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59
單元三 特殊四邊形
課文A: 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質
這邊要介紹箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質。
第一個要介紹的是箏形,在前面多邊形的單元當中曾經
介紹過箏形就是兩雙鄰邊分別等長的四邊形,因為會長得跟
風箏很像,所以稱為「箏形」或叫作「鳶形」。
在前面線對稱的單元當中有提到箏形就是一種線對稱圖形,
如圖中的箏形 ABCD,如果沿著 AC 對摺,會使 B 點疊合在 D 點
上, AB和 AD疊合,CB和CD疊合,也就是 AC 是箏形 ABCD
的對稱軸,B 點的對稱點為 D 點。所以 AC會垂直平分BD。
換句話說,箏形的兩條對角線互相垂直,但是其中一條對角線會平分
另外一條對角線。來練習一些有關箏形題目!
例題一:如圖,箏形 ABCD 中, AB = AD =10,BC =CD =17,O 為 AC和
BD的交點,如果BD =16,則:
(1) AC =?
(2)箏形 ABCD 的面積=?
A
B
C
D
60
解:(1)箏形 ABCD 中, AC垂直平分BD,也就是BO OD 。
又BD =16,所以BO OD =8。
先看△AOB,∠AOB=90°,
△AOB 是一個直角三角形。
直角三角形有一個很重要的三邊關係就是畢氏定理:
兩股的平方和等於斜邊的平方,可以列出式子:
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 28 10OA ⇒2
100 64OA ⇒OA=6
再看△BOC,因為 AC垂直BD,
也就是∠BOC=90°,△BOC 是一個直角三角形。
2 2 2OC OB BC ⇒
2 2 28 17OC ⇒2
289 64OC
⇒OC =15
AC = AO +OC =6+15=21
(2)接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD:
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×16×6=48。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×16×15=120。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=48+120=168
A
B
C
D
17
8 8
15
A
B
C
D
10
8 8
6
61
例題二:如圖,箏形 ABCD 中,AB = AD,BC =CD,AC =21,BD =24,
O 為兩對角線 AC和BD的交點。
如果 AB = AD =13,則:
(1)箏形 ABCD 的周長=?
(2)箏形 ABCD 的面積=?
◎解題思維:
要計算箏形 ABCD 的周長,必須求出箏形的四邊長,已經知道了其中
兩邊 AB = AD =13,所以剩下要求BC 跟CD,而BC =CD,所以只要求出
其中一邊就可以了!
解:(1)箏形 ABCD 中, AC垂直平分BD,也就是BO OD 。
又因為BD =24,所以BO OD =12。
直角△AOB 中,根據畢氏定理可列出等式:
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 212 13OA ⇒
2169 144OA ⇒OA=5
OC = AC −OA=21−5=16
根據畢氏定理列出式子:
2 2 2BC OC OB
⇒2 2 216 12BC ⇒
2400BC
⇒ BC =20
箏形 ABCD 的周長=13+20+20+13=66
62
(2) 接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD:
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×24×5=60。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×24×16=192。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積=60+192=252
第二個要介紹的是菱形,四邊等長的四邊形稱為「菱形」。
在上一個單元中,有提到平行四邊形的判別性質:「如
果四邊形有兩組對邊等長,那麼這四邊形必為平行四邊形」。
既然我們知道菱形的四邊會等長,那麼菱形就一定有兩組
等長的對邊,換句話說,菱形是平行四邊形的一種。
在前面線對稱的單元當中有提到菱形也是一種線對稱圖形,
如圖中的菱形 ABCD,如果沿著對角線 AC 對摺,會使 B 點疊合
在 D 點上, AB和 AD疊合,CB和CD疊合,也就是 AC 是菱形
ABCD的對稱軸,B點的對稱點為D點。所以 AC會垂直平分BD。
同理,BD也會垂直平分 AC。也就是說,菱形的兩條對角線互
相垂直平分。
63
讓我們來練習有關菱形的題目!
例題三:如圖菱形 ABCD 中,O 為兩對角線 AC和BD的交點,
AC =10,BD =24。
(1)菱形 ABCD 周長=?
