estimasi parameter distribusi generalized … · • salah satu metode estimasi parameter dari...
Post on 07-Jun-2019
231 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TESIS –ST 2309
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED EXTREME VALUE (GEV) (Studi kasus : Identifikasi Perubahan Iklim di Jakarta)
www. its.ac.id
ANITA RAHAYU1310 201 003
DOSEN PEMBIMBINGDr. Sutikno, S.Si, M.SiDr. Purhadi, M.Sc
PROGRAM MAGISTERBIDANG KEAHLIAN STATISTIKAJURUSAN STATISTIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA2012
AGENDAAGENDAAGENDAAGENDA
Pendahuluan
Kajian Pustaka dan Dasar Teori
www. its.ac.id
Metode Penelitian
Hasil dan Pembahasan
Kesimpulan dan Saran
PENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUAN
Kehancuran Hutan di Tesso
Nilo, Pelalawan, Riau
(28 September 2011)
www. its.ac.id
Sebuah pulau di Riau akan
tenggelam ditelan air laut
akibat perubahan iklim
(6 Oktober 2007)
Proses pembakaran bahan bakar fosil, kebakaran hutan, dan pembuangan sampah
Atmosfer bumi dipenuhi oleh Gas Rumah Kaca (GRK) yang dihasilkan oleh manusia
Perubahan iklim yang memberikan dampak Perubahan iklim yang memberikan dampak terhadap berbagai segi kehidupan
Dibutuhkan pengetahuan tentang perilaku nilai ekstrem
Extreme Value Theory (EVT)
www. its.ac.id
Perumusan Masalah
1. Bagaimana estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan ProbabilityWeighted Moments (PWM)?
2. Bagaimana menerapkan Extreme Value Theory (EVT) dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta?
Tujuan Penelitian
1. Mengkaji estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan ProbabilityWeighted Moments (PWM)
2. Menerapkan Extreme Value Theory (EVT) dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta
www. its.ac.id
Manfaat Penelitian
Penulis memperoleh pengetahuan akademis dan pengalaman praktis untukmengestimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV)
Bagi pengguna penelitian, hasil penelitian ini dapat digunakan oleh BadanMeteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) dalam rangka mendapatkan metodedan penyediaan informasi iklim ekstrem, Departemen Pertanian dalam rangkamendukung strategi inovasi teknologi dan varietas baru tanaman pangan yangadaptif terhadap iklim ekstrem, Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional
Batasan Masalah
www. its.ac.id
adaptif terhadap iklim ekstrem, Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional(LAPAN), dan instansi lainnya dimana peneliti sering menghadapi extreme value
Metode yang digunakan untuk mengidentifikasi nilai ekstrem adalah Block Maximadengan pendekatan distribusi Generalized Extreme Value (GEV)
Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Probability Weighted Moments (PWM)
KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI
● Extreme Value Theory (EVT)
Peristiwa yang sangat jarang
terjadi dan sering dinyatakan
sebagai outlier
Diabaikan keberadaannya
Memiliki dampak yang besar
Nilai Ekstrem (Extreme Value)
Extreme Value Theory (EVT)
(Lewis, 2004)
• Salah satu metode statistika yang digunakan untuk mempelajari perilakudaerah ekor (tail) dari suatu distribusi untuk dapat menentukanprobabilitas dari nilai-nilai ekstrem.
www. its.ac.id
McNeil (1999) serta Gilli dan Kellezi (2003) menyebutkan bahwa terdapat dua metode
dalam mengidentifikasi pergerakan nilai ekstrem yaitu :
Block Maxima
• mengambil nilai maksimum dalam suatu periode, misalnya periode
mingguan atau bulanan, pengamatan yang nilainya maksimum
dianggap sebagai nilai ekstrem
(Lanjutan Extreme Value Theory)
Peaks Over Threshold (POT)
• mengambil nilai-nilai yang melewati suatu nilai threshold (u),
semua nilai yang melewati nilai threshold (u) dianggap sebagai nilai
ekstrem
www. its.ac.id
● Metode Block Maxima
Data pengamatan dibagi dalam blok-blokpada periode waktu tertentu. Kemudianuntuk setiap blok ditentukan besarnya datapengamatan maksimum dan nilaitersebut adalah nilai ekstrem untuk setiapblok dan digunakan sebagai sampel untukanalisis selanjutnyaanalisis selanjutnya
Pada Gambar 1, sampel yang digunakan dengan metode Block Maxima adalah x1, x2, x3, x4, dan x5
Gambar 1 Ilustrasi Pengambilan Data Sampel
Curah Hujan dengan Metode Block Maxima
www. its.ac.id
(Lanjutan Metode Block Maxima)
Block Maxima dengan pendekatan distribusi GEV mempunyai PDF sebagai berikut.
