financijska matematika ips-iiidio
Post on 02-Aug-2015
128 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Financijska matematika
IPS
UVOD
SadrzajFinancijska matematika
IPS
Fakultet organizacije i informatike, Varazdin
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
O predmetu
Naziv predmeta: Financijska matematika
Satnica: 15 0 30
Broj ECTS bodova: 5 ECTS
Cilj: Upoznavanje s osnovnim konceptima financijske
matematike neophodnim za razumijevanje i razvoj modela
potrebnih za financijski menadzment i poslovne proracune.
Nositelj predmeta: prof. dr. sc. Blazenka Divjak
Predavac: dr. sc. Zlatko Erjavec
Asistent: Dusan Mundar, dipl. ing.
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Nastavni plan
Funkcije i nizovi
Jednostavni dekurzivni kamatni racun
Slozeni dekurzivni kamatni racun
Periodske svote
Kredit
Pokazatelji isplativosti ulaganja
Amortizacija
Anticipativni obracun kamata
Matematika osiguranja
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Ishodi ucenja predmeta
Studenti ce nakon uspjesno zavrsenog predmeta biti sposobni:
razlikovati vrste obracuna kamata i pojmove relativne,
konformne, nominalne i efektivne kamatne stope
izvesti osnovne formule kamatnog racuna i periodskih svota te
ih primijeniti u rjesavanju zadataka
izraditi tablice kod otplate kredita i amortizacije
primijeniti NPV i IRR metodu u racunanju kljucnih pokazatelja
isplativosti investicijskog projekta
koristiti financijske funkcije tablicnog kalkulatora
odrediti vjerojatnost dozivljenja i smrti te izracunati premiju
kod mjesovitog osiguranja
prezentirati primjer analize isplativosti investicijskog projekta
koristeci IT
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Literatura
Divjak B., Erjavec Z.: Financijska matematika,
TIVA - FOI, Varazdin, 2007.
Divjak B.,Erjavec Z.: Gospodarska i financijska
matematika, TIVA - FOI,Varazdin, 2003.
Zima, P., Brown, R. L.: Mathematcs of Finance,
Schaum‘s O.S.,1996.
Mc Cutcheon, J.J., Scott, W.F.: Introduction to
Mathematics and Finance, Butterworth-Heinemann,
1989.
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Nacin rada
predavanja
seminari
domace zadace - Moodle (10 bodova)
projekt (20 bodova)
kratke provjere znanja - Moodle (10 bodova)
kolokviji (3× 20 = 60 bodova)
konzultacije
Kolokviranje
uvjet za potpis: vise od 20 bodova
ocjena: vise od 50 bodova
dodatni uvjet − barem 25 na kolokvijima
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Adrese
MOODLE
http://www.elf.foi.hr
(lozinka za prijavu: Fibonacci)
zlatko.erjavec@foi.hr
dusan.mundjar@foi.hr
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Dio I
Dio II
Dio III
Sadrzaj prvog dijela
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Dio I
Dio II
Dio III
Sadrzaj drugog dijela
Financijska matematika
IPS
UVOD
Sadrzaj
Dio I
Dio II
Dio III
Sadrzaj treceg dijela
1 AMORTIZACIJA
Linearna amortizacija
Metoda konstantnog postotka
Metoda sume znamenaka
Metoda padajuceg/rastuceg salda
Funkcionalna amortizacija
2 ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA
Jednostavni i slozeni anticipativni obracun kamata
Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obracuna
Kredit kod anticipativnog obracuna
3 MATEMATIKA OSIGURANJA
Osnovni pojmovi vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije
Premije u osiguranju zivota
Financijska matematika
IPS
Dio I
Dio I
Financijska matematika
IPS
Dio II
Dio II
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJADio III
Dio III
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Sadrzaj
1 AMORTIZACIJA
Linearna amortizacija
Metoda konstantnog postotka
Metoda sume znamenaka
Metoda padajuceg/rastuceg salda
Funkcionalna amortizacija
2 ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA
Jednostavni i slozeni anticipativni obracun kamata
Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obracuna
Kredit kod anticipativnog obracuna
3 MATEMATIKA OSIGURANJA
Osnovni pojmovi vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije
Premije u osiguranju zivota
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Pojam amortizacije i metode procjene
Definicija 1.
Amortizacija je smanjivanje vrijednosti imovine tijekom
vremena uslijed njezina trosenja ili iscrpljivanja.
Osnovna podjela:
funkcionalna metoda amortizacije
vremenske metode amortizacije
Vremenske metode amortizacije:
linearna amortizacija
metoda konstantnog postotka
metoda sume znamenaka
metoda rastuceg (padajuceg) salda
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Oznake
C - originalna vrijednost (cijena) dobra (eng. cost),
S - otpisna vrijednost (eng. salvage value),
n - vrijeme trajanja dobra,
Rk - trosak (kvota) amortizacije u k-tom razdoblju
(eng. depreciation repaid),
Bk - knjigovodstvena vrijednost u k-tom razdoblju
(eng. book value),
Dk - akumulirana amortizacija u k-tom razdoblju
(eng. depreciation).
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovna relacija
Uvijek vrijedi: akumulirana amortizacija +
knjigovodstvena vrijednost = originalna vrijednost dobra
Dk +Bk = C
Takoder vrijedi:
B0 = C, Bn = S, D0 = 0, Dn = C − S.
Podatke bitne za amortizaciju upisujemo u tablicu zvanu
amortizacijska osnovica.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Linearna amortizacija
osnovica za amortizaciju je jednako rasporedena
tijekom zivotnog vijeka dobra
najjednostavnija i najcesce koristena metoda
godisnja stopa amortizacija = 100n
Vrijedi:
R =C − Sn
Dk = k ·R
Bk = C −Dk
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 =
66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 =
284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 1.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci linearnu
metodu amortizacije, izracunajmo visinu amortizacijske kvote i
izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
R =350000− 20000
5= 66000
D1 = 1 ·R = 1 · 66000 = 66000
B1 = C −D1 = 350000− 66000 = 284000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacijska tablica
Linearna amortizacija
k R Dk Bk
0 - - 350000,00
1 66000,00 66000,00 284000,00
2 66000,00 132000,00 218000,00
3 66000,00 198000,00 152000,00
4 66000,00 264000,00 86000,00
5 66000,00 330000,00 20000,00
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Financijska funkcija SLN
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacija metodom konstantnog
postotka
amortizacijska kvota je fiksni postotak
knjigovodstvene vrijednosti
degresivna metoda amortizacije
amortizacija je zadana stopom amortizacije - d
uvjet: S mora biti pozitivan
Vrijedi:
Rk = Bk−1 ·d
100
Bk = Bk−1−Rk, Dk = C−Bk, S = C ·(
1− d
100
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)=
43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100=
152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 =
152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 =
197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 2.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom konstantnog postotka, izracunajmo
visinu stope amortizacije i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
R = ?
d = 100 ·(
1− n
√S
C
)= 43, 585286
R1 = B0 ·d
100= 152548, 50
D1 = R1 = 152548, 50
B1 = B0 −R1 = 197451, 50
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacijska tablica
Metoda konstantnog postotka
k Rk Dk Bk
0 - - 350000,00
1 152548,50 152548,50 197451,50
2 86059,80 238608,30 111391,70
3 48550,39 287158,69 62841,31
4 27389,56 314548,25 35451,75
5. 15451,75 330000,00 20000,00
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
= 4746, 09
R6 = B5 ·d
100= 1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
= 4746, 09
R6 = B5 ·d
100= 1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
=
4746, 09
R6 = B5 ·d
100= 1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
= 4746, 09
R6 = B5 ·d
100= 1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
= 4746, 09
R6 = B5 ·d
100=
1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 3.
Automobil je kupljen po cijeni od 20000 € i godisnja stopa
amortizacije je 25%. Nadimo knjigovodstvenu vrijednost na
kraju 5. godine i trosak amortizacije za 6. godinu.
Rjesenje:
C = 20000d = 25
B5 = ?R6 = ?
B5 = C ·(
1− d
100
)5
= 4746, 09
R6 = B5 ·d
100= 1186, 52
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Financijska funkcija DB
DB primjer
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Metoda sume znamenaka
- degresivna metoda amortizacije
Amortizacijske kvote u pojedinim godinama dobijemo tako da
kvocijent rednih brojeva godina (u obrnutom redosljedu) i sume
znamenaka perioda amortizacije, pomnozimo s troskom amortizacije.
Rk = n−k+1s (C − S)
Racunamo redom:
s = 1 + 2 + . . .+ n
R1 =n
s(C − S)
R2 =n− 1
s(C − S)
...
Rn =1
s(C − S)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 4.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo
amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
s = ?Rk = ?
s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R1 =5
15· (350000− 20000) = 110000
R2 =4
15· (350000− 20000) = 88000
...
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 4.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo
amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
s = ?Rk = ?
s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R1 =5
15· (350000− 20000) = 110000
R2 =4
15· (350000− 20000) = 88000
...
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 4.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo
amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
s = ?Rk = ?
s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R1 =5
15· (350000− 20000) = 110000
R2 =4
15· (350000− 20000) = 88000
...
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 4.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo
amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
s = ?Rk = ?
s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R1 =5
15· (350000− 20000) = 110000
R2 =4
15· (350000− 20000) = 88000
...
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 4.
Stroj cija je nabavna cijena 350000 kn ima zivotni vijek 5
godina i otpisnu vrijednost 20000 kn. Primjenjujuci
amortizaciju metodom sume znamenaka, izracunajmo
amortizacijske kvote i izradimo amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 350000n = 5S = 20000
s = ?Rk = ?
s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R1 =5
15· (350000− 20000) = 110000
R2 =4
15· (350000− 20000) = 88000
...
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacijska tablica
Metoda sume znamenaka
k Rk Dk Bk
0 - - 350000,00
1 110000,00 110000,00 240000,00
2 88000,00 198000,00 152000,00
3 66000,00 264000,00 86000,00
4 44000,00 308000,00 42000,00
5 22000,00 330000,00 20000,00
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Financijska funkcija SYD
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Usporedba metoda amortizacije
Graficki prikaz ovisnosti knjigovodstvene vrijednosti o vremenu
kod linearne amortizacije, metode sume znamenaka i metode
konstantnog postotka.
