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Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao
Fabrıcio Simoes
IFBA
27 de outubro de 2015
Fabrıcio Simoes (IFBA) Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao 27 de outubro de 2015 1 / 69
1 Filtragem Digital
2 Filtros de Primeira Ordem
3 Filtros de Segunda Ordem
4 Metodos de Projeto de Filtros IIRInvariancia do Impulso
5 Filtros Analogicos: Uma Breve Abordagem
6 Exemplo
7 Filtro FIR
8 Projeto de um Filtro FIRMetodo de Projeto Usando JanelasJanela de KaiserProjeto de Filtros FIR com Banda de Transicao Especificada
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Filtragem Digital
Dado um cojunto de especificacoes, o projeto do filtro consiste emencontrar um sistema discreto cuja resposta em frequencia atendas asespecificacoes desejadas.
ωωp ωs
|Hd(ω)|
∆ω
Banda de Rejeicao
Banda de Passagem
Banda de Transicaao
π
Dois tipos de filtros podem ser usados :1 IIR - Encontrar uma funcao racional na variavel z;2 FIR - Encontrar um polinomio
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Filtro Passa-Baixas
Ha(z) =1
z − a,Hda(ω) =
1
e jω − a=
1
pe−jφ
Hb(z) =z + 1
z − a,Hdb(ω) =
e jω + 1
e jω − a=
q
pe−jφ
Re
Im
Re
Im
a
e jω1
e jω2
p
a
e jω1
e jω2
p
(a) (b)
|Hd (ω)|
π
11−aq
|Hda(ω)|
|Hdb(ω)|
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Filtro Passa-Altas
Ha(z) =1
z + a,Hda(ω) =
1
e jω − (−a)=
1
pe−jφ
Hb(z) =z − 1
z + a,Hdb(ω) =
e jω − (−1)
e jω − (−a)=
q
pe−jφ
Re
Im
Re
Im
−a
e jω1
e jω2
p
−a
e jω1
e jω2 p
(a) (b)
|Hd (ω)|
π
11−a
q |Hda(ω)|
|Hdb(ω)|
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Normalizacao da Resposta em Frequencia do FiltroPassa-Baixas
H(z) = kz + 1
z − a
A variavel k e escolhido para |Hd(ω = 0)| = 1, portanto:
H(z) =
(1− a
2
)z + 1
z − a
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Frequencia de Corte do Filtro Passa-Baixas
Para encontrar a frequencia de corte: |Hd(ωc)|2 = 0, 5.
|Hd(ωc)|2 = Hd(ωc)H∗d(ωc)
|Hd(ωc)|2 =
(1− a
2
)e jωp + 1
e jωp − a.
(1− a
2
)e−jωp + 1
e−jωp − a=
1
2
ωc = arccos
(2a
1 + a2
)Para um polo muito proximo de 1 (cırculo unitario),
ωc∼= 1− a
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Filtros Otimos de Primeira Ordem
1 Filtro Passa-Baixa
H(z) =1− a
2
(z + 1
z − a
)2 Filtro Passa-Alta
H(z) =1 + a
2
(z − 1
z + a
)3 Frequencia de Corte
ωc = arccos
(2a
1 + a2
)ωc∼= 1− a
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Exercıcio
Dado o sinal
x(t) = sen(7t) + sen(500t),
com sinal intereferente de frequencia igual a 500Hz.
fmax = 500rad/s ⇒ fa ≥ 1000rad/s
T = 2π/2000 = 3, 14ms
sinal discreto: x(nT ) = sen(7nT ) + sen(500nT )
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Procedimento de Projeto
Projeto do Filtro: E necessario normalizar as informacoes de frequencia,multiplicando-as por T .
