f lucian - facultatea de matematica iasimaticiuc/didactic/msi_curs x_serii de puteri.pdf · precum...
Post on 10-Feb-2020
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Facultatea de Hidrotehnica, Geodeziesi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC
CURS X
Capitolul V: Serii de functii; serii de puteri
1 Siruri de functii
Fie A ⊂ R o submultime a lui R. Fie fn : A→ R o functie definita pentru orice n ∈ N. Sirul (fn)nse va numi sir de functii. De exemplu fn : R → R definite de fn (x) = sin
(x+ 1
n
), n ≥ 1 sau
fn : R→ R definite de fn (x) = xn, n ≥ 0.Ca si ın cazul seriilor numerice, suntem interesati sa studiem comportamentul aplicatiilor fn
cand n → ∞. Primul pas este acela de a analiza sirul numeric dat de valorile functiilor fn ınfiecare punct al domeniului A.
Definitia 1 Sirul de functii (fn)n converge punctual ın x ∈ A daca sirul numeric (fn (x))n convergepentru n → ∞. Submultimea C ⊂ A unor asemenea puncte de convergenta x se numeste multimea deconvergenta punctuala a sirului de functii (fn)n. Astfel putem defini functia f : C → R prin
f (x) = limn→∞
fn (x) , ∀x ∈ C.
Vom scrie fn → f punctual pe C.
Remarca 2 Din definitie deducem ca f este limita sirului de functii (fn)n daca si numai daca
limn→∞
|fn (x)− f (x)| = 0, ∀x ∈ C.
Exemplul 3 Fie fn : R→ R definita de fn (x) = sin(x+ 1
n
), n ≥ 1. Utilizand faptul ca
(x+ 1
n
)→ x
precum si continuitatea functiei sin deducem ca
f (x) = limn→∞
sin
(x+
1
n
)= sinx , ∀x ∈ R = C.
Exemplul 4 Fie fn : R→ R definita de fn (x) = xn, n ≥ 0. Utilizand limite cunoscute deducem ca
limn→∞
xn =
0, daca |x| < 1,
1, daca x = 1,
+∞, daca x > 1,
@ daca x ≤ −1.
Deci functia limita f este definita pe C = (−1, 1] prin
f (x) = limn→∞
xn =
{0, daca |x| < 1,
1, daca x = 1.
1
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 5 Mentionam ca notiunea de convergenta punctuala nu este suficienta, ın multe cazuri, pentrua transfera propritetati ale functiilor fn la functia limita f . Continuitatea, diferentiabilitatea sau integra-bilitatea sunt asemenea situatii. In exemplul de mai sus se vede ca fn (x) = xn sunt continue dar functialimita nu este continua (ın punctul x = 1).
Introducem ın continuare notiunea de uniforma convergenta. Pentru aceasta vom relua definitiaconvergentei punctuale. Astfel: ∀x ∈ C, ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N astfel ıncat
∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε.
Deci acest n0 depinde de ε si de x (adica n0 = n0 (ε, x)). In alti termeni spunem ca rangul (pragul)n0 pentru care fn (x) se apropie de f (x), variaza de la un punct la altul. De exemplu pentrufn (x) = xn cu x ∈ (0, 1), conditia |fn (x)− f (x)| < ε devine
|xn − 0| < ε⇔ xn < ε⇔ n lnx < ln ε⇔ n >ln ε
lnx
(am folosit faptul ca x ∈ (0, 1)⇔ lnx ∈ (−∞, 0)).Deci rangul n0 =
[ln εln x
](partea ıntreaga a lui ln ε/ lnx), deci depinde de punctul x ın care
studiem limita. Observam ca daca x→ 1 atunci lnx→ 0− deci ln εln x →
ln ε0−
= +∞.Convergenta se va numi uniforma daca rangul n0 se va putea alege independent de x. Astfel
definitia trebuie reformulata: ∀ε > 0, ∃ n0 = n0 (ε) ∈ N astfel ıncat
∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε, ∀x ∈ C.
Utilizand notiunea de supremum putem reformula astfel:
∀n ≥ n0 ⇒ supx∈C|fn (x)− f (x)| < ε .
