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excercise The classical theory of Fields

平成 16 年 4 月 16 日

okazaki junichiro

i

目 次1 相対性原理 1

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 相対論的力学 4

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 場のなかの電荷 14

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 場の方程式 21

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 不変な場 22

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 電磁波 27

6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ii

6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 光の伝播 35

7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 運動している電荷の場 42

8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 電磁波の放射 46

9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

iii

9.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10 重力場の中の粒子 79

10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 重力場の方程式 84

11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12 物体の重力場 93

12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9712.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9812.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

iv

12.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10812.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10912.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

13 重力波 111

13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11413.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14 相対論的宇宙論 117

14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12114.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

v

1 相対性原理1.1

Lorentz変換

A0 =A′0 +

V

cA′1

√1− V 2

c2

，A1 =A′1 +

V

cA′0

√1− V 2

c2

，A2 = A′2，A3 = A′3

における対称な４元テンソル Aik の成分の変換則を求めよ．

1

1. 相対性原理

1.2

Lorentz変換

A0 =A′0 +

V

cA′1

√1− V 2

c2

，A1 =A′1 +

V

cA′0

√1− V 2

c2

，A2 = A′2，A3 = A′3

における半対称な４元テンソル Aik の成分の変換則を求めよ．

2

1.3.

1.3

相対論的な等加速度運動，すなわち，(与えられた各瞬間における)固有基準系において一定の大きさの加速度 wをもつような直線運動を決定せよ．

3

2. 相対論的力学

2 相対論的力学2.1

速度 V で運動している粒子が，走っている途中に２個の粒子に崩壊する．飛散する粒子の飛び出す角度とそれらのエネルギーとの間の関係を求めよ．

4

2.2.

2.2

L系1における崩壊粒子のエネルギー分布を見出せ．

1実験室系

5

2. 相対論的力学

2.3

崩壊によって２個の同じ粒子が生ずる場合に，２個の崩壊粒子の間の角度 (飛散角)が L系において取り得る値の範囲を決めよ．

6

2.4.

2.4

質量が 0に等しい崩壊粒子について，L系における角分布を見出せ．

7

2. 相対論的力学

2.5

２個の質量 0の粒子に崩壊する場合に，L系における飛散角の分布を見出せ．

8

2.6.

2.6

静止している質量M の粒子が３個の粒子m1，m2，m3 に崩壊する場合に，そのうち１個の崩壊粒子が持ち去ることのできるエネルギーの最大値を求めよ．

9

2. 相対論的力学

2.7

相対論的な“速度空間”における“線要素”を求めよ．

10

2.8.

2.8

衝突してくる粒子の運動量 p1 及び衝突後の両粒子の運動量 p′1，p′

2 という３つのベクトルによって作られる 3角形を ABCとする．p′

1及び p′2のすべての可能な値に対応する点 Cの軌跡を

求めよ．

11

2. 相対論的力学

2.9

２個の粒子の質量が等しい場合に，衝突後の粒子の飛散角の最小値 Θmin を求めよ．

12

2.10.

2.10

物体 (粒子の系)が速度 V で運動している基準系Kにおけるその物体の角運動量M とそれが全体として静止している基準系K0 における角運動量M (0) との間の関係を求めよ．ただし，どちらの場合にも，角運動量は，同一の点，すなわちK0における物体の重心に対して定義するものとする．2

2K0 系 (そこでは Σp = 0) では，角運動量はどの点に関してそれを定義するかに依存しないが，K 系 (Σp 6= 0) ではどの点をどこに選ぶかによることに注意しよう．

13

3. 場のなかの電荷

3 場のなかの電荷3.1

粒子の加速度を，その速度，及び電場と磁場の強さによって表せ．

14

3.2.

3.2

相対論的力学における，不変な電磁場の中の粒子のトラジェクトリーに対する変分原理 (モーペルチュイの原理)を与えよ．

15

3. 場のなかの電荷

3.3

一様な不変の磁場の中に置かれた荷電空間振動子の振動数を求めよ．個の振動子の固有振動数(場のない時の振動数)を ω0 とする．

16

3.4.

3.4

互いに平行な一様な電場と磁場の中の電荷の相対論的な運動を求めよ．

17

3. 場のなかの電荷

3.5

大きさが等しく互いに垂直方向の電場と磁場の中の電荷の相対論的な運動を求めよ．3

3互いに垂直だが大きさが等しくない場 E 及び B の中の運動は，適当な座標変換によって，電場だけ，あるいは磁場だけの中の運動の問題に帰着される．

18

3.6.

