exponential poison

NISRINA NURZUHAIDA31601200647

TUGAS SIMULASI KOMPUTER

Selain distribusi normal, salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma.Definisi 1:Fungsi gamma didefinisikan oleh:

untuk > 0Fungsi gamma ini adalah fungsi rekursif di mana P(n) = (n-1)!

0

1 dxexP x

Pada saat = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian.

Variabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi eksponensial, dengan parameter , jika fungsi densitas (pdf)-nya diberikan oleh:

di mana > 0.

lainnya 0

0 untuk ,1

)(

/ xe

xf

x

Karakteristik operasi sistem antrian terbagi menjadi dua bagian besar yaitu distribusi probabilitas waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. Untuk permasalahan sistem antrian yang real, distribusi tersebut hampir digunakan dalam semua bentuk (masalah dibatasi dengan nilai negatif tidak akan terjadi).

Meskipun persamaan model dari sistem antrian hanya mewakili beberapa bentuk permasalahan yang real, karena itu penting bagi kita untuk mengasumsi beberapa bentuk dari distribusi tersebut. Lebih baik lagi jika asumsi yang kita gunakan adalah asumsi yang suffisien realistik yang membuktikan bahwa penaksiran model tersebut beralasan disamping itu harus sufisien sederhana yang menurut pada hukum matematika. Dan karena itulah sebagaian besar sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial.

Jika variabel random T mewakili waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan (kita harus menandai kejadian tersebut waktu antar kedatangan atau waktu pelayanana sebagai kejadian). Variabel random T dikatakan memiliki distribusi eksponensial dengan parameter α, jika probabilitas ini memiliki fungsi densitas sebagai berikut:*f (t)= αe-αt, untuk t≥0 dan f (t)=0, untuk t<0>

Komulatif distribusinya sebagai berikut:*P(T≤t)=1-e-αt, t>0 ; P(T>t)= e-αt, t>0

Sedangkan nilai ekspektasi dari T dan varians T adalah:*E(T)=1/α dan Var(T)=1/α2

Ada enam syarat yang menunjukkan apakah sistem antrian menggunakan distribusi eksponensial. Syarat-syarat tersebut dapat kita lihat sebagai berikut:1. f (t) adalah fungsi menurun t (untuk t≥0)Akibat dari syarat 1 tersebut adalah untuk semua nilai positif dari t dan . Meskipun tidak hanya memungkinkan tetapi juga secara relatif seperti T akan mengambil sebuah nilai yang kecil dan dekat dengan nol.

2. Kekurangan memori (lack of memory)Syarat ini dapat ditunjukkan sebagai

untuk semua postif t dan . Dengan kata lain distribusi probabilitas dari waktu yang tersisa sampai kejadian terjadi selalu sama, tanpa memperhatikan berapa banyaknya yang berjalan, sehingga dapat ditulis dalam model matematik

3. Paling sedikit variabel random eksponensial memiliki distribusi eksponensial.

Jika T1, T2, ..., Tn adalah variabel random eksponensial dengan parameter α1, α2, ... αn. Jika U adalah variabel random yang mengambil nilai minimum dari T1, T2, ..., Tn maka U=min{ T1, T2, ..., Tn}

4. Berhubungan dengan distribusi poissonSyarat ini berguna untuk

menjelaskan peluang tingkah laku ketika waktu antar kedatangan mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter λ. Dalam kasus ini, X(t) adalah angka kedatangan yang berlalu dalam waktu t, dimana α=λ yang disebut rata-rata angka kedatangan (mean arrival rate)

5. Untuk semua nilai positif dari t, T dapat mewakili waktu antar

kedatangan dan waktu pelayanan dalam sistem antrian, syarat ini menunjukkan penaksiran peluang kejadian pada kejadian dengan interval yang bernilai kecil. Syarat ini diambil dari penaksiran yang tepat dari limit à=0

6. Tidak memiliki pengaruh dari pengumpulan data (aggregation) dan yang tidak mengumpul (dissaggregation)Syarat ini relevan untuk dipakai jika proses input berdistribusi poisson, meskipun secara langsung menunjukkan bahwa kejadian tersebut berdistribusi eksponensial (lihat syarat 4)

Teorema :Mean dan variansi distribusi gamma adalah:

= dan 2 = 2

Korolari :Mean dan variansi distribusi eksponensial adalah:

= dan 2 = 2

CONTOH….

Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu:

a. Apa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan?

b. Apa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?

Jawaban: Distribusi eksponensial tidak memiliki

memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi:

a) probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 - e ^ (-31/44) = 0,506

b) varians dari distribusi eksponensial adalah (1 / 44) = 0,00052

*Distribusi Poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit.*Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi

suatu variabel random X, yaitu banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Dimana : = rata-rata distribusi

= 0, 1, 2, 3, ….e = konstanta 2, 71828

!)Pr(

xexx

*Rata-rata:

E(X) = = = n . p*Varians:

E(X - )2 = 2 = n . P*Simpangan Baku :

= n . p

Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial. Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke- akan berdistribusi gamma.