exercicios resolvidos de limites e derivadas
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-
Celton Ribeiro BarbosaProf. Gislan Silveira Santos
Apostila de Exerccios Resolvidos deClculo
Instituto Federal de Educao Cincia e Tecnologia daBahia
Programa de Educao Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
-
2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan SilveiraSantos & Instituto Federal de Educao Cincia e
Tecnologia da Bahia.Programa de Educao Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
Qualquer parte desta publicao pode serreproduzida, desde que citada a fonte.
Dados Internacionais de Catalogao na Publicao(CIP) Cmara Brasileira do Livro, BA, Brasil
Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.Apostila de Exerccios Resolvidos de Clculo. / Cel-ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. Vitria da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-cao Cincia e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.
Bibliografia.ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Matemtica. 2. Clculo 1.
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 2
-
SUMRIO
1 Limites e Continuidade 2
2 Derivadas 22
1
-
CAPTULO 1
LIMITES E CONTINUIDADE
1. O ponto P (2, ln2) pertencente curva y = lnx.
(a) Se Q o ponto (x, lnx), use sua calculadora para determinar o coefi-ciente angular da reta secante PQ, com preciso de seis casas decimais,para os seguintes valores de x:
(i) 1,5(ii) 1,9(iii) 1,99(iv) 1,999
(v) 2,5(vi) 2,1(vii) 2,01(viii) 2,001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinao da retatangente curva no ponto P (2, ln2).
(c) Use a inclinao obtida na parte (b) para achar uma equao da retatangente curva em P (2, ln2).
(d) Faa uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-gente.
Resoluo:
(a) A equao da reta dada por:
(y y0)=m(xx0)onde m - coeficiente angular da reta.
(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.
2
-
Limites e Continuidade
y0 = ln2 e x0 = 2
m = y ln2x2 =
lnx ln2x2 =
ln(x/2)
x2(i) x = 1,5
m = ln(1,5/2)1,52 = 0,575364
(ii) x = 1,9m = ln(1,9/2)
1,92 = 0,512933
Os demais itens ficam a cargo do leitor.
x m1,5 0,5753641,9 0,512933
1,99 0,5012541,999 0,500125
2,5 0,4462872,1 0,487902
2,01 0,4987542,001 0,499875
(b) Os valores se aproximo de 0,5.
(c)y ln2= 0,5(x2)y = 0,5x+ ln21
2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem atravs das suaspropriedades.
(a)limt0
[1+ 1|t |
1
|t |
]Resoluo:
|t | ={
t , se t > 0t , se t < 0
Para t > 0:
limt0
[1+ 1
t
1
t
]
1+ 1
t+
1
t1+ 1
t+
1
t
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 3
-
Limites e Continuidade
= limt0
1+ 1t 1t
1+ 1t+
1
t
= limt0
11+ 1
t+
1
t
= 0
Para t < 0:
limt0
[1+ 1t
1
t
]
1+ 1t +
1
t1+ 1t +
1
t
= limt0
1+ 1t 1
t1+ 1t +
1
t
= limt0
11+ 1t +
1
t
= 0
Como os limites laterais so iguais a resposta 0.
(b)(1/px)1
1xResoluo:
limx1
1pxpx
1x = limx1(1px)
(1x)px 1+px1+px
limx1
(1x)(1x)px(1+px) = limx1
1px(1+px) =
1p1(1+p1) =
1
2
3. Esboce os grficos da funo abaixo e , use-o para determinar os valoresde a para os quais lim
xa f (x) exista:
(a) f (x)=
1+x , se x
-
Limites e Continuidade
Resoluo:
Figura 1.1: Grfico de f(x)
4. Prove que o limx0
|x|x
no existe.
Dicas:
Os limite s existe se os limites laterais forem iguais.
|x| ={
x , se x > 0x , se x < 0
5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partcula com velocidade v
m = m0p1 v2/c2
, em que m0 a massa da partcula em repouso e c, a
velocidade da luz. O que acontece se v c?
Resoluo
limxc
m0p1 v2/c2
= m0p11 =
6. Considere a funo f definida por:
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 5
-
Limites e Continuidade
f (x)={
0 , se x racional1 , se x irracional
Para todo a R, limxa f (x) no existe. Por qu?
