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EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A
AULA 25
01)
ba
25y log0,001 log 5
Fazemos:
log 0,001 = a 0,001 = 10a 10–3 = 10a
a = –3
1b 2b2
25
1log 5 b 5 25 5 5 2b
2
1
b4
02)
a b
9 4 4 3E log (log 64) log (log 81)
Fazemos:
log4 64 = a 64 = 4a 43 = 4a
a = 3
log3 81 = b 81 = 3b 34 = 3b
b = 4
Então,
m n
9 4E log 3 log 4
Fazemos:
log9 3 = m 3 = 9m 3 = 32m 1 = 2m
1
m2
log4 4 = n 4 = 4n n = 1
Logo,
1 3
E 12 2
2
2
n n
n n
n
n n
1
nn n
n 2
E log log n
E log log n
E log log n
1E log
n
E = logn n–2
E = –2
AULA 26
01)
1ª Propriedade:
logb A + logb B = logb (AB)
Consideremos:
logb A + logb B = k
b
b b
log A logbB k
log A log B k
b b
b b b
A · B = bk
k = logb (AB) c.q.d
2ª Propriedade:
b b b
Alog A log B log
B
Consideremos:
logb A – logb B = k
b b
b
b
log A log B k
log Ak
log B
k
b
b b
bb
b
Ab
B
Ak log c.q.d
B
3ª Propriedade:
logb An = n · logb A
Consideremos:
logb An = k
n termos
b
n termos
b b b
log (A.A.A...A) k
log A log A ... log A k
n · logb A = k c.q.d
02)
2x = 250
log 2x = log 250
log 2x = log (2 · 53)
log 2x = log 2 + log 53
log 2x = log 2 + 3 · log 5
x 10log2 log2 3log
2
x · log 2 = log 2 + 3 · (log 10 – log 2)
0,30x = 0,30 + 3 · (1 – 0,30)
2,40
x0,30
x = 8
03)
1 000
2
1 000
2
x 2 000h(x) 5 000 log
10
2 030 2 000h(2 030) 5 000 log
10
h(2 030) = 5 000 + log2 (3)1000
h(2 030) = 5 000 + 1 000 · log2 3
Sendo 1 < log2 3 < 2, temos, 6 000 < h(2 030) < 7 000
04)
0,7
0,7
h log 10 . i
h log 10 . 10
h = log (100,7 · 100,5)
h = log 101,2
h = 1,2 m = 120 cm
05)
(log x)2 – log x3 = 0
(log x)2 – 3 · log x = 0
Fazendo log x = k, temos:
k2 – 3k = 0
0
3
k 0 logx 0 x 10 x 1
k 3 logx 3 x 10 x 1 000
AULA 27
01)
ab
a
log Nlog N
log b
Fazemos:
a
a
log Nk
log b
loga N = k · loga b
a a
a
log N k log b
klog b
a a
N a
N = (b)k
logb N = k c.q.d
02)
E = loga b · logb a
bb
b
log bE log a
log a
E = 1
EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B
AULA 25
01)
4 3 2 2 3 4
4
E 1 320 4 1 320 1 318 6 1 320 1 318 4 1 320 1 318 1 318
E 1 320 1 318
E 16
E = 4
02)
Determinação do Termo Geral
p p n p
p 1 n
p6 p
p 3
p 1 6
p 6 pp p 18 3p
p 1 6
p 6 pp 18 4p
p 1 6
T C a x
1T C 2x
x
T C 1 2 x x
T C 1 2 x
a) FALSO – Possui 7 termos.
b) FALSO – Para possuir termo independente é necessário que
9
18 4p 0 p2
c) FALSO – Para a soma dos coeficientes, é necessário substituir as incógnitas
por 1, assim:
Soma =
6
3 12.1
1
Soma = 1
d) FALSO – Coeficientes distintos
Primeiro termo (p = 0):
0 6 00 18 4.0
0 1 6
18
1
T C 1 2 x
T 64.x
Último termo (p = 6):
6 6 66 18 4.6
6 1 6
6
7
T C 1 2 x
T 1.x
e) VERDADEIRO
Para ter o termo em x2, fazemos:
18 – 4p = 2
p = 4
Assim:
4 6 44 18 4 4
4 1 6T C 1 2 x
T5 = 60 · x2
03)
n n 0 n 1 n 2 2 0 n
n n n n1 x .1 .x .1 .x .1 .x ... .1 .x
0 1 2 n
Comparando com a expressão dada, concluímos que x = 2, assim:
(1 + x)n = (1 + 2)n = 3n
AULA 26
01)
Cálculo da Média
8.4 12.3 22.2 28.1 30.0x
100
32 36 44 28x
100
x 1,4
Residências com quantidade maior do que a média = 42
Porcentagem = 42%
02)
k cara
c coroa
Espaço Amostral
2 · 2 · 2 = 8
Evento
KKC
2
3
3!P 3
2!
