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Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 1 -
FFEESSTTIIGGKKEEIITTSSLLEEHHRREE Schwerpunkte (baricentro) Der Schwerpunkt ist der Durchgangspunkte der Resultierenden aller Massenkräfte einer Linie, einer Fläche oder eines Körpers. Im Schwerpunkt eines Körpers kann man sich das Gewicht desselben konzentriert vorstellen. Ein im Schwerpunkt unterstützter Körper (Fläche, Linie) befindet sich im indifferenten Gleichgewicht. Alle Linien durch den Schwerpunkt nennt man Schwerlinien. Der Schwerpunkt kann rechnerisch oder graphisch ermittelt werden. Schwerpunkt von Linien
21
2211s
21
2211s
LLzLzLz
LLyLyLy
+⋅+⋅
=
+⋅+⋅
=
Allgemein:
( )
( )∑
∑∑
∑
⋅=
⋅=
i
iis
i
iis
LzL
z
LyL
y
S1
y1 yS y2
zS
z1 z2
y
z
S2
S
S
G
S
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 2 -
Schwerpunkt von Flächen
321
332211s
321
332211s
AAAzAzAzAz
AAAyAyAyAy
++⋅+⋅+⋅=
++⋅+⋅+⋅=
Allgemein:
( )
( )∑
∑∑
∑
⋅=
⋅=
i
iis
i
iis
AzAz
AyA
y
Beispiel:
cm20zcm15y
cm12004030A
1
1
21
==
=⋅=
cm50zcm35y
cm14007020A
2
2
22
==
=⋅=
=+
⋅+⋅=+
⋅+⋅=14001200
351400151200AA
yAyAy21
2211s 25,77 cm
=+
⋅+⋅=+
⋅+⋅=14001200
351400201200AA
zAzAz21
2211s 36,15 cm
50
60
10
20
30
40
50 60 10 20 30 40 70
S
S2
A2
A1
S1
yS
zS
z
y
S1
y1 yS y2
zS
z1
z2
y
z
S2
S
S3
y3
z3
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 3 -
Trägheitsmoment I (momento d´inerzia) Trägheitsmomente sind Flächenmomente zweiten Grades und ergeben sich aus dem Produkt von Flächen und dem Quadrat von Längen:
422 cmcmcm =⋅ Trägheitsmomente sind rein mathematische Begriffe und nur von der Form und Größe einer Fläche anhängig. Man unterscheidet zwischen: - axialem Trägheitsmoment - polarem Trägheitsmoment - zentrifugalem Trägheitsmoment Das axiale Trägheitsmoment
...yAyAyAI
...zAzAzAI2
332
222
11z
233
222
211y
⋅∆+⋅∆+⋅∆=
⋅∆+⋅∆+⋅∆=
Allgemein:
( )( )∑
∑⋅∆=
⋅∆=2
iiz
2iiy
yAI
zAI
Das axiale Trägheitsmoment ergibt sich aus dem Produkt der Fläche und dem Quadrat der Abstände zu den Achsen x bzw. y. Durch den Schwerpunkt einer Fläche lassen sich unendlich viele Schwerachsen legen und damit erhält man ebensoviele verschiedene Trägheitsmomente (Ausnahme: Kreis und Kreisring).
A ∆A1
∆A3
∆A2
y3 y2 y3
z3
z2
z1
y
z
y
y´
z z´
Hauptträgheitsachsen → Extremwerte
∞ Hauptsymmetrieachsen
y
y´
z z´
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- 4 -
Jede Querschnittsfläche hat aber zwei Schwerachsen um die das Trägheitsmoment einmal ein Maximum und einmal ein Minimum aufweist. Es sind dies die Hauptachsen um die dazugehörigen Hauptträgheitsmomente. Diese Hauptachsen haben folgende Eigenschaften: - sie stehen senkrecht zueinander - jede Symmetrieachse ist auch Hauptachse Trägheitsmomente wichtiger Querschnitte
1) Rechteck 12
hbI3
y⋅=
12
hbI3
z⋅=
2) Quadrat 12bII
4
zy ==
3) Vollkreis 4
rII4
zyπ⋅==
4) Kreisring ( )
4rRII
44
zyπ⋅−==
y
z
h
b
S
y
z
b
b
S
y
z
S r
y
z
S r R
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 5 -
Der Satz von Steiner Mit dem Satz von Steiner kann das Trägheitsmoment für eine zur Schwerachse parallele Achse berechnet werden. Das Trägheitsmoment einer Fläche A für eine zur Schwerachse parallele Achse ist gleich der Summe aus Eigenträgheitsmoment und dem Produkt aus Fläche A und dem Quadrat des Abstands beider Achsen. Übung
2S
S
cm6003020Acm30zcm35y
cm30hcm20b
=⋅=
==
==
423
2S
32
Szz
423
2S
32
Syy
cm000.56030302012
3020yhb12
hbyAII
cm000.78035302012
3020zhb12
hbzAII
=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+′=
=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+′=
Der Trägheitsradius i (raggio d´inerzia) Er ist eine Größe bei der Bemessung von knickgefährdeten Druckstäben. Der Trägheitsradius hängt vom Trägheitsmoment und der Querschnittsfläche A ab.
