field atau medan

FIELD ATAU MEDAN

Definisi : Suatu ring komutatif dengan elemen

satuan yang setiap elemennya tidak nol mempunyai elemen invers . (1-D,3’+4’+5’)

Definisi : Struktur aljabar yang memenuhi suatu field

dengan tidak mensyaratkan berlakunya sifat komotatif penggandaan disebut skew fieid (medan miring) ( 1-D,3’,4’)

Sifat-sifat Field

1. Tertutup terhadap Penjumlahan (+) ( a, b Є R) (Ǝ!c Є R) a+b = c2. Assosiatit Terhadap penjumlahan (+) ( a, b, c Є R) (a+b)+c= a+(b+c)3. Ada elemen identitas terhadap

penjumlahan (+) (Ǝ 0 Є G) ( a Є R) 0 + a = a + 0 = a Elemen identitas adalah elemen

dioperasikan dengan elemen lain hasilnya elemen itu sendiri.

4. Tiap elemen identitas terdapat invers terhadap penjumlahan (+)

( a Є R ) (Ǝ (-a) + a= a + (-a) = 05. Komutatif terhadap Penjumlahan (+) ( a,b Є R) a+b= b+a1’. Tertutup terhadap perkalian (x) ( a,b Є R) (Ǝ!c Є R) axb = c2’. Assosiatif terhadap perkalian (x) ( a,b, Є R) (axb)xc= ax(bxc)

3’. Ada elemen identitas terhadap perkalian (x)

(Ǝ e Є R) ( a Є R) e.a = a.e= a4’. Tiap elemen yang ≠ 0 memiliki invers

terhadap perkalian (x) ( a Є R ) (Ǝ Є R) x a= a x = e e = elemen identitas5’ . Komutatif terhadap perkalian (x) ( a,b Є R) a x b= b x a

D. Distributif perkalian kiri dan kanan terhadap penjumlahan (+) Distributif kiri ( a,b,c Є R) a x (b+c)= (a x b) + (a x

c) Distributif kanan ( a,b,c Є R) (b+c)xa= (bxa) + (cxa)

RING PEMBAGIAN (DIVISION RING)

Definisi Suatu aljabar yang memenuhi suatu field dengan tidak mensyaratkan berlakunya komutatif pergandaan, adanya elemen satuan, dan tiap elemen yang bukan elemen nol mempunyai elemen invers, teapi mensyaratkan berlakunya setiap persamaan ax = b mempunyai jawaban ( Ring + ax=b)

SOAL

1. Jika D = {0,1,2,3,4} suatu himpunan bilangan bulat modulo 5 maka selidiki apakah D suatu skew field dan ring pembagian terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan modulo 5

2. Diketahui R da R’ masing-masing adalah himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan kompleks. Operasi penjumlahan seperti operasi penjumlahan aritmatika yang didefinisikan pada himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan kompleks , sedangkan operasi perkalian hanya didefinisikan pada himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan kompleks nol. Selidiki apakah R dan R’ merupakan ring pembagian yang komutatif, field, medan field, daerah integral