este método se basa en la fórmula de newton.docx
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8/8/2019 Este mtodo se basa en la frmula de Newton.docx
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Este mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el
clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin:
Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:
Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder
calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores
anteriores y .
Obsrvese tambien, el gran parecido con la frmula del mtodo de la
regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el
mtodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el
mtodo de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,
encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo
de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de
no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va
a la segura.
Ejemplo 1
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de
, comenzando con , y hasta que.
Solucin
Tenemos que y , que sustitumos en la
frmula de la secante para calcular la aproximacin :
Con un error aproximado de:
Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
-
8/8/2019 Este mtodo se basa en la frmula de Newton.docx
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0.652917265 0.08%
De lo cual conclumos que la aproximacin a la raz es:
Ejemplo 2
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de
, comenzando con y , y hasta que
.
Solucin
Tenemos los valores y , que
sustitumos en la frmula de la secante para obtener la
aproximacin :
Con un error aproximado de:
Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
0
1 100%
0.823315073 21.4%
0.852330280 3.40%
0.853169121 0.09%
De lo cual conclumos que la aproximacin a la raz es:
Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la secante, con la
siguiente ecuacin:
# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error
1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3
2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21
3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533
-
2.3207255
520505
-
0.0207255520
50473
4 -2.51 - -2.323251 1.180387149 - -
http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=secante -
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2.3207255
5205055748
2.3959690
27827
0.0752434757
76506
5
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2.3959690
27827
-
2.3207255
520505
-
0.150430754
08291
1.180387149
5748
-
2.3460753
250876
-
0.0253497730
37123
6-
2.3959690
27827
-2.3460753
250876
-0.150430754
08291
0.740963195
30987
-2.3903292
274407
-0.0442539023
53135
7
-
2.3903292
274407
-
2.3460753
250876
-
0.047890744
83039
0.740963195
30987
-
2.3828609
830056
-
0.0367856579
17969
8
-
2.3903292
274407
-
2.3828609
830056
-
0.047890744
83039
0.087191294
668852
-
2.3898758
357919
-
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863751
9
-
2.3898758
357919
-
2.3828609
830056
-
0.039667231
209549
0.087191294
668852
-
2.3873888
543541
-
0.0045278713
485732
1
0
-
2.3898758
357919
-
2.3873888
543541
-
0.039667231
209549
0.005388652
9350926
-
2.3890981
847273
-
0.0017093303
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1
1
-
2.3890981
847273
-
2.3873888
543541
-
0.025569238
087972
0.005388652
9350926
-
2.3875932
89098
-
0.0002044347
4381393
1
2
-
2.3890981
847273
-
2.3875932
89098
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0.025569238
087972
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3877866
-
2.3878552
371823
-
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1
3
-
2.3878552371823
-
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-
0.0030539102982061
0.001688314
3877866
-
2.3876095139854
-
1.6224887400274E-5
Hemos terminado de analizar el mtodo de la secante, en este
ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm):
-2.3876969957131 con 13 iteracciones.
Como mencionamos anteriormente, sera bueno considerar si la raz
de una ecuacin est localizada ms cerca de alguno de los extremos
del intervalo.
Consideremos nuevamente una grfica como la anterior,
Donde hemos agregado la lnea recta que une los puntos extremos de
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la grfica en el intervalo .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del
intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos
aproximaremos mucho ms rpido a la raz; sta es en s, la idea
central del mtodo de la regla falsa y sta es realmente la nica
diferencia con el mtodo de biseccin, puesto que en todo lo demslos dos mtodos son prcticamente idnticos.
Supongamos que tenemos una funcin que es contnua en el
intervalo y adems, y tienen signos
opuestos.
Calculemos la ecuacin de la lnea recta que une los puntos
, . Sabemos que la pendiente de esta recta esta
dada por:
Por lo tanto la ecuacin de la recta es:
Para obtener el cruce con el eje , hacemos :
Multiplicando por nos da:
Finalmente, de aqu despejamos :
Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio
del mtodo de biseccin.
As pues, el mtodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea contnua,
i) Encontrar valores iniciales , tales que y
tienen signos opuestos, es decir,
ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual a:
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iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
En este caso, tenemos que y tienen signos
opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo
.