1 2 3 4 5 6
50
100
150
200
250
300
350
400Bk
k
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Metoda padajuceg salda
unaprijed su zadane amortizacijske stope pojedinih godina
suma svih zadanih stopa mora biti 100
metoda padajuceg salda - amortizacijske stope se
smanjuju (degresivna metoda)
metoda rastuceg salda - amortizacijske stope se
povecavaju (progresivna metoda)
Rk = (C − S) · dk
100
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 5.
Stroj cija je nabavna cijena 200000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku
tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz
amortizacijske stope dane u tablici.
godina k 1. 2. 3. 4.
amort. stopa d 40% 30% 20% 10%
Rjesenje:
C = 200000n = 4S = 20000
Rk = ?
R1 = (200000− 20000) · 40100
= 72000
R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 5.
Stroj cija je nabavna cijena 200000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku
tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz
amortizacijske stope dane u tablici.
godina k 1. 2. 3. 4.
amort. stopa d 40% 30% 20% 10%
Rjesenje:
C = 200000n = 4S = 20000
Rk = ?
R1 = (200000− 20000) · 40100
= 72000
R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 5.
Stroj cija je nabavna cijena 200000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku
tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz
amortizacijske stope dane u tablici.
godina k 1. 2. 3. 4.
amort. stopa d 40% 30% 20% 10%
Rjesenje:
C = 200000n = 4S = 20000
Rk = ?
R1 = (200000− 20000) · 40100
=
72000
R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 5.
Stroj cija je nabavna cijena 200000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku
tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz
amortizacijske stope dane u tablici.
godina k 1. 2. 3. 4.
amort. stopa d 40% 30% 20% 10%
Rjesenje:
C = 200000n = 4S = 20000
Rk = ?
R1 = (200000− 20000) · 40100
= 72000
R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 5.
Stroj cija je nabavna cijena 200000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost 20000 kn. Izradimo amortizacijsku
tablicu primjenjujuci amortizaciju metodom padajuceg salda uz
amortizacijske stope dane u tablici.
godina k 1. 2. 3. 4.
amort. stopa d 40% 30% 20% 10%
Rjesenje:
C = 200000n = 4S = 20000
Rk = ?
R1 = (200000− 20000) · 40100
= 72000
R2 = 54000, R3 = 36000, R4 = 18000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacijska tablica
Metoda padajuceg salda
k Rk Dk Bk
0 - - 200000,00
1 72000,00 72000,00 128000,00
2 54000,00 126000,00 74000,00
3 36000,00 162000,00 38000,00
4 18000,00 180000,00 20000,00
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Funkcionalna amortizacija
amortizacija se obracunava razmjerno intenzitetu
koristenja sredstava za rad ili davanja usluga
kolicina usluge: broj sati rada; jedinice proizvoda;
prijedeni kilometri i sl.
Trosak amortizacije po jedinici ucinka a:
a =C − SQ
(Q je planirana kolicina ucinka)
Rk = k · a
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000,
Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=
5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 6.
Stroj cija je originalna cijena 60000 kn ima zivotni vijek 4
godine i otpisnu vrijednost od 8000 kn. U godinama koje
slijede proizvest ce redom 4000, 3500, 2900 i 2600 proizvoda.
Nadimo trosak amortizacije po jedinici proizvoda i izradimo
amortizacijsku tablicu.
Rjesenje:
C = 60000n = 4S = 8000
a = ?
C − S = 52000, Q = 4000 + 3500 + 2900 + 2600 = 13000,
Trosak amortizacije po jedinici proizvoda
a =C − SQ
=5200013000
= 4
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
Linearna amort.
Met. konst. postotka
Met. sume znam.
Metode salda
Funkcionalna amor.
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Amortizacijska tablica
Funkcionalna amortizacija
n br.proiz. Rk Dk Bk
0 - - - 60000,00
1 4000 16000,00 16000,00 44000,00
2 3500 14000,00 30000,00 30000,00
3 2900 11600,00 41600,00 28400,00
4 2600 10400,00 52000,00 8000,00
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Sadrzaj
1 AMORTIZACIJA
Linearna amortizacija
Metoda konstantnog postotka
Metoda sume znamenaka
Metoda padajuceg/rastuceg salda
Funkcionalna amortizacija
2 ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA
Jednostavni i slozeni anticipativni obracun kamata
Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obracuna
Kredit kod anticipativnog obracuna
3 MATEMATIKA OSIGURANJA
Osnovni pojmovi vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije
Premije u osiguranju zivota
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Pojam anticipativnog obracuna kamata
Kod anticipativnog obracuna kamata duznik kamate na
posudeni iznos placa unaprijed, na pocetku razdoblja na koje se
dug odnosi, a na kraju razdoblja vraca posudeni iznos.
Posljedica takvog obracuna kamata je da duznik na pocetku
razdoblja raspolaze posudenim iznosom umanjenim za kamate.
q - kamatna stopa kod anticipativnog obracuna kamata
Kamate pocetkom godine za jednu godinu jednake su:
I =C0 · q100
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Dekurzivni vs. anticipativni kam. racun
Primjer 7.
Usporedimo dekurzivni i anticipativni kamatni racun na
primjeru posudbe glavnice od 1000 kn na godinu dana uz
godisnju kamatnu stopu 10%?
Rjesenje:
vrijeme dekurzivni anticipativni
1.1. 1000 1000
-100
”+” 1000 900
31.12. 1000 1000
+100
”−” 1100 1000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Dekurzivni vs. anticipativni kam. racun
Primjer 7.
Usporedimo dekurzivni i anticipativni kamatni racun na
primjeru posudbe glavnice od 1000 kn na godinu dana uz
godisnju kamatnu stopu 10%?
Rjesenje:
vrijeme dekurzivni anticipativni
1.1. 1000 1000
-100
”+” 1000 900
31.12. 1000 1000
+100
”−” 1100 1000
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Jednostavni anticipativni obracun kamata
Kamate pocetkom godine za n godina, n puta su vece od
kamata za jednu godinu:
Iuk = Cn ·q · n100
Nadalje, C0 = Cn − Iuk, iz cega slijedi
Cn = C0 ·100
100− q · n
Izraz ima smisla za 100− q · n > 0, odnosno q < 100n .
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 8.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i
godisnju kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6n = 5
C5 = ?
Cn = C0 ·100
100− q · n
= 10000 ·(
100100− 6 · 5
)= 14285, 71
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 8.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i
godisnju kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6n = 5
C5 = ?
Cn = C0 ·100
100− q · n
= 10000 ·(
100100− 6 · 5
)= 14285, 71
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 8.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i
godisnju kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6n = 5
C5 = ?
Cn = C0 ·100
100− q · n
= 10000 ·(
100100− 6 · 5
)= 14285, 71
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 8.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i
godisnju kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6n = 5
C5 = ?
Cn = C0 ·100
100− q · n
= 10000 ·(
100100− 6 · 5
)
= 14285, 71
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 8.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz jednostavni anticipativni obracun kamata i
godisnju kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6n = 5
C5 = ?
Cn = C0 ·100
100− q · n
= 10000 ·(
100100− 6 · 5
)= 14285, 71
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Slozeni anticipativni obracun kamata
Zanima nas konacna vrijednost glavnice na kraju n-te godine
uz slozen i anticipativan obracun kamata.
C1 − C1q
100= C0 ⇒ C1 = C0
100100− q
= C0
(100
100− q
)1
,
C2 − C2q
100= C1 ⇒ C2 = C1
100100− q
= C0
(100
100− q
)2
,
C3 − C3q
100= C2 ⇒ C3 = C2
100100− q
= C0
(100
100− q
)3
,
...
Kolika je vrijednost glavnice nakon n godina?
Cn = C0
(100
100− q
)n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Anticipativni kamatni faktor
Uvodimo oznaku za anticipativni kamatni faktor
ρ =100
100− q
Uz uvrstavanje anticipativnog kamatnog faktora slijedi
izraz za konacnu vrijednost glavnice,
Cn = C0 · ρn
Primjetimo da izraz ima smisla za 100− q > 0, odnosno
q < 100.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n= 10000 ·
(100
100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n= 10000 ·
(100
100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n=
10000 ·(
100100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n= 10000 ·
(100
100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n= 10000 ·
(100
100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 9.
Kolika je konacna vrijednost glavnice 10000 kn nakon pet
godina uz slozeni anticipativni obracun kamata i godisnju
kamatnu stopu 6%?
Rjesenje:
C0 = 10000q = 6 ⇒ ρ = 100
100−6= 1, 063829787
n = 5
C5 = ?
C5 = C0 ·(
100100− q
)n= 10000 ·
(100
100− 6
)5
= 13625, 76
Anticipativne kamate su vece od dekurzivnih!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Odnos dekurzivne i anticipativne kamatne
stope
Ako neku glavnicu ulozimo uz istu dekurzivnu i anticipativnu
kamatnu stopu, konacne vrijednosti nece biti jednake. Vecu
konacnu vrijednost dobili bi uz anticipativan obracun kamata.
Za zadanu godisnju dekurzivnu kamatnu stopu, ekvivalentnu
anticipativnu kamatnu stopu (i obrnuto) odredili bi iz relacije
C0
(1 +
p
100
)= C0 ·
100100− q
.
Slijedi,
p =100 · q100− q
, q =100 · p100 + p
.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Ispodgodisnje ukamacivanje
Relativna kamatna stopa qr dobije se tako da godisnju
kamatnu stopu podijelimo brojem razdoblja na koji smo
podijelili godinu. Vrijedi:
qr =q
m
Medutim, iznos koji se dobije ako glavnicu ukamatimo m
puta godisnje uz qr, razlikuje se od onoga kojeg dobijemo
ako istu glavnicu ukamatimo jednom godisnje uz godisnju
kamatnu stopu q. Stoga uvodimo konformnu kamatnu
stopu q′ .
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Izvod formule za anticipativnu konformnu
kamatnu stopu
Zelimo li da pocetna vrijednost glavnice uz nominalnu kamatnu
stopu i jedno ukamacivanje bude jednaka pocetnoj vrijednosti
glavnice nakon m ukamacivanja, moramo uvesti konformnu
kamatnu stopu q′.
Dakle, vrijediC1100
100−q
=C1(
100100−q′
)miz cega slijedi,
q′ = 100
(1− m
√1− q
100
)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Formule za periodske uplate i isplate
Analogne formule formulama za dekurzivni kamatni
racun, uz zamjenu ρ umjesto r.