(2)菱形 ABCD 面積=?
解:因為四邊形 ABCD 是一個菱形,所以
兩條對角線 AC、BD互相垂直平分。
AC =10,所以 AO OC =5;
BD =24,所以BO OD =12。
因為 AC、BD互相垂直,所以△AOB 為直角三角形。
根據畢氏定理可以列式:2 2 2
AB AO OB
2 2 25 12AB =25+144=169
AB =13
菱形四邊都一樣長,所以菱形 ABCD 周長=13×4=52。
(2)要計算菱形 ABCD 面積,可以分成兩個三角形△ABD、△CBD,
菱形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=24 5
2
24 5
2
+=60+60=120。
64
第三個要介紹的是矩形,四個內角都是直角的四邊形就是「矩形」。
在上一個單元中,有提到平行四邊形的判別性質:「四邊形的兩組對
角相等,則此四邊形為平行四邊形」。既然我們知道矩形的四個內角都是
90°,那麼矩形的對角相等就一定會相等,所以矩形為平行四邊形的一種。
那矩形的對角線有什麼性質呢?
下圖四邊形 ABCD 為一個長方形,而 AC、BD是兩條對角線,O 點是
AC和BD的交點。
既然矩形是平行四邊形的一種,所以矩形也會有平行四邊形的性質,
就是對角線會互相平分,OA OC 、OB OD 。
除此之外,我們知道矩形四個內角都是直角而且兩雙對邊會等長。
分別連接對角線 AC、對角線BD:
65
因為對邊 AB = DC 、共同邊BC = BC 、內角∠B=∠C=90°,根據 SAS
全等性質,△ABC≅△DCB。
AC和DB是對應邊,所以 AC = DB。 AC、BD就是矩形的兩條對角
線,也就是說矩形的兩條對角線會互相平分且等長。
讓我們來練習有關矩形的題目!
例題四:矩形 ABCD 的周長為 14,且兩對角線和為 10,求矩形面積為何?
◎解題思維:矩形面積=長×寬,要算出面積需要長和寬。
解:矩形 ABCD 的對角線會平分且等長,
而兩對角線和為 10,所以 AC = BD =5。
矩形 ABCD 的周長為 14,所以長+寬=7。
因為矩形的內角都是 90°,所以△ABC 為一個直角三角形:
令 AB =x,則BC =7−x, AC =5
根據畢氏定理列出式子:2 2 2
AB BC AC
22 27 5x x
2 2 249 14 5x x x 相加整理
22 14 49 25x x 等號右邊的 25 移項到等號左邊
66
22 14 24 0x x 等號兩邊同除以 2
2 7 12 0x x 利用十字交乘法:
3 4 0x x
x=3 或 4
若 AB =3,則BC =7−3=4;若 AB =4,則BC =7−4=3。
所以矩形 ABCD 長若是 4、寬會是 3,面積=3×4=12。
第四個要介紹的是正方形,四邊會等長而且四個內角都是
直角的四邊形就是「正方形」。
因為正方形的四邊會等長,所以正方形就是菱形的一種;又因為正方
形的四個內角都是直角,所以正方形也是矩形的一種。
那正方形的對角線有什麼性質呢?右圖為四邊形ABCD為一
個正方形,而 AC、BD是兩條對角線,O 點是 AC和BD的交點。
因為正方形就是菱形的一種,所以正方形對角線就會具有菱形
對角線的性質,菱形的兩條對角線會互相垂直平分,所以正方形的
對角線也會互相垂直平分。
又因為正方形就是矩形的一種,所以正方形對角線就會具有矩
形對角線的性質,矩形的兩條對角線會互相平分且等長,所以正方形的對
角線也會互相平分且等長,也就是OA OC =OB OD ,而且 AC垂直BD。
正方形的對角線性質:等長且垂直平分!讓我們來練習有關正方形的
題目!
67
例題五:如圖正方形 ABCD 的邊長為4 2 ,P 為兩對角線 AC和BD的交
點,若 Q 為 AP線上的一點,QP: AP =3:4,
(1)QP =?