Probabilidade
3p
8
03)
Bio logiaDisciplinas EspanholHistória
3 5 4 2
11
H1
H2
H3
H4
H5P P P P 3!5!4!2! 1
p p pB1P 11! 1 155
B2
B3
B4
E1
E2
04)
Considere a tabela
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
João
Paulo
Antônio
6p
36
3p
36
5p
36
ALTERNATIVA D
AULA 27
01)
M(2) = {2, 4, 6, 8, ... , 100} – 50 elementos
M(3) = {3, 6, 9, 12, ..., 99} – 33 elementos
M(2) e M(3) = M(6) = {6, 12, 18, ..., 96} – 16 elementos
p[M(2) M(3)] p[M(2)] p[M(3)] p[M(2) M(3)]
50 33 16p[M(2) M(3)]
100 100 100
67p[M(2) M(3)]
100
p[M(2) M(3)] 67%
02)
p 1 p(A B)
p 1 p(A) p(B) p(A B)
60 55 25p 1
100 100 100
90p 1
100
p = 10%
03)
Ataulfo: A
Batoré: B
4
5
4
7
p(A B) 1 p(nenhum)
Cp(A B) 1
C
5p(A B) 1
35
6p(A B)
7
04)
Considere a Tabela
Marca W NÃO Marca W Total
Táxi 10% 60% de 25% = 15% 25%
NÃO Táxi 10% 65% 75%
EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C
AULA 26
01)
01. c
02. e
03. a
04. b
02)
01. b
02. e
03. a
AULA 27
01)
01. c
02. d
03. a
04. b
02)
a)
3x2 + 3y2 – 18x – 12y – 9 = 0
x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0
6 4
C , C 3,22 2
32 + 22 – (–9) = R2
R 22
b)
16x2 + 16y2 – 16x + 8y –27 = 0
2 2
2 2
2
1 27x y x y 0
2 16
11 1 12C , C ,2 2 2 4
1 1 27R
2 4 16
R 2
c)
3x2 + 3y2 – 18x = 0
x2 + y2 – 6x = 0
6 0
C , C 3,02 0
32 + 02 – 0 = R2
R = 3
EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D
AULA 25
01)
A geratriz de um cone equilátero é igual ao lado da secção meridiana que é um
triângulo equilátero, ou seja:
2
SM
2
SM
2 3 3S
4
S 3 3 cm
Multiplicando o resultado por 3 , temos, 9 cm2.
02)
Tem-se que g = 13 cm e R = 5 cm, assim:
g2 = R2 + H2
132 = 52 + H2
H = 12 cm
2
2
1V R H
3
1V 5 12
3
V = 100π cm3
03)
No desenvolvimento da superfície lateral de um cone, tem-se que a geratriz do
cone é o raio do setor formado e que o comprimento do arco do setor é o
comprimento da base do cone, assim:
Cálculo da Geratriz:
g2 = r2 + h2
g2 = 32 + 42
g = 5 cm
Comprimento do arco:
l = α · R
2π · r = α · g
2π · 3 = α · 5
o6216
5
04)
(R, H, g) P.A.
R = H – 2
g = H + 2
g2 = H2 + R2
(H + 2)2 = H2 + H2 – 4H + 4
2H 0
H 8H 0H 8m R 6m e g 10m
St = Sl + Sb
St = π · R · g + π · R2
St = π · 6 · 10 + π · 62
St = 96π m3
AULA 26
01)
A pirâmide original possui altura igual 3cm e lado da base igual a 3 3cm .
A nova pirâmide formada possui altura igual a 1cm e lado da base igual a x.
Assim:
3 3cm 3x 3cm
x 1
Cálculo da Área da Secção:
S = x2
2
S 3
S = 3 cm2
02)
A pirâmide original possui altura igual 12 cm e massa 675 g.
A nova pirâmide formada possui altura igual a 8 cm e massa igual a x.
A massa é proporcional ao volume, ou seja, a razão de semelhança entre as
massas das duas pirâmides é a mesma razão de semelhança entre os
volumes.