AIi
AI
i
zz
yy
=
=
50
60
10
20
30
40
50 60 10 20 30 40 70
A yS
zS
z
y
z´
y´
A
F
y
z
h
b
A
iy
iz
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 6 -
im Fall eines Rechtecks
hbA12
hbI3
y ⋅=⋅=
=⋅⋅
⋅=⇒hb12
hbi3
y h ⋅⋅⋅⋅ 0,289
hbA12
hbI3
z ⋅=⋅=
=⋅⋅
⋅=⇒hb12
hbi3
z b ⋅⋅⋅⋅ 0,289
Da ein knickgefährdeter Druckstab stets um die Achse mit dem kleineren Trägheitsmoment ausknickt, ist für diesen Stabilitätsnachweis der kleinste Trägheitsradius maßgebend imin.
minz
zminz iAIiII ==⇒= ⇒ Ausknicken in y-Richtung
Zeichnen wir die Trägheitsradien auf den Hauptachsen ein, erhalten wir die Trägheitsellipse. Das Widerstandsmoment W (momento di restistenza) Er ist eine wichtige Größe für die Bemessung von Biegeträgern und für die Ermittlung von Biegespannungen im Querschnitt. Das Widerstandsmoment ist ein Maß für die Biegefestigkeit eines Trägers und ist vom Trägheitsmoment, sowie vom größten Faserabstand von der Spannungslinie aus abhängig.
ndFaserabstaomentTrägheitsm
aIW == [ ] 3cm1w =
bIW
aI
W zz
yy ==
im Fall eines Rechtecks
6hb
2b12
hbW2ba
12hbI
6hb
2h12
hbW2ha
12hbI
23
z
3
z
23
y
3
y
⋅=⋅
⋅=⇒=⋅=
⋅=⋅
⋅=⇒=⋅=
y
z
a
b
S
b
a
Spannungslinie
y
z
h
b
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- 7 -
Beanspruchung von Bauteilen Bauteile müssen auf ihre Beanspruchung hin untersucht werden. Wirken auf ein Tragwerk äußere Kräfte, so ergeben sich Auflagerkräfte und innere Kräfte, welche den äußeren Kräften das Gleichgewicht halten. Die Größe der Beanspruchung eines Bauteils ist von den Schnittkräften (N, Q, M) und von Querschnittsabmessungen abhängig. Ein Maß für die Beanspruchungen ist die Spannung. Spannung Sie ist die innere Kraft bezogen auf die Querschnittfläche A.
Spannung tsflächeQuerschnit
Kraft Innere=σ [ ] 2cmkN1=σ
Je nach Art der Schnittkraft unterscheiden wir zwischen: Normalspannung
AF=σ z.B. Zugspannung, Druckspannung
Tangentialspannung
AF−=σ z.B. Scherspannung, Schubspannung
Formänderung Unter dem Einfluß von Spannungen entstehen an einem Tragwerk Formänderungen. Diese können zum Beispiel Verlängerungen (infolge von Zugspannungen) oder Verkürzungen (infolge von Druckspannungen) sein. Formänderungen können elastischer oder plastischer Natur sein. Dehnung: Unter der Dehnung versteht man die Verlängerung ∆l eines Stabes bezogen auf die ursprüngliche Länge l0.