Resoluo:
Suponha que a Q, ento f (a)= 0, logo limxa f (x)= 0
Por outro lado, a 3Q, ento f (a)= 0, logo limxa f (x)= 1
Como a R , ento 3 limxa f (x), pois os limites laterais dessa funo so
diferentes.
7. Calcule, se possvel, os seguintes limites:
(g) limx0
px+1p1x
3x
(l) limx1
x31x21
(o) limt9
9 t3pt
(t) limx2
x4168x3
(w) limx7
2px3x249
Resoluo:(a)
limx0
px+1p1x
3xpx+1+p1xpx+1+p1x
limx0
(x+1) (1x)3x(
px+1+p1x)
limx0
2x
3x(px+1+p1x) =
2
3(px+1+p1x)
limx0
px+1p1x
3x= 2
3 (1+1) =2
6= 1
3
(b)
limx1
x31x21 = limx1
(x1)(x2+x+1)(x1)(x+1)
limx1
x2+x+1x+1 =
12+1+11+1 =
3
2
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 6
-
Limites e Continuidade
(c)
limt9
9 t3pt
3+pt3+pt
limt9
(9 t )(3+pt )9 t = 3+
p9= 6
(d)
limx2
x4168x3 = limx2
(x2+4)(x24)(x2)(x22x4)
limx2
(x2+4)(x+2)(x2)(x2)(x22x4)
limx2
(x2+4)(x+2)(x22x4) =
8
3
(e)
limx7
2px3x249
2+px32+px3
limx7
4x+3(x+7)(x7)(2+px3) =
(x7)(x+7)(x7)(2+px3)
limx7=
1(x+7)(2+px3) =
1
56
8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
(a) limxa
pxpapx2a2
com a > 0
(b) limxa
pxpa+pxap
x2a2com a > 0
(c) limx0
(p1+x2+x
)m (p1+x2x)mx
Resoluo
(a)
limxa
pxpapx2a2
= limxa
pxpap
(xa)(x+a)pxpap
xapx+a px+papx+pa
xapxa px+a (px+pa)
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 7
-
Limites e Continuidade
pxap
x+a (px+pa) =0
2pa p2a = 0
(b)
limxa
pxpa+pxap
x2a2
limxa
pxpa+pxapxapx+a
limxa
pxpap
xa px+a + limxapxap
xa px+a
limxa
1px+a =
1p2a
(c)
limx0
(p1+x2+x
)m (p1+x2x)mx
m = 1
limx0
(p1+x2+x
)(p
1+x2x)
x= 2
m = 2
limx0
(p1+x2+x
)2 (p1+x2x)m2
= limx0
2 6 x(2p
1+x2)6 x = 4
.
.
.
Resolvendo mais limites para outros valores de m possvel observar oseguinte padro: 2m
9. Mostre que o limx0x
2 cos(20pix)= 0.
1 cos(2pix) 1x2 x2 cos(2pix) x2
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 8
-
Limites e Continuidade
Pelo teorema do confronto:
limx0x
2 = 0, limx0x
2 = 0
limx0x
2 cos(2pix)= 0
10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, limx+(
px+1px).
Resoluo:
limx+(
px+1px) (
px+1+pxpx+1+px = limx+
1px+1+px
px+1>px px+1+px > 2px
limx+
1px+1+px 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.i. lim
x0+h(x) ii. lim
x0h(x) iii. limx0h(x) iv. limx2h(x)v. lim
x2+h(x)
vi. limx2h(x)
(b) Esboce o grfico da funo h.
Dica:
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 11
-
Limites e Continuidade
Figura 1.5: Grfico da funo h(x).
15. Determine os limites.
(a) limx4
x5(x4)2
Resoluo:
limx4
x5 (Esse termo tende a -1)(x4)2 (Esse termo tende a 0)
y = (x4)2limy0
1y=
(b) limx0
cos(x)
x sen (x)Resoluo:
limx0
cos(x) (Esse termo tende a 1)
x sen (x) (Esse termo tende a 0 )
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 12
-
Limites e Continuidade
y = x sen xlimy0
1
y=
16. Calcule os limites:
(a) limx+
1+2+3+ . . .+xx2
(b) limx+
12+22+ . . .+x2x3
Sugesto: Para (a)x
k=1k = x(x+1)
2e para (b)
xk=1
k2 = x(x+1)(2x+1)6
.
