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Estructuras Discretas
Unidad 3
Teoría de números
Contenido1. Divisibilidad,
• Números primos
• Teorema fundamental de la aritmética.
2. Algoritmo de la división• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo,
• Algoritmo de Euclides.
3. Congruencias.
4. Aplicaciones: criptografía (Diffie-Hellman, RSA), generación de números pseudo-aleatorios.
Introducción
• La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa de los números enteros.
• Nace con los problemas de la divisibilidad de números naturales, siendo los griegos los primeros que llegan a obtener proposiciones generales de la misma, especialmente en los libros VII y IX de Euclides.
• Gauss se le considera como el creador de esta.
Divisibilidad
• Definición:
• Si a ≠ 0, b son enteros, se dice que a divide a b si existe un entero c tal que ac=b (o a|b , o diremos que b es múltiplo de a).
• a es divisor de b, a divide a b, a es factor de b.
• Si a no divide a b, se escribe: a | b
• Ejemplo:
• 20 = 4 .
5 , es decir, 4 | 20. También, -4|20 así 20=(-
4)(-5).
bcaquetalZcba |
• La relación de divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero no es simétrica ni antisimétrica.
Teorema
Zkkbaba ,||.1
baabba ||.2
cacbba |||.3
Znmcbanbamcbcac ,,,,),(|||.4
.||},0{.5 kbkabaZk
||||10|.6 babba
Demostración
1. Existe u Z tal que au=b. Entonces, a(uk)=bk y así a|bk.
2. Observe que por definición, ni a≠0 ni b≠0 si a|b y b|a. Existen enteros, u, u’ con au=b y bu’=a. Así auu’=bu’=a, y asi uu’=1. De esto, u, u’ son enteros, entonces u= 1, u’= 1. Por lo tanto, a= b.
3. Existen enteros u, v con au=b, bv=c. Por lo tanto auv=c, y así a|c.
4. Existen enteros s, t con sc=a, tc=b. Entonces am+nb=c(sm+tn), dando c|(am+bn).
5. Existe un entero u con au=b. Entonces (ak)u=kb, y así a|b entonces ka|kb. Ya que k≠ 0 anulamos las k’s y por lo tanto (ak)u=kb entonces au=b entonces a|b, probando lo contrario.
6. Ya que b≠0 existe un entero u≠0 con au=b. Así |u|≥ 1 y entonces |a|.1 ≤|a|.|u|=|au|=|b|.|a|≥1
Números primos
• Definición
• Un número entero p Z se dice que es primo si y sólo si p ≠0, 1 y sus únicos divisores son el 1 y p.
• Un número entero es compuesto si no es primo.
• Si p es primo entonces –p es primo.
• Para determinar si un entero positivo n es compuesto, es suficiente con probar si alguno de los enteros
• 2,3,…, n-1
• Dividen a n. Si algún entero en esta lista divide a n, entonces n es compuesto; de lo contrario es primo.
• Ejemplo: Por inspección, se encuentra que ningún elemento de la lista2,3,4,5,…, 41, 42
• Divide a 43; entonces 43 es primo. Para 451, se encuentra que 11 divide a 451 (451=11*41), así 451 es compuesto.
• Para determinar si un entero n >1 es primo, se verifican los divisores potenciales:
2,3,…, n-1
• En realidad es suficiente con verificar:
2,3,…, (n-1)1/2
Teorema fundamental de la aritmética
• Supongamos que existe un algoritmo que obtiene los factores primos de un numero compuesto:
• Ejemplo: 1274
1274= 2*637
637=7*91
91=7*13
• Entonces 1274 = 2*7*7*13= 2*72*13
• De hecho, los factores primos son únicos. Este resultado se conoce como teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única.
Teorema fundamental de la aritmética
• Todo número entero distinto de +1,-1 y 0 admite una descomposición única como producto de números primos positivos, es decir:
Ejercicio
• Encuentre la descomposición prima de:• 9, 47, 209, 637
• 30, 105, 82320
• 950796, 2311, 1007
• ¿Cuales son primos?
Máximo común divisor
• El máximo común divisor de dos enteros m y n (≠ 0) es el entero positivo más grande que divide a los dos: m y n.
• Ejemplo:
• Máximo común divisor de: 4 y 6 es 2.
• Máximo común divisor de: 3 y 8 es 1.
Máximo común divisor
Definición
• Sean m y n enteros distintos de cero. Un divisor común de m y n es un entero que divide tanto a m como a n. El máximo común divisor, escrito mcd(m,n)
• Es el divisor común de m y n más grande.
• Ejemplo: • Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
• Divisores de 105: 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, 105
• Divisores comunes de 30 y 105: 1, 3, 5, 15
• Entonces mcd(30, 105)=15
• Ejemplo:
• Utilizando sus factorizaciones primas:
• 30= 2*3*5
• 105=3*5*7
• De esto observamos que 3 es un divisor común y 5 también es un divisor común y además 3*5=15 es un divisor común. Entonces 15 es el máximo común divisor de 30 y 105.
