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ASIGNATURA ESTADISTICA EMPRESARIAL MDULO 4
PROBABILIDADES
INTRODUCCIN
Este mdulo si bien tiene como objetivo estudiar los elementos de probabilidades, est orientado a fortalecer la capacidad de anlisis y la abstraccin del alumno basado en elementos matemticos.
ESQUEMA GENERAL DEL MODULO 4
MODULO CUATRO
INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES
PROBABILIDAD RELATIVA
Probabilidad Conjunta.
TIPOS DE PROBABILIDADES
PPOPIEDADES DE CONJUNTOS APLICADOS A PROBABILIDADES aplicados a Probabiliades
Definicin de Probabilidad
Conceptos Bsicos de Probabilidades
PERMUTAC. Y COMBINACION.
Probabilidad Marginal
Probabilidad Condicional
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OBJETIVO GENERAL Dominar los conceptos relativos a probabilidades
CONTENIDOS
1.- Introduccin a las probabilidades 2.- Probabilidad relativa.
3.- Propiedades de conjuntos aplicadas a probabilidades
4.- Probabilidad conjunta, marginal y condicional
5.- Permutaciones y combinaciones
1.- INTRODUCCIN A LAS PROBABILIDADES 1.1.- CONCEPTO DE PROBABILIDAD
El desarrollo inicial se asocia a los juegos de azar. Ejemplo supongamos que lanzamos 2 dados, nuestro inters recaer en los nmeros que aparecen cuando se lanzan los dados La Imagen 1 representa todos los posibles resultados del lanzamiento de 2 dados POSIBLES RESULTADOS CUANDO SE LANZAN LOS DADOS Imagen 1
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
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DDEEFFIINNIICCIIOONN DDEE PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD
SSii uunn eexxppeerriimmeennttoo qquuee eessttaa ssuujjeettoo aall aazzaarr,, rreessuullttaa ddee nn ffoorrmmaass iigguuaallmmeennttee pprroobbaabblleess yy
mmuuttuuaammeennttee eexxcclluuyyeenntteess,, aaddeemmss ssii ddeeffiinniimmooss eell aattrriibbuuttoo AA yy ddeetteerrmmiinnaammooss llaa
ccaannttiiddaadd ddee vveecceess qquuee ssee pprroodduuzzccaa eell aattrriibbuuttoo AA rreessppeeccttoo aall uunniivveerrssoo,, hhaabbllaarreemmooss ddee
llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee AA rreessppeeccttoo aa nn..
EEnn eell eejjeemmpplloo ddee llooss ddaaddooss ppooddrreemmooss eessttaabblleecceerr
AA== LLaa ccaannttiiddaadd ddee ppaarreess ddee nnmmeerrooss qquuee ssuummaann 77 eess 66 PPoorr lloo ttaannttoo PP((AA))==
1.2.- CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD
EEssppaacciioo MMuueessttrraall
EEll ccoonnjjuunnttoo ddee ttooddooss llooss ppoossiibblleess rreessuullttaaddooss ddee uunn eexxppeerriimmeennttoo aalleeaattoorriioo
EEvveennttoo ddeell eessppaacciioo mmuueessttrraall
EEss uunn ggrruuppoo ddee rreessuullttaaddooss ccoonntteenniiddooss eenn ssttee,, ccuuyyooss mmiieemmbbrrooss ttiieenneenn uunnaa
ccaarraacctteerrssttiiccaa eenn ccoommnn
36
6
-
2.- PROBABILIDAD RELATIVA
EEnn uunnaa ffbbrriiccaa llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee oobbsseerrvvaarr uunn aarrttccuulloo ddeeffeeccttuuoossoo eess mmuucchhoo mmss bbaajjaa
qquuee eennccoonnttrraarr uunnoo bbuueennoo.. EEnn ssttee eejjeemmpplloo nnoo eess ccoorrrreeccttoo uuttiilliizzaarr llaa ddeeffiinniicciinn ccllssiiccaa..
PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eennccoonnttrraarr uunn aarrttccuulloo ddeeffeeccttuuoossoo,, ssee rreeaalliizz eell
ssiigguuiieennttee eejjeerrcciicciioo
VVeeaammooss llaa iimmaaggeenn aaddjjuunnttaa
AARRTTIICCUULLOOSS
MMUUEESSTTRREEAADDOOSS UUNNIIDDAADDEESS
DDEEFFEECCTTUUOOSSAASS
FFRREECCUUAANNCCIIAA
RREELLAATTIIVVAA
2200 22 00..11
5500 33 00..0066
110000 44 00..0044
220000 1122 00..0066
550000 2288 00..005566
110000 5544 00..005544
Estudiemos los resultados de nuestro ejercicio A medida que la cantidad de elementos muestreados aumenta la probabilidad de encontrar un artculo defectuoso tiende a un 5%.
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3.- PROPIEDAD DE CONJUNTOS APLICADO A PROBABILIDADES
El evento formado por todos los posibles resultados en E1 o E2 o en ambos,
recibe el nombre de unin de E1 con E2 y se denota por : E1 U E2
El evento formado por todos los resultados comunes tanto a E1 como a E2, recibe el nombre de interseccin de E1 con E2 y se denota por:
Se dice que los eventos que son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultado en comn en otras palabras
Si cualquier resultado de E2, tambin es resultado de E1, se dice que el evento E2 est contenido en E1, s que es subconjunto.