En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo,
y de aqu que y tienen signos opuestos. Por lo
tanto, la raz se encuentra en el intervalo .
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos
la raz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
Ejemplo 1
Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de
, comenzando en el intervalo y hasta que
.Solucin
Este es el mismo ejemplo 1 del mtodo de la biseccin. As pues, ya
sabemos que es contnua en el intervalo dado y que toma
signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto
podemos aplicar el mtodo de la regla falsa.
Calculamos la primera aproximacin:
Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir conel proceso.
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As pues,evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo
.
Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos , y hacemos la tabla
de signos:
De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo
, con el cual, podemos calcular la nueva aproximacin:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin
buscada es:
Observe la rapidez con la cual converge el mtodo de la regla falsa
a la raz, a diferencia de la lentitud del mtodo de la biseccin.
Ejemplo 2Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de
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, comenzando en el intervalo y hasta que
.
Solucin
Este es el mismo ejemplo 2 del mtodo de la biseccin. As pues,
ya sabemos que se cumplen las hiptesis necesarias para poder
aplicar el mtodo, es decir, que sea contnua en el
intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de
dicho intervalo.
Calculamos pues, la primera aproximacin:
Como solamente tenemos una aproximacin, debemos avanzar en el
proceso.
Evaluamos
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De lo cual vemos que la raz se localiza en el intervalo
.
As pues, calculamos la nueva aproximacin:
Y calculamos el error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el
proceso.
Evaluamos .Y hacemos nuestra tabla de signos:
De los cual vemos que la raz se localiza en el intervalo
, con el cual podemos calcular al siguiente
aproximacin:
-
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Y el siguiente error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, conclumos que la aproximacin
buscada es:
Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del mtodo de
la regla falsa contra la lentitud del mtodo de la biseccin.
Por supuesto que puede darse el caso en el que el mtodo de la
regla falsa encuentre la aproximacin a la raz de forma ms lenta
que el mtodo de la biseccin. Como ejercicio, el estudiante puede
aplicar ambos mtodos a la funcin , comenzando en el
intervalo , donde notar que mientras que el mtodo de
biseccin requiere de 8 aproximaciones para lograr que ,
el mtodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.
Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la Posicin, Falsa
con la siguiente ecuacin:
# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error
1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3
2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21
3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533
-
2.3207255
520505
-
0.0207255520
50473
4 -2.51
-
2.3207255
520505
-2.3232511.180387149
5748
-
2.3959690
27827
-
0.0752434757
76506
5
-
2.3959690
27827
-
2.3207255
520505
-
0.150430754
08291
1.180387149
5748
-
2.3460753
250876
-
0.0253497730
37123
6
-
2.395969027827
-
2.3460753250876
-
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30987
-
2.3903292274407
-
0.044253902353135
7
-
2.3903292
274407
-
2.3460753
250876
-
0.047890744
83039
0.740963195
30987
-
2.3828609
830056
-
0.0367856579
17969
8
-
2.3903292
274407
-
2.3828609
830056
-
0.047890744
83039
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668852
-
2.3898758
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-
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9
-
2.3898758
357919
-
2.3828609
830056
-
0.039667231
209549
0.087191294
668852
-
2.3873888
543541
-
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1
0
-
2.3898758
-
2.3873888
-
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9350926
-
2.3890981
-
0.0017093303
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357919 543541 209549 847273 731688
1
1
-
2.3890981
847273
-
2.3873888
543541
-
0.025569238
087972
0.005388652
9350926
-
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89098
-
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4381393
1
2
-
2.3890981847273
-
2.387593289098
-
0.025569238087972
0.001688314
3877866
-
2.3878552371823
-
0.00026194808438618
1
3
-
2.3878552
371823
-
2.3875932
89098
-
0.003053910
2982061
0.001688314
3877866
-
2.3876095
139854
-
1.6224887399
829E-5
Hemos terminado de analizar el mtodo de la Posicin Falsa, en este
ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm):
-2.3876969957131 con 13 iteracciones.
Este mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el
clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin:
Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:
Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder
calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores
anteriores y .