S = R · ρ · ρn − 1ρ− 1
S′ = R · ρn − 1ρ− 1
A = R · ρn − 1ρn−1 · (ρ− 1)
A′ = R · ρn − 1ρn · (ρ− 1)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Otplata kredita jednakim anuitetima
Za razliku od otplate kredita kod dekurzivnog obracuna
kamata, kod anticipativnog obracuna svaki anuitet sadrzi
kamate unaprijed za sljedeci period, tako npr. anuitet koji
placamo na kraju 5. godine sadrzi kamate za 6. godinu
(tocnije, one obracunavane na pocetku 6. sto je u biti na kraju
5. godine). Posljedica toga je da ne mozemo jednostavno
upotrijebiti odgovarajuci izraz za dekurzivni kamatni racun kao
sto smo to dosad cinili.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Otplata kredita jednakim anuitetima
No, pokaze se da je formula za kredit kod otplate kredita
jednakim anuitetima krajem razdoblja uz anticipativan obracun
kamata, analogna formuli za kredit kod dekurzivnog racuna, ali
uz prenumerando anuitete.
K = a ·ρn − 1
ρn−1 · (ρ− 1)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Izrada otplatne tablice kredita
Uslijed ranije navedenog i izrada otplatne osnovice kredita
kod anticipativnog racuna se razlikuje od dosad poznate i
racuna se prema formulama koje slijede:
a = K ·ρn−1 · (ρ− 1)
ρn − 1
I0 =K · q100
, Rk = (a− I0) · ρk
Ik = a−Rk, Ok = Ok−1 −Rk.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 10.
Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu
mjesecnim anuitetima, anticipativan obracun i godisnju
kamatnu stopu 13%. Izradimo otplatnu tablicu kredita.
Rjesenje:
K = 6000q = 13 ⇒ ρ = 12
√100
100−13= 1, 011672774
n = 6
a = ?
br. mj. k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok
0 - - - 6000,00
1
2
3
4
5
6
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 10.
Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu
mjesecnim anuitetima, anticipativan obracun i godisnju
kamatnu stopu 13%. Izradimo otplatnu tablicu kredita.
Rjesenje:
K = 6000q = 13 ⇒ ρ = 12
√100
100−13= 1, 011672774
n = 6
a = ?
br. mj. k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok
0 - - - 6000,00
1
2
3
4
5
6
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Primjer 10.
Kredit visine 6000 kn odobren je na 6 mjeseci uz otplatu
mjesecnim anuitetima, anticipativan obracun i godisnju
kamatnu stopu 13%. Izradimo otplatnu tablicu kredita.
Rjesenje:
K = 6000q = 13 ⇒ ρ = 12
√100
100−13= 1, 011672774
n = 6
a = ?
br. mj. k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok
0 - - - 6000,00
1
2
3
4
5
6
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 =
1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 =
69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ =
971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 =
58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 =
6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 =
982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 =
46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 =
4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Rjesenje
a = K · ρn−1·(ρ−1)ρn−1 = 1029, 24
I0 = K q′
100 = 69, 23
R1 = (a− I0)ρ = 971, 22
I1 = a−R1 = 58, 02
O1 = K −R1 = 6000− 971, 22 = 5028, 78
R2 = (a− I0)ρ2 = 982, 55
I2 = a−R2 = 46, 69
O2 = O1 −R2 = 4046, 23
itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
Jedn. i sl. kamatni racun
Periodske uplate/isplate
Kredit
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Otplatna osnova
k anuitet a kamate Ik otpl. kvota Rk ost. duga Ok
0 - 69,23 - 6000,00
1 1029,24 58,02 971,22 5028,78
2 1029,24 46,69 982,55 4046,23
3 1029,24 35,22 994,02 3052,21
4 1029,24 23,62 1005,62 2046,59
5 1029,24 11,89 1017,35 1029,24
6 1029,24 0,00 1029,24 0,00
Σ 6175,44 175,44 6000,00 -
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Sadrzaj
1 AMORTIZACIJA
Linearna amortizacija
Metoda konstantnog postotka
Metoda sume znamenaka
Metoda padajuceg/rastuceg salda
Funkcionalna amortizacija
2 ANTICIPATIVAN OBRACUN KAMATA
Jednostavni i slozeni anticipativni obracun kamata
Periodske uplate i isplate kod anticipativnog obracuna
Kredit kod anticipativnog obracuna
3 MATEMATIKA OSIGURANJA
Osnovni pojmovi vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip ekvivalencije
Premije u osiguranju zivota
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Uvod
U praksi se cesto javlja potreba da znamo koliko elemenata ima neki
konacni skup kojeg promatramo, tj. treba odrediti njegov kardinalni
broj. Tim problemom se bavi grana matematike pod nazivom
kombinatorika.
Ponekad je to prebrojavanje elemenata jednostavno, no cesto to
prebrojavanje moze biti komplicirano te se moramo posluziti nekom
od metoda prebrojavanja.
Metode prebrojavanja:
bijektivna korespodencija,
princip sume,
princip produkta,
formula ukljucivanja-iskljucivanja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Principi prebrojavanja
Princip jednakosti (bijektivna korespodencija)
Ako postoji bijekcija izmedu skupova A i B, tada je
k(A) = k(B).
Princip jednakosti koristimo kada nam je umjesto zadanih
objekata jednostavnije prebrojiti neke druge objekte koji
su s njima u bijekciji.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Princip sume
Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi koji su u parovima
disjunktni, tj.
Ai ∩Aj = ∅ za i 6= j.
Tada je
k(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
)=
n∑i=1
k(Ai).
Princip sume koristimo kada nam je lakse prvo skup
(cjelinu) razbiti na vise dijelova, a zatim prebrojiti koliko
ima objekata u pojedinim dijelovima.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Princip produkta
Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi, tada je
k(A1 ×A2 × · · · ×An
)=
n∏i=1
k(Ai).
Princip produkta se cesto formulira u sljedecem obliku:
Teorem 1 (O uzastopnom prebrojavanju).
Neka su A1, A2, . . . , An konacni skupovi, a
A ⊆ A1 ×A2 × · · · ×An skup uredenih n-torki(x1, x2, . . . , xn
)definiranih ovako: prva komponenta x1 se moze odabrati na p1
nacina; za svaku odabranu prvu komponentu drugu komponentu x2
mozemo odabrati na p2 nacina itd.; za svaki izbor komponenata
x1, x2, . . . , xn−1, n-tu komponentu xn mozemo birati na pn nacina.
Tada skup A ima p1p2 · · · pn elemenata.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 11.
Dijete ima tri zelene bojice razlicitih nijansi, dvije plave,
dvije smede i jednu zutu.
1 Na koliko nacina dijete moze izabrati jednu bojicu?
2 Na koliko nacina moze izabrati bojice za crtanje
stabla sa smedim deblom i zelenom krosnjom?
Rjesenje:
1 Definiramo sljedece skupove
Z =z1, z2, z3
← skup zelenih bojica
P =p1, p2
← skup plavih bojica
S =s1, s2
← skup smedih bojica
Z =z1← skup zutih bojica
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 11.
Dijete ima tri zelene bojice razlicitih nijansi, dvije plave,
dvije smede i jednu zutu.
1 Na koliko nacina dijete moze izabrati jednu bojicu?
2 Na koliko nacina moze izabrati bojice za crtanje
stabla sa smedim deblom i zelenom krosnjom?
Rjesenje:
1 Definiramo sljedece skupove
Z =z1, z2, z3
← skup zelenih bojica
P =p1, p2
← skup plavih bojica
S =s1, s2
← skup smedih bojica
Z =z1← skup zutih bojica
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Tada je
k(Z ∪ P ∪ S ∪ Z
)= k(Z) + k(P ) + k(S) + k
(Z)
=
= 3 + 2 + 2 + 1 = 8
Dijete jednu bojicu moze odabrati na 8 nacina.
2 Prema principu produkta vrijedi
k(S × Z
)= k(S) · k(Z) = 2 · 3 = 6
Smedu bojicu dijete moze izabrati na 2 nacina, a za svaki
takav izbor smede bojice zelenu bojicu moze odabrati na
3 nacina. Dakle, izbor bojica odgovara uredenim
parovima kojima je na prvom mjestu smeda bojica, a na
drugom mjestu zelena bojica.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Permutacije i kombinacije
prebrojavanje
uredenih razmjestaja(vazan je poredak objekata)
neuredenih razmjestaja(nije vazan poredak objekata)
bez ponavljanjaobjekata
sa ponavljanjemobjekata
bez ponavljanjaobjekata
sa ponavljanjemobjekata
PERMUTACIJE (VARIJACIJE) KOMBINACIJE
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Permutacije
Definicija 2.
r-permutacija n-clanog skupa S je uredena r-torka kod
koje su sve komponente medusobno razliciti elementi
skupa S.
U slucaju da je r = n = k(S), tada umjesto n-permutacija kratko
govorimo permutacija.
Ukupni broj svih r-permutacija n-clanog skupa oznacavamo s
P (n, r).
Broj r-permutacija n-clanog skupa
P (n, r) =n!
(n− r)!= n · (n− 1) · · · (n− r + 1)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 12.
Cetiri skakacice (a, b, c, d) se natjecu za tri medalje.
Ispisimo sve moguce ishode natjecanja.
Rjesenje:
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c),
(b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c),
(c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b),
(d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b)
Radi se o 3-permutacijama cetveroclanog skupa a, b, c, d i
ukupno ih ima P (4, 3) = 4!(4−3)! = 4!
1! = 24.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 12.
Cetiri skakacice (a, b, c, d) se natjecu za tri medalje.
Ispisimo sve moguce ishode natjecanja.
Rjesenje:
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c),
(b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c),
(c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b),
(d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b)
Radi se o 3-permutacijama cetveroclanog skupa a, b, c, d i
ukupno ih ima P (4, 3) = 4!(4−3)! = 4!
1! = 24.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 12.
Cetiri skakacice (a, b, c, d) se natjecu za tri medalje.
Ispisimo sve moguce ishode natjecanja.
Rjesenje:
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, b), (a, c, d), (a, d, b), (a, d, c),
(b, a, c), (b, a, d), (b, c, a), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, c),
(c, a, b), (c, a, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, d, a), (c, d, b),
(d, a, b), (d, a, c), (d, b, a), (d, b, c), (d, c, a), (d, c, b)
Radi se o 3-permutacijama cetveroclanog skupa a, b, c, d i
ukupno ih ima P (4, 3) = 4!(4−3)! = 4!