Resoluo:
(a) limx+
xk=1
k
x2
limx+
x(x+1)2x2
limx+
1+ 1x2
(b) limx+
xk=1
k2
x3
limx+
x(x+1)(2x+1)6x3
limx+
2x3+3x2+x6x3
limx+
2+ 3x + 3x26
= 13
17. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) limx+
3px3+2x1px2+x+1
Resoluo:
limx+
3x3(1+ 1
x2 1
x2)
x2(1+ 1x + 1x2 )
limx+
1+ 1
x2 1
x2(1+ 1x + 1x2 )
= 1
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 13
-
Limites e Continuidade
(b) limx+
px4+2x3
Resoluo:
limx+
x6( 1
x2+ 2
x6)
x3
limx+
x3
( 1x2+ 2
x6)
x3= 0
(c) limx
x9+1x9+x6+x4+1
limx
x9(1+ 1x9
)
x9(1+ 1x3+ 1
x5+ 1
x9)= 1
18. Numa cidade, uma determinada notcia foi propagada de tal maneira queo nmero de pessoas que tomaram conhecimento dado por:
N (t )1768
1+33e10tem que t representa o nmero de dias aps ocorrer a notcia. Pergunta-se:
(a) Quantas pessoas souberam a notcia de imediato?
(b) Determine limtN (t ) e explique o seu resultado.
Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)
19. Um tanque contm 5000 litros de gua pura. gua salgada contendo 30 gde sal por litro de gua bombeada para dentro do tanque a uma taxa de25l/min.
(a) Mostre que a concentrao de sal depois de t minutos (gramas porlitro)
C (t )= 30t200+ t
(b) O que acontece com a concentrao quando tResoluo:
(a)30 g6l 25t 6 l
(5000+25t )l =750t
5000+25t =30t
200+ t
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 14
-
Limites e Continuidade
(b) limt
30t
200= 30 6 t
( 200t +1) 6 t= lim
t30
( 200t +1)= 30g/l
onde t o tempo.
20. Encontre as assntonas horizontal e vertical e esboce o grfico da seguintefuno:
(a) f (x)= x2
x21 =x2
(x+1)(x1)Resoluo:
Tire o limite da funo f (x) tendendo as razes para encontrar as assn-tonas verticais :
limx1
x2
x21 =x2
(x+1)(x1) = limx11
1 1x2=
limx1
x2
x21 = limx11
1 1x2=
Tire o limite da funo f (x) tendendo a infinito para encontrar as assn-tonas horizontais:
limx
x2
x21 = limx1
1 1x2= 1
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 15
-
Limites e Continuidade
Figura 1.6: Grfico da funo f (x).
21. Investigue a continuidade da funo seguinte:
(a) f (x)={ x|x| , x 6= 01,x = 0
Resoluo:
|x| ={
x,x 0x,x < 0
limx0
x
|x|limx0+
x
x= 1
limx0
x
x =1A funo descontnua, pois os limites laterais so diferentes.
22. O potencial de uma distribuio de carga num ponto do eixo dos x
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 16
-
Limites e Continuidade
dado por:
(x)=
2pi
(px2+a2x
), se x 0
2pi(p
x2+a2+x)
, se x < 0com a > 0 e > 0. contnua em 0? Justifique.
Resoluo:
limx0+
2pi(x2+a2x)= 2pia
limx0+
2pi(x2+a2+x)= 2pia
Como os limites laterais so iguais a funo contnua em 0;
23. Dizemos que uma funo f contnua em um ponto a se, e somente se,
limh0
f (a+h)= f (a)
Use esse fato para demonstrar que as funes sen (x) e cos(x) so cont-nuas.