( ); , ,f x µσ ξ
1 11
11 exp 1 , 0
x xξ ξµ µξ ξ ξ
σ σ σ
− − − − − + − + ≠
1exp exp exp , 0
x xµ µξ
σ σ σ− − − − − =
www. its.ac.id
dengan :
= parameter skala (scale)
= parameter lokasi (location)
= parameter bentuk (shape)
µ
σ
ξ
: Distribusi Gumbel
: Distribusi Frechet
: Distribusi Weibull
0ξ =
0ξ >
0ξ <
● Estimasi Parameter Distribusi GEV
Maximum Likelihood
Estimation (MLE)
• Salah satu metode estimasi parameter dari suatu distribusi dengan memaksimumkan fungsi likelihood
Langkah-Langkah estimasi parameter dengan MLE :
www. its.ac.id
Langkah-Langkah estimasi parameter dengan MLE :1. Mengambil n sampel random
2. Membuat fungsi likelihood
3. Memaksimumkan fungsi likelihood dengan cara membuat ln dari fungsi likelihood
Syarat perlu sehingga diperoleh
Syarat cukup disebut matriks Hessian
memaksimumkan dengan syarat definit negatif
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1
, ,..., , ,..., , ,n
n n i
i
L x x x f x x x f x=
= =∏ɶ ɶ ɶθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ
1 2, ,..., nx x x
( )ln0
L∂=
∂ɶ
ɶɶ
θθθθ
θθθθ
ˆɶθθθθ
( ) ( )2ln
T
LH
∂=
∂ ∂ɶ
ɶɶ ɶ
θθθθθθθθ
θ θθ θθ θθ θ
ˆɶθθθθ ( )L
ɶθθθθ ( )ˆ
ɶΗ θΗ θΗ θΗ θ
(Lanjutan Estimasi Parameter Distribusi GEV)
Probability Weighted
Moments (PWM)
• Metode PWM merupakan modifikasi dari metode “konvensional” momen dan pertama kali dikemukakan oleh Hosking et al., (1984)
Fungsi PWM dari variabel random X dengan CDF F(X) adalah :
www. its.ac.id
Fungsi PWM dari variabel random X dengan CDF F(X) adalah :
Adapun subclass dari persamaan diatas adalah M1,r,s (p = 1, r = 0, 1, 2, ..., s = 0, 1, 2, ...)
M1,r,s dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu s = 0 (M1,r,0) dan r = 0 (M1,0,s)
( )( ) ( )( ), , 1r sp
p r sM E X F X F X = −
( )( )1, ,0
r
rM E X F X = ( )( )1,0, 1
s
sM E X F X = −
( ) ( )( )1, ,0
11 1 1 , 1, 0
1r rM r
r
ξσβ µ ξ ξ ξ
ξ−
= = + − + Γ + < ≠ +
( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ]1, ,0
1
1 2 ...1ˆ ˆ1 2 ...
n
r r jj
j j j rM x
n n n n rβ
=
− − −= =
− − −∑
dengan p, r, s = bilangan real
● Return Level
Menurut Gilli dan Kellezi (2003), return level adalah nilai maksimum yang diharapkan
akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu k dengan periode p. Rumus untuk estimasi
return level adalah :
ˆ kpR
ˆ 1 ˆˆ ln 1 1 , 0ˆ k
ξσ
µ ξξ
− + − − − ≠
1 ˆˆ ˆ ln ln 1 , 0µ σ ξ − − − = ˆˆ ˆ ln ln 1 , 0
kµ σ ξ − − − =
www. its.ac.id
● Curah Hujan
Curah hujan (mm) adalah ketinggian air hujan yang terkumpul dalam tempat yang datar,
tidak menguap, tidak meresap, dan tidak mengalir. Curah hujan 1 milimeter artinya
dalam luasan satu meter persegi pada tempat yang datar tertampung air setinggi satu
millimeter atau tertampung air sebanyak satu liter. Curah hujan dapat diukur dalam
harian, dasarian, bulanan, atau tahunan.
