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9. Forze Inerziali
Fisica Generale A
http://campus.cib.unibo.it/2429/
October 21, 2010
Cambiamento di Sistema di Riferimento
• Come cambia la descrizione del moto passando da un SdR a un altro?
• In particolare, come cambia la descrizione del moto passando da un SdR inerziale a un SdR non-inerziale?
• Per quanto riguarda la cinematica, sappiamo che:
ovvero l’accelerazione “assoluta” (nel SdR ”fisso”) è la somma dell’accelerazione “relativa” (nel SdR “mobile”), dell’accelerazione di trascinamento e dell’accelerazione complementare.
• Per quanto riguarda la dinamica, il II principio vale anche nei SdR non-inerziali (a patto di includere, nella risultante delle forze, anche le forze inerziali).
aA= a
R+ a
T+ a
C
ı
ı
k
k ˆ
ˆ
P
2Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme
• Sia S un SdR inerziale (chiamiamo S “fisso” e chiamiamo “assolute” le grandezze a esso riferite).
• Sia inoltre S un SdR in moto rispetto a S (chiamiamo S “mobile” e chiamiamo “relative” le grandezze a esso riferite).
• Se il moto di S rispetto a S è traslatorio, rettilineo e uniforme, si ha:
aT= a
O
0
+0
P O( ) +0
P O( ) = 0
aC= 2
0
vR= 0
aR= a
A
3Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
ı
ı
k
k ˆ
ˆ
P
SdR in Moto Traslatorio Rettilineo Uniforme
(II)
• Il punto materiale ha la stessa accelerazione nei 2 SdR.
• Se il punto non è soggetto a forze di interazione (forze esercitate da un corpo su di un altro) la sua accelerazione è nulla in S (perché S è inerziale). Poiché la sua accelerazione è nulla anche in S , segue che S è pure inerziale.
• Le forze di interazione non cambiano passando da un SdR inerziale a un altro SdR inerziale.
• Il II principio della dinamica si scrive con la stessa equazione vettoriale in tutti i SdR inerziali.
4Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
SdR in Moto Accelerato
• Se il moto di S rispetto a S non è traslatorio rettilineo e uniforme, e il SdR S è inerziale, allora il SdR S non è inerziale, poiché:
• Se l’accelerazione è nulla in S , non lo è in S:
P ha accelerazioni diverse nei due SdR; P è soggetto a forze diverse nei due SdR.
a
Aa
R
aA= a
R+ a
T+ a
C
II principioFA= ma
A
FR= ma
R
FR= F
Ama
Tma
C
5Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
ı
ı
k
k ˆ
ˆ
P
SdR in Moto Accelerato (II)
• Ovvero, definite:
dette rispettivamente forza di trascinamento e forza complementare o forza di Coriolis, si ha:
• Nei SdR non-inerziali, oltre alle forze di interazione, sono presenti anche le forze , dette, nel complesso, forze inerziali (dette anche forze “apparenti”, forze “fittizie” forze “di d’Alambert” o “pseudo-forze”).
FT= ma
T= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= ma
C= 2m v
R
FR= F
A+ F
T+ F
C
F
Te F
C
6Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
SdR in Moto Accelerato (III)
• Le forze inerziali non dipendono dalla presenza di altri corpi con cui il punto materiale P possa interagire e dunque non sono forze di interazione.
• Le forze inerziali sono forze reali (a dispetto degli attributi “fittizie” e “apparenti”) nel SdR non-inerziale, mentre sono assenti nel SdR inerziale. – N.B.: La forza centrifuga è assente nei SdR inerziali.
• Più precisamente, le forze inerziali sono presenti in SdR che si muovono di moto accelerato rispetto alle stelle fisse. – Quando l’automobile frena, vi sentite sospinti in avanti perché il
SdR dell’automobile sta accelerando rispetto alle stelle fisse.
7Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
SdR in Moto Accelerato (IV)
• Nell’espressione della forza di trascinamento:
il termine
è spesso detto “forza centrifuga”, mentre il termine:
è spesso detto “forza di Eulero” (anche “forza trasversale” o “forza azimutale”).
FT= m a
O+ P O( )
forza di Eulero
+ P O( )forza centrifuga
8Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
Fcentrifuga
= m P O( )
FEulero
= m P O( )
SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale.
Moto Rettilineo Uniforme
• Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che si muove a velocità costante:
• Se il punto P è inizialmente in quiete rispetto al treno, esso continua a rimanere in quiete rispetto al treno.