0lLänge cheursprünglilngVerlängeru ∆=ε
Durch Verkürzungen entstehen negative Dehnungen, sogenannte Stauchungen. Beispiel geg: l1 = 10 m l2 = 10,20 m
%202,0m10m2,0
ll
m2,0lll
0
21
≡==∆=ε
=−=∆
F
F
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 8 -
Das Hook´sche Gesetz Aus der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls erkennt man, dass der erste Bereich der Linie geradlinig verläuft. Es ist dies der elastische Bereich des Werkstoffs. Für diesen Bereich gilt das Hook´sche Gesetz, welches folgendes besagt: die Dehnungen ε verhalten sich proportional zu den Spannungen σ im elastischen Bereich.
E3
3
2
2
1
1 =εσ=
εσ=
εσ
E…Elastizitätsmodul
2
2
2
2
mmN
Faser) zur (senkrecht Holz
mmN
Faser) zur (parallel Holz
mmN
Beton
mmN
Stahl
300E000.10E
000.30E000.210E
=
===
Längsdehnung
lAlFE
ll
AF
0
0
∆⋅⋅
=εσ=
∆=ε=σ
AElFl 0
⋅⋅
=∆
2 x 35 x 5 Stäbe Berechne die Verlängerung der Stäbe!
cm38,0cm6,6101,2cm350N000.150
AElFl 2
cmN7
0
2
=⋅⋅⋅=
⋅⋅
=∆
Querdehnung εεεεq Wird ein Stab gedehnt (z.B. in Folge von Zug) so wird er in der Querrichtung dünner. Wird er gestaucht (in Folge von Druck) so wird er in Querrichtung dicker. Die Querdehnzahl η gibt das Verhältnis zwischen Querdehnung (Querstauchung) und Längsdehnung (Längsstauchung) an.
ε
σ
ε1 ε2 ε3
σ1
σ2
σ3
F = 150 kN
3,5 m
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- 9 -
ddll
q
0
⋅ε=∆⋅ε=∆
konstantq =εε
=η
Beton: 125,01,0Zug −=η
20,016,0Druk −=η Stahl: 35,03,0 −=η Wärmedehnzahl ααααT Infolge Erwärmung dehnt sich ein Körper aus. Die Wärmedehnzahl gibt die Längenänderung eines 1 m langen Stabes bei einer Temperaturänderung von 1°C an.
Tll 0TT ∆⋅⋅α=∆
Kmm102,1 5
Stahl °⋅=α −
Beispiel: Berechne die Längenänderung eines 12 m langen Stahlstütze bei folgenden T: Montage: 20°C am Bau: -20°C
( )mm6m006,0K40m12
Kmm102,1Tll
K402020T5
0TT ==°⋅⋅°
⋅=∆⋅⋅α=∆
°=°−−°=∆
−
Spannungsarten Bei den Spannungen unterscheidet man zwischen Normal- und Tangentialspannungen. 1. Normalspannungen σσσσ
Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte die senkrecht zur Querschnittsfläche wirken, z.B. Normalkräfte, Biegemomente, Temperatureinwirkungen. Als Normalspannungen gelten: Zug-, Druck-, Knick- und Temperaturspannungen. Sie verursachen eine Hauptverformung der Querschnittsteilchen in Richtung der Stabachse. 1.1 Zugspannung σσσσZ
Wirken auf einen Stab Zugkräfte ein, so kommt es im Querschnitt zu Zugspannungen. Zugspannungen erhalten ein positives Vorzeichen.
σ2 > σ2
eNettoflächKraft
AF
nZ ==σ
∆l d
∆d
2 1
2 1
2
2 1
1
F
σ1 σ2
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- 10 -
Bei der Bemessung von Zugstäben, z.B. bei Holz oder Stahl muss nachgewiesen werden, dass die auftretende Zugspannung Zσ ≤ der zulässigen Zugspannung Zσ ist. Die zulässige Zugspannung ist die um den Sicherheitsfaktor Sf reduzierte Zugfestigkeit und darf von den vorhandenen Zugspannungen nicht überschritten werden.