Obsrvese tambien, el gran parecido con la frmula del mtodo de la
regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el
mtodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el
mtodo de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,
encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo
de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de
no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va
a la segura.
Ejemplo 1
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de
, comenzando con , y hasta que
.
Solucin
Tenemos que y , que sustitumos en la
frmula de la secante para calcular la aproximacin :
Con un error aproximado de:
-
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Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
0.652917265 0.08%
De lo cual conclumos que la aproximacin a la raz es:
Ejemplo 2
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de
, comenzando con y , y hasta que
.
Solucin
Tenemos los valores y , que
sustitumos en la frmula de la secante para obtener la
aproximacin :
Con un error aproximado de:
Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
0
1 100%
0.823315073 21.4%
0.852330280 3.40%
0.853169121 0.09%
-
8/8/2019 Este mtodo se basa en la frmula de Newton.docx
11/59
De lo cual conclumos que la aproximacin a la raz es:
Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de la secante, con la
siguiente ecuacin:
# Xi Xd Fxi Fxd Nuevo Xm Error
1 -3 -2 -14 6 -2.3 -0.3
2 -3 -2.3 -14 1.533 -2.51 -0.21
3 -2.51 -2.3 -2.323251 1.533
-
2.3207255
520505
-
0.0207255520
50473
4 -2.51
-
2.3207255
520505
-2.3232511.180387149
5748
-
2.3959690
27827
-
0.0752434757
76506
5
-
2.3959690
27827
-
2.3207255
520505
-
0.150430754
08291
1.180387149
5748
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-
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-
2.3959690
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2.3460753
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0.150430754
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-
2.3903292
274407
-
0.0442539023
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2.3903292
274407
-
2.3460753
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0.047890744
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0.740963195
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-
2.3828609
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-
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2.3903292
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2.3898758
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2.3828609
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0.039667231
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543541
-
0.0045278713
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1
0
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2.3898758
357919
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2.3873888
543541
-
0.039667231
209549
0.005388652
9350926
-
2.3890981
847273
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0.0017093303
731688
1
1
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2.3890981
847273
-
2.3873888
543541
-
0.025569238
087972
0.005388652
9350926
-
2.3875932
89098
-
0.0002044347
4381393
1
2
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2.3890981
847273
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2.3875932
89098
-
0.025569238
087972
0.001688314
3877866
-
2.3878552
371823
-
0.0002619480
8438618
1
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2.3878552
371823
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2.3875932
89098
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0.003053910
2982061
0.001688314
3877866
-
2.3876095
139854
-
1.6224887400
274E-5
Hemos terminado de analizar el mtodo de la secante, en este
ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm):
-2.3876969957131 con 13 iteracciones.
Este mtodo, el cual es un mtodo iterativo, es uno de los ms
usados y efectivos. A diferencia de los mtodos anteriores, el
mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino quebasa su frmula en un proceso iterativo.
http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=secante -
8/8/2019 Este mtodo se basa en la frmula de Newton.docx
12/59
Supongamos que tenemos la aproximacin a la raz de
,
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; sta
cruza al eje en un punto que ser nuestra siguiente
aproximacin a la raz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuacin de la
recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:
Hacemos :
Y despejamos :
Que es la fmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la
siguiente aproximacin:
, si
Note que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos
donde nos asegure que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos
ninguna garanta de que nos aproximaremos a dicha raz. Desde
luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en
cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos
donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante,
por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia.
Tambin observe que en el caso de que , el mtodo no sepuede aplicar. De hecho, vemos geomtricamente que esto significa
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que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al
eje en ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo
caso mismo es una raz de !
Ejemplo 1
Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de
, comenzando con y hasta que .
Solucin
En este caso, tenemos que
De aqu tenemos que:
Comenzamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta
donde se pidi.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual conclumos que , la cual es correcta en
todos sus dgitos!
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen
races -simas de nmeros reales positivos.
Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz,
lo hace de una forma muy rpida y de hecho, observamos que el error
aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso.
Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para
los errores en cada uno de los mtodos que hemos estudiado, cabe
mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisinla rapidez lentitud del mtodo en estudio.