Gambar 2 Pola Curah Hujan di Indonesiawww. its.ac.id
● Iklim Ekstrem
Iklim adalah kondisi rata-rata cuaca dalam waktu yang panjang. Iklim dibumi sangat
dipengaruhi oleh posisi matahari terhadap bumi.
Perubahan iklim adalah perubahan jangka panjang dalam distribusi pola cuaca atau
perubahan variabel iklim khususnya suhu udara dan curah hujan yang terjadi secara
berangsur-angsur dalam jangka waktu yang panjang mulai dasawarsa hingga jutaan tahun,
contohnya jumlah peristiwa cuaca ekstrem yang semakin banyak atau sedikit.
METODE PENELITIANMETODE PENELITIANMETODE PENELITIANMETODE PENELITIAN
Data dan Sumber Data PenelitianData yang digunakan pada penelitian ini data curah hujan dasarian di Stasiun
Jakarta pada periode Januari 1961-Desember 2003. Data tersebut diperoleh dari
Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG).dfdfggfkgnfkfhgjkfngvfujnkfnf
Metode Analisis Data1. Mengkaji estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) dengan :
A. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
a. Mengambil n sampel random x1, x2, ..., xn
b. Memformulasikan fungsi PDF untuk distribusi GEV
c. Membuat fungsi likelihood dari fungsi PDF distribusi GEV
d. Membuat ln dari fungsi likelihood
e. Membuat turunan pertama dari fungsi ln likelihood terhadap masing-masing parameter yang akan diestimasi, kemudian disamakan dengan nol
www. its.ac.id
Apabila hasil yang diperoleh dari turunan pertama fungsi ln likelihood terhadap masing-
masing parameter yang akan diestimasi tidak closed form, maka diperlukan analisis
numerik lebih lanjut untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Pada
penelitian ini analisis numerik yang digunakan adalah iterasi BFGS Quasi Newton
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Membuat matriks Hessian dan
b. Menghitung
c. Menghitung
d. Melakukan iterasi BFGS Quasi Newton dengan rumus
( )( )kgɶθθθθ
( ) ( ) ( ) ( )1k k k kSα+ = +
ɶ ɶθ θθ θθ θθ θ
( ) ( ) ( ) ( )( )argmink k k k
f Sαα α = + ɶ
θθθθ
( ) ( )( ) ( )( ).k k kS H g= −
ɶθθθθ
www. its.ac.id
e. Menghitung perubahan
f. Menghitung perubahan
g. Menghitung
( ) ( ) ( )k k kSα∆ =
ɶθθθθ
( )( ) ( )( ) ( )( )1k k kg g g
+∆ = −ɶ ɶ ɶθ θ θθ θ θθ θ θθ θ θ
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
11
TT k k k k k kT Tk k kk k T
k k
T Tk kTk k k k
H g H gg H gH H
gg g
+
∆ ∆ + ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ = + + − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ
θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θθ θθ θθ θ θ θθ θθ θθ θ
θ θθ θθ θθ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ
Iterasi tersebut dilakukan sampai dengan e adalah bilangan kecil sekali.
Apabila iterasi berhenti akan diperoleh nilai estimasi untuk setiap parameter.
( ) ( )1k ke
+ − ≤ɶ ɶθ θθ θθ θθ θ
B. Probability Weighted Moments (PWM)
a. Memformulasikan fungsi PWM dengan r = 0, 1, 2
b. Memformulasikan estimator unbiased untuk fungsi PWM dengan r = 0, 1, 2
c. Menghitung dari fungsi PWM
d. Hasil persamaan yang diperoleh dari digunakan untuk memperoleh
( )rβ
( )ˆrβ
0 1 2, ,β β β
0β̂ µ̂
e. Menghitung dan dari fungsi PWM sehingga diperoleh dan
f. Hasil persamaan yang diperoleh dari digunakan untuk memperoleh
g. Membuat perbandingan dan
h. Hasil persamaan yang diperoleh dari perbandingan dan
1 02β β− 2 03β β−1 0ˆ ˆ2β β−
2 0ˆ ˆ3β β−
1 0ˆ ˆ2β β− σ̂
2 0ˆ ˆ3β β− 1 0
ˆ ˆ2β β−
2 0ˆ ˆ3β β− 1 0
ˆ ˆ2β β−
2. Menerapkan EVT dalam mengidentifikasi perubahan iklim di Jakarta dengan langkah-
langkah sebagai berikut.
