estatística e probabilidade aula 04 distribuições de ......probabilidade de 1/38 de ganhar...
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Estatística e Probabilidade
Aula 04
Distribuições de Probabilidades
Prof. Gabriel Bádue
✓ Introdução
• Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de
um dado não-viciado? Qual a probabilidade de se obter uma dessas
faces?
• E se o dado for viciado, de tal modo que a chance de obter a face três é
cinco vezes que a chance de se obter as demais faces?
✓ Definições➢ Uma variável aleatória é uma variável que tem um valor numérico único para cada
resultado de um experimento. Podem ser discretas ou contínuas.
➢ Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável
aleatória.1. σ𝑃 𝑥 = 1, ∀𝑥
2. 0 ≤ 𝑃 𝑥 ≤ 1, ∀𝑥
𝜇 =𝑥𝑃(𝑥)
𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃(𝑥)
𝜎2 = 𝑥2𝑃(𝑥) − 𝜇2
✓Exemplo 1
Determine se é dada uma distribuição de
probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua
média, variância e desvio-padrão.
a) Ao escolher aleatoriamente um colega de sela
condenado por dirigir alcoolizado (DWI), a
distribuição de probabilidade do número x de
sentenças anteriores em casos de DWI é dada na
tabela a seguir.
✓Exemplo 1
Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em
caso afirmativo, determine sua média, variância e desvio-
padrão.
b) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem
distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com
números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a
distribuição de probabilidade do número x de mulheres
contratadas.
✓Exemplo 2
Ao apostar em um cassino R$5,00 no número 7 da roleta, tem-se uma
probabilidade de 1/38 de ganhar R$175,00 e uma probabilidade de 37/38 de
perder R$5,00. Qual é o valor esperado? Em um número muito grande de
apostas, quanto se perde para cada real apostado?
✓Exemplo 3
Verifique se a função a seguir é uma distribuição de probabilidade.
𝑃 𝑥 =1
2
𝑥, onde 𝑥 = 1, 2, 3, …
✓ Distribuição Binomial
Um experimento é chamado de binomial se satisfaz as
seguintes condições:
➢ Comporta um número fixo de provas.
➢ As provas são independentes.
➢ Os resultados de cada prova são classificados entre duas
categorias.
➢ As probabilidades devem permanecer constantes para
cada prova.
✓ Distribuição BinomialSendo 𝑆 e 𝐹 a representação das duas possíveis categorias:
𝑃 𝑆 = 𝑝
𝑃 𝐹 = 1 − 𝑝 = 𝑞
onde, 𝑝 e 𝑞 representam as probabilidades de ocorrer 𝑆 e 𝐹 .
➢ 𝑛: número fixo de provas.
➢ 𝑥: número de sucessos em 𝑛 provas.
➢ 𝑝: probabilidade de sucesso em uma das 𝑛 provas.
➢ 𝑞: probabilidade de falha em uma das 𝑛 provas.
➢ 𝑃 𝑥 : a probabilidade de ter 𝑥 sucessos em 𝑛 provas.
✓ Distribuição Binomial
𝑃 𝑥 =𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥
Caso 1Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
Caso 2Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.
✓ Distribuição Binomial
𝜇 = 𝑛𝑝
𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞
✓Exemplo 4
Suponha que os nascimentos de menino e menina sejam igualmente prováveis
e que o nascimento de qualquer criança não afete a probabilidade do sexo do
próximo nascituro. Determine a probabilidade de:
a) Exatamente 4 meninas em 10 nascimentos.
b) Ao menos 4 meninas em 10 nascimentos.
c) Exatamente 8 meninas em 20 nascimentos.
✓Exemplo 5
Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo V ou F com 25
questões, e todos eles decidem responder “por palpite”. Determine a média e o
desvio-padrão do número de respostas corretas para cada estudante.
✓ Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a
ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória 𝑥 é o
número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo,
a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. A probabilidade de o
evento ocorrer x vezes em um intervalo é dado por
𝑃 𝑥 =𝜇𝑥 ∙ 𝑒−𝜇
𝑥!
✓ Distribuição de PoissonExigências
• A variável aleatória 𝑥 seja o número de ocorrências de um evento em um intervalo.
• As ocorrências sejam aleatórias.
• As ocorrências sejam independentes umas das outras.
• As ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado.
Parâmetros
• Média 𝜇.
• Desvio-padrão 𝜎 = 𝜇.
✓Exemplo 6
Esta sendo planejado um novo hospital para Newton, uma comunidade que ainda
não tem hospital próprio. Se Newton tem uma média de 2,25 nascimentos por dia,
determine a probabilidade de que, em um dia, o número de nascimentos seja
a) 0
b) 1
c) 4
✓ Teoria
Distinções entre as distribuições Binomial e de Poisson
• A distribuição binomial é afetada por 𝑛 e 𝑝, enquanto a de Poisson apenas por 𝜇.
• Na distribuição binomial a variável aleatória pertence a um conjunto de naturais
limitado a 𝑛, enquanto na distribuição de Poisson, o conjunto pode ser ilimitado.
Aproximação das distribuições Binomial e de Poisson
𝑛 ≥ 100 e 𝑛𝑝 ≤ 10
✓Exemplo 7
Dá-se a seguir um experimento binomial, onde o grande número de provas
pode causar problemas sérios com muitas calculadoras. Supere esse obstáculo
aproximando a distribuição binomial pela distribuição de Poisson.
Apostando no 7 em uma rodada de roleta, temos uma probabilidade de 1/38
de ganhar. Suponha que apostemos no 7 em cada uma de 500 rodadas.
a) Determine o número médio de ganhos em tais experimentos.
b) Determine a probabilidade de o 7 ocorrer exatamente 13 vezes.
✓Exercícios
TRIOLA, M. Introdução à Estatística, 10 ed, Rio de Janeiro: LTC, 2011.
p. 168Exercícios 1, 3, 4, 7,8, 11, 12, 13, 17, 19 e 21.
p. 176Exercícios 5 ao 8, 13, 14, 25 ao 36.
p. 181Exercícios 1, 9 ao 20
p. 183Exercícios 9 ao 14.
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