(2) DQ =?
(3)△CDQ 面積=?
解:(1)因為QP: AP =3:4,所以QP =3
4AP。
又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且等長,所以 AP會是
對角線 AC的一半。
也就是先求出對角線 AC,就可以求出 AP,然後就可以求出QP。
正方形 ABCD 的邊長為4 2 ,△ABC 為直角三角形:
根據畢氏定理列式:2 2 2
AC AB BC
2 22
4 2 4 2AC =32+32=64
AC =8
AP會是對角線 AC的一半, AP =1
2AC =
1
2×8=4
QP =3
4AP =3/4×4=3
68
(2)要求DQ,找有關的直角三角形△DPQ:
△DPQ 中,QP =3;又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長,所以DP = AP =4。
根據畢氏定理列式:2 2 2
DQ QP PD
2 2 23 4DQ =9+16=25
DQ =5
(3)要求△CDQ 面積:
因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長,所以PC = DP =4。
QC =QP + PC =3+4=7。
△CDQ 面積=1
2× QC × DP =
1
2×7×4=14。
重點提問
1.根據上面的課文,請寫出下列各個特殊四邊形的定義。
(1)箏形:
(2)菱形:
(3)矩形:
(4)正方形:
69
2.請在下面的方格中,畫出箏形、菱形、矩形、正方形各一個。
3.根據上面的課文,請說明箏形的性質,並利用提問 2 所畫出箏形做說明。
4.根據上面的課文,請說明菱形的性質,並利用提問 2 所畫的菱形做說明。
5.根據上面的課文,請說明矩形的性質,並利用提問 2 所畫的矩形做說明。
6.根據上面的課文,請說明正方形的性質,並利用提問 2 所畫的正方形做
說明。
70
7.下列有一些關於四邊形的性質:
(A)兩雙對邊相等 (B)兩組對角相等 (C)四邊等長
(D)四個內角都是 90° (E)兩雙對邊分別平行 (F)兩對角線互相垂直
(G)兩對角線互相平分 (H)兩對角線等長
請將下面這些四邊形所含有的性質代號填入問題中:
(1)任意平行四邊形有哪些性質?
(2)任意箏形有哪些性質?
(3)任意菱形有哪些性質?
(4)任意矩形有哪些性質?
(5)任意正方形有哪些性質?
8.若有一個四邊形的對角線互相垂直,請證明這個四邊形的面積為
「兩條對角線相乘
2」,並舉一個例子做說明。
71
․隨堂練習:
1.如圖,箏形 ABCD 中, AB = AD =15,BC =CD =13,O 為 AC和BD的交
點,如果BD =24,則:
(1) AC =?
(2)箏形 ABCD 的面積=?
2.如圖,箏形 ABCD 中, AB = AD =10,BC =CD, AC =21,BD =16,O
為兩對角線 AC和BD的交點。求:
(1)箏形 ABCD 的周長=?
(2)箏形 ABCD 的面積=?
3.如圖,菱形 ABCD 中,O 為兩對角線 AC和BD的交點,AC =18,BD =24。
求:
(1)菱形 ABCD 面積=?
(2)菱形 ABCD 周長=?
72
4.如圖,菱形 ABCD 中,O 為兩對角線 AC和BD的交點, AC =14,菱形
ABCD 周長=100。求:
(1) BD =?
(2)菱形 ABCD 面積=?
5.矩形 ABCD 的周長為 28,且兩對角線和為 20,求矩形面積為何?
6.如圖正方形 ABCD 中,P 為兩對角線 AC和BD的交點,Q、R 為 AP線上
的一點,QP =6, AQ =2,RC =4。
求△DQR 面積=?
73
7.如圖正方形 ABCD 的邊長為3 2,P 為兩對角線 AC和BD的交點,若 Q
為 AP線上的一點,CQ:QP =1:2,
(1)QP =?
(2) DQ =?
(3)△ADQ 面積=?