freq. 7 rad/s → 21, 98× 10−3
freq. 500 rad/s → 1, 57
Formula aproximada da frequencia de corte
ωp∼= 1− a
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Projeto - Continuacao
ωπ
|Xd (ω)|
1,57
0,022
−π -1,57
|Hd (ω)|
ωc = 0,2 a = 0,8
1 Calculo de H(z)
H(z) = kz + 1
z − a
2 Determinando a Equacao de Diferencas.
kx(n) + kx(n − 1) = y(n)− ay(n − 1)
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Filtro de Segunda Ordem
Funcao de Transferencia H(z)
H(z) =(z − b1e
jb2)(z − b1e−jb2)
(z − a1e ja2)(z − a1e−ja2)
Re
Im
a1b1
a2
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Filtro Notch
H(z) =(z − e jωo )(z − e−jωo )
(z − ae jωo )(z − ae−jωo )
Re
Im
ωo
a
|Hd (ω)|
ωωo
1
π
1 Zeros na frequencia ωo ;
2 Polos proximos dos zeros;
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Filtro Passa-Faixa
H(z) =k(z + 1)(z − 1)
(z − ae jωo )(z − ae−jωo )
Re
Im
ωo
a
|Hd (ω)|
ωωo
1
π
1/√
2
BW ∼= 2(1-a)
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Exercıcios
Projete um filtro passa-faixa para eliminar as componentes defrequencia de 100 rad/s e 1000 rad/s do sinal abaixo :
x(t) = sen(100t) + sen500t + sen(1000t)
Determine a equacao de diferencas do filtro.
Projete um filtro que elimine a componente de frequencia de 500rad/s. Determine a equacao de diferencas.
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Filtros IIR : Metodos de Projeto
Invariancia do Impulso;
h(nT ) = Thc(t)|t=nT
Transformacao Bilinear.
H(z) = Hc(s)|s= 2
T
(1−z−1
1+z−1
)
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Invariancia do Impulso
O metodo consiste em discretizar um projeto de um filtro analogicosegundo a equacao abaixo
h(nT ) = Thc(t)|t=nT
Nesse metodo, estamos interessados na relacao entre a resposta emfrequencia do sistema contınuo e a resposta em frequencia do sistemadiscreto.
Hd(ω) =∞∑
k=−∞Hc(ω − kωa)
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Resposta em Frequencia do Filtro Contınuo
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������
ω
|Hc (ω)|
ω
|Hd (ω)|
......ωa−ωa
sobreposicao = aliasing
Digitalizacao do Filtro AnalogicoDiferencas entre o Filtro Analogico e Digital
Devido ao Aliasing
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Procedimento
As especificacoes de projeto de um filtro digital sao usadas no projetode filtro anlogico com funcao de transferencia Hc(s);
A resposta Hc(s) e transformada em H(z) segundo o procedimento aseguir :
1 Considere Hc(s) representada por uma soma de fracoes parciais
Hc(s) =N∑
k=1
Ak
s − sk
2 Aplicando Transformada Inversa de Laplace sobre Hc(s), obtem-se:
hc(t) =N∑
k=1
Akesk t
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Procedimento - Continuacao
3 Usando a relacao h(nT ) = Thc(nT ), obtem-se
h(nT ) =N∑
k=1
TAkesknTu(nT )
4 Aplicando a Transformada Z sobre h[n]
H(z) =N∑
k=1
TAk1
1− eskT z−1
5 O sistema obtido e causal e estavel ?
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Filtro Analogico
1 Objetivo do Projeto : Encontrar uma funcao |H(ω)| que atenda asespecificacoes desejadas.
������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������
ωωp ωs
|Hc(ω)|
∆ω
Banda de Rejeicao
Banda de Passagem
Banda de Transicao
0 dB
Amax
Amin
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Aproximacoes para |H(ω)|Tipos de resposta em frequencia de filtros ordem ≥ 2.
Butterworth Chebyshev
Eliptico
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Comparacao
Butterworth: Resposta plana nabanda de passagem;
Chebyshev: Ondulacoes nabanda de passagem
Taxa de atenuacao : Eliptico,Chebyshev e Butterworth.
Atraso de Grupo τ(ω):Butterworth, Chebyshev,Eliptico
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|H(ω)|2
|H(ω)|2 = 11+F (ω2)
Nome da Funcao F (ω2)
Butterworth ω2n
Chebyschev ε2C 2n (ω)
Eliptico ε2R2n(ω),
em que Rn(ω) =(ω2
1−ω2)(ω22−ω2)...(ω2
N−ω2)
(1−ω21ω
2)(1−ω22ω
2)...(1−ω2Nω
2)
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
estabilidade estabilidade
ωp = 1 σ
jω
H(s)H(−s)
σ
jω
H(s)H(−s)
Butterworth Chebyshev, Eliptico
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Exemplo de Projeto 1
Filtro Digital de Butterworth de ordem 2;
Tempo de Amostragem T = 0,02 s;
ωp = 10 rad/s.