1! = 24.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Kombinacije
Definicija 3.
r-kombinacija n-clanog skupa S je r-clani podskup od
S.
To je zapravo neuredeni izbor od r elemenata u skupu S.
Ukupni broj svih r-kombinacija n-clanog skupa oznacavamo s
C(n, r) ili(
nr
), a taj je broj zapravo jednak ukupnom broju svih
r-clanih podskupova n-clanog skupa.
Broj r-kombinacija n-clanog skupa
C(n, r) =(n
r
)=
n!r!(n− r)!
=n(n− 1) · · · (n− r + 1)
r!
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 13.
Ispisimo sve moguce izbore tri elementa cetveroclanog
skupa a, b, c, d.
Rjesenje:
a, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d
Radi se o 3-kombinacijama skupa a, b, c, d i ukupno ih ima(43
)= 4!
3!(4−3)! = 4.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 13.
Ispisimo sve moguce izbore tri elementa cetveroclanog
skupa a, b, c, d.
Rjesenje:
a, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d
Radi se o 3-kombinacijama skupa a, b, c, d i ukupno ih ima(43
)= 4!
3!(4−3)! = 4.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 13.
Ispisimo sve moguce izbore tri elementa cetveroclanog
skupa a, b, c, d.
Rjesenje:
a, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d
Radi se o 3-kombinacijama skupa a, b, c, d i ukupno ih ima(43
)= 4!
3!(4−3)! = 4.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 14.
Na koliko se nacina moze odabrati pocetna petorka u
kosarkaskoj ekipi koja ima 10 igraca?
Rjesenje: Odabir pocetne petorke zapravo odgovara
peteroclanom podskupu u skupu od 10 elemenata. Stoga
pocetnu petorku mozemo izabrati na(105
)=
10 · 9 · 8 · 7 · 65 · 4 · 3 · 2 · 1
= 252
nacina.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 14.
Na koliko se nacina moze odabrati pocetna petorka u
kosarkaskoj ekipi koja ima 10 igraca?
Rjesenje: Odabir pocetne petorke zapravo odgovara
peteroclanom podskupu u skupu od 10 elemenata. Stoga
pocetnu petorku mozemo izabrati na(105
)=
10 · 9 · 8 · 7 · 65 · 4 · 3 · 2 · 1
= 252
nacina.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 4.
r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa S je
uredena r-torka elemenata skupa S u kojoj su dozvoljena
ponavljanja elemenata iz skupa S.
Ukupni broj svih r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa
oznacavamo s P (n, r).
Uz pretpostavku da svaki element mozemo ponoviti po volji mnogo
puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeca formula
Broj r-permutacija s ponavljanjem n-clanog skupa
P (n, r) = nr
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 15.
Ispisimo sve 3-permutacije s ponavljanjem skupa
a, b, c, d.
Rjesenje:(a, a, a), (a, a, b), (a, a, c), (a, a, d), (a, b, a), (a, b, b),
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, b), (a, c, c), (a, c, d),
(a, d, a), (a, d, b), (a, d, c), (a, d, d), (b, a, a), (b, a, b),
(b, a, c), (b, a, d), (b, b, a), (b, b, b), (b, b, c), (b, b, d),
(b, c, a), (b, c, b), (b, c, c), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, b),
(b, d, c), (b, d, d), (c, a, a), (c, a, b), (c, a, c), (c, a, d),
(c, b, a), (c, b, b), (c, b, c), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, b),
(c, c, c), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, b), (c, d, c), (c, d, d),
(d, a, a), (d, a, b), (d, a, c), (d, a, d), (d, b, a), (d, b, b),
(d, b, c), (d, b, d), (d, c, a), (d, c, b), (d, c, c), (d, c, d),
(d, d, a), (d, d, b), (d, d, c), (d, d, d)
Ukupno ih ima 43 = 64.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 15.
Ispisimo sve 3-permutacije s ponavljanjem skupa
a, b, c, d.
Rjesenje:(a, a, a), (a, a, b), (a, a, c), (a, a, d), (a, b, a), (a, b, b),
(a, b, c), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, b), (a, c, c), (a, c, d),
(a, d, a), (a, d, b), (a, d, c), (a, d, d), (b, a, a), (b, a, b),
(b, a, c), (b, a, d), (b, b, a), (b, b, b), (b, b, c), (b, b, d),
(b, c, a), (b, c, b), (b, c, c), (b, c, d), (b, d, a), (b, d, b),
(b, d, c), (b, d, d), (c, a, a), (c, a, b), (c, a, c), (c, a, d),
(c, b, a), (c, b, b), (c, b, c), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, b),
(c, c, c), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, b), (c, d, c), (c, d, d),
(d, a, a), (d, a, b), (d, a, c), (d, a, d), (d, b, a), (d, b, b),
(d, b, c), (d, b, d), (d, c, a), (d, c, b), (d, c, c), (d, c, d),
(d, d, a), (d, d, b), (d, d, c), (d, d, d)
Ukupno ih ima 43 = 64.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 5.
r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa S je
izbor od r elemenata skupa S pri cemu poredak nije
vazan, a ponavljanja elemenata su dozvoljena.
Ukupni broj svih r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa
oznacavamo s C(n, r).
Uz pretpostavku da svaki element mozemo ponoviti po volji mnogo
puta (ili barem r puta), vrijedi sljedeca formula
Broj r-kombinacija s ponavljanjem n-clanog skupa
C(n, r) =(n+ r − 1
r
)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 16.
Ispisimo sve 3-kombinacije s ponavljanjem skupa
a, b, c, d.
Rjesenje:a, a, a, a, a, b, a, a, c, a, a, d, a, b, b,
a, b, c, a, b, d, a, c, c, a, c, d, a, d, d,
b, b, b, b, b, c, b, b, d, b, c, c, b, c, d,
b, d, d, c, c, c, c, c, d, c, d, d, d, d, d
Ukupno ih ima(4+3−1
3
)=(63
)= 20.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 16.
Ispisimo sve 3-kombinacije s ponavljanjem skupa
a, b, c, d.
Rjesenje:a, a, a, a, a, b, a, a, c, a, a, d, a, b, b,
a, b, c, a, b, d, a, c, c, a, c, d, a, d, d,
b, b, b, b, b, c, b, b, d, b, c, c, b, c, d,
b, d, d, c, c, c, c, c, d, c, d, d, d, d, d
Ukupno ih ima(4+3−1
3
)=(63
)= 20.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 17.
Na koliko se nacina iz snopa od 52 karte moze izvuci 13
karata, ali tako da medu njima budu 2 zelja, 4 srca, 3
bundeve i 4 zira?
Rjesenje: U snopu od 52 karte imamo po 13 karata svake
boje. Stoga 2 zelja mozemo odabrati na(132
)nacina, 4 srca na(
134
)nacina, 3 bundeve na
(133
)nacina i 4 zira na
(134
)nacina.
Prema principu produkta ukupni broj nacina je jednak(132
)(134
)(133
)(134
)= 11 404 407 300.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 17.
Na koliko se nacina iz snopa od 52 karte moze izvuci 13
karata, ali tako da medu njima budu 2 zelja, 4 srca, 3
bundeve i 4 zira?
Rjesenje: U snopu od 52 karte imamo po 13 karata svake
boje. Stoga 2 zelja mozemo odabrati na(132
)nacina, 4 srca na(
134
)nacina, 3 bundeve na
(133
)nacina i 4 zira na
(134
)nacina.
Prema principu produkta ukupni broj nacina je jednak(132
)(134
)(133
)(134
)= 11 404 407 300.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Formula ukljucivanja − iskljucivanja
Propozicija 1.
Neka su A i B podskupovi konacnog univerzalnog skupa
U . Tada vrijedi:
1 k(A ∪B
)= k(A) + k(B)− k
(A ∩B
)2 k
(A ∩B
)6 min
k(A), k(B)
3 k
(A \B
)= k(A)− k
(A ∩B
)4 k
(Ac)
= k(U)− k(A)
5 k(A×B
)= k(A) · k(B)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Teorem 2 (Formula ukljucivanja–iskljucivanja).
Za podskupove A1, A2, . . . , An ⊆ S konacnog skupa S
vrijedi
k(A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
)=∑
k(Ai)−∑
k(Ai ∩Aj
)+
+∑
k(Ai ∩Aj ∩At
)−· · ·+(−1)n−1k
(A1∩· · ·∩An
)gdje je prva suma uzeta po svim i ∈ 1, . . . , n, druga
suma po svim 2-kombinacijama i, j ⊂ 1, . . . , n, treca
po svim 3-kombinacijama i, j, t ⊂ 1, . . . , n, itd.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Formula U - I za tri skupa
AB
C
k(A ∪B ∪ C
)= k(A) + k(B) + k(C)− k
(A ∩B
)−
− k(A ∩ C
)− k(B ∩ C
)+ k(A ∩B ∩ C
)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 18.
U razredu 25 ucenik uci engleski, 12 ruski i 19 njemacki
jezik. 15 ucenika uci engleski i njemacki, 6 engleski i
ruski, a 8 ruski i njemacki. Ako 5 ucenika uce sva tri
jezika, koliko je ucenika u razredu?
Rjesenje:
k(E ∪N ∪R
)= k(E) + k(N) + k(R)− k
(E ∩N
)−
− k(E ∩R
)− k(N ∩R
)+ k(E ∩N ∩R
)
k(E ∪N ∪R
)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 = 32
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 18.
U razredu 25 ucenik uci engleski, 12 ruski i 19 njemacki
jezik. 15 ucenika uci engleski i njemacki, 6 engleski i
ruski, a 8 ruski i njemacki. Ako 5 ucenika uce sva tri
jezika, koliko je ucenika u razredu?
Rjesenje:
k(E ∪N ∪R
)= k(E) + k(N) + k(R)− k
(E ∩N
)−
− k(E ∩R
)− k(N ∩R
)+ k(E ∩N ∩R
)
k(E ∪N ∪R
)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 = 32
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 18.
U razredu 25 ucenik uci engleski, 12 ruski i 19 njemacki
jezik. 15 ucenika uci engleski i njemacki, 6 engleski i
ruski, a 8 ruski i njemacki. Ako 5 ucenika uce sva tri
jezika, koliko je ucenika u razredu?