FA= F
P+ R = 0
0, aO= 0 F
R= F
A= 0
S :
S :
vA
vO
vR
0
aA
0
aR
0
FA
0
FR
0
punto materiale libero
O
O
P
R
Fp
vO
9Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale.
Moto Rettilineo Accelerato. Punto Libero
• Consideriamo un punto materiale libero sul pavimento di un treno che frena:
• Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità vO, continua a muoversi con velocità vO.
• Osservatore sul treno: il punto P, inizialmente in quiete, inizia a muoversi in avanti a causa della forza di trascinamento:
FA= F
P+ R = 0
0, aO0
FR= F
A+ F
T= 0 ma
O= ma
O
FT= ma
O massa del punto materiale
accelerazione del treno O
O
R
Fp
P vO
aO
FT
punto materiale libero
10Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
SdR che Trasla Rispetto a un SdR Inerziale.
Moto Rettilineo Accelerato. Punto Trattenuto
• Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di un treno che frena:
• Osservatore a terra: il punto P, inizialmente in moto con velocità vO, decelera a causa della molla che lo trattiene.
• Osservatore sul treno: il punto P rimane in quiete in quanto la forza di trascinamento è equilibrata dalla forza elastica esercitata dalla molla:
FA= F
P+ R + F
e= F
e0
0, aO0
FR= F
A+ F
T= F
ema
O= 0
F
e= F
T= ma
O
OO
R
Fp
P vO
aO
FT
Fe
punto materiale trattenuto da una molla
11Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.
Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile
• Consideriamo un punto materiale trattenuto da una molla sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.
• Supponiamo che il punto P sia fermo rispetto alla giostra.
• Osservatore a terra: P si muove di moto circolare uniforme. La forza elastica (centripeta) della molla è uguale al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione:
• Per l’osservatore a terra non sono presenti altre forze.
• Per l’osservatore a terra le forze non sono equilibrate. – Se fossero equilibrate il moto sarebbe rettilineo
e uniforme.
FA= F
P+ R( ) + F
e= F
e0
FA= ma = m
s2
rn = m
2r P O( ) = m
2P O( )
centripetaelastica
O O
x
PFT
Fe
y
xy
P O
P O( )
P O( )( )
12Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
s = r
SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.
Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile (II)
• Osservatore sulla giostra: P è in quiete.
• La forza elastica (centripeta) della molla è compensata dalla forza inerziale di trascinamento (centrifuga).
• Per l’osservatore sulla giostra le forze sono equilibrate (la risultante è nulla).
• Il punto materiale può rimanere in quiete proprio perché la risultante è nulla.
13Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
O O
x
PFT
Fe
y
xy
P O
P O( )
P O( )( )
FR= F
A+ F
T+ F
C= F
A+ F
T+ 0 =
= m2P O( )
FA
centripeta elastica
m P O( )( )FT
centrifuga inerziale
=
= m2P O( ) + m 2
P O( ) = 0
a0= 0 (moto rotatorio giostra)
cost (moto uniforme giostra) = 0
vR= 0 (punto in quiete)
SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.
Punto Trattenuto, in Quiete col SdR Mobile (III)
• Osservatore a terra: – P si muove di moto circolare uniforme.
– Le forze non sono equilibrate:
– L’accelerazione è diversa da zero e centripeta:
• Osservatore sulla giostra: – P è in quiete;
– Le forze sono equilibrate:
– L’accelerazione è nulla (il punto rimane in quiete):
14Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
O O
x
PFT
Fe
y
x y
P O
P O( )
P O( )( )
SdR della giostra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: presente; Forza totale: nulla; Moto: assente.
FR= F
P+ R( ) + F
e+ F
T( ) = 0
SdR a terra: Forza centripeta: presente; Forza centrifuga: assente; Forza totale: non nulla; Moto: circolare uniforme.
FA= F
P+ R( ) + F
e= F
e= m
2P O( ) 0
a =FA
m=
2P O( ) = s
2
rn
a =FR
m= 0
SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.
Punto Libero
• Consideriamo un punto materiale libero (in assenza di attrito) sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.
• Osservatore a terra: P si muove di moto rettilineo uniforme:
• Osservatore sulla giostra: P si muove di moto curvilineo vario, soggetto alla forza di trascinamento e alla forza di Coriolis:
FA= 0
FR= F
A+ F
T+ F
C= 0 + F
T+ F
C=
= m P O( )( ) 2m vR
15Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
O O
x
P
yx
y
vA
vR
vT
FT
FC
P O
P O( )
P O( )( )
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
a0= 0 (moto rotatorio giostra)
cost (moto uniforme giostra) = 0
SdR che Ruota Rispetto a un SdR Inerziale.
