factorizacion

FACTORIZAR

Es expresar un número o una expresión algebraica(polinomio) como un producto de factores.

Ejemplo: 15 = 3*5

ax + bx = x(a+ b)

Recuerde que:

•Asterisco (*) representa la operación multiplicación .

•Si entre dos términos no aparece ningún símbolo dealguna operación se sobreentiende que es laoperación multiplicación: a*b = ab

•Los términos de la multiplicación se llaman factores

•Para verificar si el proceso de factorización escorrecta realice la multiplicación obtenida y tienen quedarle expresión original.

¿CÓMO SE FACTORIZA UN POLINOMIO?

Depende del tipo de polinomio, si es unpolinomio:

1. Que tiene factores comunes.

2. De la forma x2 + bx + c ó ax2 + bx + c

3. De la forma x2 – y2

4. De la forma x3 ± y3

Existen de otros tipos, pero sólo analizaremos loscasos anteriores, que son los que más vamosa utilizar.

Empezamos explicando el caso 1:

FACTOR COMÚNRecibe este nombre porque en el polinomioaparecen factores “repetidos” o comunes en todoslos términos del polinomio.Ejemplo1 : nx2 + ny2

Observe que el factor n es común (repetida) en losdos término del polinomio.Ejemplo 2: x2y + 3x4z¿Cuál es el factor común?Ejemplo 3: 6x3 +18x2

Observe que en la parte literal el factor común es laletra x. Pero observamos también que en la partenumérica el 6 también es factor común ya que:6 = 6*1 y 18 = 6*3, es decir el 6 está en el mismo 6 yen el 18

¿CÓMO SE FACTORIZA?1. Observa con atención cada término del polinomio.2. Analiza qué términos tienen factores literales (letras)

repetidas o comunes. Si aparecen letras con distintosexponentes, escoge como factor común la de menorexponente.

3. Observa los coeficientes (parte numérica), escoge comofactor común el mayor número que divida exactamente acada uno de ellos, por ejemplo a 12 y 28, lo dividen el 2 y el4; se escoge el mayor: 4 (Un método es calculando elmáximo común divisor de los números dados)

4. Ahora se procede a factorizar, formaremos unamultiplicación con dos factores: el primero será los factorescomunes literales y numéricos y el segundo factor seobtiene dividiendo cada término del polinomio por el factorcomún, el resultado será colocará entre paréntesis . Y asíterminamos el proceso de factorización. Para comprobarrealice la multiplicación que le resultó y el producto debeser igual al polinomio dado. Veamos un ejemplo:

Factorizar: 8x2y3 – 36x4y5 + 24x2

y 2z

Primer paso: Observe cada término

8x2y3

– 36x4y5

+ 24x2y 2z

Segundo paso: Identificar los factores literales comunes

8x2y3

– 36x4y5

+ 24x2y 2zLos factores literales comunes (aparecen en los tres

términos) son :x y

En x, la que tiene menor exponente es: x2

En y, la que tiene menor exponente es:y 2

Por lo tanto el factor común es: x2y 2

Tercer paso: Identificar los factoresnuméricos comunes

8x2y3

– 36x4y5

+ 24x2y 2zLos factores numéricos comunes (aparecen en los tres

términos) son :8 = 4*2

36 = 4*924 = 4 *6

En consecuencia, el mayor número que divide a 8, 36 y 24 es: 4

Por lo tanto el factor común del polinomio es: 4x2y 2

El cual será el primer factor

Cuarto paso: Factorizamos, dividiendo cada término del

polinomio entre el factor común:

Entonces el polinomio quedaría factorizado así:8x2y3 – 36x4y5 + 24x2 y 2z = 4x2y 2(2y2 – 9x2y3 + 6z)

EJERCICIOSFactoriza los siguientes polinomios:1. xy2 – y2w2. 5xy2 – 15y3. 24a3b2 – 12a3b3

4. 4xy – 8xy2 – 12xy3

5. 16a4b5 – 20a3b2 - 24a2b6

6. 2x(a - 1) – 3y(a - 1)7. x(a + 9) – a – 98. – x – y + a(x + y)9. (a + 5)(a + 1) – 2(a + 1)10. (a + b – 2)(a2 + 2) – a2 – 2

EJERCICIOS

Factoriza los siguientes polinomios:

1. (3x2 + 8)(x + y – z) – (3x2 + 8) – (x + y –4)(3x2 + 8)

2. 16a2x2 – 8bx2 + a2y2 – 8by2

3. 1 + a + 8ab + 8b

4. 6ax – 2by – 2bx - 12a + 6ay + 4b

5. a2b3 – m5 + a2b3x2 – m5 x2 – 3a2b3x + 3m5x

6. (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5)

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercifc.htm