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Passos de Projeto
1 Normalizando as especificacoes de frequencia;
ω′p = ωpT
2 Determinando o filtro analogico prototipo H(s).
H(s) =k
(s − p1)(s − p2)...(s − pN)
Para encontrar p1, p2, ..., pN , use o comando buttap :
[z,p,k] = buttap(N)
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Passos de Projeto 2
3 Fazer a transformacao de frequencia. O filtro prototipo temfrequencia de corte igual 1 rad/s. E necessario adaptar a funcao H(s)a frequencia de corte desejada.
s =
(s
ω′p
)
H(s) =1
(s/ω′p)2 + 1, 41(s/ω′p) + 1
H(s) =1/25
s2 + 0, 282s + 1/25
Para avaliar o filtro analogico obtido, use freqs(b,a)
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Passo de Projeto
4 Discretizando o filtro analogico
H(s) =N∑
k=1
Ak
s − sk
H(z) =N∑
k=1
Ak1
1− esk z−1
Para obter H(s), use o comando [r,p,k] = residue(b,a)
H(s) =−0, 14j
s + 0, 14− j0, 14+
0, 14j
s + 0, 14 + j0, 14
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Passos de Projeto
5 Determinar H(z)
H(z) =0, 033z−1
1− 1, 72z−1 + 0, 755z−2
6 Equacao de Diferencas
y [n]− 1, 72y [n − 1] + 0, 755y [n − 2] = 0, 033x [n − 1]
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Exemplo de Projeto 2
Filtro Digital de Chebyshev de ordem 2;
Tempo de Amostragem T = 0,02 s;
rp = 0,89;
ωp = 10 rad/s.
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Passos de Projeto
1 Normalizar as especificacoes de frequencia;
ω′p = ωpT = 0, 2rad
2 Determinar o filtro analogico prototipo H(s) usando [z,p,k] =cheb1ap(N,Rp), no qual Rp = −20log(rp)
H(s) =0, 977
s2 + 1, 09s + 1, 097
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Passos de Projeto
3 Transformacao da Frequencia;
H(s) =0, 039
s2 + 0, 218s + 0, 0438
4 Decomposicao em fracoes parciais - [r,p,k] = residue(b,a)
H(s) =−j0, 109
s + 0, 109− j0, 178+
j0, 109
s + 0, 109 + j0, 178
5 Transformada H(z)
H(z) =
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Filtro Digital FIR
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Filtro FIR - Caracterısticas
1 Filtro FIR e sempre estavel. Os polos do filtro FIR estao localizadosem z=0;
2 Filtros FIR sao empregados em problemas de filtragem onde exigemresposta de fase linear;
3 E possıvel projetar filtro FIR causal com fase linear se sua resposta aoimpulso satisfaz a condicao h(n) = ±h(N − n) paran = 0, 1, 2, . . . ,N, ou seja, h[n] e simetrico ou antisimetrico
4 Comparando ao filtro IIR, a ordem do filtro FIR para atender asespecificacoes desejadas e maior.
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Tipos de Filtro FIR - Resposta ao Impulso
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Tipos de Filtro FIR
Resposta em Frequencia Desejada:
H(ω) = D(ω)e−jMω,
onde D(ω) e magnitude e −Mω, a fase. M = N/2 para N par e ımpar
A depender da ordem N do filtro (par ou ımpar) e dos coeficientes bm(simetrico e anti-simetrico), os filtros FIR podem ser classificados como:
Filtro Tipo I: N e par e os coeficientes bm sao simetricos.
h[n] = h[N − n]
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Tipos de Filtro FIR - Continuacao
Filtro Tipo II: N e ımpar, o atraso M = N/2 nao e inteiro e oscoeficientes bm sao simetricos.
h[n] = h[N − n]
Zeros: z=-1. Qual a influencia desse zero na resposta em frequenciaH(ω)?