Assim,
3675 12
m 8
675 27
m 8
m = 200 g
03)
a)
Cálculo do volume da taça:
2
3
1V 5 20
3
500V cm
3
500V ml
3
b)
O milk-shake que restará na taça corresponde a um cone semelhante ao cone
da taça e cuja altura é metade da altura da taça. Assim:
Cálculo do volume restante:
3V 20
v 10
Vv
8
Cálculo do volume consumido:
Vconsumido = V – v
consumido
consumido
consumido
VV V
8
7V V
8
7V 100%
8
Vconsumido = 87,5%
04)
Cálculo da proporção da quantidade de chocolate:
3
3
H V
h v
2h V
h v
Vv
8
A proporção entre os preços é a mesma proporção entre os volumes, assim:
Pp
8
0,80p
8
p = R$ 0,10
AULA 27
01)
2
2
(H h)V R
2
(2 8)V 3
2
V = 45π cm3
02)
H = 2
B = 4 L = 2
b = 1 l = 1
Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:
2
2 2
2
2
2a 2 2
2
2a 4
4
18a
4
3 2a
2
03)
B b B b
2 2 2 2
hV S S S .S
3
1,5V 2 1 2 .1
3
V = 3,5 m2
V = 3 500 litros
04)
Considerando as medidas em decímetros, temos:
45R dm
2
r = 10 dm
h = 30 dm
Cálculo do Volume:
2 2
2
2
hV R r Rr
3
30 45 45V 10 10
3 2 2
2 025 450V 10 100
4 2
3 325V 10
4
V = 26 101,25 dm3
V = 26 101,25 litros
Cálculo do número de dias:
EXTENSIVO – APOSTILA 09 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E
AULA 25
01)
Da fórmula da potenciação temos para n = 2:
n n
2 2
2 2 2
z cos n isen n
(a bi) cos 2 isen 2
(a b ) 2abi cos 2 isen 2
(a2 – b2) + 2abi = 2 · cos(2θ) + 2 · sen(2θ) · i
Igualando as partes reais e as partes imaginárias, temos:
2 22 22 2 2 2 2
2 2
c.q.d
2
2
c.q.d
a b a b(a b ) cos 2 cos 2 cos 2 cos sen cos 2
2ab a b2ab sen 2 sen 2 2 sen 2 2cos sen sen 2
02)
10 10
5 52 2
5 5
y 1 i 1 i
y 1 i 1 i
y 2i 2i
y = 32i5 – 32i5
y = 0
03)
10
10o o
3 1w i
2 2
w cos30 isen30
w = cos300º + i · sen300º
1 3w i
2 2
04)
Passando para forma trigonométrica e aplicando a fórmula da potência, temos:
n
no o
1 3z i
2 2
z cos60 i sen60
z = cos(60n)º + i · sen(60n)º
Para que seja real e positivo, temos:
(60ºn) = 0 + 180ºk n = 3k
k = 0 n = 0 z = 1 n não é positivo.
k = 1 n = 3 z = –1 z não é positivo.
k = 2 n = 6 z = 1
Menor “n” é igual a 6.
AULA 26
01)
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Temos então:
2x 1 i
x 2x 2 0x 1 i
S: {1, 2, 1 + i, 1 – i}
02)
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Temos então:
2
3x
2x 5x 3 0 2
x 1
Forma Fatorada:
3
2 x 2 x x 1 02
03)
Se é divisível por (x – 2), então, 2 é uma das soluções de P(x) = 0. Utilizando o
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Temos, então:
2
3x
2x x 3 0 2
x 1
3S : 1, ,2
2
04)
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
A multiplicidade da raiz -1 é igual a 3;
Temos,
2x 2
x 4 0x 2
S: {-2, -1, 2}
AULA 27
01)
Determinação de f(x):
x 1 1
f(x) 1 x 0
0 k x
f(x) = x3 + x + k
a)
Sendo –2 raiz do polinômio, então:
f(–2) = 0
(–2)3 + (–2) + k = 0
k = 10
b)
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Temos então,
2x 1 2i
x 2x 5 0x 1 2i
S: {-2, 1 + 2i, 1 – 2i}
02)
x3 – 2x2 – 3x + 6 = 0
x2 · (x – 2) –3 · (x – 2) = 0
2
2
x 3x 3 0
x 3 x 2 0 x 3
x 2 0 x 2
S : 3, 3,2
03)
Para que 3 seja raiz, temos:
33 – 5 · 32 + 8 · 3 – m = 0
m = 6
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, temos:
Temos então,
2x 1 i
x 2x 2 0x 1 i
04)
Cálculo das soluções de 3 212x 19x 8x 1 0 :
Temos, então
2
x 1
12x 15x 3 0 1x
4
O conjunto
1 1, ,1
4 3
possui as raízes da equação 12x3 – 19x2 + 8x – 1 = 0
A equação, 12 · (33x) – 19 · (32x) + 8 · (3x) – 1 = 0 pode ser escrita
(considerando a troca de variáveis 3x = k) como 12k3 – 19k2 + 8k – 1 = 0 e
teríamos para k a solução
1 1, ,1
4 3
.
Voltando com esses valores na troca de variáveis, temos:
x
3
x x 1
1 13 x log
4 4
13 3 3
3
x = –1
3x = 1 x = 0
Cálculo da soma:
3
3 3
3
3
1Soma log 1
4
1Soma log log 3
4
1
4Soma log3
1Soma log
12
Soma = – log3 12
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