3.6

準一様で不変な磁場の中で荷電粒子が非相対論的な運動をする時，その案内中心の移動速度を求めよ．

19

3. 場のなかの電荷

3.7

電場と磁場が平行になる様な基準系の速度を求めよ．

20

4 場の方程式4.1

S = −∑ ∫

mcds−∑ ∫

e

cAkdxk − 1

16πc

∫FikF ikdΩから，最小作用の原理によってMaxwell

の方程式をすべて導き出せ．

21

5. 不変な場

5 不変な場5.1

一様な速度 V で運動している 2つの電荷の間の相互作用の力を (K 系で)求めよ．

22

5.2.

5.2

反発力のクーロン場を通過する電荷の散乱角を決定せよ．

23

5. 不変な場

5.3

クーロン場による粒子の散乱において，小さな角度に対する有効散乱断面積を求めよ．

24

5.4.

5.4

一様に帯電した楕円体の，その中心に関する４重極子モーメントを求めよ．

25

5. 不変な場

5.5

2つの電荷の系に対する磁気的及び力学的モーメントの間の関係を求めよ (速度 v ¿ c)．

26

6 電磁波6.1

入射する平面波を (反射率 Rで)反射する壁の受ける力を求めよ．

27

6. 電磁波

6.2

ハミルトン=ヤコビの方法によって，平面波の場の中の電荷の運動を求めよ．

28

6.3.

6.3

偏光の楕円の軸の方向と大きさを複素振幅E0 で表せ．

29

6. 電磁波

6.4

直線偏光した単色平面波の場の中の電荷の運動を求めよ．

30

6.5.

6.5

円偏光した波の場の中の電荷の運動を求めよ．

31

6. 電磁波

6.6

任意の部分偏光した光を，“自然光”及び“偏光”した光の部分とに分解せよ．

32

6.7.

6.7

任意の部分偏光した波を，2つの非干渉性の楕円偏光波の重ね合わせとして表せ．

33

6. 電磁波

6.8

y, z軸を角 ϕだけ回転した時のストークス・パラメタの変換則を求めよ．

34

7 光の伝播7.1

光軸の一致する 2つの軸対称な光学系による結像の焦点距離を求めよ．

35

7. 光の伝播

7.2

荷電粒子に対する“磁気レンズ”―長さ lの範囲に存在する縦方向の一様な磁場4―の焦点距離を求めよ．

4両端近くの歪みを無視すれば，長いソレノイドの内部の場をそのような磁気レンズと考えることができる

36

7.3.

7.3

平行な光のビームが隔壁から距離 lの点で持つ最小の幅の大きさを求めよ．

37

7. 光の伝播

7.4

光線が火面に接する点の近傍での，光の強度の分布を決定せよ．

38

7.5.

7.5

不透明なスクリーンにあけた，縁の平行な無限に長いスリット (幅 2a)に垂直に平面波が入射したときのフラウンホーファー回折を求めよ．

39

7. 光の伝播

7.6

格子，すなわち，一連の互いに同一の平行なスリットを持つ平面状のスクリーンによる回折を求めよ．ただし，スリットの幅を 2a，隣りあったスリットの間の不透明なスクリーンの幅を 2b，スリットの数をN とする．

40

7.7.

7.7

半径 aの円形の開口に垂直に入射する光が回折される時の強度の方向分布を求めよ．

41

8. 運動している電荷の場

8 運動している電荷の場8.1

φ =∫

ρt−R/c

RdV + φ0

A =1c

∫jt−R/c

RdV + A0

を積分し，リエナール・ヴィーヒェルトのポテンシャルを導け．

42

8.2.

8.2

一様な直線運動をしている電荷の場を平面波に展開せよ．

43

8. 運動している電荷の場

8.3

相互作用している粒子の系の慣性中心を (2次の項まで正しく)決定せよ．

44

8.4.

8.4

系の全体としての運動は省略して，2つの粒子に対する 2次近似ハミルトニアンを求めよ．

45

9. 電磁波の放射

9 電磁波の放射9.1

与えられた軌道を運動する電荷による放射の４元運動量のスペクトル分解に対する４次元的表式を求めよ．

46

9.2.