Filtro Tipo III: N e par e os coeficientes bm sao anti-simetricos.
h[n] = −h[N − n]
zeros: z=± 1. Qual a influencia desse zero na resposta em frequenciaH(ω)?
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Tipos de Filtro FIR - Continuacao
Filtro Tipo IV: N e impar, M = N/2 nao e inteiro e os coeficientesbm sao anti-simetricos.
h[n] = −h[N − n]
zeros: z=1.Qual a influencia desse zero na resposta em frequencia H(ω)?
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Projeto de um Filtro FIR : Consideracoes
Sao baseados em uma aproximacao direta da resposta em frequenciadesejada
O metodo mais simples e chamado de window method. Esse metodogeralmente comeca com uma resposta em frequencia ideal desejada,Hd(ω).
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Resposta em Frequencia Desejada.
1 Considere as respostas em frequencia IDEAIS a seguir:
ωc ωπ ωc ωπ
Hlp(ω) Hhp(ω)
1 1
hlp [n] = sen(n−M)ωcπ(n−M)
hhp [n] = δ(n −M)− sen(n−M)ωcπ(n−M)
2 hd [n] e a resposta ao impulso de um sistema IIR e nao-causal.
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Como Obter um Filtro FIR Causal ?
1 Podemos obter um filtro FIR e causal h[n] de ordem N, usando umaversao truncada da resposta hd [n]
h[n] =
{hd [n], n = 0, 1, . . . ,N0, n < 0 e n > N
(1)
2 O truncamento pode ser matematicamente escrito por
h[n] = hd [n]wr [n], (2)
em que wr [n] e uma janela retangular.
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Qual o Efeito do Truncamento ?
1 Considere a resposta em frequencia desejada.
Hd(ω) =∞∑
n=−∞hd [n]e−jωn (3)
2 Como Hd(ω) e uma funcao periodica e contınua de ω, entao
∞∑n=−∞
hd [n]e−jωn
E uma representacao em Serie de Fourier de Hd(ω)
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Fenomeno de Gibbs
Problema de convergencia nao-uniforme da Serie de Fourier.
A Serie de Fourier nao converge uniformemente para funcoes comdescontinuidade.
Figura : Ilustracao do Fenomeno de Gibbs (OPPENHEIM, 1998)
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Resposta em Frequencia do Filtro FIR e Causal
H(ω) =N∑
n=0
hd [n]e−jωn, (4)
em que h[n] = hd [n] para n = 0, 1, 2, . . .N.
ωπ
Hlp(ω)
1
ωc
N1
N2
N2 > N1
Figura : Efeito do truncamento sobre a resposta em frequencia do filtro
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Observando o Efeito do Truncamento a partir daConvolucao
|Wr (ω)| = sen(ω(N+1)/2)sen(ω/2)
H(ω) = Hd (ω)⊗Wr (ω)2π
Efeito da largura do lobulo principal
Figura : Efeito do truncamento sobre a resposta em frequencia do filtro.
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Como Reduzir o Efeito do Truncamento ?
Para reduzir o efeito do fenomeno de Gibbs, deve-se usar janelas comtruncamento menos abrupto.
Tabela : Janelas : Equacoes
Tipo de Janela Equacao
Triangular w2[n] = 1− 2|n−N/2|N
Hamming w3[n] = 0, 54− 0, 46 cos(2πn/N)
Blackman w4[n] = 0, 42− 0, 5 cos(2πn/N) + 0, 08 cos(4πn/N)
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Caracterısticas Desejadas
Lobulo principal estreito: A largura do lobulo principal afeta a largurada banda de transicao;
Intensidade dos lobulos laterais: Quanto maior, maior e a intensidadedos ripples na bandas de passagem e de rejeicao.
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Comparacao entre as Janelas
Tabela : Janelas : Comparacao
Tipo de Janela Amplitude (dB) Largura Aproximada
(lobulo lateral) (lobulo principal)
Retangular -13 4π/(M + 1)
Triangular -25 8π/M
Hamming -41 8π/M
Blackman -57 12π/M
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Exemplo de Projeto
Considere o sinal x(t) = cos(2π1000t) + cos(2π1500t). Projete umfiltro passa-baixa de ordem N=4 para eliminar a frequencia de1,5kHz.