Definitia 6 Sirul (fn)n converge uniform pe C la functia f daca
limn→∞
supx∈C|fn (x)− f (x)| = 0.
In alte cuvinte, pentru orice ε > 0, exista rangul n0 = n0 (ε) ∈ N astfel ıncat
∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x)− f (x)| < ε, ∀x ∈ C.
Vom scrie fn −−→u
f.
Exemplul 7 Fie fn : R→ R, fn (x) := sin(x+ 1
n
), n ≥ 1. Vom utiliza formula trigonometrica
sin a− sin b = 2 sina− b
2cos
a+ b
2
(ıntr-adevar, sin a− sin b = sin(a+b2 + a−b
2
)− sin
(a+b2 −
a−b2
)= sin a+b
2 cos a−b2 + sin a−b2 cos a+b2 −
sin a+b2 cos a−b2 − sin a−b
2 cos a+b2 ).Deci pentru orice x ∈ R
|fn (x)− f (x)| =∣∣∣∣sin(x+
1
n
)− sinx
∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣sin 1
2n
∣∣∣∣ ∣∣∣∣cos
(2x+
1
2n
)∣∣∣∣ ≤ 2
∣∣∣∣sin 1
2n
∣∣∣∣ = 2 sin1
2n.
Daca trecem la limita pentru n→∞ deducem ca
limn→∞
supx∈R|fn (x)− f (x)| = 2 lim
n→∞supx∈R
sin1
2n= 2 lim
n→∞sin
1
2n= 2 sin 0 = 0.
2
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 8 Fie fn : R→ R, fn (x) := xn, n ≥ 0. Vom considera x ∈ [0, 1). Atunci
limn→∞
supx∈[0,1)
|fn (x)− f (x)| = limn→∞
supx∈[0,1)
|xn − 0| = limn→∞
supx∈[0,1)
xn = limn→∞
1 = 1 6= 0.
Daca vom considera intervalul [0, a] cu 0 < a < 1, deducem ca
limn→∞
supx∈[0,a]
|fn (x)− f (x)| = limn→∞
supx∈[0,a]
xn = limn→∞
an = 0,
adica fn (x) := xn converge uniform pe orice subinterval compact [0, a] ⊂ [0, 1). Se poate arata chiar ca
xn −−→u
0, pe orice [−a, a] ⊂ (−1, 1) .
2 Proprietati ale sirurilor de functii uniform convergente
Convergenta punctuala nu este suficienta pentru a putea transfera proprietatea de continuitate(vezi si exemplul din Observatia 5).
Teorema 9 Fie sirul de functii continue (fn)n astfel ıncat fn −−→u
f pe intervalul I. Atunci limita f esteo functie continua.
De asemenea, convergenta punctuala nu este suficienta pentru a putea transfera integrabili-tatea. Astfel:
Exemplul 10 Fie fn (x) := xn2e−nx cu x ∈ [0, 1]. Atunci are loc convergenta punctuala (pentru oricex ∈ [0, 1])
fn (x) = xn2e−nx → 0 =: f (x) , cand n→∞.
Pe de alta parte ∫ 1
0
f (x) dx =
∫ 1
0
0dx = 0,
iar∫ 1
0
fn (x) dx =
∫ 1
0
xn2e−nxdx = (cu schimbarea de variabila nx = y) =
∫ n
0
ye−ydy
= (metoda de integrare prin parti) =(−ye−y − e−y
)∣∣y=ny=0
= 1→ 1, cand n→∞.
Teorema 11 Fie I = [a, b] si sirul (fn)n de functii integrabile pe I astfel ıncat fn −−→u
f pe I. Atuncilimita f este o functie integrabila si∫ b
a
fn (x) dx→∫ b
a
f (x) dx, cand n→∞.
Remarca 12 In conditiile teoremei de mai sus putem scrie
limn→∞
∫ b
a
fn (x) dx =
∫ b
a
limn→∞
fn (x) dx .