還是不太懂,請看下面影片
箏形
https://youtu.be/3g2iaYyW_2A
菱形
https://youtu.be/9r-di6lgO9A
矩形
https://youtu.be/HBl4L48-I8c
正方形
https://youtu.be/GJHUipn5ydU
綜合
https://youtu.be/TGhx0fh70KA
74
課文B: 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形
第一個先來看箏形的判別性質,課文 A 有提到:「箏形的其中
一條對角線會垂直平分另外一條對角線」。那如果有一個四邊形
ABCD,其中的一條對角線 AC會垂直平分另外一條對角線BD,這
個四邊形 ABCD 會是箏形嗎?
要看四邊形是不是箏形就是驗證看看這個四邊形是不是有兩
雙分別等長的鄰邊。因為 AC垂直平分BD,所以將四邊形 ABCD
沿著 AC對摺的話,B點就會與D點疊合,而 AC是對稱軸。AB = AD,
CB =CD,故四邊形 ABCD 就是一個箏形。
由此可知:「一個四邊形中,有一條對角線垂直平分另一條對角線時,
則這個四邊形就是箏形。」
第二個要來看菱形的判別性質,課文 A 有提到:「菱形的兩條
對角線互相垂直平分」。那麼是否可以利用四邊形的對角線來判斷
此四邊形是不是菱形呢?如果有一個四邊形 ABCD,兩條對角線
AC、BD會互相垂直平分,而這個四邊形 ABCD會是一個菱形嗎?
兩條對角線 AC、BD交於 O 點,兩條對角線 AC、BD會互相垂直平
分,所以 AO OC 、BO OD ,而且∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD 都是
90°,根據 SAS 全等性質,因此△AOB、△COB、△COD、△AOD 四個三
角形會全等三角形。所以可以得知 AB =CB =CD = AD,也就是四邊等長,
四邊形 ABCD 是一個菱形。
由此可知:「一個四邊形中,有兩條對角線會互相垂直且平分,則這
個四邊形就是菱形。」
75
第三個要來看矩形的判別性質,課文 A 有提到:「矩形
的兩條對角線會互相平分且等長」。那可不可以利用四邊形
的對角線來判斷此四邊形是不是矩形呢?如果有一個四邊
形 ABCD,兩條對角線 AC、BD會互相平分且等長,而這
個四邊形 ABCD 會是矩形嗎?
四邊形 ABCD 中,兩條對角線 AC、BD交於 O 點,
而且這兩條對角線會互相平分且等長。所以可以知道
OA OB OC OD 。因此△AOB、△BOC、△COD、
△DOA 為四個等腰三角形。
在等腰三角形△AOB 中,OA OB ,所以∠1=∠2(設為 a°);
在等腰三角形△BOC 中,OB OC ,所以∠3=∠4(設為 b°);
看三角形△ABC:
由∠1+∠2+∠3+∠4=180°。得 a+a+b+b=180,即 a+b=90
得∠ABC=∠2+∠3=90°。
同理,∠BCD=90°、∠CDA=90°、∠DAB=90°,所以四邊形 ABCD 為
一個矩形。
由此可知:「一個四邊形中,有兩條對角線會互相平分且等長,則這
個四邊形就是矩形。」
O
A
B
C
D
1
2 3
4 5
67
8
76
第四個要來看正方形的判別性質,課文 A 有提到:「正方形的兩條對
角線會互相垂直平分且等長」。那可不可以利用四邊形的對角線來判斷此
四邊形是不是正方形呢?
如果有一個四邊形 ABCD,兩條對角線 AC、BD
會互相垂直平分且等長,而這個四邊形 ABCD 會是
正方形嗎?
