et formelt språk

Et formelt språk

er en mengde av strenger over et endelig alfabet Eksempler:

Alfabet Språk En streng i språket

Norske ord Norsk Gutten spiser en pølse, …

Engelske ord Engelsk The boy eats a sausage,

Norske bokstaver Norske ord pølse

Latinske bokstaver Engelske ord sausage

Norske ord: mengde av strenger

{a,b,c, …, z,æ,ø,å}*

grønn blåen et egg gutt pølse spiser

drikker melk saftsjokolade pølsespiser sover drømmer tenkte våkner

melkedrikker

Norske ord

Ymer palse slajk trovt gridda pøz åg tag æg dejlig

utomordentlig yxi

øøøøø

øøø

øø

ø

Operasjoner på språkNavn Symbol Eksempel

Union

{aa,ab,bb} {cc, d} =

{aa,ab,bb, cc, d}

Produkt

{aa,ab,bb}{cc, d} =

{aacc, aad, abcc, abd, bbcc,bbd}

Kleene-stjerne {cc, d}* =

{, cc, d, cccc, ccd, dcc, dd,

cccccc, ccccd, ccdcc, ccdd,

dcccc, dccd, ddcc, ddd,

cccccccc, ccccccd, ccccdcc, … }

A* er en uendelig union:

• A* = {} A AA AAA AAAA …

• {a,b}* = {,

a, b,

aa, ab, ba, bb,

aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb,

………. }

Et regulært uttrykk

• brukes til å definere et språk• betyr et språk• er bygget opp fra , og symboler i alfabetet ved

hjelp av operatorene +, · og * samt parenteser.

Operator-presedens: * over · over +:

R · S* + T* = R · (S*) + (T*) = (R · (S*)) + (T*)

Betydning

L(R) er språket som R betegner:

• L(a) = {a}

• L() =

• L() = {}

• L(R + S) = L(R) L(S)

• L(R · S) = L(R) L(S)

• L(R*) = L(R)*

EksempelUttrykk Betegner

a {a}

b {b}

{}

ab {ab}

a + {a, }

(ab) · (a + ) {aba, ab}

((ab) · (a + ))* {, aba, ab, abaaba, abaab, ababa, abab, abaabaaba, … }

RS = R·S

R(ST) = (RS)T

Noen regneregler R(S+T) = RS + RT

R = R

(S+T)R = SR + TR

R*R = RR*

+ RR* = R*

(mange flere side 638)

+ (aa + ab*ba) (ab*a)*

+ (a (a + b*ba) (ab*a)*

+ (a (a + b*ba) (ab*a)*

+ (a ( + b*b)a) (ab*a)*

+ (a ( + bb*)a) (ab*a)*

+ (ab*a) (ab*a)*

(ab*a)*

Et regulært språk

er (pr. definisjon) et språk som kan defineres ved et regulært uttrykk

Deterministisk endelig automat (DFA)(over språk A)

Består av

- en ikke-tom, endelig mengde Q av tilstander

- hvor nøyaktig en er utpekt som start-tilstand

- og null eller flere er utpekt som slutt-tilstander

- samt en transisjons-funksjon fra Q A til Q

Eksempel A = {a,b}

Q = {q0, q1, q2, q3},

q0 er start-tilstand,

q3 er slutt-tilstand,

transisjons-funksjonen er gitt ved tabellen

a b

q0 q1 q2

q1 q3 q1

q2 q2 q3

q3 q3 q3

Eksempel A = {a,b}

Q = {q0, q1, q2, q3},

q0 er start-tilstand,

q3 er slutt-tilstand,

transisjons-funksjonen er gitt ved tabellen

a b

q0 q1 q0

q1 q1 q2

q2 q1 q3

q3 q1 q0

Automat aksepterer streng:

• En (deterministisk) endelig automat aksepterer en streng hvis vi kan komme fra start-tilstanden til en slutt-tilstand ved å følge strengen.

Automat aksepterer språk:• En (deterministisk) endelig automat

aksepterer et språk hvis den aksepterer alle strenger i språket, og ingen strenger utenfor språket.

Deterministiske endelige automater vs.

Regulære uttrykk (RE)

• Gir oss det samme!

• Altså: Et språk er regulært hviss det fines en deterministisk endelig automat som aksepterer det.

Bevises oftest ved hjelp av ikke-deterministiske endelige automater

Ikke-deterministisk endelig automat(NFA)

DFA NFA

Er spesialtilfelle av

RE

Kan gjøres om til

Kan gjøres om til Kan gjøres om til

To definisjoner av DFA

To litt ulike krav er i omløp med hensyn til hva som skal til for at en NFA teller som en DFA.

For det første skal det ikke finnes -transisjoner. Alle er enige om det. Læreboken vår krever dessuten at det for hver a i alfabetet skal gå nøyaktig en a-transisjon ut fra hver tilstand, mens andre bøker/forfattere bare sier at det

skal gå høyst en a-transisjon ut fra hver tilstand.

Den alternative definisjonen er altså svakere/snillere:

Den slipper flere maskiner gjennom nåløyet.

Som for eksempel følgende.

Man kan imidlertid alltid med et enkelt grep omforme en slik maskin til en DFA i vår strengere forstand. Dette gjøres ved å innføre en ny tilstand som tar imot alle de manglende transisjonene. Denne tilstanden er ikke-endelig, og har dessuten transisjoner til seg selv for alle symboler i alfabetet. På engelsk omtaler man gjerne denne tilstanden som a sink. Altså avløp/kloakk:

Applikasjonen JFLAP benytter denne svakere definisjonen.

Fordelen ved dette, er at tegninger av DFAer oftest blir enklere og mer oversiktlige. Et vanlig kompromiss er å tillate alle (tegninger av) DFAer som følger det snilleste kravet, men underforstått tolke disse slik at det i tillegg finnes et usynlig avløp.