Rjesenje:
k(E ∪N ∪R
)= k(E) + k(N) + k(R)− k
(E ∩N
)−
− k(E ∩R
)− k(N ∩R
)+ k(E ∩N ∩R
)
k(E ∪N ∪R
)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 =
32
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 18.
U razredu 25 ucenik uci engleski, 12 ruski i 19 njemacki
jezik. 15 ucenika uci engleski i njemacki, 6 engleski i
ruski, a 8 ruski i njemacki. Ako 5 ucenika uce sva tri
jezika, koliko je ucenika u razredu?
Rjesenje:
k(E ∪N ∪R
)= k(E) + k(N) + k(R)− k
(E ∩N
)−
− k(E ∩R
)− k(N ∩R
)+ k(E ∩N ∩R
)
k(E ∪N ∪R
)= 25 + 12 + 19− 15− 6− 8 + 5 = 32
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Teorija vjerojatnosti
Osnovni pojam u teoriji vjerojatnosti jest slucajni pokus.
Slucajni pokus je pokus ciji ishodi nisu jednoznacno
odredeni uvjetima u kojima se izvodi.
Skup svih mogucih ishoda slucajnog pokusa zove se prostor
elementarnih dogadaja i taj skup se oznacava sa Ω. Dogadaj je
neki podskup skupa Ω.
Kako su ∅ i Ω podskupovi od Ω, oni su takoder dogadaji.
Prvog od njih zovemo nemoguc dogadaj, a drugog
siguran dogadaj. Svaki moguci dogadaj je unija nekih
elementarnih dogadaja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 19 (Bacanje igrace kocke).
Slucajni pokus je ”bacanje igrace kocke”. Moguci ishodi tog pokusa
su sljedeci:
1 → ”pao je broj 1”
2 → ”pao je broj 2”
3 → ”pao je broj 3”
4 → ”pao je broj 4”
5 → ”pao je broj 5”
6 → ”pao je broj 6”
Stoga je skup elementarnih dogadaja
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Neki moguci dogadaji vezani uz bacanje igrace kocke:
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6
B =
pao je broj veci od 4
= 5, 6
C =
pao je neparni broj manji od 5
= 1, 3
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 19 (Bacanje igrace kocke).
Slucajni pokus je ”bacanje igrace kocke”. Moguci ishodi tog pokusa
su sljedeci:
1 → ”pao je broj 1”
2 → ”pao je broj 2”
3 → ”pao je broj 3”
4 → ”pao je broj 4”
5 → ”pao je broj 5”
6 → ”pao je broj 6”
Stoga je skup elementarnih dogadaja
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Neki moguci dogadaji vezani uz bacanje igrace kocke:
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6
B =
pao je broj veci od 4
= 5, 6
C =
pao je neparni broj manji od 5
= 1, 3
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 20 (Bacanje novcica).
Slucajni pokus je ”bacanje novcica”. Moguci ishodi tog
pokusa su sljedeci:
P → ”pojavilo se pismo”
G → ”pojavila se glava”
Stoga je skup elementarnih dogadaja
Ω = P,G.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 21 (Bacanje dvije igrace kocke).
Slucajni pokus je ”bacanje igrace kocke”. Moguci ishodi
tog pokusa su sljedeci:
ωij = (i, j) → ”na prvoj kocki je pao broj i, a na drugoj broj j”
pri cemu su i, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dakle, prostor
elementarnih dogadaja je
Ω =
(i, j) : i, j ∈ 1, 2, . . . , 6
pa imamo ukupno 36 elementarnih dogadaja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Na primjer,
A =
na obje kocke su brojevi manji od tri
=
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)
B =
suma brojeva na obje kocke je 7
=
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
su neki od mogucih dogadaja vezanih uz slucajni pokus
bacanja dvije igrace kocke.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Usporedivanje dogadaja
Definicija 6.
Kazemo da dogadaj A povlaci dogadaj B ako realizacija
dogadaja A povlaci realizaciju dogadaja B.
To znaci da dogadaj B sadrzi sve elementarne dogadaje koje sadrzi i
dogadaj A. U tom slucaju pisemo A ⊂ B. Ako se dogodio dogadaj
A, tada se sigurno dogodio i dogadaj B.
W
A
B
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 22 (Bacanje dvije igrace kocke).
Bacamo dvije kocke. Neka su
A =
na obje kocke su brojevi veci od 4,
B =
suma brojeva na obje kocke je veca od 8.
Dogadaj A povlaci dogadaj B, tj. A ⊂ B, jer ako su oba broja
veca od 4, tada je njihova suma veca od 8. Medutim, dogadaj B ne
povlaci dogadaj A, jer moguce je da na jednoj kocki padne broj 3, a na drugoj 6 (tada nisu na obje
kocke brojevi veci od 4), ali je suma ipak veca od 8.
Dakle, ako se ostvario dogadaj A, tada se sigurno ostvario i
dogadaj B, ali obrnuto ne mora vrijediti.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 7.
Za dogadaje A i B kazemo da su ekvivalentni i pisemo
A = B ako je A ⊂ B i B ⊂ A.
Ekvivalentni dogadaji se sastoje od istih elementarnih dogadaja.
Dogadaj A se ostvario ako i samo ako se ostvario dogadaj B.
Primjer 23 (Bacanje novcica).
Bacamo ispravni novcic cetiri puta. Neka su
A =
pojavila su se tocno tri pisma,
B =
pojavila se tocno jedna glava.
Tada su dogadaji A i B ekvivalentni.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 8.
Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan od
dogadaja A i B zovemo unija dogadaja A i B i
oznacavamo s A ∪B.
W
AB
A BÈ
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 9.
Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario svaki od
dogadaja A i B zovemo presjek dogadaja A i B i
oznacavamo s A ∩B.
W
ABA BÇ
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 24 (Bacanje igrace kocke).
Bacamo igracu kocku. Neka su
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6,
B =
pao je broj veci od 2
= 3, 4, 5, 6.
Sto je A ∪B, a sto A ∩B?
Rjesenje:
A ∪B =
pao je broj veci od 1
= 2, 3, 4, 5, 6,
A ∩B =
pao je parni broj veci od 2
= 4, 6.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 24 (Bacanje igrace kocke).
Bacamo igracu kocku. Neka su
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6,
B =
pao je broj veci od 2
= 3, 4, 5, 6.
Sto je A ∪B, a sto A ∩B?
Rjesenje:
A ∪B =
pao je broj veci od 1
= 2, 3, 4, 5, 6,
A ∩B =
pao je parni broj veci od 2
= 4, 6.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 10.
Za dogadaje A i B kazemo da se medusobno iskljucuju
ili da su disjunktni ako se istovremeno ne mogu ostvariti
oba dogadaja, tj. A ∩B = ∅.
Primjer 25 (Bacanje igrace kocke).
Bacamo igracu kocku. Neka su
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6,
B =
pao je neparni broj veci od 1
= 3, 5.
Tada su dogadaji A i B disjunktni.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija 11.
Dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario dogadaj A, a
nije se ostvario dogadaj B zovemo razlika dogadaja A i
B i oznacavamo s A \B.
Posebno, dogadaj Ω \A naziva se komplementom ili suprotnim
dogadajem dogadaja A kojeg oznacavamo s Ac ili A. Dogadaj Ac
se ostvaruje ako i samo ako se nije ostvario dogadaj A.
W
AB
A B\
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 26 (Bacanje igrace kocke).
Bacamo igracu kocku.
A =
pao je parni broj
= 2, 4, 6,
Ac =
pao je neparni broj
= 1, 3, 5.
A
Ac
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Definicija vjerojatnosti
Definicija 12.
Vjerojatnost je funkcija definirana na sigma algebri F od
Ω
P : F → [0, 1]
sa sljedecim svojstvima:
P (Ω) = 1
Za svaku konacnu ili beskonacnu familiju
A1, A2, A3, . . . u parovima disjunktnih podskupova
od Ω vrijedi
P
( ∞⊎n=1
An
)=∞∑n=1
P (An)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Uredena trojka(Ω,F , P
)koja se sastoji od prostora
elementarnih dogadaja Ω i vjerojatnosti P definirane na
sigma algebri F ⊆ P(Ω) zovemo vjerojatnosni prostor.
Teorem 3.
Neka je(Ω, P
)vjerojatnosni prostor. Tada vrijedi:
1 P (∅) = 0,
2 P (A \B) = P (A)− P (A ∩B),
3 P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B),
4 P (Ac) = 1− P (A),
5 Ako je A ⊆ B, tada je P (A) 6 P (B).
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Klasicni vjerojatnosni prostor
Ako promatramo slucajni pokus koji ima konacno mnogo
ishoda u vecini situacija je razumno pretpostaviti da su svi ti
ishodi (elementarni dogadaji) jednako vjerojatni.
U tom slucaju takav vjerojatnosni prostor zovemo
klasicni vjerojatnosni prostor.
Ω = ω1, ω2, . . . , ωn
pi = P(ωi
)=
1n, i = 1, 2, . . . , n
A ∈ P(Ω), A =ωi1 , ωi2 , . . . , ωik
P (A) = pi1 + pi2 + · · ·+ pik =
k
n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Vjerojatnost dogadaja A
Klasicni vjerojatnosni prostor
P (A) =broj povoljnih ishoda
broj mogucih ishoda
Primjer 27 (Bacanje novcica).
Dva su elementarna dogadaja ω1 = P (pojavilo se pismo) i
ω2 = G (pojavila se glava) pa je prirodno pretpostaviti da je
P(ω1
)= 1
2 , P(ω2
)= 1
2 ,
tj., da je jednako vjerojatno da se kod bacanja novcica pojavi
pismo ili glava.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 28 (Bacanje igrace kocke).
Znamo da u ovom slucaju postoji 6 elementarnih dogadaja i svi
su jednako vjerojatni da se dogode, tj.
P(i)
=16, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Na primjer,
P(pao je paran broj
)= P
(2, 4, 6
)= 3
6
P(pao je broj veci od 1
)= P
(2, 3, 4, 5, 6
)= 5
6
su vjerojatnosti nekih dogadaja vezanih uz bacanje kocke.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 29.
Ako se zna da je od 100 zarulja njih 8 neispravnih, kolika
je vjerojatnost da ce od cetiri odabrane zarulje sve cetiri
biti ispravne?