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Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de Newton Raphson, con
la siguiente ecuacin:
# Fxn Dfxn Nuevo Xm
1 18 4 -3.52 -30.375 37.75 -2.6953642384106
3 -6.2771541041392 22.794965133108 -2.419989651633
4 -0.59229583988115 18.569049742033 -2.3880927130115
5 -0.0073539466744812 18.108960417816 -2.3876866186524
6 -1.1814129692311E-6 18.103142166676 -2.3876865533923
Hemos terminado de analizar el mtodo de la Newton Rapshon, en este
ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm):
-2.3876865533923 con 6 iteracciones.
TEMARIO
I.- INTRODUCCIN
Importancia de los mtodos numricos
Tipos de Errores
II.- SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
Raz de una ecuacin
Mtodos de intervalo: biseccin, falsa posicin
Mtodos de punto fijo: aproximaciones sucesivas, secante, Newton-Raphson
III.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Eliminacin Gaussiana
Matriz Inversa
Gauss-Jordan
Regla de CrammerJacobi
Gauss-Seidel
IV.- AJUSTE DE FUNCIONES
Fundamentos de estadstica
Interpolacin
Regresin de mnimos cuadrados
V.- DIFERENCIACIN E INTEGRACIN NUMRICA
Derivacin Numrica
Integracin Numrica, trapecio, Simpson-Romberg
VI.- SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Mtodos de 1 paso: Euler, Euler Mejorado, Runge-Kutta
Mtodos de pasos mltiples
VII.- ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Clasificacin de las ecuaciones
Mtodos de diferencias finitas.
MTODOS NUMRICOS
1.1 Problemas matemticos y sus soluciones.
Un modelo matemtico puede definirse como una formulacin o una ecuacin que expresa lascaractersticas, esenciales de un sistema fsico o proceso en trminos matemticos.
Vd = f (vi, p , f ) (1)
Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.Vi = variables independientes como tiempo o espacio a travs de las cuales el comportamiento delsistema ser determinado.
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P = parmetros , son reflejos de las propiedades o la composicin del sistema.
f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.
De la segunda Ley de Newton:
F = ma ; reordenando
f
a = ______ ( 2 )m
Caractersticas de este modelo matemtico.
1.- Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos.
2.- Representa una simplificacin de la realidad.
3.- Conduce a resultados predecibles.
Otros modelos matemticos de fenmenos fsicos pueden ser mucho ms complejos.
De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de uncuerpo, tenemos un expresin de aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto altiempo:
f
dv = _____( 3 )dt m
Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:
F = FD + Fu ( 4 )
FD = La atraccin hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.
Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,
En donde:
FD = mg
Fu = -cu
c = coeficiente de resistencia o arrastre
Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:
dv = mg - cu ( 7 )
dt m
dv = g - c/m (v) ( 8 )
dt
Esta ecuacin es un modelo matemtico que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con lasfuerzas que actan sobre l.
Se trata de una ecuacin diferencial o ecuaciones diferenciales.
Si las ecuaciones son ms complejas, se requiere de tcnicas avanzadas para obtener una solucinanaltica exacta o aproximada.
Si el objeto est en reposo, v= o y t= 0, y usando las teoras de clculo, obtenemos:
v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t ) ( 9 )
Que es la solucin analtica o exacta,
v(t) = variable dependiente
t = es la variable independiente
c,m = parmetros
g = funcin de la fuerza
Ej. 1.1
Un paracaidista , con una masa de 68.1 kgs salta de un globo aerosttico fijo. Con la ayuda de laecuacin ( 9 ), calcule la velocidad antes de abrir el paracadas, coeficiente de resistencia = 12 kg/seg.
Datos:
m = 68.1
c = 12.5
g = 9.8 m/s
v(t) = gm/c ( 1 - e-(c/m)t )
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t,s v, m/s
0 0
2 16.42
4 27.76
6 35.63
8 41.05
10 44.87
12 47.48
53.39
53.39 1 - e -(0.1835)t
Cuando los mtodos numricos - modelos matemticos - no pueden resolverse con exactitud, se requierede una solucin numrica que se aproxima a la solucin exacta.
Los mtodos numricos son aquellos en los que se formula el problema matemtico para que se puedaresolver mediante operaciones aritmticas.