a. Membuat deskripsi data curah hujan dasarian di Stasiun Jakarta pada tahun 1961-2003
b. Melakukan identifikasi adanya ekor distribusi yang gemuk
c. Memisahkan data menjadi dua periode, yaitu periode I (1961-1990) dan
periode II (1991-2003 )
d. Melakukan identifikasi nilai ekstrem menggunakan metode Block Maxima, yaitu
menyusun data curah hujan dasarian berdasarkan blok 3 bulanan untuk setiap periode,
yaitu DJF, MAM, JJA, SON
www. its.ac.id
e. Mengidentifikasi pola sebaran data curah hujan dasarian pada tahun 1961-2003
f. Mengidentifikasi pola sebaran data curah hujan per periode
g. Melakukan estimasi parameter per periode dengan metode MLE dan PWM, serta
membuat confidence interval (1-α) x 100% untuk masing-masing estimasi parameter
yang telah diperoleh dari metode MLE
h. Melakukan uji Likelihood Ratio Test
i. Melakukan uji kesesuaian distribusi
j. Menghitung nilai estimasi return level
HASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASANHASIL DAN PEMBAHASAN
● Estimasi Parameter Distribusi GEV dengan MLE
( ) ( )
111 1 1
1
1 11
1, , 1 exp 1 1 exp 1
n n nni i i i
i ii
x x x xL
ξ
ξ ξ ξµ µ µ µµ σ ξ ξ ξ σ ξ ξ
σ σ σ σ σ
− −− − − −
−
= ==
− − − − = + − + = + − +
∑ ∑∏
1
( )1 1
1
1; , , 1 exp 1 , 0
x xf x
ξ ξµ µµ σ ξ ξ ξ ξ
σ σ σ
− − − − − = + − + ≠
untuk 0ξ ≠
www. its.ac.id
( ) ( )1
1 1
1ln , , ln 1 ln 1 1
n ni i
i i
x xL n
ξµ µµ σ ξ σ ξ ξ
ξ σ σ
−
= =
− − = − − + + − +
∑ ∑
( )1
1 1
1 1
ln , , 1 11 1 0
n ni i
i i
L x x ξµ σ ξ µ µξξ ξ
µ σ σ σ σ
− − −
= =
∂ − − + = + − + = ∂ ∑ ∑
( ) ( )1
1 1
2 21 1
ln , ,1 1 1 0
n ni i i i
i i
L x x x xn ξµσ ξ µ µ µ µξ ξ ξ
σ σ σ σσ σ
− − −
= =
∂ − − − − =− + + + − + = ∂
∑ ∑
( )1
1
2 21 1 1 1 1
ln , , 1 1 1 1ln 1 1 1 1 ln 1 0
1
i
n n n n ni i i i i
i i i i i i
x
L x x x x x
x
ξ
µµ σ ξ µ µ µ µ µ σ
ξ ξ ξ ξµξ σ ξ σ σ σ σ ξξ ξ
ξσ
− −
= = = = =
− ∂ − − − − − = + − + + − + + − = −∂ +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) 1; , exp exp exp , 0
x xf x
µ µµ σ ξ
σ σ σ− − = − − − =
( ) ( )1 11
1, exp exp exp exp exp exp
n n nni i i i
i ii
x x x xL
µ µ µ µµσ σ
σ σ σ σ σ−
= ==
− − − − = − − − = − − −
∑ ∑∏
( ) ( )1 1
ln , ln expn n
i i
i i
x xL n
µ µµ σ σ
σ σ= =
− − = − − − −
∑ ∑
untuk 0ξ =
www. its.ac.id
( )1
ln , 1exp 0
ni
i
L xnµ σ µµ σ σ σ=
∂ − = − − = ∂
∑
( )2 2
1 1
ln ,exp 0
n ni i i
i i
L x x xnµ σ µ µ µσ σ σσ σ= =
∂ − − − =− + + − − = ∂
∑ ∑
Berdasarkan persamaan di atas diketahui bahwa hasil persamaan turunan pertama
dari fungsi ln likelihood terhadap masing-masing parameter adalah
tidak closed form sehingga diperlukan analisis numerik untuk menyelesaikan
persamaan-persamaan tersebut. Pada penelitian ini, analisis numerik yang
digunakan adalah BFGS Quasi Newton
● Estimasi Parameter Distribusi GEV dengan PWM
( )( ) ( )( ), , 1r sp
p r sM E X F X F X = −
dengan p, r, s = bilangan real
( )( ) ( ) ( )( )1, ,0
11 1 1 , 1, 0
1
r
r rM E X F X rr
ξσβ µ ξ ξ ξ
ξ− = = = + − + Γ + < ≠ +
Fungsi PWM dari variabel random X dengan Cumulative Distribution Function F(X) adalah :
Estimator unbiased dari βr adalah :
www. its.ac.id
[ ]( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ]1, ,0
1 11
1 2 ...1 1ˆ ˆ1 2 ...