9.2

一平面内を一定の角速度 Ωで回転している双極子 dによる放射を求めよ．5

5これに関連するのは，回転体及び対称なコマの双極子モーメントによって定められる放射である．前者では，回転体の全双極子モーメントが d の役割をし，後者ではその歳差運動の軸 (すなわち回転の全モーメントの方向)に垂直な平面への双極モーメントの射影が d の役割を演ずる．

47

9. 電磁波の放射

9.3

電荷の系が全体として静止しているような基準系で，それからの放射の角度分布がわかっているとした時，系が全体として (速度 vで)運動している時の分布を求めよ．

48

9.4.

9.4

速度 vで運動する荷電粒子の放出に伴う全放射のスペクトル分解を求めよ．

49

9. 電磁波の放射

9.5

2つの引力を及ぼしあう粒子が楕円運動をする際の放射の平均全強度を計算せよ．

50

9.6.

9.6

2つの荷電粒子の衝突による全放射∆E を計算せよ．

51

9. 電磁波の放射

9.7

粒子のビームが反発力のクーロン場によって散乱される際の全有効放射を求めよ．

52

9.8.

9.8

１つの電荷が他の電荷の近くを通過する時放出される全放射の角分布を計算せよ．ただし，その速度が非常に大きく (光速度にくらべればまだ小さいけれども)，したがって，直線

運動からのずれを小さいとみなすことができる．

53

9. 電磁波の放射

9.9

荷電粒子のビームがそれと同種の粒子によって散乱される時の全有効放射を計算せよ．

54

9.10.

9.10

定常的な有限運動を行って放射している粒子系に働く反跳力を求めよ．

55

9. 電磁波の放射

9.11

近距離における４重極放射および磁気双極放射の場を計算せよ．

56

9.12.

9.12

電磁場の双極子放射における電荷の系の角運動量の減衰速度を求めよ．

57

9. 電磁波の放射

9.13

電荷 e1 をもつ相対論的粒子が，固定中心のクーロン場 (ポテンシャル φ = e2/r)を衝突径数 ρ

でもって通過する際の全放射を求めよ．

58

9.14.

9.14

運動する粒子の放射強度がゼロとなる方向を求めよ．

59

9. 電磁波の放射

9.15

円偏光している平面波の電磁波中で定常運動している荷電粒子の放射強度を求めよ．

60

9.16.

9.16

直線偏光している平面波の電磁波中で定常運動している荷電粒子の放射強度を求めよ．

61

9. 電磁波の放射

9.17

一定かつ一様な磁場の中で円軌道上を運動しており，放射によってエネルギーを失う粒子に対して，エネルギーの時間的変化の法則を見出せ．

62

9.18.

9.18

光速度に近くない速度で円運動する粒子について，nの大きな値の放射のスペクトル分布に対する漸近式を求めよ．

63

9. 電磁波の放射

9.19

磁気制動放射の偏光性を求めよ．

64

9.20.

9.20

楕円運動を (光速度にくらべて小さい速度で)している，2つの引力を及ぼしあう電荷が，放射によってエネルギーを失い，互いに相手に向かって“落ち込む”までの時間を求めよ．

65

9. 電磁波の放射

9.21

2つの同じ荷電粒子からなる系のラグランジアンを４次の項までの精度で求めよ．6

6３次の項はラグランジアンから自動的に脱落する：粒子によってつくられる場における対応する次数の項は，双極モーメントの時間導函数で決められるが，双極モーメントはこの場合保存される．

66

9.22.

9.22

磁気双極子 mのつくる場の中を通過した後に粒子が持つことができる極限のエネルギーの計算をせよ．ただし，ベクトル mと運動の方向とは同一平面にある．

67

9. 電磁波の放射

9.23

相対論的な場合における減衰力の 3次元的な表式を書け．

68

9.24.

9.24

条件 eFa À mc2 の場合における (全ての方向にわたる)全放射のスペクトル分布を決定せよ．

69

9. 電磁波の放射

9.25

条件 eFa ¿ mc2 の場合における (全ての方向にわたる)全放射のスペクトル分布を決定せよ．

70

9.26.

9.26

楕円偏光した波の自由電荷による散乱の有効断面積を定めよ．

71

9. 電磁波の放射

9.27

弾性力の作用をもとに小さな振動を行う電荷 (振動子)による直線偏光波の散乱に対する有効断面積を求めよ．

72

9.28.

9.28

力学的には回転体であるような電気的双極子による光の散乱の全有効断面積を求めよ．波の振動数 ωは，回転体の自由回転の振動数 Ω0 にくらべて大きいと仮定する．

73

9. 電磁波の放射

9.29

自由な電荷によって，偏っていない光が散乱される時の消偏度を求めよ．

74

9.30.