Rjesenje: Od 100 zarulja njih 4 mozemo odabrati na(1004
)nacina. Cetiri ispravne zarulje mozemo odabrati na
(924
)nacina. Stoga je vjerojatnost da sve cetiri odabrane zarulje
budu ispravne jednaka
P (A) =broj povoljnih ishoda
broj mogucih ishoda=
(924
)(1004
) ≈ 0.713
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 29.
Ako se zna da je od 100 zarulja njih 8 neispravnih, kolika
je vjerojatnost da ce od cetiri odabrane zarulje sve cetiri
biti ispravne?
Rjesenje: Od 100 zarulja njih 4 mozemo odabrati na(1004
)nacina. Cetiri ispravne zarulje mozemo odabrati na
(924
)nacina. Stoga je vjerojatnost da sve cetiri odabrane zarulje
budu ispravne jednaka
P (A) =broj povoljnih ishoda
broj mogucih ishoda=
(924
)(1004
) ≈ 0.713
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Uvjetna vjerojatnost
Definicija 13.
Uvjetna vjerojatnost dogadaja A, ako je poznato da se
ostvario dogadaj B takav da je P (B) > 0, je broj
P (A | B) definiran s
P (A | B) =P (A ∩B)P (B)
.
Formulu uvjetne vjerojatnosti mozemo pisati i u obliku
P (A ∩B) = P (A | B)P (B)
koja se koristi kod racunanja presjeka dva dogadaja jer se uvjetna
vjerojatnost puno lakse racuna od vjerojatnosti presjeka dogadaja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 30 (Bacanje igrace kocke).
A =
pao je broj 5
B =
pao je neparan broj
C =
pao je paran broj
P (A) = 16
P (A | B) = 13
P (A | C) = 0
P (B | A) = 1
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Motivirani prethodnim primjerom uvodimo sljedecu definiciju.
Definicija 14.
Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi
P (A | B) = P (A) ili P (B | A) = P (B).
Nuzan i dovoljan uvjet za nezavisnost je
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 31.
Ako su dvije kocke pale na razlicite brojeve, kolika je
vjerojatnost da je zbroj tih brojeva veci od 8?
Rjesenje: Definiramo sljedece dogadaje
A =
suma brojeva na obje kocke je veca od 8
B =
kocke su pale na razlicite brojeve
Trazimo P (A | B). Kako je
A ∩ B =
(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
slijedi da je
P (A | B) =P (A ∩B)P (B)
=8363036
=830
=415.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 31.
Ako su dvije kocke pale na razlicite brojeve, kolika je
vjerojatnost da je zbroj tih brojeva veci od 8?
Rjesenje: Definiramo sljedece dogadaje
A =
suma brojeva na obje kocke je veca od 8
B =
kocke su pale na razlicite brojeve
Trazimo P (A | B). Kako je
A ∩ B =
(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
slijedi da je
P (A | B) =P (A ∩B)P (B)
=8363036
=830
=415.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Bayesova formula
Pretpostavimo da skup elementarnih dogadaja mozemo
rastaviti na n medusobno disjunktnih dogadaja
Ω = H1 ]H2 ] · · · ]Hn
pri cemu je P (Hi) > 0 za svaki i ∈ 1, 2, . . . , n. Ovakav
rastav zovemo particija vjerojatnosnog prostora. Kazemo jos
da familijaH1, H2, . . . ,Hn
cini potpun sustav dogadaja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Teorem 4 (Formula potpune vjerojatnosti).
Neka jeH1, H2, . . . , Hn
potpun sustav dogadaja u
vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P
). Tada za svaki dogadaj A ∈ F
vrijedi
P (A) =n∑
i=1
P (Hi)P (A | Hi).
Teorem 5 (Bayesova formula).
Neka jeH1, H2, . . . , Hn
potpun sustav dogadaja u
vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P
). Tada za svaki dogadaj A ∈ F
za koji je P (A) > 0 vrijedi
P (Hi | A) =P (Hi)P (A | Hi)
n∑j=1
P (Hj)P (A | Hj)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 32.
U prvoj se kutiji nalaze cetiri bijele i dvije crne kuglice, u
drugoj tri bijele i dvije crne. Iz prve kutije prebacimo u
drugu jednu slucajno odabranu kuglicu. Kolika je
vjerojatnost da nakon toga na srecu odabrana kuglica iz
druge kutije bude bijela?
Rjesenje: Neka je A dogadaj da je izvucena kuglica iz druge
kutije bijela nakon sto smo iz prve kutije u drugu premjestili
jednu slucajno odabranu kuglicu. Definiramo hipoteze
H1 =
iz prve kutije u drugu je prebacena bijela kuglica
H2 =
iz prve kutije u drugu je prebacena crna kuglica
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 32.
U prvoj se kutiji nalaze cetiri bijele i dvije crne kuglice, u
drugoj tri bijele i dvije crne. Iz prve kutije prebacimo u
drugu jednu slucajno odabranu kuglicu. Kolika je
vjerojatnost da nakon toga na srecu odabrana kuglica iz
druge kutije bude bijela?
Rjesenje: Neka je A dogadaj da je izvucena kuglica iz druge
kutije bijela nakon sto smo iz prve kutije u drugu premjestili
jednu slucajno odabranu kuglicu. Definiramo hipoteze
H1 =
iz prve kutije u drugu je prebacena bijela kuglica
H2 =
iz prve kutije u drugu je prebacena crna kuglica
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Kako u prvoj kutiji imamo 4 bijele i 2 crne kuglice,
vjerojatnosti pojedinih hipoteza su
P (H1) =46
=23, P (H2) =
26
=13.
Pojedine uvjetne vjerojatnosti su
P (A | H1) =46
=23, P (A | H2) =
36
=12.
Prema formuli potpune vjerojatnosti je
P (A) = P (H1)P (A | H1) + P (H2)P (A | H2)
P (A) =23· 2
3+
13· 1
2
P (A) =1118
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Uvod
Definicija 15.
AKTUARSKA MATEMATIKA (eng. actuarial
mathematics, njem. Versicherungsmathematik) je dio
osiguravateljne znanosti koji matematickim metodama na
temelju racuna vjerojatnosti i statistike, financijske matematike,
stohastickih modela, teorije rizika i teorije kredibiliteta utvrduje
cjenike osiguranja, potrebne garantne rezerve i druge rezerve u
osiguranju, proracune vezane za reosiguravateljno pokrice,
visinu samopridrzaja i druge elemente poslovne politike.
Razlikujemo diskretnu i kontinuiranu matematiku osiguranja.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Oznake- poseban sustav medunarodno prihvacenih oznaka
Poznate oznake: p, n, m, r = 1 + p100
Nove oznake: i = p100
, v = 1r, d = 1− v = r−1
r= i
r
Formule:
Cn = C0(1 + p·n100 ) → S = B · (1 + i · n)
Cn = C0 · rn → S = B · rn
S = R · r · rn−1r−1 → sne = r · rn−1
r−1
S′ = R · rn−1r−1 → sne = rn−1
r−1
A = R · rn−1rn−1(r−1) → ane = rn−1
rn−1(r−1)
A′ = R · rn−1rn(r−1) → ane = rn−1
rn(r−1)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Racunske osnovice
Racunske osnovice kod osiguranja zivota:
1 kamate (periodske uplate i isplate)
2 smrtnost (tablica smrtnosti)
3 troskovi
Razlikujemo tri vrste troskova:
troskove zakljucenja (akvizicijski) - jednokratni (stopa troskova α)
inkaso troskovi - troskovi prikupljanja premija (stopa troskova β)
upravni troskovi - (stopa troskova γ)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Racunske osnovice
Racunske osnovice kod osiguranja zivota:
1 kamate (periodske uplate i isplate)
2 smrtnost (tablica smrtnosti)
3 troskovi
Razlikujemo tri vrste troskova:
troskove zakljucenja (akvizicijski) - jednokratni (stopa troskova α)
inkaso troskovi - troskovi prikupljanja premija (stopa troskova β)
upravni troskovi - (stopa troskova γ)
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Tablica smrtnosti
Zadatak: Zelimo odrediti vjerojatnost (qx, x = 0, 1, . . . , ω) da osoba stara
x godina ne dozivi (x+ 1)-vi rodendan.
1 Promatramo skup x-godisnjaka (Lx) godinu dana i odredimo broj
umrlih tijekom godine (Tx). Kvocijenti TxLx
daju sirove vrijednosti
vjerojatnosti preminuca. Obzirom da tijekom godine skupu Lx
pridodamo Ex i oduzmemo Ax, vjerojatnost preminuca dana je
formulom:
qx ≈Tx
Lx + Ex−Ax2
2 Dobivene vrijednosti poravnavamo: graficki, mehanicki ili analiticki.
3 Odredimo vjerojatnost dozivljenja px = 1− qx- vjerojatnost da osoba stara x godina dozivi iduci rodendan.
4 Odredimo broj osoba koje dozive x godina (lx) na nacin,
l1 = l0 · p0, l2 = l1 · p1, . . . lx = lx−1 · px−1
5 Brojevi lx cine tablicu smrtnosti, jos zvanu poredak umrlih ili
poredak zivih.
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Tablica smrtnosti
-poprjecni i uzduzni postupak izrade tablica smrtnosti
lx - ”zivi tablice smrtnosti”
(broj zivih x- godisnjaka)
dx = lx − lx+1 - ”mrtvi tablice smrtnosti”
(broj x-godisnjaka umrlih tijekom (x+ 1)-ve godine)
ex - srednje trajanje zivota
(broj godina zivota koje x-godisnjak moze ocekivati)
ex =12
+lx+1 + lx+2 + . . .+ lω
lx
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer
Starost Broj živih Broj mrtvihVjerojatnost
smrtiVjerojatnost doživljenja
Očekivano trajanje života
x l x d x q x p x e x
0 100000 1367 0,013670 0,986330 68,25
1 98633 85 0,000862 0,999138 68,19
2 98548 45 0,000457 0,999543 67,24
3 98503 53 0,000538 0,999462 66,27
4 98450 46 0,000467 0,999533 65,31
5 98404 40 0,000406 0,999594 64,34
20 97674 140 0,001433 0,998567 49,75
21 97534 154 0,001579 0,998421 48,82
22 97380 145 0,001489 0,998511 47,90
23 97235 149 0,001532 0,998468 46,97
24 97086 142 0,001463 0,998537 46,04
25 96944 142 0,001465 0,998535 45,11
98 82 43 0,524390 0,475610 1,18
99 39 22 0,564103 0,435897 0,93
100 17 17 1,000000 0,000000 0,50
Tablice smrtnosti
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Jednogodisnje vjerojatnosti
qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom
naredne godine
−→ qx =dx
lx=
lx − lx+1
lx
px - vjerojatnost da osoba stara x godina pozivi narednu
godine
−→ px = 1− qx =lx+1
lx
Primjer 33.