El complemento de un evento E con respecto al espacio muestral S, es aquel que contiene todos los resultados de S que no se encuentran en E y se denota por :
Si A y B son sucesos cualesquiera asociados a un espacio muestral S. La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B est dado por:
021 EE
E
)()()()( BAPBPAPAUBP
)(1)( APAP C
21 EE
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4.- TIPOS DE PROBABILIDADES
Dada la siguiente imagen que refleja el resultado de un estudio de hombre y mujeres fumadoras y no fumadoras.
HOMBRES MUJERES
FUMADORES 5 15
NO FUMADORES
25 20
4.1.- PROBABILIDAD CONJUNTA
Supongamos de queremos encontrar la probabilidad conjunta de hombres fumadores (diremos que es conjunta por que tiene ambos atributos) ser 5/65. El valor 5 se obtiene porque esa es la cantidad de hombres fumadores y el 65 indica cantidad total de personas encuestadas. De acuerdo al esquema anterior diremos que la probabilidad conjunta es la probabilidad de encontrar un evento que cumpla con la interseccin ente la fila y la columna
4.2.- PROBABILIDAD MARGINAL Supongamos que en la tabla anterior queremos calcular la probabilidad de encontrar una persona que no fume independientemente de su sexo. Ser: (25+20)/65 La idea de la probabilidad marginal consiste en seleccionar un atributo que represente una fila o una columna respecto al total. Nuestro ejemplo consiste en seleccionar la segunda fila (no fumadores 25 +20) respecto al total (65).
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4.3.- PROBABILIDAD CONDICIONAL
- Dado que seleccionamos una mujer Cual ser la posibilidad que ella fume? - 15/(15+20)
Este tipo de probabilidades consiste en seleccionar un atributo relacionado con una fila o columna lo que estar representado por el texto Dado Qu, En nuestro caso se pregunta: dado que es mujer, segunda columna ( 15 + 20 ) Despus que seleccionamos la fila o columna, definimos un atributo de la columna o fila, en el ejercicio se consulta si la mujer es fumadora (15 fumadoras respecto al total de mujeres)
5.- PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PERMUTACIONES
Una permutacin es un arreglo en orden en particular. Ej. Supongamos que ordenaremos las letras a, b y c , los arreglos o permutaciones de 2 letras que sern ab, ba, ca, ac, cb y bc
n= cantidad de letras r = Tamao de la combinacin
Utilizaremos la siguiente formula Diremos que el factorial de un nmero es la sumatoria multiplicacin de los valores desde uno hasta el factorial que necesitamos calcular.
)!(
!),(
rn
nrnP
6)!23(
!3)2,3(
P
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COMBINACIONES
Para nuestro ejercicio veamos las combinaciones: (a,b)(a,c)(b,c) Para calcularlo utilizaremos la siguiente frmula: En nuestro ejercicio:
(A,B)(A,C)(B,C)
!)!(
!
rrn
n
r
n
32
6
2
2*3
!2)!23(
!3
2
3
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RESUMEN
En el mdulo cuatro se introdujeron elementos de probabilidades en la asignatura, profundizando en probabilidades relativas, conjunta, marginal y condicional. Adems se vieron elementos de conjuntos aplicados a probabilidades, finalmente se estudiaron elementos de permutaciones y combinaciones. Los conceptos citados en ste capitulo estn circunscritos al objetivo general de la asignatura de fortalecer la capacidad de anlisis de los alumnos.
GLOSARIO
Probabilidad
SSii uunn eexxppeerriimmeennttoo qquuee eessttaa ssuujjeettoo aall aazzaarr,, rreessuullttaa ddee nn ffoorrmmaass iigguuaallmmeennttee pprroobbaabblleess yy
mmuuttuuaammeennttee eexxcclluuyyeenntteess,, aaddeemmss ssii ddeeffiinniimmooss eell aattrriibbuuttoo AA yy ddeetteerrmmiinnaammooss llaa
ccaannttiiddaadd ddee vveecceess qquuee ssee pprroodduuzzccaa eell aattrriibbuuttoo AA rreessppeeccttoo aall uunniivveerrssoo,, hhaabbllaarreemmooss ddee
llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee AA rreessppeeccttoo aa nn..
Probabilidad Relativa
DDeeppeennddee ddee llaa rreeppeettiibbiilliiddaadd ddee aallggnn eennssaayyoo
Probabilidad Conjunta
SSee pprroodduuccee ccuuaannddoo ddooss eevveennttooss ttiieenneenn uunn ccoommppoorrttaammiieennttoo ccoonnjjuunnttoo
Probabilidad Marginal
CCoommppoorrttaammiieennttoo ddee uunnaa vvaarriiaabbllee ssiinn ccoonnssiiddeerraarr llaa oottrraa
Probabilidad Condicional
PPeerrmmiittee rreevviissaarr llaa pprroobbaabbiilliiddaadd PP (( AA )) ccuuaannddoo ssee ssaabbee qquuee oottrroo ssuucceessoo BB hhaa ooccuurrrriiddoo..
Permutaciones
SSoonn ccaaddaa uunnaa ddee llaass ppoossiibblleess oorrddeennaacciioonneess ddee ttooddooss llooss eelleemmeennttooss ddee uunn ccoonnjjuunnttoo
Combinaciones
DDaaddaa uunnaa ccoolleecccciinn ddee oobbjjeettooss llllaammaarreemmooss ccoommbbiinnaacciinn aa ccuuaallqquuiieerr ssuubbccoolleecccciinn ddee llaa
ccoolleecccciinn ddaaddaa,, ssiinn qquuee ssee rreeppiittaann llooss eelleemmeennttooss aall iinntteerriioorr ddee llaa ssuubbccoolleecccciinn..
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