Teorema 8
• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con factorizaciones primas:
• y
• Si el primo pi no es un factor de m o de n, ai=0 o bi=0 respectivamente. Entonces
•
na
n
aapppm ...21
21
nb
n
bbpppn ...21
21
),(),(
2
),(
1 ...),( 2211 nn bamín
n
bamínbamínpppnmmcd
• Ejemplo:
• 82320=24*31*51*73*110
• 950796=22*32*50*74*111
Entonces
• mcd(82320,950796)=2min(4,2)*3min(1,2)*5min(
1,0)*7min(3,4)*11min(0,1)
• mcd(82320,950796)=22*31*50*73*110
=4116
Ejercicio
• Encuentre:
• mcd(0,17)
• mcd(110,273)
• mcd(20, 40)
• Mcd(331,993)
Algoritmo de Euclides
• Si dividimos el entero no negativo a entre el entero positivo b, obtenemos un cociente q y un residuo r que satisface:
a=bq+r, 0 ≤ r< b, q ≥ 0
• Ejemplo:
• a=22, b=7, q=3, r=1; 22=7*3+1
• a=24, b=8, q=3, r=0; 24=8*3+0
Teorema 9• Si a es un entero no negativo, b es un entero positivo
y
a=bq+r, 0 ≤ r< b,
Entonces
mcd(a,b)=mcd(b,r)
• Dem: Sea c un divisor común de a y b. Entonces c|bq. Como c|a y c|bq, entonces c|a-bq(=r). Así, c es un divisor común de b y r.
• Recíprocamente: si c es un divisor común de b y r, entonces c | bq y c|bq+r(=a) y c es un divisor común de a y b. Esto implica que
mcd(a,b)=mcd(b,r)
• Ejemplo: Si dividimos 105 entre 30, obtenemos:
• 105=30*3+15
• Por el teorema 9:
• mcd(105,30)=mcd(30,15)
• Si dividimos 30 entre 15, obtenemos
• 30= 15*2+0
• El residuo es 0. Por el teorema anterior:
Mcd(30,15)=mcd(15,0)
• Por inspección, mcd(15,0)=15. Por tanto,
• mcd(105,30)=mcd(30,15)=mcd(15,0)=15
• Este cálculo lo ilustra el algoritmo de Euclides
Ejercicios
• Determine enteros q y r tales que a=bq+r, con 0≤r<b
• a=45, b=6
• a=106, b=12
• a=66, b=11
• a=106, b=12
Algoritmo de Euclides• Algoritmo que determina el mcd de los enteros no negativos a y
b, no nulos.
• Entrada: a ≠0 y b ≠0
• Salida: mcd(a,b)
Ejercicio
• Utilice el algoritmo de Euclides para determinar el mcd de cada par de números
• 60, 90
• 220, 1400
• 2091, 4807
• 110, 273
Mínimo común múltiplo
• Definición
• Sean m y n enteros positivos. Un multiplo común de m y n es un entero que es divisible tanto entre m como entre n,
mcm(m,n)
• es el múltiplo común positivo más pequeño de m y n.
• Ejemplo:
• Mcm(30,105)=210
• Porque 210 es divisible entre los dos (30 y 105) y ningún entero positivo menor que 210 es divisible por ambos, 30 y 105.
Mínimo común múltiplo
Utilizando factorizaciones primas
• Ejemplo:
• 30=2*3*5
• 105=3*5*7
• La factorización prima de mcm(30,105) debe contener a 2, 3 y 5 como factores (para que 30 divida a mcm(30,105)). También debe contener a 3, 5 y 7 (para que 105 divida a mcm(30,105)).
• El número más pequeño con esta propiedad es:
2*3*5*7=210
• Por lo que, mcm(30,105)=210
Mínimo común múltiplo
Teorema 10
• Sean m y n enteros, m >1, n>1, con factorizaciones primas
• Y
• (Si el primo pi no es un factor de m, se deja ai=0. Igual para n). Entonces
na
n
aapppm ...21
21
nb
n
bbpppn ...21
21
),(),(
2
),(
1 ...),( 2211 nn bamáx
n
bamáxbamáxpppnmmcm
Mínimo común múltiplo
• Ejemplo
• 82320=24*31*51*73*110
• 950796=22*32*50*74*111
Entonces
• mcm(82320,950796)=2máx(4,2)*3máx(1,2)*5má
x(1,0)*7máx(3,4)*11máx(0,1)
• mcm(82320,950796)=24*32*51*74*111
=19015920
Mínimo común múltiplo
• Ejemplo:
• mcd(30,105)=15
• mcm(30,105)=210
• mcd(30,105)*mcm(30,105)=15*210=3150=30*105
Teorema 11
• Para cualesquiera enteros positivos m y n,
mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn
• Dem:
• Si m=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=n, así:
• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*n=mn
• Si n=1, entonces mcd(m,n)=1 y mcm(m,n)=m, así:• mcd(m,n)*mcm(m,n)=1*m=mn
• Si m > 1 y n >1• Combinando los teoremas anteriores de mcd y mcm, con el hecho de
que:
• mín(x,y) + máx(x,y)=x + y para toda x y y.
