactamente metade da população de condutores portugueses achar que guia melhor
que um condutor mediano, qual a probabilidade de na amostra aleatória de 100
condutores mais de 55 deles acharem que guiam melhor que um condutor mediano? (2
Valores)
n = 100
p = 0,5
n
pppNp
)1(,~ˆ
100
5,0,5,0~ˆ
2
Np
P( p̂ > 55/100 )
= P[Z > 0,05/(0,5/10) ]
= P(Z > 1)
= 1-0,8413 (ver pág. 13)
= 16%
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2. Certa pessoa está convencida que a proporção da população de condutores que acha que
guia melhor que um condutor mediano é de 50%. Da amostra aleatória de 100
condutores, 70 afirmaram que guiavam melhor que um condutor mediano. O que pode
concluir sobre a convicção da tal pessoa através de um teste de hipótese que tenha uma
probabilidade de 95% de não se enganar se essa pessoa estiver correcta? Seja claro
quanto a: (i) hipóteses nula e alternativa, (ii) estatística de teste e sua distribuição, (iii)
nível de significância a utilizar, (iv) valor crítico, (v) regra de decisão e (vi) conclusão
final. (2 Valores)
7,0100/70ˆ p
(i) H0: p = 0,5 H1: p ≠ 0,5
(ii) Utiliza-se a estatística de teste: 100/5,0
5,0ˆ
2
pZ
Dado que a dimensão amostral n=100 é suficientemente grande, pode-se aplicar
o teorema do limite central, e a estatística Z tem uma distribuição
aproximadamente normal com média 0 e variância 1 sob a hipótese nula.
(iii) Escolho o habitual nível de significância de 5%.
(iv) valor crítico = z2,5%
= 1,96
(v) A regra de decisão consiste em rejeitar H0 se Z < -1,96 ou Z > 1,96
(vi)
A estatística de teste vem: Z=4
Como Z = 4 > 1,96, rejeita-se a hipótese nula.
Logo, para um nível de significância de 5%, existe evidência estatística
suficiente para se concluir que a convicção daquela pessoa não se verifica.
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Grupo IV (7 Valores)
Para cada questão indique uma só resposta na tabela que aparece na página 15
Cada resposta certa vale 1,0 valores.
Cada resposta errada vale 0,3 valores negativos (-0,3).
Cada resposta em branco ou mal assinalada vale 0 valores.
Vários economistas têm estudado o impacto da instabilidade política e da corrupção na
qualidade das políticas governamentais. Em particular, Fredriksson e Svensson (Journal of
Public Economics, 2003) estudaram o impacto destas duas variáveis na determinação do grau
de exigência das leis ambientais promulgadas pelos governos. Para testar as conclusões
obtidas nesse estudo, analisaram-se as seguintes variáveis para uma amostra aleatória de 30
países:
AMBIENTE = índice de exigência das leis ambientais de cada país numa
escala de 0 a 100, em que 100 representa o grau de
exigência máximo;
REND_PC = rendimento per capita de cada país em milhares de euros;
OCDE = 1 se o país pertence à Organização para a Cooperação e
Desenvolvimento Económico (OCDE), = 0 se não;
CORRUP = índice de corrupção de cada país numa escala de 0 a 6, em que
6 representa corrupção máxima;
INSTAB = número de crises governamentais por ano em cada país;
CORRUP*INSTAB = produto das variáveis CORRUP e INSTAB.
De seguida, apresenta-se o resultado obtido através do Excel da estimação de um modelo de
regressão linear em que AMBIENTE é a variável dependente.
Regression Statistics
Multiple R 0.795144
R Square 0.632254
Adjusted R Square 0.55564
Standard Error 23.1703
Observations 30
ANOVA
df SS MS F
Significance
F
Regression 5 22152.24 4430.449 8.252482 0.000119
Residual 24 12884.7 536.8626
Total 29 35036.95
Coefficients
Standard
Error t Stat P-value
Intercept 285.2705 247.8098 1.151167 0.261004
REND_PC 11.41992 3.0004 3.806134 0.000859
OCDE 5.74888 10.14666 0.566579 0.576261
CORRUP -19.7392 5.053204 -3.90627 0.000668
INSTAB -110.85 37.18412 -2.98112 0.00649
CORRUP*INSTAB -29.08025 9.877075 -2.94422 0.007082
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1. Se a regressão fosse reestimada mas excluindo a variável OCDE, como se alteraria o R2?:
a) O R2 da nova regressão estimada não seria inferior ao acima apresentado nos
resultados para o modelo estimado.