Resoluo:
limx0 sen (x+a)= sen a
24. Calcule:
(a) limx0
sen 3x
xResoluo:
limx0
3 sen 3x
3xu = 3x
limu0
3 sen u
u= 3
25. Calcular o valor de limx0
tanx+xx
limx0
sen x
cosx+x
x= lim
x0sen x
x cosx+1
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 17
-
Limites e Continuidade
limx0
sen x
x limx0
1
cosx+1
limx0
tanx+xx
= 2
26. Determine: limx0
1cos2 x1cosx
Resoluo:
limx0
1cos2 x1cosx
1+cosx1+cosx
limx0
(1cos2 x)(1+cosx)(1cos2 x)
limx0 1+cosx = 2
27. Sabendo que limx0
sen x
x= 1, calcule lim
xpi4
cosx sen xcos2x
Resoluo:
cos2x = cos(x+x)= cosx cosx sen x sen x
cos2x = cos2 x sen 2x
limxpi4
cosx sen xcos2 x sen 2x = limxpi4
cosx sen x(cosx sen x)(cosx+ sen x)
limxpi4
1
cosx+ sen x =p
2
2
28. Calcule os limites:
(a) limx0
sen 3x
2x
(b) limx0
1cosxx
(c) limx0
p1+ sen xp1 sen x
x
Resoluo:
(a) limx0
sen 3x
2x
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 18
-
Limites e Continuidade
u = 3x x = u3
limu0
sen u2u3
3
2limu0
sen u
u= 3
2
(b) limx0
1cosxx
limx0
1cosxx
1+cosx1+cosx = limx0
1cos2 xx(1+cosx)
sen 2x+cos2 x = 1 sen 2x = 1cos2 x
limx0
sen x
x limx0 sen x limx0
1
1+cosx = 1 0 1
2= 0
(c) limx0
p1+ sen xp1 sen x
x
limx0
p1+ sen xp1 sen x
xp
1+ sen x+p1 sen xp1+ sen x+p1 sen x
limx0
1+ sen x (1 sen x)x(p
1+ sen x+p1 sen x)
limx0
2 sen x
x(p
1+ sen x+p1 sen x)2 lim
x0sen x
x limx0
1
x(p
1+ sen x+p1 sen x) = 2 1 1
2= 1
29. Calcule os limites:
(a) limx
(1 3
x
)x(b) lim
x
(1 4
x
)5x(c) lim
x
(x+1x1
)x(d) lim
x
(x+5x
)2x+3
Resoluo:
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 19
-
Limites e Continuidade
(a) limx
(1 3
x
)xLimite fundamental: lim
x
(1+ 1
x
)x= e
1 3x= 1+ 1
y 3
x= 1y
x =3y
limy
(1+ 1
y
)3y=(
limy
(1+ 1
y
)y)3limx
(1 3
x
)x= 1e3
(b) limx
(1 4
x
)5x
1 4x= 1+ 1
y 4
x= 1y
x =4y
limx
(1 44y
)20y=(
limy
(1+ 1
y
)y)20= e20
(c) limx
(x+1x1
)x
x+1x1 = 1+
1
y
6 x+1=6 x1+ x1y
2y = x1x = 2y +1( 6 2y+ 6 2
6 2y)2y+1
=
(y +1y
)2y+1=
(1+ 1
y
)2y(1+ 1
y
)