Teorema 13 Fie sirul (fn)n de functii derivabile pe I = [a, b] cu derivatele continue pe I . Presupunemca exista doua functii f, g : I → R astfel ıncat fn −−→ f punctual pe I si f ′n −−→
ug pe I . Atunci limita f
este o functie derivabila pe I cu derivata continua pe I si f ′ = g.
3
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 14 In conditiile teoremei de mai sus putem scrie
limn→∞
f ′n (x) =(
limn→∞
fn (x))′, ∀x ∈ I.
Exemplul 15 Fie f, fn : [0, 1]→ R, f (x) := x si fn (x) := x− xn
n . Atunci fn −−→u
f deoarece
limn→∞
supx∈[0,1]
|fn (x)− f (x)| = limn→∞
supx∈[0,1]
xn
n≤ limn→∞
supx∈[0,1]
1
n= limn→∞
1
n= 0.
Pe de alta parte functiilef ′n (x) = 1− xn−1
converg la functia discontinua
g (x) =
{1, daca x ∈ [0, 1),
0, daca x = 1.
Deci sirul (f ′n)n converge doar punctual la functia g, pe [0, 1] (nu si uniform) si se vede ca g nu coincidecu derivata lui f (care este limita uniforma a lui fn).
3 Serii de functii
Fie (fn)n≥0 un sir de functii fn : A ⊂ R → R. Putem construi acum (ın acelasi mod ca si seriilenumerice) seria de functii
∞∑n=0
fn = f1 + f2 + · · ·+ fn + · · ·
Mai precis, consideram sirul sumelor partiale (sn)n dat de
sn (x) :=n∑k=0
fk = f1 + f2 + · · ·+ fn .
Putem acum considera diverse tipuri de convergente.
Definitia 16 Seria de functii∑∞n=0 fn spunem ca converge punctual ın x ∈ A daca sirul sumelor partiale
(sn)n converge punctual ın x. Echivalent, seria numerica∑∞n=0 fn (x) converge.
Definitia 17 Submultimea C ⊂ A unor asemenea puncte de convergenta x se numeste multimea deconvergenta punctuala a seriei
∑∞n=0 fn . Astfel putem defini functia s : C → R prin
s (x) = limn→∞
sn (x) =n∑k=0
fn (x) , ∀x ∈ C.
Prin urmare multimea de convergenta punctuala a unei serii poate fi studiata utilizand ınfiecare punct x ∈ A ceea ce stim deja de la serii numerice.
Definitia 18 Seria de functii∑∞n=0 fn spunem ca converge uniform la functia s pe multimea C daca sirul
sumelor partiale (sn)n converge uniform pe C.
Exemplul 19 Seria∑∞n=0 x
n este exact seria geometrica (cu q luat ca variabila independenta, renotatacu x). Aceasta serie se stie ca converge (punctual) ın orice x ∈ (−1, 1). Intr-adevar, pentru orice x ∈(−1, 1)⇒ xn → 0, cand n→∞ si
sn (x) = 1 + x+ x2 + · · ·xn =1− xn+1
1− x→ 1
1− x, n→∞.
4
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Deci∞∑n=0
xn =1
1− x, ∀x ∈ (−1, 1) .
In ceea ce priveste uniforma convergenta, aceasta are loc pe orice interval compact [−a, a] (cu a ∈ (0, 1)arbitrar).
Are loc
|sn (x)− s (x)| ≤∣∣∣∣1− xn+1
1− x− 1
1− x
∣∣∣∣ =|x|n+1
1− x≤ an+1
1− x→ 0
1− x= 0.
Avand ın vedere Teoremele 11 si 13 enuntam:
Teorema 20 (de integrare a seriei termen cu termen) Fie I = [a, b] un interval ınchis si (fn)n un sirde functii integrabile pe I astfel ıncat seria
∑∞n=0 fn converge uniform la functia s pe I . Atunci I este
integrabila pe I si ∫ b
a
s (x) dx =
∫ b
a
∞∑n=0
fn (x) dx =∞∑n=0
∫ b
a
fn (x) dx .