9.30

運動している電荷によって散乱された光の振動数 ω′ を決定せよ．

75

9. 電磁波の放射

9.31

速度 vで波の伝播方向に運動する電荷から散乱される直線偏光の角分布を求めよ．

76

9.32.

9.32

波が電荷によって散乱される時，散乱された波が及ぼす平均の力の作用を受けてその電荷が行う運動を計算せよ．

77

9. 電磁波の放射

9.33

振動子による直線偏光の有効散乱断面積を，放射減衰を考慮にいれて計算せよ．

78

10 重力場の中の粒子10.1

最小作用の原理 δS = −mcδ

∫ds = 0 から，運動方程式 d2xi

ds2+ Γi

kl

dxk

ds

dxl

ds= 0 を導け．

79

10. 重力場の中の粒子

10.2

不変な重力場のなかの粒子に働く力を求めよ．

80

10.3.

10.3

不変な重力場における光の伝播に対するフェルマーの原理を導け．

81

10. 重力場の中の粒子

10.4

回転座標系における空間距離の要素を求めよ．

82

10.5.

10.5

与えられた重力場の中のMaxwell方程式を，３元ベクトル E，D 及び反対称テンソル Bαβ とHαβ を定義

Eα = F0α，Bαβ = Fαβ

Dα = −√g00F0α，Hαβ =

√g00F

αβ

に従って導入して，3次元形式 (計量 γαβ をもつ 3次元空間における)に書き直せ．

83

11. 重力場の方程式

11 重力場の方程式11.1

無限に近い測地世界線を運動する 2つの粒子の相対 4元加速度を求めよ．

84

11.2.

11.2

3次元空間の 4階の曲率テンソル Pαβγδ を 2階のテンソル Pαβ によって表せ．

85

11. 重力場の方程式

11.3

テンソル gik が対角形であるような計量に対するテンソル Riklm 及び Rik の成分を計算せよ．

86

11.4.

11.4

2階対称テンソルの正準形への変換の可能な型への分類を考察せよ．

87

11. 重力場の方程式

11.5

空間座標に関する全ての微分演算を，計量

γαβ = −gαβ +g0αg0β

g00

をもつ空間における共変微分として表し，不変な重力場に対する方程式を書け．

88

11.6.

11.6

T ik =

∑

l

q(l),i

∂Λ

∂q(l),k

− δki Λ を使って，物質プラス重力場の全 4元運動量に対する表式を見出せ．

89

11. 重力場の方程式

11.7

真空中の重力場の方程式の解の，時間について特異点でない，正則な点の近傍での展開形を求めよ．

90

11.8.

11.8

同期化された基準系で曲率テンソル Riklm の成分を計算せよ．

91

11. 重力場の方程式

11.9

同期化された基準系どうしの間の無限小変換の一般的な形を見出せ．

92

12 物体の重力場12.1

全体として等角速度で回転している，重力を及ぼすことのできる一様な液体の塊のつり合いの形を求めよ．

93

12. 物体の重力場

12.2

シュバルツシルト計量

ds2 =(1− rg

r

)c2dt2 − r2(sin2 θdϕ2 + dθ2)− dr2

1− rg

r

に対する曲率テンソルの不変量を求めよ．

94

12.3.

12.3

シュバルツシルト計量

ds2 =(1− rg

r

)c2dt2 − r2(sin2 θdϕ2 + dθ2)− dr2

1− rg

r

に対し，空間的曲率を定めよ．

95

12. 物体の重力場

12.4

真空中の中心対称な重力場の中の原点を通る“平面”の上の幾何学と同じ幾何学が，その上で成り立つような回転曲面を決定せよ．

96

12.5.

12.5

世界間隔ds2 =

(1− rg

r

)c2dt2 − r2(sin2 θdϕ2 + dθ2)− dr2

1− rg

r

を座標変換して，空間的な長さの要素 dlがユークリッド表示に比例するようにせよ．

97

12. 物体の重力場

12.6

物質中の中心対称な重力場の方程式を，共動基準系で求めよ．

98

12.7.

12.7

静止している軸対称な物体のまわりの真空中の静重力場を定める方程式を求めよ．

99

12. 物体の重力場

12.8

ブラックホールの場の中の粒子に対して円軌道の半径を求めよ．

100

12.9.