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 20
-
Limites e Continuidade
(limy
(1+ 1
y
)y)2 limy
(1+ 1
y
)y= e2
(d) limx
(x+5x
)2x+3
x+5x
= 1+ 1y
6 x+5=6 x+ xy
5y = x( 6 5y+ 6 56 5y
)10y+3=(1+ 1
y
)10y+3limx
(1+ 1
y
)10y+3=(
limx
(1+ 1
y
)y)10(
limx
(1+ 1
y
))3= e10
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 21
-
CAPTULO 2
DERIVADAS
1. Ache uma equao da reta tangente curva y = 2x2+3 que paralela reta 8x y +3= 0.
Resoluo:8x y +3= 0y = 8x+3
y = 2x2+3y = 4x = 8x = 2
y(2)= 11
y 11 = 8(x2)y 11 = 8x16
y = 8x5
2. Usando a definio, determine a funo primeira derivada e as derivadasnos pontos indicados:
f (x)= x21, f (0) e f (1)
22
-
Derivadas
Resoluo:
limh0
(h+x)21x2+1h
= limh0
6 h2+2 6 hx+ 6 x2 6 1 6 x2+ 6 16 h
= limh0
h+2x = 2x
f (0)= 0 ; f (1)= 2
3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura(em metros) deposis de t segundos dada por y = 10t 4,9t2. Encontrea velocidade quando t = 2.Resoluo:
y(t )= 10t 4.9t2v(t )= y (t )
v(t )= limh0
10(h+ t )4,9(h+ t )210t +4,9t2h
v(t )= limh0
10h+10t 4,9(h2+2ht + t2)10t +4,9t2h
v(t )= limh0
6 h(104,9h9,8t )6 h = 109,8t
v(2)=9,6m/s
4. Determine se existir ou no f (0).
f (x)= x2 sen
1
x, se x 6= 0
0 , se x = 0
Resoluo:
f (0)= limx0
f (x) f (0)x0 = limx0x sen (1/x)= 0
Logo o limite existe.
5. Seja f (x)= 3px.(a) Se a 6= 0, usando a definio de derivada no ponto, encontre f (a).(b) Mostre que f (0) no existe.(c) Mostre que y = 3px tem uma reta tangente vertical em (0,0).
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 23
-
Derivadas
Resoluo:
(a)
f (a) = limh0
f (a+h) f (a)h
= limh0
3p
(a+h) 3pah
= limh0
3p
(a+h) 3pah
3
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2
3
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2
= limh0
3
(a+h)3 3pa3
h( 3
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2)
= limh0
6 a+ 6 h 6 a6 h( 3
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2)
= limh0
13
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3pa2
= limh0
13pa2+ 3
pa2+ 3
pa2= 1
33pa2
(b) f (0)= 1/0, que indeterminao.(c) A funo contnua em x = 0 e a f (0) = +. Por isso, existe a retatangente vertical nesse ponto.
6. Mostre que a funo f (x)= |x6|no diferenciavel em 6. Encontre umafrmula para f e esboce seu grfico.
Resoluo:
Lembre-se:
|x| ={x , x > 0x , x < 0
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 24
-
Derivadas
Para x > 6f (a)= lim
h0h+ 6 a 6 6 6 a+ 6 6
h= 1
Para x < 6f (a)= lim
h0h 6 a+ 6 6+ 6 a 6 6
h=1
Os limites laterais so diferentes, logo no existe derivada no ponto 6.
f (x)={ 1 , x < 6
1 , x > 6
Figura 2.1: Grfico da funo f (x).
7. Em que ponto da curva y = x2+8 a inclinao da tangente 16? Escrevaa equao dessa reta tangente.
Resoluo:
f (a)= 16 f (x)= x2+8
limh0
(h+a)2+8a28h
= limh0
6 h2+2 6 ha+ 6 a2+ 6 8 6 a2 6 86 h
= limh0
h+2a = 2a
f (a)= 2a = 16, a = 8, y = 82+8= 72
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 25
-
Derivadas
Ponto (8,72)
Encontrando a reta tangente:
y 72= 16(x8)y = 16x56
8. Se f (x)= 2x2x3, encontre f (x), f (x), f (x) e f (4). Trace f , f , f e f em uma nica tela. Os grficos so consistentes com as interpretaesgeomtricas destas derivadas?
Resoluo:
f (x) = 4x3x2f (x) = 46xf (x) = 6f (4) = 0
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 26
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Derivadas
Figura 2.2: Grfico das funes f (x), f (x), f (x), f (x).
9. Lembre-se de que uma funo f [e chamada par se f (x) = f (x) paratodo x em seu domnio e, mpar se f (x)= f (x) para cada um destes x.Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma funo par uma funo mpar.(b) A derivada de uma funo mpar uma funo par.
