extremos relativos y condicionados extremos...
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(1.1.1)(1.1.1)
(1.1.4)(1.1.4)
(1.1.3)(1.1.3)
(1.1.2)(1.1.2)
(1.1.5)(1.1.5)
EXTREMOS RELATIVOS Y CONDICIONADOS
Extremos relativos en funciones de dos variables
Calcular los puntos criticos de f y el plano tangente a z=f(x,y) en dichos puntos.
¿Tiene f un extremo local en dichos puntos? En caso afirmativo explicar de qué
tipo.
restart;
f:=(x,y)->4-x^2-1/4*y^2;
D[1](f);
D[2](f);
solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});
pt:=(x,y)->f(0,0)+D[1](f)(0,0)*x+D[2](f)(0,0)*y;
plot3d({f(x,y),pt(x,y)},x=-2..2,y=-2..2);
(1.2.1)(1.2.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.1.6)(1.1.6)
Hf:=matrix(2,2,[D[1,1](f)(0,0),D[2,1](f)(0,0),D[1,2](f)(0,
0),D[2,2](f)(0,0)]);
La matriz hessiana de f en (0,0) es definida negativa, por lo tanto f tiene en (0,0) un máximo local (de hecho absoluto).
Calcular los puntos criticos de y el plano tangente a z=g(x,y) en
dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos puntos? En caso afirmativo
explicar de qué tipo.
restart:
g:=(x,y)->x^2-y^2;
D[1](g);
(1.2.5)(1.2.5)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.2.3)(1.2.3)
(1.2.4)(1.2.4)
(1.2.6)(1.2.6)
D[2](g);
solve({D[1](g)(x,y),D[2](g)(x,y)},{x,y});
pt:=(x,y)->g(0,0)+D[1](g)(0,0)*x+D[2](g)(0,0)*y;
plot3d({g(x,y),pt(x,y)},x=-2..2,y=-2..2);
Hg:=matrix(2,2,[D[1,1](g)(0,0),D[2,1](g)(0,0),D[1,2](g)(0,
0),D[2,2](g)(0,0)]);
La matriz hessiana de f en (0,0) es indefinida, por lo tanto f tiene en (0,0) un punto de silla.
Calcular los puntos criticos de y el plano
(1.3.3)(1.3.3)
(1.3.5)(1.3.5)
(1.3.4)(1.3.4)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.3.7)(1.3.7)
(1.3.6)(1.3.6)
(1.3.1)(1.3.1)
(1.3.2)(1.3.2)
tangente a z=f(x,y) en dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos
puntos? En caso afirmativo explicar de qué tipo.
restart:with(plots):
f:=(x,y)->2*x^3+2*y^3-x^2-y^2-2*x*y;
2*x^3+3*y^3-x^2-y^2-2*x*y;
D[1](f);
D[2](f);
solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});
pt1:=(x,y)->f(0,0)+D[1](f)(0,0)*x+D[2](f)(0,0)*y;
pt2:=(x,y)->f(2/3,2/3)+D[1](f)(2/3,2/3)*x+D[2](f)(2/3,2/3)*
y;
Gsup:=plot3d({f(x,y)},x=-2..2,y=-2..2, color=pink):
Gpt1:=plot3d({pt1(x,y)},x=-2..2,y=-2..2,color=blue):
Gpt2:=plot3d({pt2(x,y)},x=-2..2,y=-2..2,color=green):
display(Gsup,Gpt1);
(1.2.2)(1.2.2)
display(Gsup,Gpt2);
(1.4.3)(1.4.3)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.4)(1.4.4)
(1.4.2)(1.4.2)
(1.4.1)(1.4.1)
Calcular los puntos criticos de y el plano
tangente a z=f(x,y) en dichos puntos. ¿Tiene f un extremo local en dichos
puntos? En caso afirmativo explicar de qué tipo.
f:=(x,y)->2*x^3+3*y^3-x^2-y^2-2*x*y;
D[1](f);
D[2](f);
solve({D[1](f)(x,y),D[2](f)(x,y)},{x,y});
(1.4.6)(1.4.6)
(1.4.9)(1.4.9)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.5)(1.4.5)
(1.4.8)(1.4.8)
(1.4.7)(1.4.7)
(1.4.10)(1.4.10)
solve(3*_Z^2-6*_Z+1);
z1:=1+(1/3)*sqrt(6):z2:=1-(1/3)*sqrt(6):
simplify(D[1](f)((1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9));simplify(D[2](f)(
(1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9));0
0
simplify(D[1](f)((1/3)*z2,(1/3)*z2-1/9));simplify(D[2](f)(
(1/3)*z2,(1/3)*z2-1/9));0
0
P1:=[0,0];P2:=[(1/3)*z1,(1/3)*z1-1/9];P3:=[(1/3)*z2,(1/3)*
z2-1/9];
Veamos si f tiene en P3 un máximo, mínimo o punto de silla.