12.9

ブラックホールの場の中の運動で，無限大からくる粒子の重力捕獲の断面積を，以下の場合について求めよ．

1. 非相対論的な粒子

2. 超相対論的な粒子

101

12. 物体の重力場

12.10

一様な塵状の球の重力崩壊における内部問題の解を求めよ．ただし，物質は初め静止していたとする．

102

12.11.

12.11

カー場の中で運動する粒子に対するハミルトン=ヤコビ方程式の変数分離を行え．

103

12. 物体の重力場

12.12

極限のカー場 (a −→ rg/2)の赤道面上で運動する粒子の安定な円軌道で，最も中心に近いものの半径を求めよ．

104

12.13.

12.13

回転がゆっくりであるという条件 (角運動量 M ¿ cmrg)があれば，場の中心対称な部分が弱いということを要求しなくても，

h(2)0α =

2k

c3Mαβ

∂

∂xβ

1r

= −2k

c3Mαβ

nβ

r2

が回転している球状物体の外部空間のどこでも有効であることを示せ．

105

12. 物体の重力場

12.14

中心物体の中で運動する粒子の軌道の，中心物体が回転することによって生ずる系統的な (永年)移動を求めよ．

106

12.15.

12.15

重力場作用函数の Newton近似を求めよ．

107

12. 物体の重力場

12.16

重力を及ぼす物体の系の慣性中心の座標を第 2近似まで求めよ．

108

12.17.

12.17

2個の等しい質量を持つ重力を及ぼす物体の軌道の近日点の永年移動を求めよ．

109

12. 物体の重力場

12.18

自分の軸の周りに回転している中心物体がつくる重力場の中で球状のコマが軌道運動をする時，その歳差運動の振動数を求めよ．

110

13 重力波13.1

弱い平面重力波における曲率テンソルを求めよ．

111

13. 重力波

13.2

真空中の場に対する Einstein方程式の厳密解に，

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 + f(t− x, y, z)(dt− dx)2

という形の計量になるための条件を求めよ．

112

13.3.

13.3

Newtonの法則に従って相互作用する 2個の物体は，(その慣性中心のまわりの)円軌道上を運動する．重力波の強度の (回転周期にわたる)平均と，その偏りと方向についての分布を求めよ．

113

13. 重力波

13.4

楕円軌道を運動する 2つの物体系が重力波の形で放射するエネルギーの (回転周期についての)平均を求めよ．

114

13.5.

13.5

定常運動をして，重力波を放出する物体系の角運動量の損失の (時間について)平均した速さを求めよ．

115

13. 重力波

13.6

楕円軌道を運動する 2つの物体について，単位時間当たりの角運動量の平均損失を求めよ．

116

14 相対論的宇宙論14.1

線要素dl2 =

dr2

1− r2

a2

+ r2(sin2 dϕ2 + dθ2)

を，ユークリッド的な表現に比例するように変換せよ．(ユークリッド共形座標)

117

14. 相対論的宇宙論

14.2

特異点の近傍では空間の膨張が“準一様に”進行する．言い換えると，全ての成分 γαβ = gαβ

(同期化された基準系で)が同一の法則に従ってゼロに向かう．そこでの計量に対する一般的な形を求めよ．空間は，状態方程式 p =

ε

3をもつ物質で満たされている．

118

14.3.

14.3

ギャラクシーの見かけの明るさを赤方偏移の函数として展開したときの，初めの 2つの項を求めよ．ギャラクシーの絶対的な明るさは，時間とともに指数函数的に変化する：Iabs = const.eαt

119

14. 相対論的宇宙論

14.4

与えられた半径の“球”の内部にあるギャラクシーの数を球の境界における赤方偏移の函数とみなして展開した時，初めの方の項を見出せ．ギャラクシーの空間分布は一様と仮定する．

120

14.5.

14.5

行列 λβα が 1つの実数の主値 (p3)と 2つの複素数の主値 (p1，2 = p′ ± ip′′)をもつ場合に対応す

る γαβ =2tλδ

αγδβ の解を求めよ．

121

14. 相対論的宇宙論

14.6

行列 λβα の 2つの主値 (p2 = p3)が一致する場合に対応する γαβ =

2tλδ

αγδβ の解を求めよ．

122

14.7.

14.7

特異点 t = 0の近傍で，計量

ds2 = dt2 − t2p1dx2 − t2p2dy2 − t2p3dz2

をもつ空間に一様に分布した物質の密度が時間とともにどのように変化をするかを求めよ．

123