因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互
相垂直平分,從前面的討論就可以知道,四邊形ABCD
會是一個菱形,它的四邊等長。
又因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互相平
分且等長,從前面的討論就可以知道,四邊形 ABCD 會是
一個矩形,它的四個內角都是 90°。
四邊形 ABCD 的四邊等長,而且四個內角都是 90°,
所以四邊形 ABCD 會是一個正方形。
由此可知:「一個四邊形中,有兩條對角線會互相垂直平分且等長,
則這個四邊形就是正方形。」
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
77
重點提問
1.根據上面的課文,請說明如何判別一個四邊形是箏形,並解釋其原因。
2.根據上面的課文,請說明如何判別一個四邊形是菱形,並解釋其原因。
3.根據上面的課文,請說明如何判別一個四邊形是矩形,並解釋其原因。
4.根據上面的課文,請說明如何判別一個四邊形是正方形,並解釋其原因。
78
․隨堂練習:
1.下面各小題的正方形格子圖中,分別有 4 個不同的四邊形,請判斷分別
是什麼圖形,並解釋。
(1) AC、BD為圓
的直徑。
(2) (3)
(4)
2.連連看:四邊形 ABCD 中,對角線 AC、BD交於 O 點,請利用下列四邊
形的對角線判別是何種四邊形,並說明原因。
OA OB OC OD =7
∠AOB=60° ․ ․箏形
OA OB OC OD =5
∠AOB=90° ․ ․菱形
OA OC =4,OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․矩形
OA=4,OC =2,OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․正方形
A
B
C
D
E
F
G
H
𝐼
L
K
J
M
O
P N
79
課文C: 梯形的性質
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形就是梯形,其中平行的兩
邊分別稱為上底與下底,不平行的兩邊則稱為腰,梯形面積= (上底+下底)×高
2。
當兩腰相等時,這個梯形就稱為等腰梯形。
等腰梯形有兩個特別的性質:
第一個性質,等腰梯形的兩組底角會分別相等。如下圖的等腰梯形
ABCD 中,∠B 和∠C 為等腰梯形 ABCD 下底的底角,∠A 和∠D 為等腰
梯形 ABCD 上底的底角,兩組底角會分別相等,∠B=∠C,∠A=∠D。
第二個性質,等腰梯形的兩條對角線相等。如下圖等腰梯形ABCD中,
AC和BD為等腰梯形 ABCD 的對角線,兩條對角線會相等, AC = BD。
利用這兩個性質可以解決一些問題,證明在單元三課文 D,這裡先讓
同學經由練習來熟悉性質吧!
上底
下底
腰 腰
A
B C
D
A
B C
D
80
例題一:等腰梯形 ABCD 中, AD // BC ,∠B=60°,∠ACD=30°,
AB =CD =3,BC =6,求
(1)∠BCA=?
(2)∠D=?
(3)∠CAB=?
(4) BD =?
解:(1)等腰梯形的底角會分別相等,所以∠BCD=∠B=60°。
∠ACD=30°,所以∠BCA=∠BCD−∠ACD=60°−30°=30°
(2)因為 AD // BC ,∠D、∠BCD 為同側內角,所以∠D+∠BCD=180°。
∠D=180°−∠BCD=180°−60°=120°
(3)等腰梯形的對角線會相等,所以BD = AC。
看△ABC:
∠B=60°、∠BCA=30°,因為三角形的內角和=180°,
所以∠CAB=180°−∠BCA−∠B=180°−30°−60°=90°。
(4) 因為△ABC 為直角三角形,根據畢氏定理列式:2 2 2
AC AB BC
2 2 2AC BC AB = 2 26 3 =27, 3 3AC BD 。
A
B C
D
60° 60°
3 3
6
A
B C
D
60° 30°
3 3
6
30°
81
例題二:等腰梯形 ABCD 中, AD // BC , AB =CD =13, AD =8,
BC =18, AE、DF 為這個等腰梯形的高,求
(1) BE =?
(2) AE =?
(3)等腰梯形 ABCD 面積=?