Para la segunda Ley de Newton, al aproximar a la razn del cambio de la velocidad con respecto altiempo , tenemos:
dv = v = v ( ti + 1 ) - v ( ti ) ( 10 )
dt t ti + 1 - ti
Diferencias finitas divididas
v ( ti ) = es la velocidad en el tiempo inicial ti
v ( ti + 1 ) = es la velocidad despus de un tiempo mas tarde:
ti + 1
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sustituyendo la ec. ( 10 ) en la ec. ( 8 ):
v ( ti + 1 ) - v ( ti ) = g - c/m v ( ti)
ti + 1 - ti
Reordenando:
V ( ti + 1 ) = v ( ti) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti ) ( 11 )
A cualquier tiempo
Nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamao del paso.
Ejemplo 1.2
Resolver el ejemplo anterior mediante una solucin numrica para calcular la velocidad. Emplear untamao del paso de 2 segundos.
Datos:
m = 68.1 kg
c = 12.5 kg/s
g = 9.8 m/s
V ( ti + 1 ) = v ( ti) + g - c/m v( ti ) ( ti + 1 - ti )
V1 = V0 + g - c/m V0 ( ti + 1 - ti ) ; t1 = 2 seg
V1 = 0 + 9.8 - 12.5/68.1 (0) (2-0) = 19.6 m/s
t2 = 4s, v2 = ?
V2 = 19.6 + 9.8 - 12.5/68.1 (19.6) (4-2) = 32 m/s
Sustituyendo:
V3 = V2 + g - c/m V2 (t3 - t2)
V3= 32 + 9 .8 - 12.5/68.1 (32) (2) = 39.85 m/s
Entonces V3= 39.85 m/s
Sustituyendo:
V4 = 39.85 + 9 .8 - 12.5/68.1 (39.85) (2) = 44.82 m/s
V5 = 44.82 + 9 .8 - 12.5/68.1 (44.82) (2) = 47.96 m/s
V6 = 47.96 + 9 .8 - 12.5/68.1 (47.96) (2) = 49.95 m/s
t,s SN SA
0 0 0
2 19.6 16.42
4 32 27.76
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6 39.85 35.63
8 44.82 41.05
10 48.01 44.87
12 49.05 47.48
53.39 53.39
1.2. Importancia de los mtodos numricos
Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos detal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas.
El anlisis numrico trata de disear mtodos para aproximar de una manera eficiente las solucionesde problemas expresados matemticamente.
El objetivo principal del anlisis numrico es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos
utilizando slo las operaciones ms simples de la aritmtica. Se requiere de una secuencia deoperaciones algebraicas y lgicas que producen la aproximacin al problema matemtico.
Los mtodos numricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemticos en:
Clculo de derivadas
Integrales
Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices
Interpolaciones
Ajuste de curvas
Polinomios
Los mtodos numricos se aplican en reas como:
Ingeniera Industrial, Ingeniera Qumica, Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica, Ingeniera elctrica, etc...
1.3 Tipos de errores
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Exactitud.- Lo que est ms cerca del valor verdadero.
Se refiere a que tan cercano est el valor medido o calculado con el valor verdadero.
Precisin.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a losotros.
Cifras significativas.- Es el conjunto de dgitos confiables o necesarios que representan el valor de unamagnitud independientemente de las unidades de medidas utilizadas.
Confiables.- Por que dependen del instrumento de medicin empleado.
Necesarias.- Por que depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.
La longitud del pizarrn es:
En 4 mediciones, siendo en cada medicin distintas personas, los resultaos fueron los siguientes:
1.- 3.0 m
2.- 3.0 m
3.- 3.0 m
4.- 3.0 m
La longitud de la libreta :
1.- 28 cm ( flexmetro ) 3.- 28 cm
2.- 27.5 cm ( regla ) 4.- 28 cm
La longitud de un lpiz:
Regla: 14.3 cm Tornillo: 14.327 cm
Vernier: 14.32 cm
La velocidad de un automvil:
Digital: 89.5 km/h
Cartula: 90 km/h
Cuntas cifras significativas ( que tan preciso debe ser ) son necesarias ?
1.- El total de cifras significativas es independiente de la posicin del punto decimal.Ejemplo:
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El medir una mujer se registr que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm = 167 cm , (tenindose 3 cifrassignificativas ).