b) O R2 da nova regressão estimada não seria superior ao acima apresentado nos
resultados para o modelo estimado.
c) O R2 da nova regressão estimada seria igual ao acima apresentado nos resultados para
o modelo estimado porque o p-value da variável OCDE é superior a 5%.
d) O R2 da nova regressão estimada seria superior ao acima apresentado nos resultados
para o modelo estimado porque a estatística t da variável OCDE é inferior a 1.
2. Quanto é que se estima que varie em média o índice de exigência das leis ambientais face
a um aumento de 1000 euros no rendimento per capita, ceteris paribus?
a) 11,4
b) 11420
c) 0,0114
d) 11,4%
3. Qual das seguintes afirmações é mais adequada tendo em conta os resultados obtidos?
a) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais menos exigentes,
mas esse efeito é menos pronunciado em países com maior instabilidade política.
b) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais menos
exigentes, e esse efeito é mais pronunciado em países com maior instabilidade
política.
c) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais mais exigentes, mas
esse efeito é menos pronunciado em países com maior instabilidade política.
d) Um aumento da corrupção, ceteris paribus, leva a leis ambientais mais exigentes, e
esse efeito é mais pronunciado em países com maior instabilidade política.
4. Considere a seguinte afirmação: “Em média, ceteris paribus, o grau de exigência das leis
ambientais nos países da OCDE é superior relativamente aos restantes países do mundo”.
Qual dos seguintes comentários a essa afirmação é mais adequado tendo em conta os
resultados obtidos?
a) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é inferior a 5%.
b) Concordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%.
c) Discordo, uma vez que o p-value da variável OCDE é superior a 5%.
d) Concordo, uma vez que a estimativa do coeficiente da variável OCDE é positiva.
5. Quais os factores que parecem explicar o índice AMBIENTE considerando um nível de
significância de 5%?
a) Todos os factores: REND_PC, OCDE, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB
b) Apenas OCDE
c) Apenas REND_PC, CORRUP, INSTAB, CORRUP*INSTAB
d) Apenas CORRUP
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6. Nos resultados acima apresentados foram omitidos os intervalos de confiança calculados
pelo Excel. Qual o intervalo de confiança a 95% para o coeficiente da variável OCDE que
o Excel obteve?
a) [-15 ; 27]
b) [-4 ; 16]
c) [-96 ; 107]
d) [0 ; 11,5]
7. Ceteris paribus, o grau de exigência das leis ambientais é certamente menor quanto maior
for o nível de recursos naturais e ambientais existentes em cada país. No entanto o nível
de recursos naturais e ambientais de cada país não foi incluído como uma variável
explicativa na regressão estimada acima apresentada. Se o nível destes recursos estiver
positivamente correlacionado com o rendimento per capita de cada país então:
a) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,
muito provavelmente será superior ao real.
b) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,
muito provavelmente será igual ao real.
c) O impacto estimado do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris
paribus, muito provavelmente será inferior ao real.
d) O real impacto do rendimento per capita no índice AMBIENTE, ceteris paribus,
deverá estar contido no intervalo [8,4 ; 14,4] com um grau de confiança de 95%.
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GRUPO V (2 Valores)
Responda no espaço em branco após cada questão
A fórmula habitualmente utilizada para calcular um intervalo de confiança para a média de
uma população com uma distribuição normal e com variância conhecida, nzx 2/ , é
válida desde que a amostra seja aleatória com as observações independentemente e
identicamente distribuídas com uma distribuição normal. Responda às seguintes questões
apresentando todos os cálculos necessários.