Teorema 21 (de derivare a seriei termen cu termen) Fie I = [a, b] un interval ınchis si (fn)n un sirde functii derivabile pe I cu derivatele continue pe I. Presupunem ca exista s, t : I → R astfel ıncat:
(i)∑∞n=0 fn (x) = s (x) , ∀x ∈ I,
(ii)∑∞n=0 f
′n (x) = t (x) , ∀x ∈ I, si convergenta este uniforma pe I .
Atunci s este derivabila pe I cu derivata continua pe I si s′ = t.
Remarca 22 Teorema de mai sus afirma ca
∞∑n=0
f ′n (x) =
( ∞∑n=0
fn (x)
)′, ∀x ∈ I.
Teorema 23 (testul lui Weierstrass) Fie (fn)n un sir de functii definite pe A si (Mn)n un sir numericastfel ıncat
|fn (x)| ≤Mn , ∀x ∈ A
si seria numerica∑∞n=0Mn converge. Atunci seria
∑∞n=0 fn converge uniform pe multimea A.
(fara demonstratie)
Exemplul 24 Fie seria∞∑n=1
sin(xn4
)n√n
, x ∈ R.
Avem ca ∣∣∣∣∣ sin(xn4
)n√n
∣∣∣∣∣ ≤ 1
n√n
=1
n3/2
iar∞∑n=1
1
n√n
=∞∑n=1
1
n3/2
care este convergenta (seria armonica generalizata scrisa pentru α = 3/2). Deci Mn = 1n3/2 iar seria data∑∞
n=1
sin(xn4)n√n
converge uniform pe R.
5
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
4 Serii de puteri
Seriile de puteri sunt un caz particular de serii de functii obtinut atunci cand fn (x) = anxn.
Definitia 25 Fie (an)n un sir numeric. Numim serie de puteri, o serie de forma
∞∑n=0
anxn = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3 + · · · anxn + · · ·
Numerele an cu n ∈ N, se vor numi coeficientii seriei.
Exemplul 26 Seria∑∞n=1 n
nxn nu este convergenta, pentru orice x 6= 0, deoarece (privita ca serie nu-merica) termenul general al seriei nnxn nu tinde la zero (Exercitiu !, x se va privi ca un parametru), candn→∞.
Exemplul 27 Seria∞∑n=0
xn
n!= 1 +
x
1!+x2
2!+x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · ·
este convergenta, pentru orice x ∈ R.Intr-adevar, privita ca serie numerica, aplicam criteriul raportului al lui D’Alembert pentru seria module-lor (ca sa fie serie cu termeni pozitivi) si obtinem∣∣∣ xn+1
(n+1)!
∣∣∣∣∣xn
n!
∣∣ =|x|n+1
|x|nn!
(n+ 1)!=|x|n+ 1
→ 0 < 1, cand n→∞, ∀x ∈ R∗.
Evident, pentru x = 0 serie este convergenta.Se va arata ulterior ca aceasta serie de puteri are suma ex adica
ex = 1 +x
1!+x2
2!+x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · ·
=∞∑n=0
xn
n!,∀x ∈ R.
Exemplul 28 Seria geometrica
∞∑n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·
este convergenta, pentru orice x ∈ (−1, 1).Intr-adevar, privita ca serie numerica, aplicam criteriul raportului al lui D’Alembert pentru seria module-lor (ca sa fie serie cu termeni pozitivi) si obtinem∣∣xn+1
∣∣|xn|
= |x| → |x| , cand n→∞.
Deci pentru orice |x| < 1 seria modulelor este convergenta.Se arata usor ca aceasta serie de puteri are suma 1
1−x adica
1
1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + · · ·
=∞∑n=0
xn ,∀x ∈ (−1, 1) .
6
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
In exemplele de mai sus seria converge (absolut) pe un interval simetric (ın raport cu origi-nea). Vom arata ca multimea de convergenta C a oricarei serii de puteri este ori R ori un intervalmarginit (deschis, ınchis sau semi-deschis) centrat ın 0.
Astfel se poate demonstra urmatorul rezultat foarte important:
Propositia 29 Daca seria de puteri∑∞n=0 anx
n converge ın punctul x1 6= 0, atunci converge absolut peintervalul deschis (− |x1| , |x1|). Daca seria de puteri
∑∞n=0 anx
n nu converge ın punctul x2 6= 0, atuncinu converge ın nici un punct din multimea (−∞, |x2|)∪(|x2| ,+∞) (vezi si desenul ın cazul x1, x2 > 0).