Considerando a frequencia maxima igual a 1500Hz, adotou-sefa = 3kHz (tempo de amostragem T = 0, 33ms).
As frequencias devem ser normalizadas no intervalo ω ∼ [−π, π].
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Exemplo de Projeto
1 Frequencias normalizadas:
2π1000 =⇒ 2, 09 rad2π1500 =⇒ π radωc = 2, 61 rad
2 Resposta ao impulso do filtro
h[n] = hd [n] =sen((n − 2)2, 61)
π(n − 2)para n = 0, 1, 2, . . . , 4
3 Equacao de Diferencas :
y [n] = −0, 14(x [n] + x [n − 4]) + 0, 16(x [n − 1] (5)
+ x [n − 3]) + 0, 83x [n − 2]
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Usando o Fdatool - Matlab
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Usando a Janela de Hamming
Aplicando a janela de Hamming.
wh[n] = 0, 54− 0, 46 cos(2πn/4)
hh[n] = h[n]wh[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4
Equacao de Diferencas
y(n) = −0, 011(x [n] + x [n − 4]) + 0, 087(x [n − 1] (6)
+ x [n − 3]) + 0, 83x [n − 2]
Fabrıcio Simoes (IFBA) Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao 27 de outubro de 2015 52 / 69
Resposta em Frequencia dos Filtros
Figura : Resposta em frequencia usando janelas retangular e de Hammimg.
Fabrıcio Simoes (IFBA) Filtros Digitais: Estudo, Projeto e Simulacao 27 de outubro de 2015 53 / 69
Janela de Kaiser
Diferentemente dos metodos anteriorer, usando a janela kaiser epossıvel especificar os parametros do filtro. Nao existe tentativa eerro;
A equacao da janela para n = 0, 1, 2, . . . ,N e dada por
w5[n] =J0(0, 5Nβ
√(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)
J0(0, 5Nβ)
em que β controla a relacao entre a largura do lobulo principal e aintensidade dos lobulos laterais.
β =
0, 1102(Rs − 8, 7), 50 < Rs
0, 5842(Rs − 21)0,4 + 0.07886(Rs − 21), 21 ≤ Rs ≤ 500, Rs < 21
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Equacoes de Projeto do Filtro Usando Janela de Kaiser
ωωp ωs
1 + δs
1− δs
δs
|H(jω)|
∆ω
Rs = −20 log δs
N = Rs−82,285∆ω
|H(jωp)| = 1− δs
|H(jωs)| = δs
Figura : Equacoes de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Baixa.
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Exemplo de Projeto de um Filtro Passa-Baixa
1 Exemplo 7.8 - Oppenheim. Projeto de um filtro FIR passa-baixa comas especificacoes a seguir :
ωp = 0, 4π;ωs = 0, 6πδs = 0, 001
2 Definicao dos parametros da janela de Kaiser.
∆ω = ωs − ωp = 0, 2π
Rs = −20log(δs) = 60
3 Frequencia de corte do filtro passa-baixa ideal.
ωc =ωp + ωs
2= 0, 5π
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Exemplo de Projeto : Continuacao
4 Parametros β e N da janela de Kaiser.
β = 5, 653 N = 37
5 Determinando h[n].
h[n] =sen((n −M)0, 5π)
π(n −M)
J0(0, 5Nβ√
(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)
J0(0, 5Nβ)
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A Janela de Kaiser e o RESTO
Tabela : Obtendo outras janelas usando a de Kaiser
Tipo de Janela Rs = −20log(δs)(dB) β ∆ω
Retangular -21 0 1,81 π/M
Triangular -25 1,33 2,37 π/M
Hamming -53 4,86 6,27 π/M
Blackman -74 7,04 9,19 π/M
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Projeto de um Filtro Passa-Alta Usando Janela de Kaiser
1 Exemplo 7.9 - Oppenheim. Resposta em frequencia do filtropassa-alta ideal
H(jω) =
{0, |ω| < ωc
e−jωN/2, ωc < |ω| ≤ π2 Resposta ao impulso de um filtro passa-alta ideal
hhp[n] =sen(π(n −M/2))
π(n −M/2)− sen(ωc(n −M/2))
π(n −M/2)
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Gabarito de Projeto do Fitro Passa-Alta
ω
|H(jω)|
ωs ωp
∆ω
1− δs
1 + δs
δs
Rs = −20 log δs
N = Rs−82,285∆ω
|H(jωp)| = 1− δs
|H(jωs)| = δs
Figura : Equacoes de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Baixa.