1. Suponha que na realidade as observações não eram independentes entre si. Em
concreto suponha que essa correlação era positiva. Caso se utilize a habitual fórmula
do intervalo de confiança a 95% para a média de uma população com uma
distribuição normal com variância conhecida, o real grau de confiança desse intervalo
será superior, inferior ou igual a 95%? (1 Valor)
0),( ji XXCov
)(XVar
= )1
(1
n
i
iXn
Var
= )(1
12
n
i
iXVarn
=
1
1 112
),(2)(1 n
i
n
ij
ji
n
i
i XXCovXVarn
=
1
1 1
2
2),(2
1 n
i
n
ij
ji XXCovnn
=
1
1 12´
2
),(2 n
i
n
ij
ji XXCovnn
Logo o intervalo de confiança a 95% para µ deve ser dado por:
1
1 12
2
),(2
96,1n
i
n
ij
ji XXCovnn
x
Portanto, se for utilizado o I.C. habitual, a sua amplitude virá inferior à
amplitude deste intervalo pelo que o grau de confiança do I.C. habitual será
inferior a 95%.
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2. Suponha que se pretendia calcular um intervalo de confiança a 95% para a média de
uma população com uma distribuição normal. No entanto a amostra não é aleatória
porque a correlação entre as observações é diferente de zero. Em particular, sabe-se
que essa correlação é igual a 0,5 para qualquer par de observações. Proponha uma
nova fórmula para o intervalo de confiança que garanta um real grau de confiança de
95%. (1 Valor)
1
1 1
),(n
i
n
ij
ji XXCov
=
1
1 1
n
i
n
ij
=
1
1 1
2n
i
n
ij
= 2
2 nC
= 2
2
)1(
nn
em que número de covariâncias entre os Xs = nC2 = número de combinações de
n elementos 2 a 2 =2
)1( nn
)(XVar =
1
1 12
2
),(2 n
i
n
ij
ji XXCovnn
= 2
2
2
2
)1(2
nn
nn
= 22 )1(
n
n
n
Como 5,0 vem que )(XVar = 22
5,0)1(
n
n
n
= 21
2
1
n
n
Logo o intervalo de confiança a 95% para µ é dado por:
21
2
196,1
n
nx
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SOME USEFUL FORMULAS
Difference Between Population Means or Proportions (Independent Samples)
Parameter Assumption Confidence Interval Endpoints
X Y 2( , )X XN
2( , )Y YN
2 2, knownX Y
2 2
/ 2X Y
x y
x y zn n
X Y 2( , )X XN
2( , )Y YN
2 2 unknownX Y
2 2
2, / 2x y
p p
n n
x y
s sx y t
n n
2 2
2( 1) ( 1)
2
x x y y
p
x y
n s n ss
n n
X Y 2( , )X XN
2( , )Y YN
2 2, unknownX Y
22
, / 2
yxv
x y
ssx y t
n n
2 222 22 2
/( 1) /( 1)y yx x
x y
x y x y
s ss sv n n
n n n n
X Y Large samples 2 2, unknownX Y
22
/ 2
yx
x y
ssx y z
n n
X Yp p
Large samples
Bernoulli Xp
Bernoulli Yp
/ 2
ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ y yx x
x y
x y
p pp pp p z
n n
Note: The first two intervals in the table are exact. The other three intervals are approximations.
Multiple Linear Regression: i 0 1 1i 2 2i k ki iy β β x β x β x ε
Total S.Sq.=SST= 2
i(y y) , Regression S.Sq.=SSR= 2
iˆ(y y) , Error S.Sq.=SSE=
2
i iˆ(y y )
2R SSR/SST and 2 SSE / (n K 1)R 1
SST / (n 1)
Var( iε ) = 2 is estimated as
n2 2
e ii=1s e /(n k 1)
Confidence interval for jβ : jj n k 1,α/2 bb t s
Test for H0: 1 2 kβ β β 0 is SSR/k
F = SSE/(n-k-1)
~ Fk,n-k-1 under H0
Simple Linear Regression: i 0 1 1i iy β β x ε
0 1b y b x and n n 2
1 i 1 i 1b (x x)(y y) / (x x)i i i
n2 2
1 ii 1Var(b ) σ / (x x)
is estimated as
1
n2 2 2
b e ii 1s s / (x x)
Prediction interval for2
n+1n+1 0 1 n+1 n-2, /2 e 2
i
(x x)1y : b b x t s 1
n (x x)
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