Kolika je vjerojatnost da ce muska osoba stara 21 godinu dozivjeti
22. godinu?
Rjesenje:
x = 21
px = ?
px =l22
l21=
98156
98250= 0, 9990
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Jednogodisnje vjerojatnosti
qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom
naredne godine
−→ qx =dx
lx=
lx − lx+1
lx
px - vjerojatnost da osoba stara x godina pozivi narednu
godine
−→ px = 1− qx =lx+1
lx
Primjer 33.
Kolika je vjerojatnost da ce muska osoba stara 21 godinu dozivjeti
22. godinu?
Rjesenje:
x = 21
px = ?
px =l22
l21=
98156
98250= 0, 9990
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Jednogodisnje vjerojatnosti
qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom
naredne godine
−→ qx =dx
lx=
lx − lx+1
lx
px - vjerojatnost da osoba stara x godina pozivi narednu
godine
−→ px = 1− qx =lx+1
lx
Primjer 33.
Kolika je vjerojatnost da ce muska osoba stara 21 godinu dozivjeti
22. godinu?
Rjesenje:
x = 21
px = ?
px =l22
l21=
98156
98250= 0, 9990
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Jednogodisnje vjerojatnosti
qx - vjerojatnost da osoba stara x godina umre tijekom
naredne godine
−→ qx =dx
lx=
lx − lx+1
lx
px - vjerojatnost da osoba stara x godina pozivi narednu
godine
−→ px = 1− qx =lx+1
lx
Primjer 33.
Kolika je vjerojatnost da ce muska osoba stara 21 godinu dozivjeti
22. godinu?
Rjesenje:
x = 21
px = ?
px =l22
l21=
98156
98250= 0, 9990
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Vjerojatnosti dozivljenja i smrti
npx - vjerojatnost da ce x-godisnjak zivjeti narednih n godina
−→ npx =lx+n
lx
nqx - vjerojatnost da ce x-godisnjak umrijeti u narednih n
godina
−→ nqx = 1−n px =lx − lx+n
lx
n|qx - vjerojatnost da ce x-godisnjak dozivjeti x+ n godina i
umrijeti u sljedecoj
−→ n|qx =dx+n
lx=n px · qx+n
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Oznake - komutativne vrijednosti
Dx - diskontirani broj zivih osoba starosti x
Dx = lx · vx
Nx - zbroj diskontiranih zivih osoba starijih od x godina
Nx = Dx +Dx+1 + . . .+Dω
Cx - diskontirani broj umrlih osoba starosti x
Cx = dx · vx+1
Mx - zbroj diskontiranih umrlih osoba starijih od x godina
Mx = Cx + Cx+1 + . . .+ Cω
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Princip ekvivalencije
premija = uplata osiguranika (kotizacija)
Princip ekvivalencije
sadasnja vrijednost matematicki ocekivanih uplata =
sadasnja vrijednost matematicki ocekivanih isplata
poopcenje pojma sadasnje vrijednosti - tzv. bruto sadasnja
vrijednost
(ukljucuje diskontiranje, ali i smrtnost i troskove)
neto jednokratna premija - podmirivanje obaveza jednokratno
na pocetku osiguranja
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjena principa ekvivalencije
Primjena principa ekvivalencije u osiguranju na dozivljenje
Okvir
Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljucuje osiguranje placanjem pre-
mije B kako bi u dozivjeloj starosti x + n raspolagao osiguranom
svotom S.
lx zivih zakljucuje osiguranje uz premiju B, a samo ce lx+n zivih
nakon n godina dobiti osiguranu svotu S, koja u trenutku
ugovaranja vrijedi S · vn.
lx ·B = lx+n · S · vn
B = S · lx+n
lx· vn = S · lx+n · vx+n
lx · vx= S · Dx+n
Dx= S ·n Ex
B = S · Dx+n
Dx
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 34.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi nakon dozivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom
od 10 000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S · D65
D40= 10000 · 7992, 32
24165, 12= 3307, 38
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 34.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi nakon dozivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom
od 10 000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S · D65
D40= 10000 · 7992, 32
24165, 12= 3307, 38
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 34.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi nakon dozivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom
od 10 000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S · D65
D40=
10000 · 7992, 3224165, 12
= 3307, 38
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer 34.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi nakon dozivljenih 65 godina raspolagao osiguranom svotom
od 10 000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S · D65
D40= 10000 · 7992, 32
24165, 12= 3307, 38
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjena principa ekvivalencije
Primjena na odgodeno jednogodisnje osiguranje za slucaj smrti
Okvir
Ugovaratelj osiguranja starosti x zakljucuje osiguranje placanjem pre-
mije B. Ukoliko dozivi starosti x+n godina i premine u iducoj godini
(x+ n+ 1) njegova bi obitelj raspolagala osiguranom svotom S.
lx ·B = dx+n · S · vn+1
B = S · dx+n
lx·vn+1 = S · dx+n · vx+n+1
lx · vx= S ·Cx+n
Dx= S ·n|1Ax
B = S · Cx+n
Dx
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Premije u osiguranju zivota
Poopcenje osobnih renti (periodskih isplata):
neodgodena dozivotna osobna renta
neodgodena osobna renta trajanja n godina
za m godina odgodena dozivotna renta
(starosna renta)
Nekoliko posebnih vrsta osiguranja:
1 osiguranje za slucaj dozivljenja
2 osiguranje za slucaj smrti
neodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti
privremeno osiguranje za slucaj smrti
3 mjesovito osiguranje
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne rente
Neodgodena osobna dozivotna renta - nakon uplate
premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta
ax := 1 +Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ . . .+Dω
Dx
=Nx
Dx
Primjer 35.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40
B = ?
B = R · a40 = R · N40
D40= 119479, 29
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne rente
Neodgodena osobna dozivotna renta - nakon uplate
premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta
ax := 1 +Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ . . .+Dω
Dx
=Nx
Dx
Primjer 35.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40
B = ?
B = R · a40 = R · N40
D40= 119479, 29
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne rente
Neodgodena osobna dozivotna renta - nakon uplate
premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta
ax := 1 +Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ . . .+Dω
Dx
=Nx
Dx
Primjer 35.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40
B = ?
B = R · a40 = R · N40
D40= 119479, 29
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne rente
Neodgodena osobna dozivotna renta - nakon uplate
premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta
ax := 1 +Dx+1
Dx
+Dx+2
Dx
+ . . .+Dω
Dx
=Nx
Dx
Primjer 35.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako
bi dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40
B = ?
B = R · a40 = R · N40
D40= 119479, 29
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteNeodgodena osobna renta trajanja n godina
- nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplacuje renta
ax:ne := 1 +Dx+1
Dx+
Dx+2
Dx+ . . . +
Dx+n−1
Dx=
Nx − Nx+n
Dx
Primjer 36.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
iducih 25 godina dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = R · a40:25e = R ·N40 −N65
D40= 96466, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteNeodgodena osobna renta trajanja n godina
- nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplacuje renta
ax:ne := 1 +Dx+1
Dx+
Dx+2
Dx+ . . . +
Dx+n−1
Dx=
Nx − Nx+n
Dx
Primjer 36.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
iducih 25 godina dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = R · a40:25e = R ·N40 −N65
D40= 96466, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteNeodgodena osobna renta trajanja n godina
- nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplacuje renta
ax:ne := 1 +Dx+1
Dx+
Dx+2
Dx+ . . . +
Dx+n−1
Dx=
Nx − Nx+n
Dx
Primjer 36.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
iducih 25 godina dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = R · a40:25e = R ·N40 −N65
D40= 96466, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteNeodgodena osobna renta trajanja n godina
- nakon uplate premije osiguraniku se n godina isplacuje renta
ax:ne := 1 +Dx+1
Dx+
Dx+2
Dx+ . . . +
Dx+n−1
Dx=
Nx − Nx+n
Dx
Primjer 36.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
iducih 25 godina dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = R · a40:25e = R ·N40 −N65
D40= 96466, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteStarosna renta - m godina odgodena dozivotna renta - nakon
uplate premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta tek nakon
isteka m godina
m|ax :=Dx+m
Dx+
Dx+m+1
Dx+ . . . +
Dω
Dx=
Nx+m
Dx
Primjer 37.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
od svoje 65 godine dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40m = 25
B = ?
B = R ·25| a40 = R ·N65
D40= 23013, 05
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteStarosna renta - m godina odgodena dozivotna renta - nakon
uplate premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta tek nakon
isteka m godina
m|ax :=Dx+m
Dx+
Dx+m+1
Dx+ . . . +
Dω
Dx=
Nx+m
Dx
Primjer 37.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
od svoje 65 godine dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40m = 25
B = ?
B = R ·25| a40 = R ·N65
D40= 23013, 05
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteStarosna renta - m godina odgodena dozivotna renta - nakon
uplate premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta tek nakon
isteka m godina
m|ax :=Dx+m
Dx+
Dx+m+1
Dx+ . . . +
Dω
Dx=
Nx+m
Dx
Primjer 37.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
od svoje 65 godine dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40m = 25
B = ?
B = R ·25| a40 = R ·N65
D40= 23013, 05
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Osobne renteStarosna renta - m godina odgodena dozivotna renta - nakon
uplate premije osiguraniku se dozivotno isplacuje renta tek nakon
isteka m godina
m|ax :=Dx+m
Dx+
Dx+m+1
Dx+ . . . +
Dω
Dx=
Nx+m
Dx
Primjer 37.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
od svoje 65 godine dozivotno dobivao godisnju rentu visine 6000 €?
Rjesenje:
R = 6000x = 40m = 25
B = ?