ZvorhZ σ≤σ Fe 360 (St 37) → 2cm
kNZ 16=σ
I 140 → 2cm2,18A =
22 cmkN
cmkN
nZ 1633,20
AF >==σ
Bedingung:
2
cmkN
Zn
Zn
Z
cm13,2316
kN370FA
AF
2
==σ
≥⇒
σ≤=σ
aus Tabelle: I 180 2cm9,27A = Nachweis:
22 cmkN
ZcmkN
2effektiv
vorhandenZ 1626,13cm9,27kN370
AF =σ<===σ
1.2 Druckspannung σσσσD
Wirken auf einen Stab Druckkräfte ein, so entstehen im Querschnitt Druckspannungen, sie erhalten ein negatives Vorzeichen. Als Fläche wird die Nettofläche eingesetzt (Querschnitt - Löcher), es sei denn, die Löcher sind mit mindestens gleich festen Stoffen ausgefüllt.
nD A
F−=σ
Bei der Bemessung von einfachen Druckelementen (keine Knickgefahr) muss nachgewiesen werden, dass die auftretende Druckspannung Dσ ≤ der zulässigen
Druckspannung Dσ ist.
DvorhD σ≤σ
F = 370 kN
I 140
1
1
1
F
-
1
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- 11 -
1.3 Temperaturspannungen σσσσT
Ist ein Tragwerk Temperaturschwankungen ausgesetzt so erfährt es, wenn die Lagerung es zulässt, eine bestimmte Längenänderung.
Tll 0T ∆⋅⋅α±=∆ Wird dieses Tragwerk an der Längsänderung gehindert (festes Auflager oder Einspannung), so entstehen im Querschnitt Spannungen. Es sind dies Temperaturspannungen und entsprechen einer inneren Längskräft.
0
0T
0 lTlE
llEEE ∆⋅⋅α⋅=∆⋅=ε⋅=σ⇒
εσ=
TE TT ∆⋅α⋅=σ Die auftretenden Temperaturspannungen sind somit entweder Zug- oder Druckspannungen und werden durch die Temperaturänderungen ∆T verursacht. Beispiel
Montage: 20°C später: 40°C
222
2
cmkN
cmkN
mmN
TT
Kmm5
StahlT
mmkN5
Stahl
1604,54,50TE102,1
101,2EK20T
≤==∆⋅α⋅=σ
⋅=α
⋅=°=∆
°−
1.4 Knickspannung σσσσK
Bei sehr schlanken Druckstäben kann es bereits im Bereich unterhalb der zulässigen Druckspannung infolge übermäßiger Verformung zum Versagen des Tragwerkes kommen, obwohl Dσ noch gar nicht erreicht ist.
AF
K ⋅ω=σ
Die Gefahr des Ausknicknes hängt ab von: - Material des Stabes - Querschnittsfläche - Länge des Stabes - Lagerung des Stabes
4 m
I 100
F
F
zusätzliches Moment
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- 12 -
Die Knicklänge sK
Die Knicklänge ist die Länge des Stabes, die bei der Druckbelastung frei Ausknicken kann. Von Euler (1744) wurde die Knicklänge von 4 verschiedenen Lagerungsfällen hergeleitet. 1. Eulerfall
einseitige Einspannung + freies Lager
l2sK ⋅=
2. Eulerfall 2 feste Auflager
lsK =
3. Eulerfall
1 festes Auflager + 1 Eingespanntes
l7,0sK ⋅=
4. Eulerfall
2 eingespannte Auflager
l5,0sK ⋅=
Die Schlankheit λλλλ Der Schlankheitsgrad λ gibt de Knickempfindlichkeit eines Druckstabes in Abhängigkeit von Stablänge, Lagerungsart und Querschnitt.
F F
l
l
F
F
l
F
l
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- 13 -
adiusTrägheitsrKnicklänge
isK ==λ
Das Ausknicken eines Druckstabes erfolgt immer entlang des kleinsten Trägheitsradiuses.
min
K
is=λ
Ausschlaggebend für den Knicknachweis ist der kleinste Trägheistradius (iy), daraus folgt nämlich der größte Schlankheitgrad λmax. Die Knickzahl ωωωω Über den Schlankheitsgrad λ kann in Abhängigkeit zum Werkstoff die Knickzahl ω aus Tabellen entnommen werden. Die Knickzahl drückt das Verhältnis der einfachen zulässigen Druckspannung zur zulässigen Knickspannung aus.