pt3:=(x,y)->f(P3[1],P3[2])+D[1](f)(P3[1],P3[2])*x+D[2](f)
(P3[1],P3[2])*y;
evalf(P3);
Gsup:=plot3d({f(x,y)},x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5, color=pink):
Gpt3:=plot3d({pt3(x,y)},x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5,color=blue)
:
display(Gsup,Gpt3);
(1.4.13)(1.4.13)
(1.4.12)(1.4.12)
(1.4.11)(1.4.11)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.5)(1.4.5)
Hf3:=matrix(2,2,[D[1,1](f)(P3[1],P3[2]),D[2,1](f)(P3[1],P3
[2]),D[1,2](f)(P3[1],P3[2]),D[2,2](f)(P3[1],P3[2])]);
with(linalg):
eigenvalues(Hf3);
evalf(%);
Como se apreciaba en la gráfica, f tiene en P3 un punto de silla.
Máximos y mínimos absolutos en funciones de dos variables.
(2.1.1)(2.1.1)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.5)(1.4.5)
(2.1.4)(2.1.4)
(2.1.5)(2.1.5)
(2.1.3)(2.1.3)
(2.1.6)(2.1.6)
(2.1.2)(2.1.2)
El recinto A={(x,y): x^4+y^4<=1} está cubierto por una bóveda cuya algura es,
en cada punto
z:=(x,y)->1-(2*x^4+2*y^4+x^2-y^2)/4;
y cerrado por un muro perimetral cilíndrico. Calcular:
a) las alturas máximas y mínimas de la bóveda. (cada unidad representa 10 metros).
solve({diff(z(x,y),x),diff(z(x,y),y)},{x,y});
Puntos críticos.
P1:=[0,0];P2:=[0,1/2];P3:=[0,-1/2];
z(0,0);z(0,1/2);z(0,-1/2);1
33
32
33
32
Clasificamos los puntos críticos de z(x,y) aunque no es necesario para contestar a la pregunta.
Hf:=(x,y)->matrix([[D[1,1](z)(x,y),D[1,2](z)(x,y)],[D[2,1]
(z)(x,y),D[2,2](z)(x,y)]]);
Hf(0,0);
Indefinida->Punto de silla.
Hf(0,1/2);
(2.1.11)(2.1.11)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.5)(1.4.5)
(2.1.7)(2.1.7)
(2.1.9)(2.1.9)
(2.1.8)(2.1.8)
(2.1.12)(2.1.12)
(2.1.6)(2.1.6)
(2.1.10)(2.1.10)
Definida negativa-> Máximo relativo.
Hf(0,-1/2);
Definida negativa-> Máximo relativo.
b) las alturas máximas y mínima del muro.
L:=(x,y,lambda)->1-(2*x^4+2*y^4+x^2-y^2)/4-lambda*(x^4+y^4
-1);
solve({D[1](L)(x,y,lambda),D[2](L)(x,y,lambda),D[3](L)(x,y,
lambda)},{x,y,lambda});
Q1:=[1,0];Q2:=[-1,0];Q3:=[0,1];Q4:=[0,-1];
evalf(RootOf(_Z^2+RootOf(-1+2*_Z^4)^2));
z(1,0);z(-1,0);z(0,1);z(0,-1);1
4
1
4
(2.1.12)(2.1.12)
(1.2.2)(1.2.2)
(1.4.5)(1.4.5)
(2.1.6)(2.1.6)
3
4
3
4
Conclusión:Altura máxima de la bóveda 33/32 (interior y borde de la bóveda, que es el muro).Máximo en el muro 30/4, mínimo en el muro 10/4 que es también el mínimo en la bóveda.
El recinto A={(x,y): x^2+y^2<=4} está cubierto por una bóveda cuya algura es,
en cada punto
z:=(x,y)->(30-x^4-y^4+4*y^2)/20;
y cerrado por un muro perimetral cilíndrico. Calcular:
a) las alturas máximas y mínimas de la bóveda. (cada unidad representa 10
metros)
b) las alturas máximas y mínima del muro.
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