解:(1) AE、DF 為這個等腰梯形的高,所以 AE⊥BC 、DF ⊥BC ,
四邊形 AEFD 有四個內角都是 90°,所以四邊形 AEFD 是一個矩形,
EF = AD =8。
BE + EF + FC =18,所以BE + FC =18− EF =18−8=10。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形:
AE、DF 都是等腰梯形的高,所以∠AEB=∠DFC=90°、AE = DF ;而且
AB =CD。
根據 RHS 全等性質,△ABE≅△DCF,而其中對應邊BE = FC 。
BE + FC =10,BE = FC =5。
82
(2)看△ABE,因為 AE為這個等腰梯形的高,所以 AE⊥BC ,
也就是△ABE 是一個直角三角形。而由(1)可以知道BE =5。
根據畢氏定理列式:2 2 2
AE BE AB
2 2 2AE AB BE = 2 213 5 =144
AE =12
(3)等腰梯形 ABCD 面積 =(上底+下底)×高
2
等腰梯形 ABCD 面積= 8 18 12
1562 2
AD BC AE
A
B C
D
13
E F 5
A
B C
D
13 13
8
E 18
12
83
梯形當中還有一個關於兩腰中點連線長的性質!
有一個梯形 ABCD,其中 AD // BC :
(1)找出 AB的中點 E 點、DC的中點 F 點,並連接EF :
(2)複製與梯形 ABCD 相同的梯形 A'B'C'D':
(3)將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°,並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與CD邊貼
合:
(4)請問四邊形 ABA'B'是一個什麼四邊形?
(5)請問梯形 ABCD 的兩腰中點連線長EF 與梯形 ABCD 的上底、下底
有什麼關係?
A
B C
D
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
A’
B’ C’
D’
E’ F’
B’
A’
E’
A
B C(D’)
D(C’)
E F(F’)
84
從上面的活動可以知道梯形兩腰中點連線長的性質,就是兩腰的中點
連線長= (上底+下底)
𝟐。
如下圖,梯形 ABCD 中,AD // BC,且 E 為 AB的中點、F 為DC 的中
點,那麼2
AD BCEF
。
這一性質的證明在後面,這裡先做應用熟悉性質!
例題三:若梯形上底、下底長度的比為 3:5,兩腰的中點連線長為 20,
求上底、下底的長度為何?
解:
任意梯形的兩腰中點連線長= (上底+下底)
𝟐。
假設上底長為 3x、下底長為 5x。
兩腰的中點連線長為 20,可以列式:20=3 5
2
x x,
整理成 20=4x x=5
所以 上底=3×5=15、下底 =5×5=25。
例題四:梯形下底比上底長 8,兩腰的中點連線長為 10,且面積為 50,
求:(1)兩底長為何? (2)高為多少?
D
B
A
C
E F
85
解:(1)假設上底長為 x,下底長為 x+8。
梯形的兩腰中點連線= (上底+下底)
𝟐,
可以列式: 8
2
x x =10
整理成 2 8
2
x=10 x+4=10 x=6
所以 上底=6、下底=6+8=14。
(2)題目當中有說梯形面積為 50,梯形面積= (上底+下底)×高
2。
由(1)可以知道上底=6、下底=14,所以可以列出式子:
(6 + 14) × 高
2= 50
1020
2
高50
高=5
★省思:
例題四中的這個梯形來看,這個梯形的上底是 6、下底是 14、高是 5、
兩腰的中點連線長是 10、面積是 50。
觀察一下,梯形面積= (上底+下底)×高
2以外,還可以怎麼算呢?
會發現兩腰的中點連線長×高=10×5=50 剛好是面積 50。
其實利用梯形兩腰的中點連線長也可以求得梯形面積:
梯形面積= (上底+下底)×高
2=
(上底+下底)
2× 高=兩腰的中點連線長×高
(上底+下底)
2=兩腰的中點連
86
重點提問
1.根據上面的課文,請寫出梯形及等腰梯形的定義。
2.請在下面的方格中,畫出一個梯形、一個等腰梯形。
3.根據上面的課文,請說明等腰梯形的性質,並利用提問 2 所畫的等腰梯
形做說明。
4.根據上面的課文,請說明梯形的兩腰中點連線長跟上底、下底有什麼關
係,並利用提問 2 所畫的梯形做說明。
87
5.根據上面的課文,請說明計算梯形面積的兩種方式,並利用提問 2 所畫
出的梯形做說明。
․隨堂練習:
1.等腰梯形 ABCD 中, AD // BC ,∠B=60°,∠DAC=30°, AB =CD =2,
BC =4,求
(1)∠ACD=?
(2) AD =?
(3) BD =?