zulK
zulD
σσ
=ω
Beispiel:
Stahlstütze Fe 360 HE-B 200
→ 2. Eulerfall cm400lsK == → 7990,78
cm07,5cm400
ismin
Kmax ≈===λ
→ Tabelle 53,1=ω
→ 22 cm
kNcm
kN2K 1653,3
cm1,78kN18053,1
AF <=⋅=⋅ω=σ
1.5 Biegespannung
Werden Bauteile auf Biegung beansprucht, entstehen im Querschnitt Biegespannungen. Infolge von Belastung erfährt ein Biegeträger eine Durchbiegung, die im oberen Teil zu Stauchungen und im unteren Teil zu Dehnungen führt. Wo Dehnungen auftreten herrschen Zugspannungen, wo Stauchungen auftreten herrschen Druckspannungen. Wo Dehnungen in Stauchungen übergehen hat man eine spannungsfreie Faser, die sogenannten Spannungsnulllinie. Diese fällt bei Biegeträgern mit der Schwerachse des Querschnitts zusammen, die Zug- bzw. Druckspannung nimmt zu den Rändern hin linear zu.
Träger unbelastet
F = 180 kN
4,0 m
iy
iz
y
z
iy
iz
2 1
1
l
gerade Stabachse
2
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- 14 -
Träger belastet
Kraft Z bzw. D = Volumenkeil
4hb
21
2hbZ Z
Z⋅⋅σ
=⋅⋅⋅σ=⇒
6hbh
32
4hbzZM
2
ZZ⋅⋅σ=⋅⋅⋅⋅σ=⋅=
uZ WM ⋅σ=⇒ bzw. u
Z WM=σ
FlächeSpannungKraftFlächeKraftSpannung ⋅=⇒=
Merke: äußere Kräfte bewirken eine Durchbiegung, daraus ergibt sich ein äußeres maximales Moment M (→ Stoff der 3. Klasse). Die inneren Kräfte müssen durch das Kräftepaar Zug- und Druckkraft ein mindestens gleich großes inneres Moment aufbringen.
zDzZM ⋅=⋅=
WM=σ
äußeres Moment
innere Zugkraft
innere Druckkraft
fhj
2h
32 ⋅
fhj
2h
32 ⋅
D
Z
h neutrale Faser
+
- fhj
zh32 =
weil Stauchung
weil Dehnung
σD
σZ
Vorderansicht Seitenansicht anfallende Spannungen
b
Mmax
b σu
σo
2h
D
Z
2 1
2 1 l
Druck
Zug
gekrümmte Stabachse
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- 15 -
Beispiel 1:
Überprüfe, ob im betreffenden Fall die Biegespannungen im Holzträger noch zulässig ist. 1) Berechnen des maximalen Feldmomentes
kNm10m22FMmax =⋅=
2) Berechnung des Widerstandmomentes 3
22
cm30006
cm30cm206hbW =⋅=⋅=
3) 22 cmkN
cmkN
B 133,0cm3000
cm100kN10WM ≤=⋅==σ
Beispiel 2: Wählen sie die richtige Balkenhöhe und berechnen sie die vorhandenen Biegespannung
1) Berechnen des maximalen Feldmomentes
kNm10m22FMmax =⋅=
2) BWM σ≤=σ
3
cmkN
B
cm10001
kNcm1000MW2
==σ
≥⇒
cm18hcm32,17cm20
6cm1000b
6Wh3
=≈=⋅≥⋅≥⇒
32
vorhanden cm10806hbW =⋅=
22 cmkN
BcmkN
3.vorh
vorhandenB 193,0cm1080
kNcm1000W
M =σ<===σ
Spannung bei Längskraft und Biegung Häufig treten im Querschnitt Zug- bzw. Druckspannungen und Biegespannungen gleichzeitig auf, da es sich bei beiden Spannungsarten um Normalspannungen handelt, können diese addiert werden.
BV AV
F = 10 kN
4 m
30 cm
20 cm
BV AV
F = 10 kN
4 m
h = ?
20 cm
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- 16 -
AN
WM
N,M ±=σ
Während bei einfachen Biegungen die Spannungsnulllinie mit der Spannungsachse zusammenfällt, verschiebt sich bei Spannungsüberlagerung die Spannungsnulllinie.