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Continuacao
1 Especificacoes do Filtro:
|H(jω)| ≤ δ2 para |ω| ≤ ωs
1− δs ≤ |H(ω)| ≤ 1 + δs ,
em que δs = 0, 021
2 Parametros da Janela :
Rs = −20 log δs = 33, 56
N =33, 56− 8
2, 2850, 15π= 23, 73 ∼= 24
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Continuacao
1 Como 21 ≥ Rs ≤ 50, entao
β = 0, 5842(33, 56− 21)0,4 + 0, 07886(33, 56− 21) = 2, 5980 ∼= 2, 6
2 Resposta ao impulso do filtro
h[n] = hhp[n]J0(0, 5Nβ
√(0, 5N)2 − (n − 0, 5N)2)
J0(0, 5Nβ),
para ωc =ωp+ωs
2
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Porque o Filtro FIR tem Fase Linear ?
1 Note que as janelas sao simetricas em torno de n = N/2, ou seja,
w [n] =
{w [N − n], 0 ≤ n ≤ N0, cc
2 Como a janela e simetrica, a sua transformada de Fourier pode serrepresentada por
W (jω) = We(jω)e−jωN/2,
em que We(jω) e a transformada de Fourier de uma janela deduracao N e simetrica em torno de n = 0
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Porque o Filtro FIR tem Fase Linear ?
1 A resposta ao impulso desejada hd [n] pode ser simetrica ouantisimetrica, portanto
Hd(ω) =
Hd(ω) =
2 Resposta em frequencia do filtro obtido
H(ω) =W (jω)⊗ Hd(jω)
2π
H(jω) =
∫ π−π He(jθ)e−jθN/2We(j(ω − θ))e−j(ω−θ)N/2dθ
2π
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Porque o Filtro tem Fase Linear ?
1 Resposta em frequencia do filtro
H(jω) =1
2π
D(jω)︷ ︸︸ ︷∫ π
−πHe(jθ)We(j(ω − θ))dθ
Fase Linear︷ ︸︸ ︷e−j(ωN/2)
2 Reescrevendo
H(jω) = D(jω)e−jωN/2
3 Usando hd [n] simetrico (tipos I e II) ou anti-simetrico (tipos III e IV)e janelas simetricas e possıvel obter um filtro FIR com fase linear.
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Banda de Transicao Especificada
1 Eliminacao do fenomeno de Gibbs. Considere a resposta en frequencia
H(jω) = D(jω)e−jN/2ω,
em que D(jω) e dado por
D(jω) =
1, 0 ≤ ω ≤ ωp(ωs−ωp)ωs−ωp
, ωp < ω < ωs
0, ωs ≤ ω ≤ π
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Determinacao de h[n]
ωp ωs ω
|Hd(ω)|
1 ∆ = ωs − ωp
ωc =ωp+ωs
2
Figura : Resposta em frequencia desejada com banda de transicao
Resposta ao Impulso Desejada;
hd [n] = 2π(senωcn
πn
)(sen0.5∆n
∆πn
),
A resposta hd [n] e IIR e nao-causal.
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Exemplo
Uma janela retangular trunca a resposta hd [n] para obter um filtro FIR eCausal. Para ilustrar o metodo, considere o exemplo abaixo:
ω
|Hd(ω)|
1 ∆ = ωs − ωp = 0, 5
ωc =ωp+ωs
2= 1, 25
1 1, 5
Figura : Resposta desejada.
1 Considere uma resposta emn frequencia desejada com ωp = 1 eωs = 1.5.
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Resposta em Frequencia: Resultado.
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