Resoluo:
(a) Escolhendo a funo cos(x) :
limh0
cos(h+x)cosxh
limh0
cosh cosx sen x sen hcosxh
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 27
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Derivadas
limh0
cosx(cosh1)h
limh0
sen x sen h
h sen x Uma funo mpar
(b) Escolhendo a funo sen (x) :
limh0
sen (h+x) sen xh
limh0
sen h cosx+ sen x cosh sen xh
limh0
cosxsen h
h+ lim
h0sen x
(cosh1)h
cosx uma funo par
10. Encontre a derivada de cada uma das funes.
(a) f (x) = 32x+2x( 5
px3) 2p
x
(b) f (x) = t33tt55t (t
22t )
(c) f (x) = x2 sen (x) ln(x)cos(x)
Resoluo:
(a) f (x)= 32x+2x( 5
px3) 2p
x
f (x)= 32x1+2x x3/52x1/2
f (x)= 32x1+2x8/52x1/2
f (x)= 32x2+ 16
5x x3/5+x3/2 = 3
2x2+ 16
55px3+ 1
3px2
(b) f (x)= t33tt55t (t
22t )
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 28
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Derivadas
Utilizando a regra do quociente:
f (t )= (t55t )(5t48t39t2+12t ) (t52t43t3+6t2)(5t45)
(t55t )2
f (t )= 2t8+6t718t620t5+30t4+30t330t2
(t55t )2
(c) f (x)= x2 sen (x) ln(x)cos(x)
Utilizando a regra do produto:
f (x)= 2x sen x+x2 cosx(
1
xcosx+ lnx sen x
)f (x)= sen x(2x+ lnx)+cosx(x21/x)
11. Suponha que a curva y = x4+ax3+bx2+cx+d tenha uma reta tangentequando x = 0 com equao y = 2x+1 e, uma reta tangente quando x = 1com equao y = 23x. Encontre os valores de a,b,c ed .Resoluo:
f (0)= 2; f (1)=3
f (x)= 4x3+3ax2+2bx+ c
f (0)= c = 2f (1)= 3a+2b =9
f (0)= d = 1f (1)= a+b =5{
3a+2b = 9a+b = 5
a = 1; b =6
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 29
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Derivadas
12. Se f (x)= ex g (x), em que g (0)= 2 e g (0)= 5. correto dizer que f (0) :(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10
Resoluo:
f (x)= exg (x)+exg (x); f (0)= e0g (0)+e0g (0)f (0)= 2+5= 7Resposta: letra (a)
13. Encontre um polinmio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P (2) = 3 eP (2)= 2.Resoluo:
P (x) = ax2+bx+ cP (x) = 2ax+bP (x) = 2a
P (2) = 4a+2b+ c = 5P (2) = 4a+b = 3P (2) = 2a = 2a = 1
4+b = 3 b =1
42+ c = 5 c = 3
14. Encontre as derivadas das funes dadas.
(a) f (x) = (3x51)10(2x4)(b) f (s) = ln(e5s3)
(c) f () = 2cos2() sen ()(d) f (x) = ln( sen 2(x))
Resoluo:(a) f (x)= (3x51)10(2x4)
Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.
10(3x51)9(15x4)(2x4)+ (3x51)10 4x3
(b) f (s)= ln(e5s3)5e5s3
e5s3= 5
(c) f ()= 2cos2() sen ()f () = 4cos() sen () sen ()+2cos2()cos()
= 4cos() sen 2()+2cos3()(d) f (x)= ln( sen 2(x))
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 30
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Derivadas
1
sen 2(x)2 sen (x)cos(x)= 2cosx
sen x= 2cotx
15. Usando a regra da cadeia, determine y , sendo:(a) y = (3x+5)50(b) y = 1
(x3+3x26x+4)
(c) y = sec2[(x36)3](d) y = 1
x(x+1)Resoluo:
(a) y = (3x+5)50y = 50(3x+5)49 3= 150(3x+5)49
(b) y = 1x3+3x26x+4 = (x
3+3x26x+4)1
y = (x3+3x26x+4)2 (3x2+6x6)= (3x3+6x6)
(x3+3x26x+4)2
(c) Derivada tabelada:d secx
dx= secx tanx
y = sec2[(x36)3]y = 2sec[(x36)3] sec[(x36)3] tan[(x36)3] 3(x36)2 3x2y = 18x2 sec2[(x36)3] tan[(x36)3](x36)2
(d) y = 1x(x+1) = [x(x+1)]
1
y = [x(x+1)]2 [(x+1)+x]= (2x+1)
[x(x+1)]216. Seja f uma funo derivvel e g (x)= ex f (3x+1). Cacule g (0) se f (1)= 2
e f (1)= 3.g (x) = ex f (3x+1)g (x) = ex f (3x+1)+ex f (3x+1) 3g (0) = e0 f (1)+e0 f (1) 3= 2+9= 11
17. A curva y = 1/(1+x2) chamada bruxa deMaria Agnesi.
(a) Encontre uma equao da reta tangente e uma equao da reta normapara essa curva no ponto (1, 12 ).(b)Ilustre a parte (a) fazendo o grfico da curva e das retas tangentes enormal no mesmo plano.