Beispiel:
Überprüfe die Spannung für eine HE-B 220
kN100NA
kN352
lqBA
H
VV
==
=⋅==
kNm25,618lqM2
max =⋅=
HE-B: 2cm91A = 3
y cm736W =
2
2
cmkN
3M,B
cmkN
2N,Z
32,8cm736kNcm6125
WM
1,1cm91
kN100AN
±===σ
===σ
→→→→ gefährlichste Faser →→→→ Mitte des Trägers
Spannung in Faser unten
ZcmkN
cmkN
cmkN
M,ZN,ZgesZ 222 42,932,81,1 σ≤=+=σ+σ=σ
Spannung in Faser oben Zcm
kNcm
kNcm
kNM,DN,DgesD 222 22,732,81,1 σ≤−=−=σ−σ=σ
2cm
kNN,Z 1,1=σ 2cm
kNM,D 32,8=σ 2cm
kNN,ZM,DD 22,7−=σ−σ=σ
2cmkN
N,Z 1,1=σ 2cmkN
M,Z 32,8=σ 2cmkN
M,ZM,ZZ 42,9=σ+σ=σ
F
N
F
N +
+ =
WM
M,D =σ
WM
M,Z =σAN
N,Z =σ
AN
N,Z =σ N,DM,D σ−σ
N,ZM,Z σ−σ
Spannungsnulllinie
7 m AV BV
q = 10 kN/m
N AH
+
+-
+
M
Q
N
100 kN
-35 kN
35 kN
61,25 kNm
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- 17 -
2. Tangentialspannungen ττττ Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte, die in Richtung der Querschnittsfläche wirken, wie z.B. die Querkraft. Tangentialspannungen entstehen bei der Verschiebung, dem Abscheren und dem Verdrehen der Querschnittsteilchen gegeneinander. Zu den Tangentialspannungen zählen:
1. Schubspannungen
2. Scherspannungen
3. Torsionsspannungen
2.1 Schubspannung ττττV = ττττH Infolge Belastung eines Trägers, quer zur Stabachse, entstehen außer den Biegemomenten auch Querkräfte, diese verursachen eine Verschiebung nebeneinanderliegender Querschnitte und es entstehen in der Querschnittsfläche Querschubsspannungen τV. Da sich der Träger unter der Belastung durchbiegt, die oberen Fasern gedrückt und die unteren Fasern gezogen werden, kommt es auch zur Verschiebung übereinanderliegender Querschnitte. Es entstehen Längsschubspannungen τH in Richtung zur Stabachse. In jeder Stelle des Trägers gilt τV = τH.
Schubspannung
Schubspannung
τV = 0 weil Q = 0
τH = 0 weil keine gegenseitige Verschiebung
Querschubspannung
ττττV = ττττH Längsschubspannung
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- 18 -
Diese Schubspannungen sind weder über die Trägerhöhe noch über die Trägerlänge gleichmäßig verteilt. Die größten Schubspannungen treten in der Spannungsnulllinie auf; am unteren und oberen Trägerrand sind sie gleich null.
IbSQ
HV ⋅⋅=τ=τ
im Fall eines Rechtecks:
( )
AQ5,1
hbQ
bbQ
IbSQ 2
3
12hb
4h
2h
3
⋅=
=⋅⋅
=⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅=τ
⋅
Beispiel:
2
2
2
cmkN33
33
cmkN22
22
cmkN11
11
0Ib
SQ
037,0Ib
SQ
049,0Ib
SQ
=⋅
⋅=τ
=⋅
⋅=τ
=⋅
⋅=τ
−−
−−
−−
Q… Querkraft S… statisches Moment des unterhalb der
untersuchten Faser liegenden Trägerteils bezogen auf die Nullfaser (Fläche unterhalb der Faser x dem Abstand der Schwerpunkt der Fläche und der Faser)
I… gesamte Trägheitsmoment b… Breite der untersuchten Faser τ… Schubspannung in der untersuchten Faser
y
z
h
b
AV BV
q = 6 kN/m
-12 kN
12 kN
Q
1 1
3 3
2 2
14
26
0,037
0,037
0,049
43
33
22
213
11
cm2050512
hbI
cm14b0S
³cm88775,95,614S³cm11831314S
kN12Q
=⋅=
==
=⋅⋅==⋅⋅=
=
−
−
−
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- 19 -
2.1 Scherspannung ττττA Sie treten in der Querschnittsfläche zwischen 2 Stabteilen auf, die auf Abscherung beansprucht werden. Es darf angenommen werden, dass Scherspannungen gleichmäßig über den Querschnitt verteilt sind.
AA AZ τ≤=τ
Die Biegelinie
1. Träger auf zwei Stützen Die Winkeländerung der Biegelinie eines Trägers auf zwei Stützen kann nach dem Moohr’schen Satz ermittelt werden.