Demonstratie. Daca seria converge ın punctul x1 6= 0 atunci, conform definitiei, seria numerica∑∞n=0 anx
n1 este convergenta deci termenul general al seriei anxn1 → 0 cand n → ∞. Deci sirul
(anxn1 )n este sir marginit (fiind convergent). Sa notam cu M > 0 cantitatea pentru care
|anxn1 | ≤M , ∀n ∈ N.
Deci, pentru orice x astfel ıncat |x| < |x1| ⇔ x ∈ (− |x1| , |x1|), avem
|anxn| =∣∣∣∣anxn1 ( x
x1
)n∣∣∣∣ ≤M (|x||x1|
)n, ∀n ∈ N.
Seria obtinuta∞∑n=0
M
(|x||x1|
)neste o serie geometrica cu q = |x|
|x1| ∈ (0, 1) (deoarece |x| < |x1|) deci este o serie convergenta.Conform criteriului comparatiei (de la serii numerice) deducem ca seria
∑∞n=0 |anxn| este con-
vergenta deci∑∞n=0 anx
n este absolut convergenta pentru orice x ∈ (− |x1| , |x1|).Rezultatul principal este urmatorul:
Teorema 30 Fie seria de puteri∑∞n=0 anx
n. Atunci exista R ∈ [0,+∞] astfel ıncat:(i) seria este absolut convergenta ın orice punct din intervalul deschis (−R,R);(ii) seria este divergenta ın orice punct x ∈ (−∞, R) ∪ (R,+∞);Pentru orice r ∈ (0, R), seria este uniform convergenta ın orice punct x ∈ [−r, r].Termenul R se numeste raza de convergenta a seriei de puteri iar intervalul pe care este convergenta senumeste multimea de convergenta.
Demonstratie. Sa notam cu C multimea de convergenta.Daca seria de puteri este convergenta doar ın x = 0 atunci R = 0.Sa presupunem ca exista un punct x0 6= 0 ın care seria este convergenta. Atunci conform
Propozitiei 29 seria∑∞n=0 anx
n este absolut convergenta ın orice punct x ∈ (− |x0| , |x0|). DeciC contine intervalul (− |x0| , |x0|). Prin urmare, notand cu R := sup C, deducem ca R > 0. Sapresupunem ca R < +∞. Atunci se poate arata imediat concluzia. Intr-adevar, daca luam xarbitrar fixat astfel ıncat |x| < R⇔ x ∈ (−R,R) atunci (avand ın vedere ca R este un supremum)exista x1 ∈ C cu x1 ∈ (|x| , R) si deci seria initiala este absolut convergenta ın x (deoarece |x| < x1).
Imediat se poate dovedi si divergenta ın punctul x astfel ıncat |x| > R.De asemenea, pentru x fixat astfel ıncat |x| < r cu r arbitrar ın (0, R) avem ca
|anxn| = |an| rn , ∀n ∈ N.
Dar seria∑∞n=0 |an| rn este convergenta (deoarece r < R) deci si seria
∑∞n=0 |anxn| este conver-
genta adica seria∑∞n=0 anx
n este absolut convergenta.
Remarca 31 Raza de convergenta este definita de
R := sup
{x ∈ R :
∞∑n=0
anxn converge
}.
7
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 32 In punctele x = ±R convergenta se va studia separat (pentru x = ±R seria devine unanumerica).Deci multimea de convergenta poate fi (−R,R) sau (−R,R] sau [−R,R).
Exemplul 33 Se vede acum ca raza de convergenta este R = 0 ın cazul Exemplului 26, R = +∞ ıncazul Exemplului 27 si R = 1 ın cazul Exemplului 28.
Teorema 34 Fie seria de puteri∑∞n=0 anx
n si R raza sa de convergenta. Sa presupunem ca an 6= 0,∀n ∈ N.(i) Daca exista lim
n→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = ` atunci
R =1
limn→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ ;
(i) Daca exista limn→∞
n√|an| = ` atunci
R =1
limn→∞
n√|an|
.