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 31
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Derivadas
Resoluo:
y = (1+x2)1y = (1+x2)2 2x = 2x
(1+x2)2Encontrando a reta tangente no ponto (1, 12 )
f (1)= 2 1(1+ (1)2)2 =
1
2
y 12 = 12 (x (1))
y 12 = 12x+ 12
y = 12x+1Encontrando a reta normal no ponto (1, 12 )
y 12= 1
f (1)(x+1)
y 12
= 2(x+1)
y 12
= 2x2
y = 2x 32
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 32
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Derivadas
Figura 2.3: Grfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normalno ponto (1, 12 ).
18. Calcule a derivada de:
(a) y = 3p3x1(b) z(x) = ln(x26)Resoluo:
(a) y = 3p3x1= (3x1)1/3y = 16 3(3x1)
23 6 3
y = 13
(3x1)2
(b) z(x)= ln(x26)
z (x)= 1x26 2x =
2x
x2619. Calcule as derivadas das funes:
(a) y = 5x1
(b) y = log5(x2)
(c) y = ln( xx+1
)
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 33
-
Derivadas
Resoluo:
Dica:d(loga x)
dx= 1x lna
(a) y = 5(x1)ln y = ln5(x1)ln y = (x1)ln5
1
y y = ln5y = y ln5y = 5(x1) ln5
(b) y = log5(x2)
y = 1x2 ln5
2x = 2x ln5
(c) y = ln( xx+1
)= lnx ln(x+1)
y = 1x 1x+1 =
1
x2+x
20. Calcule y se:
(a)y =
1 tan2(x)
(b)y = x cot(2x)
(c)y = tan(sec(x2))
Resoluo:
Derivadas tabeladas:
d(tanx)
dx= sec2 x; d(secx)
dx= secx tanx
(a)y =
1 tan2(x)= (1 tan2 x) 12
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 34
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Derivadas
y = 16 2(1 tan2 x)
12 [ 6 2tanx sec2 x]
y = tanx sec2 xp
1 tan2 x(b)y = x cot(2x)
y = cot(2x)2cossec2(2x)(c)y = tan(sec(x2))
y = sec2[sec(x2)] sec(x2) tan(x2) 2x
21. Encontre:d99
dx99( sen x)
Resoluo:
d
dxsen x = cosx
d2
dx2sen x = sen x
d3
dx3sen x = cosx
d4
dx4sen x = sen x
d5
dx5sen x = cosx
99 43 24
d99
dx99( sen x) = d
3
dx3( sen x)
= cosx22. Encontre constantes A e B de forma que a funo y = A sen x +B cosx
satisfaa a equao diferencial y + y 2y = sen x.Resoluo:
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 35
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Derivadas
y = A cosxB sen xy = A sen xB cosx
A sen xB cosx+ A cosxB sen x2A sen x2B cosx = sen x(3AB) sen x+ (A3B)cosx = 1 sen x+0cosx
{ 3AB = 1A3B = 0
A = 310
; B = 110
23. Achey
xpor derivao implicita de x2+ y2 = 16
Resoluo:
2x+2y y = 02y y = 2x
y = 6 2x6 2y
y = xy
24. Ache uma equao da reta tangente curva 16x4+y4 = 32 no ponto (1,2).Resoluo:
Derivando a curva:
64x3+4y3 y = 04y3y = 64x3
y = 64x3
4y3=16x
3
y3
y (1,2)=2Equao da reta tangente:
y 2 = 2(x1)y 2 = 2x+2
y = 2x+4
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 36
-
Derivadas
25. Ache uma equao da reta normal curva x2+xy+ y23y = 10 no ponto(2,3).
Resoluo:
2x+ y +xy +2y y 3y = 0(x+2y 3)y = 2x y
y = 2x yx+2y 3
y (2,3)= 75
Equao da reta normal:
t t0 = 1y
(xx0)
t 3 = 57
(x2)
t 3 = 57x 10
7
t = 57x11
7
26. Use a derivao logartmica para encontrar as derivadas das seguintesfunes:
(a) y = (2x+1)5(x43)6
(b) y =
x1x4+1
(c) y = xx(d) y = xcosx
Resoluo:
(a)y = (2x+1)5(x43)6ln y = ln[(2x+1)5(x43)6]ln y = ln(2x+1)5+ ln(x43)6ln y = 5ln(2x+1)+6ln(x43)
1
y y = 10
2x+1 +24x3
x43y = [(2x+1)5(x43)6]
[10
2x+1 +24x3
x43]
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 37
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Derivadas
(b)y =
x1x4+1
ln y = ln[(
x1x4+1
)1/2]
= 12
ln
(x1x4+1
)
= 12
[ln(x1) ln(x4+1)]
1
y y = 1
2(x1) 4x3
2(x4+1)
y =
x1x4+1
[1
2(x1) 4x3
2(x4+1)]
(c)y = xx
y = xxln y = lnxxln y = x lnx
1
y y = lnx+x 1
x
y = y [lnx+1]y = xx [lnx+1]
(d)y = xcosx
ln y = ln(xcosx)ln y = cosx lnx1
y y = sen x lnx+ cosx
x
y = xcosx[cosx
x sen x lnx
]27. Seja f (x)= a+b cos(2x)+ c cos(4x), onde a,b,c R. Sabendo que f ( pi2) =
1, f (0) = f (0) = f (0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na formaf (x)= sen n(x),n N, determine a,b,c en.Resoluo:
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 38
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Derivadas
f (x) = a+b cos(2x)+ c cos(4x)f (x) = b2 sen (2x)4c sen (4x)f (x) = 4b cos(2x)16c cos(4x)f (3)(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)
f (0) = 4b16c = 0f (0) = a+b = c = 0
f (pi/2) = ab+ c = 1Resolvendo o sistema acima:
a = 38
; b = 12
; c = 18
f (x) = 38 1
2cos(2x)+ 1
8cos(4x)
= 38 1
2(cos2 x sen 2x)+ 1
8cos(4x)
= 38 4
8(12 sen 2x)+ 1
8cos(4x)
= 18+ sen 2x+ 1
8cos(4x)
1
8cos4x = 1
8[cos(2x)cos(2x) sen (2x) sen (2x)]
= 18
[cos2(2x) sen 2(2x)]
= 18
(12 sen 2(2x))
f (x) = 18+ sen 2(x)+ 1
8 2
8sen 2(2x)
= sen 2x 28
sen 2(2x)
sen 2(2x) = ( sen x cosx+ sen x cosx)2= (2 sen x cosx)2= 4 sen 2x cos2 x
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 39
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Derivadas
f (x) = sen 2x 28
(4 sen 2x cos2 x)
= sen 2x sen 2x cos2 x= sen 2x( 6 1+ 6 1+ sen 2x)= sen 2x sen 2x = sen 4x
n = 4
28. Determine a equao da reta tangente e da reta normal curva y = arcsin(x1
2
)no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Resoluo:
Valor tabelado :d
dxarcsinx = 1p
1x2
Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:
arcsin
(x1
2
)= 0
x12
= 0 x = 1
Ponto : (1,0)
y = 11(x1
2
)2 12y = 1
2
Reta tangente:
y 0= 12
(x1)
y = 12x 1
2
Reta normal:
y 0= 11/2
(x1)
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 40
-
Derivadas
y =2(x1)y =2x+2
APOSTILA EXERCCIOS DE CLCULO 41
-
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
[1] LEITHOLD, L. O Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1. 3 ed. So Paulo:Harbra, 1994.
[2] STEWART, J. Clculo. Vol. 1. 6 ed. So Paulo: Cengage Learning, 2011.
[3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Clculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,2012.
42
Limites e ContinuidadeDerivadas
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