2.- Los ceros a la izquierda de dgitos no nulos, nunca sern cifras significativas.
Ejemplo:
Un balero tiene un dimetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km ( 2 cifras significativas ).
3.- Los ceros intermedios de dgitos no nulos, siempre sern significativos:
Ejemplo:
40072 ( 5 c.s. )
3.001 ( 4 c.s. )
0.000203 ( 3. c.s. )
Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.
Error absoluto.- Es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado:
EA = Vv - Va ( 12 )
Error Relativo.- Es el cociente del error absoluto respecto al valor verdadero:
ER = EA = Vv - Va
Vv Vv
Error Relativo Porcentual:
ERP = EA x 100 % ( 13 )
Vv
Ejercicios:
Ejemplo.- Supngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud delpuente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.
Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule :
el error absoluto
el error relativo %
para cada caso:
Puente Remache
Vv = 10000 cm 10 cm
Va = 9999 cm 9 cm
EA = 10000 - 9999 EA = 10 - 9
EA = 1 cm EA = 1 cm
Error Porcentual = 1 x 100 = 0.01 %
10,000
Error Porcentual = 1 x100 = 10 %
10
Ejemplo:
Suponga que el valor para un clculo debera ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va =0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:
EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102
EA = 2 = 0.2 x 101
ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%
0.10 x 102
Ejemplo:
Vv = 0.24 x 10 - 4 Va = 0.12 x 10 - 4
EA = 0.24 x 10 - 4 - 0.12 x 10 - 4
EA = 1.2 x 10 - 5 , 0.12 x 10 - 4 , por lo tanto es pequeo
ERP = 0.12 x 10 - 4 x 100 = 50%, por lo tanto es grande.
0.24 x 10 - 4
Ejemplo :
Vv = 0.46826564 x 10 6
-
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Va = 0.46830000 x 10 6
EA = 0.46826564 x 10 6 - 0.46830000 x 10 6
EA = 34.46 , por lo tanto es grande.
ERP = 34.36 x 100 =7.33771504 x 10 - 3, es pequeo
0.46826564 x 10 6
Concluyendo , cuando se manejen cantidades muy grandes o muy pequeas el EA puede ser engaoso,mientras que el error relativo es ms significativo en estos casos.
Determinacin del error en ausencia del valor verdadero
Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor en ausencia de los valoresverdaderos. Ciertos mtodos numricos usan un mtodo iterativo para calcular resultados, tales casos sehace una aproximacin con base en la aproximacin anterior. Es decir, el error se calcula como ladiferencia ente la aproximacin actual y la aproximacin previa.
Ea = aproximacin actual - aproximacin anterior x 100 (14)
aproximacin actual
Ea 0, la raz se encuentra en el subintervalo superior, entonces xi = xr, contine el paso 2.
PASO 5.- Cuando Ea < , el clculo termina.
Ej. Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidista de masa = 68.1 kgtenga una velocidad de 40 m/s, despus de una cada libre de t = 10 seg. La aceleracin de la gravedades de 9.8 m/s2. La ecuacin a utilizar es:
f(c) = gm/c ( 1 - e-(c/m) t ) - v = 0
Solucin analtica:
Aproximacin grfica:
f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e -(c/68.1) ) -40
= 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) - 40
c f ( c )
4 34.115
8 17.653
12 6.067
16 -2.269
20 -8.401
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biseccin
xi = 12, xs = 16
xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs
f(xi) = f(12) = 6.067
f(xr) = f(14) = 1.5687
f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr
n = 2
xi = 14, xs = 16 , xr = 15
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xr) = f(15) = -0.4248
f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) < 0, la raz se encuentra en este subientervalo, xs = xr
Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 %
n = 3
xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xi) =f(14.5)= 0.5523
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 %
n = 4
xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75
f(xi) = f(14.5) = 0.5523
f(xi) =f(14.75)= 0.05896
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 %
n = 5
xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875
f(xi) = f(14.75) = 0.5896f(xi) =f(14.87)= -0.1841
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f(xi) f(xi) < 0, xs= xr
Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 %
n = 6
xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125
Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %
Ea
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