Demonstratie. (i) Fie x un punct oarecare. Aplicam criteriul raportului seriei numerice∑∞n=0 |anxn|
limn→∞
∣∣an+1xn+1∣∣
|anxn|= limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ |x| = ` |x| .
Daca ` = 0 atunci limn→∞|an+1x
n+1||anxn| = 0 < 1 deci conform criteriului raportului avem ca seria∑∞
n=0 |anxn| este convergenta deci seria initiala∑∞n=0 anx
n este absolut convergenta oricare ar fix ∈ R. Deci R = 1
0+= +∞.
Daca ` = +∞ atunci limn→∞|an+1x
n+1||anxn| = +∞ > 1 deci conform criteriului raportului avem ca
seria∑∞n=0 |anxn| este divergenta R = 1
+∞ = 0.
Fie acum ` ∈ (0,+∞). Daca |x| < 1/` atunci limn→∞|an+1x
n+1||anxn| = ` |x| < 1 deci conform criteriu-
lui raportului avem ca seria∑∞n=0 |anxn| este convergenta deci seria initiala
∑∞n=0 anx
n este ab-
solut convergenta oricare ar fi |x| < 1/`. Daca |x| > 1/` atunci limn→∞|an+1x
n+1||anxn| = ` |x| > 1 deci
conform criteriului raportului avem ca seria∑∞n=0 |anxn| este divergenta oricare ar fi |x| > 1/`.
Prin urmare raza de convergenta este exact R = 1/`.(ii) Trebuie urmat acelasi rationament aplicand criteriul radacinii de la serii numerice.
Exemplul 35 (vezi si Exemplele 26-28) Seria∑∞n=1 n
nxn =∑∞n=0 anx
n are sirul an = nn. Raza deconvergenta este data de
R =1
limn→∞
n√|an|
=1
limn→∞
n√nn
=1
limn→∞
n= 0
deci multimea de convergenta este (−0, 0), adica este formata dintr-un singur punct x = 0.
Exemplul 36 Seria∑∞n=0
xn
n! =∑∞n=0 anx
n are sirul an = 1n! . Raza de convergenta este data de
R =1
limn→∞
|an+1||an|
=1
limn→∞
| 1(n+1)! || 1n! |
=1
limn→∞
1n+1
=1
0+= +∞
deci multimea de convergenta este (−∞,∞), adica seria este convergenta ın orice punct x ∈ R.
8
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 37 Seria∑∞n=0 x
n =∑∞n=0 anx
n are sirul an = 1. Raza de convergenta este data de
R =1
limn→∞
|an+1||an|
=1
limn→∞
11
=1
1= 1.
deci multimea de convergenta este (−1, 1), adica seria este convergenta ın orice punct x ∈ (−1, 1).In capete trebuie studiat separat.Pentru x = −1 seria devine seria numerica
∑∞n=0 (−1)
n care este divergenta deoarece termenul gene-ral (−1)
n nu tinde la zero (@ limn→∞
(−1)n).
Pentru x = 1 seria devine seria numerica∑∞n=0 1n =
∑∞n=0 1 care este divergenta deoarece termenul
general 1 nu tinde la zero ( limn→∞
1 = 1 6= 0).Deci multimea de convergenta ramane (−1, 1) .
Exercitiul 38 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=0
xn
n2 . In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C = [−1, 1].
Exercitiul 39 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=0
xn
n . In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C =[−1, 1).
Exercitiul 40 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=0 nx
n. In punctele ±R (= ±1) convergentatrebuie studiata separat. Se va obtine C = (−1, 1).
Exercitiul 41 Determinati raza de convergenta a seriei∑∞n=1
n!nnx
n. Se va obtine ±R (= ±e).
5 Operatii cu serii de puteri
Teorema 42 Fie doua serii de puteri∑∞n=0 anx
n si∑∞n=0 bnx
n cu razele de convergenta R1 respectivR2. Atunci seria de puteri
∑∞n=0 (an ± bn)xn are raza de convergenta R = min (R1, R2) . Are loc si
∞∑n=0
(an ± bn)xn =∞∑n=0
anxn ±
∞∑n=0
bnxn .