rn n
r r j jj j
j j j rjM x x
n n n n n n rβ
= ==
− − −− = = = − − − −
∑ ∑∏ℓ
ℓ
ℓ
0ˆ xβ =
( )( ) [ ]1
1
11ˆ1
n
jj
jx
n nβ
=
−=
−∑( )( )( )( ) [ ]2
1
1 21ˆ1 2
n
jj
j jx
n n nβ
=
− −=
− −∑
( ) ( )( ) ( )( )0
11 0 1 1 1 1
0 1
ξσ σβ µ ξ µ ξ
ξ ξ−
= + − + Γ + = + −Γ + +
( )( )0
ˆˆ ˆˆ 1 1ˆ
σβ µ ξ
ξ= + − Γ + ( )( )0
ˆˆ ˆˆ 1 1ˆ
σµ β ξ
ξ= + Γ + −sehingga
( ) ( )( )1
11 2 1
2
ξσβ µ ξ
ξ−
= + − Γ +
( ) ( )( )2
11 3 1
3
ξσβ µ ξ
ξ−
= + − Γ +
( )( )1 02 1 1 2 ξσβ β ξ
ξ−− = Γ + − ( ) ( )2 03 1 1 3 ξσ
β β ξξ
−− = Γ + −
( )( )
2 0
1 0
1 33
2 1 2
ξ
ξ
β ββ β
−
−
−−=
− −2ˆ 7,8590 2,9554c cξ = +sehingga dengan
( )( )
1 0
2 0
ˆ ˆ ln 22
ˆ ˆ ln 33c
β β
β β
−= −
−
www. its.ac.id
( )( )ˆ1 0
ˆˆ ˆ ˆ2 1 1 2ˆ
ξσβ β ξ
ξ−− = Γ + −
( ) ( )( ){ }ˆ
1 0ˆ ˆ ˆ ˆˆ2 1 1 2 ξβ β ξ σ ξ −− = Γ + − sehingga
( )( )( ){ }
1 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ2ˆ
ˆ1 1 2 ξ
β β ξσ
ξ −
−=
Γ + −
● Menerapkan EVT dalam Mengidentifikasi Perubahan Iklim di
Jakarta
Curah Hujan (mm)
Fre
ku
en
si
420360300240180120600
350
300
250
200
150
100
50
0
Gambar 3 Histogram Curah Hujan di Stasiun Jakarta
Ekor distribusi turun
secara lambat
Peluang terjadinya
nilai ekstrem akan
lebih besar
EVT
dengan
Block
Maxima
www. its.ac.id
Banyak Data
Cu
rah
Hu
jan
(m
m)
403020100
400
300
200
100
0
59
1913
00010000000000
41
17
101
77
48
75
103
5
45
102
17
202
73
205
359
41
14
53
13
Dengan metode Block Maxima diperoleh
172 data ekstrem dengan rincian :
120 data ekstrem periode I
52 data ekstrem periode II
Gambar 3 Histogram Curah Hujan di Stasiun Jakarta
Tahun 1961-2003
Gambar 4 Pengambilan Data Sampel Curah Hujan di
Jakarta Tahun 1961 dengan Block Maxima
Parameter
Metode
MLE PWM
Periode I
(1961-1990)
Periode II
(1991-2003)
Periode I
(1961-1990)
Periode II
(1991-2003)
96,39 [84,57; 108,21]95,60 [76,59; 114,61]
96,04 94,62
62,74 [53,99; 71,49]66,43 [52,35; 80,51]
64,17 66,53
0,14 [-0,01; 0,60]0,06 [-0,17; 0,76] -0,12 -0,08
µ̂
σ̂
ξ̂
Uji Likelihood Ratio Test :
H0 : (Data ekstrem curah hujan berdistribusi Gumbel) 0ξ =
Tabel 1 Estimasi Parameter dan Confidence Interval 95% untuk Distribusi GEV
www. its.ac.id
H0 : (Data ekstrem curah hujan berdistribusi Gumbel)
H1 : (Data ekstrem curah hujan tidak berdistribusi Gumbel)
0ξ =
0ξ ≠
Tabel 2 Nilai Statistik Uji dan χ2(1) untuk Likelihood Ratio Test
Periode Statistik uji Nilai tabel χ2(1) Keputusan
I 3,78 3,84 Gagal tolak H0
II 0,37 3,84 Gagal tolak H0
Periode Ulang
Periode I (1961-1990) Periode II (1991-2003)
Waktu
Nilai
Return Level
Waktu
Nilai
Return Level
2 blok = 6 bulanJanuari 1991-Juni 1991
120,01 mmJanuari 2004-Juni 2004
120,23 mm
3 blok = 9 bulanJanuari 1991-September 1991
156,90 mmJanuari 2004-September 2004
157,33 mm
4 blok = 12 bulanJanuari 1991-Desember1991
182,06 mmJanuari 2004-Desember 2004
181,75 mm
5 blok = 15 bulanJanuari 1991-Maret 1992
201,51 mmJanuari 2004-Maret 2005
200,18 mm