• Esto es verdadero porque uno de {mín(x,y), máx(x,y)} es igual a x y el otro a y.
• Se escriben las factorizaciones primas de m y n como
• (si el primo pi no es un factor de mi, se hace ai=0. Si el primo pi no es un factor de n, se hace bi=0). Por el teorema 9
• Y por el teorema 10
• Por lo tanto,
na
n
aapppm ...21
21nb
n
bbpppn ...21
21
),(),(
2
),(
1 ...),( 2211 nn bamáx
n
bamáxbamáxpppnmmcm
),(),(
2
),(
1 ...),( 2211 nn bamín
n
bamínbamínpppnmmcd
mnpppp
pp
pp
ppp
ppp
nn
nn
nnnn
nn
nn
b
n
ba
n
a
ba
n
ba
bamáxbamín
n
bamáxbamín
bamáx
n
bamáxbamáx
bamín
n
bamínbamín
]...][...[
...
...
]...[
]...[n)mcm(m,*n)mcd(m,
11
11
1111
2211
2211
11
1
),(),(),(),(
1
),(),(
2
),(
1
),(),(
2
),(
1
Ejercicios
• Determinar el mcm de cada par de números
• 60, 90
• 220, 1400
• 2091, 4807
• 110, 273
• Para cada ejercicio verifique que mcd(m,n)*mcm(m,n)=mn
Teorema 12: El algoritmo de la división
• Teorema:
• Si a, b son enteros con b>0 entonces existen q, r enteros únicos, con a=qb+r, 0≤r<b
• Donde q es el cociente y r el residuo
Congruencia
• Definición
• Sea n un entero positivo, n>1. Para a,benteros, se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe a b(mod n), si
• n|(a-b) o a=b+kn, k un entero.
• Ejemplo:
• 17 2(mod 5), 5|(17-2), 17=2+3*5, k=3
• -7 -49(mod 6), 6|(-7+49)
• A es congruente con b módulo m,
(a b), si m|a-b
• Ejemplo:
• 25 32,
• 32=4+7*4
• 25=4+7*3
• 32-25=7*(4-3)
m
7
• Ejemplo
• 17 -28
• -28=2+3*(-10)
• 17=2+3*5
• -28-17=3*(-10-5)
• Obtenemos que 32-25 es múltiplo de 7 y -28-17 es múltiplo de 3, al coincidir los valores de los restos, 4 y 2 respectivamente
3
• Teorema
• Sean a,b enteros, m>0: a b a mod m = b mod m.
• Demostración
m
• Demostración
• Dados a, b, m enteros m>0 existen c,r,c’,r’ únicos tales que
a=cm+r, 0≤r<m (1)
b=c’m+r’, 0≤r’<m
• Demostramos
• a b m|(a-b) m|(r-r’) [a-b=(c-c’)m+(r-r’)]
r-r’=0 [0 ≤ |r-r’|<m por (1)]
r=r’ a mod m = b mod m
m
• a mod m = b mod m r=r’ a-b=m(c-c’)
a b
• Dado un número entero n, sumándole y restándole reiteradamente m obtenemos las sucesiones de los números congruentes con n módulo m.
m
• Ejemplo
• Sucesiones de los números congruentes con 7 módulo 5:
7, 12, 17, 22, 27, 32,… 2, -3, -8, -13, -18
• Sucesiones de números congruentes con 10 módulo 3:
10, 13, 16, 19, 22, … 7, 4, 1, -2, -5, -8 …
• Teorema
• Dado un entero m>0: a b existe un entero k tal que a = b+km
• Demostración
• a b m|a-b existe un entero k tal que a-b=km a=b+km
• Existe un entero k tal que a=b+kmkm=a-b m|a-b a b.
m
m
m
• Por el teorema anterior, dado un número entero m>0, Z queda dividido en m clases de congruencia de Z modulo m, que representamos por
y se definen:
• Clase de los números congruentes con 0=0 es {…, -2m, -m, 0, m, 2m,…}
1,,...1,0 m
• Clase de los números congruentes con 1=1 es{…, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1,…}
• Clase de los números congruentes con 2=2 es{…, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2,…}
• Clase de los números congruentes con m-1=m-1 es{…, -2m+(m-1), -m+(m-1), m-1, m+(m-1), 2m+(m-1),…}
• Fijando un m, todo núm entero pertenece a una y sólo una clase de congruencia módulo m.
i={…, -2m+i, -m+i, i, m+i, 2m+i,…}
• Dado un m>0, al conjunto de clases de congruencia de Z módulo m lo designamos Z(m)={ }1,,...1,0 m
Ejemplo
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