(fara demonstratie)
Teorema 43 Fie seria de puteri∑∞n=0 anx
n cu raza de convergenta R si suma s (x). Atunci(i) seria derivatelor
∑∞n=1 nanx
n−1 are aceeasi raza de convergenta R si are loc
s′ (x) =
( ∞∑n=0
anxn
)′=∞∑n=0
(n+ 1) an+1xn , ∀x ∈ (−R,R) .
(ii) seria integralelor∑∞n=0
ann+1x
n+1 are aceeasi raza de convergenta R si are loc
∫ x
0
s (t) dt =
∫ x
0
( ∞∑n=0
antn
)dt =
∞∑n=0
ann+ 1
xn+1 , ∀x ∈ (−R,R) .
(fara demonstratie)
Exemplul 44 Stim ca1
1− x=∞∑n=0
xn , ∀x ∈ (−1, 1) .
9
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Inlocuind x cu −x obtinem si seria
1
1 + x=∞∑n=0
(−1)nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .
Inlocuind x cu x2 obtinem si seria
1
1 + x2=∞∑n=0
(−1)nx2n , ∀x ∈ (−1, 1) .
Derivand termen cu termen obtinem(
11−x
)′=∑∞n=0 (xn)
′, ∀x ∈ (−1, 1), deci
1
(1− x)2 =
∞∑n=1
nxn−1 =∞∑n=0
(n+ 1)xn , ∀x ∈ (−1, 1)
precum six
(1− x)2 =
∞∑n=1
nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .
Integrand termen cu termen cea de a doua serie obtinem∫ x0
11+tdt =
∑∞n=0
∫ x0
(−1)ntndt , ∀x ∈ (−1, 1),
deci
ln (1 + x) =∞∑n=0
(−1)n
n+ 1xn+1 =
∞∑n=1
(−1)n−1
nxn , ∀x ∈ (−1, 1) .
Integrand termen cu termen cea de a treia serie obtinem∫ x0
11+t2 dt =
∑∞n=0
∫ x0
(−1)nt2ndt , ∀x ∈
(−1, 1), deci
arctg (x) =
∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1x2n+1 , ∀x ∈ (−1, 1) .
6 Serii Taylor
Definitia 45 Se numeste serie Taylor o serie de puteri de forma
∞∑n=0
an (x− a)n
= a0 + a1 (x− a) + a2 (x− a)2
+ · · ·+ an (x− a)n
+ · · ·
unde a ∈ R.
Remarca 46 Seria de puteri de mai sus este convergenta ın intervalul (a−R, a+R) unde R este razade convergenta a seriei
∑∞n=0 any
n.
Definitia 47 Se numeste serie Taylor asociata functiei f ın punctul a, seria de puteri
f (a) +f ′ (a)
1!(x− a) +
f ′′ (a)
2!(x− a)
2+ · · ·+ f (n) (a)
n!(x− a)
n+ · · ·
Definitia 48 Se numeste serie Mac-Laurin asociata functiei f , seria Taylor ın punctul a = 0, adica
f (0) +f ′ (0)
1!x+
f ′′ (0)
2!x2 + · · ·+ f (n) (0)
n!xn + · · ·
10
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 49 Observam ca sumele partiale ale acestei serii de puteri sunt exact polinoamele Taylor de gradn, atasate functiei f ın punctul a, adica
Tn (x) = f (a) +f ′ (a)
1!(x− a) +
f ′′ (a)
2!(x− a)
2+f ′′′ (a)
3!(x− a)
3+ + · · ·+ f (n) (a)
n!(x− a)
n.
Reamintim fomula lui Taylor
Definitia 50 (Formula lui Taylor) Daca f : I → R este o functie de (n+ 1) ori derivabila pe I atuncipentru oricare doua puncte x, a ∈ I formula
f (x) = f (a) +f ′ (a)
1!(x− a) +
f ′′ (a)
2!(x− a)
2+f ′′′ (a)
3!(x− a)
3+ · · ·
+f (n) (a)
n!(x− a)
n+Rn (x)
se numeste formula lui Taylor de ordin n corespunzatoare functiei f ın punctul a. Cantitatea Rn (x) senumeste restul de ordin n din formula Taylor si are diverse forme de exprimare.