Tabel 3 Nilai Return Level (Nilai Estimasi Parameter Menggunakan MLE)
www. its.ac.id
Periode Ulang
Periode I (1961-1990) Periode II (1991-2003)
Waktu
Nilai
Return Level
Waktu
Nilai
Return Level
2 blok = 6 bulanJanuari 1991-Juni 1991
129,50 mmJanuari 2004-Juni 2004
129,31 mm
3 blok = 9 bulanJanuari 1991-September 1991
144,44 mmJanuari 2004-September 2004
144,80 mm
4 blok = 12 bulanJanuari 1991-Desember1991
154,00 mmJanuari 2004-Desember 2004
154,72 mm
5 blok = 15 bulanJanuari 1991-Maret 1992
161,08 mmJanuari 2004-Maret 2005
162,06 mm
Tabel 4 Nilai Return Level (Nilai Estimasi Parameter Menggunakan PWM)
KESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARANKESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Estimasi parameter distribusi Generalized Extreme Value (GEV) dengan Maximum
Likelihood Estimation (MLE) diperoleh persamaan yang tidak closed form
sehingga diselesaikan melalui analisis numerik menggunakan BFGS Quasi
Newton, sedangkan estimasi parameter dengan Probability Weighted Moments
(PWM) diperoleh persamaan yang closed form sehingga diperoleh hasil estimasi
www. its.ac.id
(PWM) diperoleh persamaan yang closed form sehingga diperoleh hasil estimasi
untuk setiap parameter.
Tidak terjadi perubahan iklim di Stasiun Jakarta pada periode Januari 1961-
Desember 2003. Hal ini ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan distribusi
pada periode I (1961-1990) dan periode II (1991-2003) baik untuk estimasi
parameter menggunakan metode MLE maupun PWM, setiap nilai estimasi
parameter termuat dalam confidence interval 95%, dan nilai estimasi return level
antara periode I dan II adalah hampir sama.mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Saran
Untuk mengkaji lebih mendalam Extreme Value Theory (EVT), perlu dibahas lebih
lanjut mengenai confidence interval (1-α) x 100% untuk setiap estimasi parameter
distribusi GEV yang diperoleh dengan metode Probability Weighted Moments (PWM).
Dalam mengidentifikasi perubahan iklim, perlu dilakukan penelitian lebih lanjut
www. its.ac.id
Dalam mengidentifikasi perubahan iklim, perlu dilakukan penelitian lebih lanjut
mengenai intensitas atau frekuensi terjadinya iklim ekstrem.
Untuk penelitian berikutnya, estimasi parameter dapat dilakukan dengan metode lain
selain dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Probability
Weighted Moments (PWM), misalnya dengan metode estimasi Hill.
DAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKADAFTAR PUSTAKA
[1] Diebold, F.X., Schuermann,T. & Stroughair, J.D., 1998, “Pitfalls and Opportunities in the
Use of Extreme Value Theory in Risk Management”, Journal of Risk Finance 1, 30-36.
[2] Gilli & Kellezi, 2003, An Application of Extreme Value Theory for Measuring Risk,
Department of Econometrics, University of Geneva and FAME CH-1211 Geneva 4,
Switzerland.