B = R ·25| a40 = R ·N65
D40= 23013, 05
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
1. Osiguranje za slucaj dozivljenja
Osiguranje za slucaj dozivljenja - nakon uplacene premije
osiguraniku se nakon n godina isplacuje osigurana svota
nEx :=Dx+n
Dx
Primjer 38.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
nakon navrsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine
6000 €?
Rjesenje:
S = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·25| E40 = S ·D65
D40= 1984, 43
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
1. Osiguranje za slucaj dozivljenja
Osiguranje za slucaj dozivljenja - nakon uplacene premije
osiguraniku se nakon n godina isplacuje osigurana svota
nEx :=Dx+n
Dx
Primjer 38.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
nakon navrsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine
6000 €?
Rjesenje:
S = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·25| E40 = S ·D65
D40= 1984, 43
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
1. Osiguranje za slucaj dozivljenja
Osiguranje za slucaj dozivljenja - nakon uplacene premije
osiguraniku se nakon n godina isplacuje osigurana svota
nEx :=Dx+n
Dx
Primjer 38.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
nakon navrsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine
6000 €?
Rjesenje:
S = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·25| E40 = S ·D65
D40= 1984, 43
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
1. Osiguranje za slucaj dozivljenja
Osiguranje za slucaj dozivljenja - nakon uplacene premije
osiguraniku se nakon n godina isplacuje osigurana svota
nEx :=Dx+n
Dx
Primjer 38.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi
nakon navrsene 65 godine raspolagao osiguranom svotom visine
6000 €?
Rjesenje:
S = 6000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·25| E40 = S ·D65
D40= 1984, 43
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtiNeodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti - po uplati
premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplacuje
osigurana svota
Ax :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cω
Dx=
Mx
Dx
Primjer 39.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti osiguravajuce drustvo njegovoj obitelji isplatilo
10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40
B = ?
B = S ·A40 = S ·M40
D40= 3264, 80
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtiNeodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti - po uplati
premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplacuje
osigurana svota
Ax :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cω
Dx=
Mx
Dx
Primjer 39.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti osiguravajuce drustvo njegovoj obitelji isplatilo
10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40
B = ?
B = S ·A40 = S ·M40
D40= 3264, 80
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtiNeodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti - po uplati
premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplacuje
osigurana svota
Ax :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cω
Dx=
Mx
Dx
Primjer 39.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti osiguravajuce drustvo njegovoj obitelji isplatilo
10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40
B = ?
B = S ·A40 = S ·M40
D40= 3264, 80
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtiNeodgodeno dozivotno osiguranje za slucaj smrti - po uplati
premije, osiguranikovoj se obitelji nakon njegove smrti isplacuje
osigurana svota
Ax :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cω
Dx=
Mx
Dx
Primjer 39.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti osiguravajuce drustvo njegovoj obitelji isplatilo
10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40
B = ?
B = S ·A40 = S ·M40
D40= 3264, 80
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtineodgodeno osiguranje za slucaj smrti s trajanjem n godina -
nakon uplate premije, u slucaju smrti osiguranika u iducih n godina,
osiguranikovoj se obitelji isplacuje osigurana svota
|nAx :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cx+n−1
Dx=
Mx − Mx+n
Dx
Primjer 40.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti u iducih 25 godina njegova obitelj raspolagala
s osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40m = 25
B = ?
B = S ·|25 A40 = S ·M40 −M65
D40= 1254, 45
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtineodgodeno osiguranje za slucaj smrti s trajanjem n godina -
nakon uplate premije, u slucaju smrti osiguranika u iducih n godina,
osiguranikovoj se obitelji isplacuje osigurana svota
|nAx :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cx+n−1
Dx=
Mx − Mx+n
Dx
Primjer 40.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti u iducih 25 godina njegova obitelj raspolagala
s osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40m = 25
B = ?
B = S ·|25 A40 = S ·M40 −M65
D40= 1254, 45
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtineodgodeno osiguranje za slucaj smrti s trajanjem n godina -
nakon uplate premije, u slucaju smrti osiguranika u iducih n godina,
osiguranikovoj se obitelji isplacuje osigurana svota
|nAx :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cx+n−1
Dx=
Mx − Mx+n
Dx
Primjer 40.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti u iducih 25 godina njegova obitelj raspolagala
s osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40m = 25
B = ?
B = S ·|25 A40 = S ·M40 −M65
D40= 1254, 45
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
2. Osiguranje za slucaj smrtineodgodeno osiguranje za slucaj smrti s trajanjem n godina -
nakon uplate premije, u slucaju smrti osiguranika u iducih n godina,
osiguranikovoj se obitelji isplacuje osigurana svota
|nAx :=Cx
Dx+
Cx+1
Dx+ . . . +
Cx+n−1
Dx=
Mx − Mx+n
Dx
Primjer 40.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina kako bi u
slucaju njegove smrti u iducih 25 godina njegova obitelj raspolagala
s osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40m = 25
B = ?
B = S ·|25 A40 = S ·M40 −M65
D40= 1254, 45
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranjeMjesovito osiguranje
= osiguranje za slucaj dozivljenja + osiguranje za slucaj smrti
Ax:ne :=n Ex +|n Ax =Dx+n + Mx − Mx+n
Dx
Primjer 41.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·D65 +M40 −M65
D40= 4561, 83
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranjeMjesovito osiguranje
= osiguranje za slucaj dozivljenja + osiguranje za slucaj smrti
Ax:ne :=n Ex +|n Ax =Dx+n + Mx − Mx+n
Dx
Primjer 41.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·D65 +M40 −M65
D40= 4561, 83
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranjeMjesovito osiguranje
= osiguranje za slucaj dozivljenja + osiguranje za slucaj smrti
Ax:ne :=n Ex +|n Ax =Dx+n + Mx − Mx+n
Dx
Primjer 41.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·D65 +M40 −M65
D40= 4561, 83
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranjeMjesovito osiguranje
= osiguranje za slucaj dozivljenja + osiguranje za slucaj smrti
Ax:ne :=n Ex +|n Ax =Dx+n + Mx − Mx+n
Dx
Primjer 41.
Koliku premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 €?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25
B = ?
B = S ·D65 +M40 −M65
D40= 4561, 83
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna premija mjesovitog osiguranja - ukljucuje troskove
Aax:ne := Ax:ne + α+ β ·Aa
x:ne + γ · ax:ne
Aax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
1 − β
Primjer 42.
Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 025, β = 0, 01 i
γ = 0, 002?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002
B = ?
B = S ·Aa40:25e = 5185, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna premija mjesovitog osiguranja - ukljucuje troskove
Aax:ne := Ax:ne + α+ β ·Aa
x:ne + γ · ax:ne
Aax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
1 − β
Primjer 42.
Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 025, β = 0, 01 i
γ = 0, 002?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002
B = ?
B = S ·Aa40:25e = 5185, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna premija mjesovitog osiguranja - ukljucuje troskove
Aax:ne := Ax:ne + α+ β ·Aa
x:ne + γ · ax:ne
Aax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
1 − β
Primjer 42.
Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 025, β = 0, 01 i
γ = 0, 002?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002
B = ?
B = S ·Aa40:25e = 5185, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna premija mjesovitog osiguranja - ukljucuje troskove
Aax:ne := Ax:ne + α+ β ·Aa
x:ne + γ · ax:ne
Aax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
1 − β
Primjer 42.
Koliku bruto premiju mora uplatiti osiguranik starosti 40 godina uz
mjesovito osiguranje kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 025, β = 0, 01 i
γ = 0, 002?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 025 β = 0, 01 γ = 0, 002
B = ?
B = S ·Aa40:25e = 5185, 24
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna godisnja premija mjesovitog osiguranja - P ax:ne
P ax:ne · ax:ne = Ax:ne + α+ β · P a
x:ne · ax:ne + γ · ax:ne
P ax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
(1 − β) · ax:ne
P a = P +α
ax:ne·(
1− Dx+n
Dx
)+ β · P a + γ
P a =|nAx + α ·
(1 − Dx+n
Dx
)+ γ
(1 − β) · ax:ne
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
3. Mjesovito osiguranje
Dostatna godisnja premija mjesovitog osiguranja - P ax:ne
P ax:ne · ax:ne = Ax:ne + α+ β · P a
x:ne · ax:ne + γ · ax:ne
P ax:ne =
Ax:ne + α+ γ · ax:ne
(1 − β) · ax:ne
P a = P +α
ax:ne·(
1− Dx+n
Dx
)+ β · P a + γ
P a =|nAx + α ·
(1 − Dx+n
Dx
)+ γ
(1 − β) · ax:ne
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer - mjesovito osiguranje
Primjer 43.
Koliku godisnju bruto premiju bi uz mjesovito osiguranje morao uplacivati
osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 035, β = 0, 03 i
γ = 0, 00425?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 035β = 0, 03γ = 0, 00425
B = ?
B = S · Pa = S ·|25A40 + α ·
(1− D65
D40
)+ γ
(1− β) · a40:25e= 131, 53
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer - mjesovito osiguranje
Primjer 43.
Koliku godisnju bruto premiju bi uz mjesovito osiguranje morao uplacivati
osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 035, β = 0, 03 i
γ = 0, 00425?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 035β = 0, 03γ = 0, 00425
B = ?
B = S · Pa = S ·|25A40 + α ·
(1− D65
D40
)+ γ
(1− β) · a40:25e= 131, 53
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Primjer - mjesovito osiguranje
Primjer 43.
Koliku godisnju bruto premiju bi uz mjesovito osiguranje morao uplacivati
osiguranik starosti 40 godina kako bi nakon navrsene 65 godine raspolagao
osiguranom svotom visine 10000 € uz troskove α = 0, 035, β = 0, 03 i
γ = 0, 00425?
Rjesenje:
S = 10000x = 40n = 25α = 0, 035β = 0, 03γ = 0, 00425
B = ?
B = S · Pa = S ·|25A40 + α ·
(1− D65
D40
)+ γ
(1− β) · a40:25e= 131, 53
Financijska matematika
IPS
AMORTIZACIJA
ANTICIPATIVAN
OBRACUN
MATEMATIKA
OSIGURANJA
Osnovni pojmovi
vjerojatnosti
Matematika osiguranja
Tablice smrtnosti i princip
ekvivalencije
Premije u osiguranju
zivota
Ovo je kraj predmeta
FINANCIJSKA MATEMATIKA
Hvala na paznji i strpljenju!
top related