Winkeländerungen: Winkeländerungen α und β sind die Winkel zwischen den Tangenten zur Biegelinie und der Stabachse. Der Winkel α (β) ist gleich der Auflagerreaktion A (B) die sich aus dem mit der Momentenlinie belasteten Träger ergibt, dividiert durch E ⋅ I.
IE ⋅
=β B
Durchbiegung: Die Durchbiegung an irgend einer Stelle des Trägers auf zwei Stützen erhält man, wenn man den Träger mit seiner Momentenlinie belastet und für die betreffenden Stelle das Biegemoment M berechnet und durch E ⋅ I dividiert.
IEMf x
x ⋅=
Z
Z Scherfläche A
IE ⋅=α A
ba
F
α β
…Tangenten
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 20 -
Beispiel:
kNm104
lFM
kN5BA
max
VV
=⋅=
==
Bemessung:
BB WM σ≤=σ 3
B
cm5,62MW =σ
≥⇒
gewählt: IPE-Profil 140 → Wy = 77,3 cm3 Iy = 541 cm4 Nachweise:
²cmkN
²cmkN
3
²cmkN
B²cmkN
3B
2,987,0cm541cm47,0
cm2,44kN5IbSQ
1694,12cm3,77kNcm1000
WM
=τ≤=⋅
⋅=⋅⋅=τ
=σ≤===σ
°=⇒
=⋅
==
− 5,0009,0tan
009,0cm54121000
kNm10
1
4cm
kN
2
2
BA
( )
( ) cm17,1cm54121000
cm10kN3,13IE
f
kNm3,13
4cm
kN
36
3
32
l
2l
=⋅
⋅=⋅
=
=
M
M
Alternative aus Tabellenbuch (Wenderhorst S. 327)
cm174,1lba
IEF
31f
22
=⋅⋅⋅
⋅=
2. Kragträger
Es gilt: der Winkel α ist gleich dem Inhalt der Momentenfläche dividiert durch E ⋅ I.
( )
IEFM
⋅=α
10 kNm
-5 kN
5 kN
AV BV
F = 10 kN
Q
M
BV AV
10 kNm
M = 13,3 kNm
f
F
α
Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB
- 21 -
Die Durchbiegung f an der Spitze des Kragträgers ist gleich dem Moment des mit der Momentenfläche belasteten Trägers in Bezug auf das freie Trägerende dividiert durch E ⋅ I.
IEf S
⋅=
M
Beispiel:
kNm70MkN30A
A
V
==
BB WM σ≤=σ 3
B
cm5,437MW =σ
≥⇒
gewählt: I-Profil 260 → Wy = 442 cm3 Iy = 5740 cm4
S = 257 cm3 s = b = 9,4 mm
Nachweise:
²cmkN
²cmkN
3
²cmkN
B²cmkN
3B
2,943,1cm5740cm94,0
cm257kN30IbSQ
1684,15cm442kNcm7000
WM
=τ≤=⋅
⋅=⋅⋅=τ
=σ≤===σ
Winkeländerung:
( )
( ) °=⋅
=α
=⋅+⋅⋅=
−
+
04,0IE
Ftan
kNm85m2m1kNm10F
M1
22
kNm10kNm7021
M
Durchbiegung:
cm52,1cm574021000
cm10kN33,183E
f
kNm33,183
4cm
kN
36S
2S
2
=⋅⋅=
⋅=
=
IM
M
2 m 1 m
F = 20 kN F = 10 kN
MS
AV
MA
10 kN
30 kN
-10 kNm
-70 kNm
Q
M
OBERSCHULE FÜR GEOMETER „PETER ANICH“, BOZEN
- Fachrichtung Baubetrieb -
Skripte aus 5 Jahren Oberschule
Diese Arbeit soll als didaktische Unterlage für den Schulunterricht oder als Nachschlagewerk dienen.
Diese Arbeit erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Ich weise jegliche Verantwortung in Bezug auf Inhaltsfehler und Fehlen von Textteilen von mir. Ich bitte aber darum, mir alle Fehler mitzuteilen, damit ich die Unterlagen verbessern und erweitern kann. Die Vervielfältigung ist mit Quellenangabe erlaubt. Die Dokumente dürfen ohne Erlaubnis meinerseits nicht verändert werden. Moroder Daniel Tinderlaweg 13A 39046 St. Ulrich daniel@moroder.de
St. Ulrich, September 2001
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