[3] Hastaryta, R. & Effendie, A.R., 2006, “Estimasi Value-at-Risk dengan Pendekatan Extreme
Value Theory-Generalized Pareto Distribution (Studi Kasus IHSG 1997-2004)”, Jurnal
FMIPA, Yogyakarta : UGM.
[4] Gander, J.P., 2009, “Extreme Value Theory and the Financial Crisis of 2008”, Journal of
Economics 3, 1-41.
[5] Georgescu, V., 2009, “Measuring Risk with Extreme Value Theory”, Thesis CASE (Center
of Applied Statistics and Economics), Humboldt University.of Applied Statistics and Economics), Humboldt University.
[6] Gourier, E., Farkas, W. & Abbate, D., 2009, “Operational Risk Quantification using
Extreme Value Theory and Copulas: from Theory to Practice”, Journal of Operational
Risk 4 3, 3-26.
[7] Alves, M.L.F. & Gomes, M.L., 1996, “Statistical Choice of Extreme Value Domains of
Attraction - A Comparative Analysis”, Communication in Statistics-Theory and Method
25, 789-811.
[8] Deane, J.H.B., Johnstone, G.G. & Ledford, A.W., 1997, “Extreme Value Theory Applied to
Multichannel Communication Systems”, Journal of Telecommunication 33, 832-833.
[9] Kang, J., Hamilton, B.A. & McLean., 2000, “GIG Network and Application System
Performance Analysis Using Extreme Value Theory”, Journal of Telecommunication,
Virginia.
[10] Kalyani, S. & Giridhar, K., 2006, “Extreme Value Theory based Decision Directed OFDM
Channel Tracking”, Journal of Telecommunication and Computer Networks 6, 2893-
2898. www. its.ac.id
[11] Hosking, J.R.M., Wood, E.F. & Wallis, J.R., 1984, “Estimation of the Generalized
Extreme Value Distribution by the Method of Probability Weighted Moments”,
Technometrics 27, 251-261.
[12] Coles, S., Heffernan, J. & Tawn, J., 1999, “Dependence Measures for Extreme Value
Analysis”, Pakistan Journal of Applied Sciences 2, 339-365.
[13] Arshad, M., Rasool, M.T. & Ahmad, I., 2002, “Rainfall Intensity Estimates by Generalized
Pareto Distribution”, Pakistan Journal of Applied Sciences 2, 774-776.
[14] Katz, R.W., Parlange, M.B. & Naveau, P., 2002, “Statistics of Extremes in Hydrology”,
Advances in Water Resources 25, 1287–1304.
[15] Klein, T.A.M.G. & Können, G.P., 2003, “Trends in Indices of Daily Temperature and
Precipitation Extremes in Europe 1946–1999”, Journal of Climate, 16, 3665–3680.
[16] Li,Y., Cai, W. & Campbell, E.P., 2005, “Statistical Modelling of Extreme Rainfall in
Southwest Australia”, Journal of Climate 18, 852-863.
[17] Gilleland, E. & Katz, RW., 2006, “Analyzing Seasonal to Interannual Extreme Weather
and Climate Variability with the Extremes Toolkit (extRemes), Based on theand Climate Variability with the Extremes Toolkit (extRemes), Based on the
Recommendation of the 18th Conference on Climate Variability and Change, 86th
American Meteorological Society (AMS) Annual Meeting, Atlanta, Georgia, 29
January–2 February 2006.
[18] Prang, J.D., 2006, Sebaran Nilai Ekstrem Terampat dalam Fenomena Curah Hujan, Tesis
Jurusan Statistika, IPB, Bogor.
[19] Diebolt, J., Guillou, A. & Naveau, P., 2008, “Improving Probability-Weighted Moment
Methods for the Generalized Extreme Value Distribution”, Statistical Journal 6, 33-
50.
[20] Giles, D.E., Feng, H. & Godwin, R.T., 2011, “Bias-Corrected Maximum Likelihood
Estimation of the Parameters of the Generalized Pareto Distribution”, Econometrics
Working Paper 35, 200-207.
[21] McNeil, A. J., 1999, Extreme Value Theory for Risk Managers, Department Mathematic
ETH, Zentrum, Zurich.mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
www. its.ac.id
TERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIHTERIMA KASIH
www. its.ac.id
top related