estudo dos poliedros. poliedros poliedros (poli = muitos; edros = faces) são sólidos delimitados...
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Estudo dos Poliedros
PoliedrosPoliedros (poli =
muitos; edros = faces) são sólidos
delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as
denominadas faces. Os segmentos de reta que
limitam as faces designam-se por
arestas e os pontos de encontro destas por
vértices.
Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe os sólidos representados abaixo.
A
B C
D
E F
Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço.
Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.
Poliedro convexo e poliedro côncavo
Observe agora o sólido representado abaixo.
M NPQ
O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes.Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.
Classificação dos poliedros Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo
com o numero n de suas faces (F).
octaedro8icosaedro20heptaedro7dodecaedro12hexaedro6decaedro10pentaedro5eneaedro9tetraedro4
PoliedroFPoliedroF
Veja alguns desses poliedros
Hexaedro (P1)Octaedro (P2)
Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)
Relação de Euler Existe uma relação muito importante entre o
número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo.
15710P4
1699P3
1286P2
1268P1
AFVPoliedro
V + F – A = 2
Poliedros regulares
Poliedro regular é todo poliedro em que:
Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si;
De cada vértice, parte o mesmo número de arestas.
Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.
Poliedros de Platão
Todas as faces são formadas por polígonos com o mesmo número de lados.
Em cada um dos vértices, concorre o mesmo número de arestas.
Somente cinco.
Tetraedro
Faces constituídas por triângulos equiláteros
Número de Faces: 4 Número de Arestas:
6 Número de Vértices 4
Hexaedro (Cubo)
Faces constituídas por quadradosNúmero de faces: 6Número de vértices: 8Número de arestas: 12
Octaedro
Faces constituídas por triângulosNúmero de faces: 8Número de vértices: 6Número de arestas:12
Dodecaedro
Poliedro regular com
faces formadas por pentágonos
Número de Faces: 12 Número de
Arestas:30 Número de Vértices: 20
Icosaedro
Poliedro regular com faces formadas por faces triangulares.Número de faces: 20Número de arestas: 30Número de vértices: 12
O prisma e suas formas
O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.
Definição Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de faces
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
bases (polígonos congruentes).
faces laterais (paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de arestas
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
Elementos principais do prisma
h
AB C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
Nomenclatura dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrilátero
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal
Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado, também, pela
posição das arestas laterais em relação ao plano da base.
Dizemos que ele é:
prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases;
prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.
Classificação dos prismas
Prisma triangular reto
Prisma Pentagonal
oblíquo
hh
Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e aBase é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
Prisma quadrangulares
Prismas quadrangulares Todo prisma cujas bases são paralelogramos é
chamado paralelepípedo.
Paralelepípedo
Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo
retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
Estudo do cubo
Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das arestasa
aa
a
aa
Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas
d
Dd → diagonal da face
D → diagonal do cubo
Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
aa
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
aa
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de
aresta a, obtemos a figura.
aa
a
a
a
a
a
AT = 6a2
O cubo como unidade de volume
V = a3
a a
a a
Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3.
Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.
Estudo do Paralelepípedo retângulo
Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
ac
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
ba
Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a,
b e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2
Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um
paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.
ac
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitárioV = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por
V = a.b.c
Observação Podemos interpretar o volume de um
paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir.
V = abc
V = AB.h
ab
c
A = ab
= (ab)c = (área da base) . (altura relativa)
Estudo geral do prisma
Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos;
A
B
C
Áreas no prisma No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
3
5
64
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
Princípio de Cavalieri
Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um
mesmo plano , se
Todos têm a mesma altura; Todo plano paralelo a e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
Princípio de Cavalieri A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.
Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = AB.h
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