(4)等腰梯形 ABCD 面積=?
2.等腰梯形 ABCD 中,AD // BC,AB =CD =10,AD =6,BC =12,AE、DF
為這個等腰梯形的高,求
(1) BE =?
(2) AE =?
(3)等腰梯形 ABCD 面積=?
88
3.若梯形上底、下底長度的比為 3:7,兩腰的中點連線長為 50,求上底、
下底的長度分別為何?
4.梯形下底比上底長 7,兩腰的中點連線長為 15,且面積為 75,求:
(1)兩底長為何?
(2)高為多少?
5.有一個梯形,其兩腰的中點連線長為 18,高為 5,它的面積為多少?
還是不太懂,請看下面影片
梯形
https://youtu.be/VWt1bfIwYVo
例題二+更多例題
https://youtu.be/OwBX4lGHyCo
例題三、四+更多例題
https://youtu.be/TZo224tBSag
更多例題
https://youtu.be/vM7D1qtsWpk
89
課文D: 梯形的性質證明
課文 C 當中說了三個梯形的性質,第一個性質就是「等腰梯形的兩組
底角會分別相等」;第二個性質就是「等腰梯形的兩條對角線會相等」;第
三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長 = (上底長+下底長)
2」。
課文 D 要來證明這三個性質。
先來證明第一個性質:「等腰梯形的兩組底角會分別相等」。
如下圖, AD // BC , AB =CD,作通過 A 點的高 AE、通過 D 點的高
DF :
因為 AD // BC,高 AE會等於高DF,AE = DF,而且 AE會垂直EB、
DF 會垂直FC 。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形:
∠E=∠F=90°, AB =CD, AE = DF 。
根據 RHS 全等性質,△ABE≅△DCF。
所以∠B=∠C。
A
B C
D
E F
90
再來看整個等腰梯形 ABCD,AD // BC,∠A 是∠B 的同側內角,∠D
是∠C 的同側內角:
∠A+∠B=180°、∠D+∠C=180°,又因為∠B=∠C,所以∠A=∠D。
也就是等腰梯形的兩組底角會分別相等。
再來證明第二個性質:「等腰梯形的兩條對角線會相等」。
連接對角線 AC,看到△ABC;而連接對角線BD,看到△DCB:
因為 AB和DC為等腰梯形的兩腰,所以 AB = DC 。
又BC = BC ,∠B=∠C。
根據 SAS 全等性質,△ABC≅△DCB。
所以 AC = DB。
也就是等腰梯形的兩對角線會相等。
A
B C
D
A
B C
B C
D
A
B C
B C
D
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梯形第三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長= (上底長+下底長)
𝟐」。
如下圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,且 E 為 AB的中點、F 為DC 的
中點,
將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°,並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與C D 邊貼
合,其中相對應相等的角如下:
因為∠4+∠5=180°,所以 E、F、E'會在同一條直線上:
在梯形 ABCD 中, AD // BC ,所以∠3+∠6=180°,這也可以知道 B、
C、A'會在同一條直線上:
看EB和E A ,E 為 AB的中點,所以EB = EA,而且EA = E A ,
故EB = E A :
在四邊形 EBA'E'中,EE是這兩條線的截線,其截角∠1、∠2 為同側
內角,又因為∠1+∠2=180°,所以EB // E A 。
EB = E A 、EB // E A ,四邊形 EBA'E'有一雙對邊等長且平行,所以四
邊形 EBA'E'為一個平行四邊形。因此EE= BA。
而EE=2 EF 、BA= BC +CA= BC + D A = BC + AD,
故得 2 EF = AD + BC ,EF =,2
AD BC
即兩腰的中點連線長= (上底長+下底長)
2。
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重點提問
1. 如圖等腰梯形 ABCD 中,AD // BC,AB =CD,AE、DF 為梯形的高。
請證明:
(1)△ABE≅△DCF
(2)∠B=∠C
(3)∠A=∠D
2. 如圖等腰梯形 ABCD 中, AD // BC , AB =CD。請證明:
(1)△ABC≅△DCB
(2) AC = BD
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