Teorema 51 Seria Taylor asociata functiei f ın punctul a are drept suma ın punctul x ∈ C ∩ I (multimeade convergenta a seriei de puteri intersectata cu domeniul functiei) valoarea f (x) daca si numai dacaresturile Rn (x) formeaza un sir convergent la zero.(fara demonstratie)
Remarca 52 Deci Rn (x)→ 0, n→∞ daca si numai daca
f (x) = f (a) +f ′ (a)
1!(x− a) +
f ′′ (a)
2!(x− a)
2+ · · ·+ f (n)
n!(x− a)
n+ · · ·
Teorema 53 Seria Mac-Laurin asociata functiei f are drept suma ın punctul x ∈ C ∩ I (multimea deconvergenta a seriei de puteri intersectata cu domeniul functiei) valoarea f (x) daca si numai daca resturileRn (x) formeaza un sir convergent la zero.
Adica Rn (x)→ 0, n→∞ daca si numai daca
f (x) = f (0) +f ′ (0)
1!x+
f ′′ (0)
2!x2 + · · ·+ f (n) (0)
n!xn + · · ·
Exemplul 54 Sa se dezvolte ın serie de puteri functia f (x) = (1 + x)α cu α ∈ R \ N.
Avem f ′ (x) = α (1 + x)α−1, f ′′ (x) = α (α− 1) (1 + x)
α−2, deci prin inductie
f (n) (x) = α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1) (1 + x)α−n
deci f (0) = 1 , f ′ (0) = α , f ′′ (0) = α (α− 1) adica
f (n) (0) = α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
Seria Taylor asociata functiei f ın punctul a = 0 este
1 +α
1!x+
α (α− 1)
2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!xn + · · ·
Pentru a calcula raza de convergenta a acestei serii sa notam cu an =α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!si sa calculam
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1) (α− n)
(n+ 1)!
α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!
∣∣∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣α− nn+ 1
∣∣∣∣ = 1
11
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul V: Serii de puteri Lect. dr. Lucian Maticiuc
deci raza este R = 1 adica seria este convergenta pentru orice x ∈ (−1, 1).Observatie: ın capetele x = −1, x = 1 convergenta trebuie studiata separat !Pe de alta parte formula lui Taylor asociata acestei functii ın punctul a = 0 este
(1 + x)α
= 1 +α
1!x+
α (α− 1)
2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!xn +Rn (x)
Se poate arata (!) ca Rn (x) → 0, n → ∞, deci deducem ca seria de mai sus, asociata functiei f (x) =(1 + x)
α, are suma data de chiar f (x) = (1 + x)α, adica are loc urmatoarea dezvoltare importanta numita
dezvoltarea binomiala
(1 + x)α
= 1 +α
1!x+
α (α− 1)
2!x2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!xn + · · · , ∀ |x| < 1.
Exemplul 55 Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul lui a = 6 functia f (x) = 3√x+ 2.
Vom folosi dezvoltarea binomiala
(1 + y)α
= 1 +α
1!y +
α (α− 1)
2!y2 + · · ·+ α (α− 1) (α− 2) · · · (α− n+ 1)
n!yn + · · · , ∀ y cu |y| < 1
pentru α = 1/3 deoarece avem f (x) = 3√x+ 2 = (x+ 2)
1/3. Se cere dezvoltarea ın jurul lui a = 6,adica trebuie sa apara termenii (x− 6)
n. Pentru a putea aplica exact dezvoltarea de mai sus scriem
(x+ 2)1/3
= ((x− 6) + 6 + 2)1/3
= (8 + (x− 6))1/3
= 81/3(
1 +x− 6
8
)1/3
deci are loc3√x+ 2 = 2
(1 +
x− 6
8
)1/3
Acum trebuie scrisa dezvoltarea binomiala pentru α = 1/3 si de ınlocuit y =x− 6
8.
12
Lucia
n Mati
ciuc
top related