Punto Vincolato in una Scanalatura Radiale
• Consideriamo un punto materiale P vincolato da una scanalatura radiale (molle e attrito assenti) sul pavimento di una giostra che ruota uniformemente.
• Osservatore a terra: P si muove sottoposto alla forza (tangenziale) del vincolo che si modifica nel tempo:
• Osservatore sulla giostra:
• La forza di Coriolis è contrastata dalla reazione vincolare della scanalatura
• P si muove accelerando in direzione radiale lungo la scanalatura, soggetto alla forza di trascinamento.
16Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
O O x
FT
yx
y
FC
vR
R
P
P O
P O( )
P O( )( )
FA= R = R ˆ
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
a0= 0
cost = 0
FR= F
A+ F
T+ F
C= R + F
C( ) + F
T= F
T=
= m P O( )( )
R = F
C= 2m v
R
Dipendenza di g dalla Latitudine
• Se il SdR terrestre fosse inerziale, l’accelerazione di caduta dei gravi, g, sarebbe determinata, in ogni luogo, soltanto dalla forza gravitazionale.
• In realtà il SdR terrestre non è perfettamente inerziale, innanzitutto a causa della rotazione attorno al proprio asse.
• Se un punto P sulla superficie terrestre è in quiete, la forza di Coriolis è nulla, mentre la forza di trascinamento (centrifuga) vale:
mgmg
FT
P
O
P O( )P O( )( )
N
S
FT= m P O( )( )
17Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
a00 (moto rotatorio Terra)
cost (rotazione uniforme Terra) = 0
vR= 0 (punto in quiete)
FR= F
A+ F
T+ F
C
FT= m a
O+ P O( ) + P O( ){ }
FC= 2m v
R
Dipendenza di g dalla Latitudine (II)
• Per la regola della mano destra (vedi figura), FT è perpendicolare all’asse terrestre e giace nel piano individuato da P.
• Il modulo di FT è:
• La forza peso è la risultante dell’attrazione gravitazionale e della forza centrifuga:
• Separando le componenti parallela e perpendicolare a si ha:
F
T= m
2Rcos
P O( ) = Rcos
P O( )( ) =2Rcos
mg = mg + F
T
mg cos = mg FTcos
mg sin = FTsin
18Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
mgmg
FT
P
O
P O( )P O( )( )
N
S
P O
Dipendenza di g dalla Latitudine (III)
mg cos = mg FTcos
mg sin = FTsin
g cos = gFT
mcos = g
2Rcos
2
g sin =FT
msin =
2Rcos sin
g 0( ) = 9.780 m s2
g 0( ) = 9.814m s2
2R = 0.034m s
2
(all’equatore)
F
T= m
2Rcos
19Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
mgmg
FT
P
O
P O( )P O( )( )
N
S
• Poiché 2 mrad cos » sin , per cui:
Legge verificata sperimentalmente.
• Il II termine è piccolo rispetto al I:
g ( ) g ( ) 2Rcos
2
Ancora su Massa Inerziale e Massa
Gravitazionale
• Per essere più precisi, la forza peso è data da:
• Se la massa inerziale non fosse proporzionale alla massa gravitazionale, allora la direzione della forza peso, nello stesso luogo, cambierebbe al cambiare della massa del corpo.
• Misurando la costanza della direzione della forza peso si conferma sperimentalmente la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale.
mig =
mgM
g
R2R + m
iP O( )( )
20Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
mgM
g
R2Rm
ig
FT
P
O
P O( )P O( )( )
N
S
Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione
verso Oriente dei Gravi in Caduta Libera
• In entrambi gli emisferi un corpo in caduta libera devia verso Est.
• SdR terrestre: è l’effetto della forza di Coriolis:
• SdR inerziale: Il grave, se parte in quiete rispetto alla Terra, ha una componente della velocità verso Est che non è modificata dalla gravità nel moto di caduta. La velocità angolare perciò cresce quando il grave diminuisce l’altezza, diventando superiore a quella terrestre.
vR
FC
vR
è diretto verso Ovest
FC= 2m v
Rè diretto verso Est
21Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione dei
Moti sulla Superficie Terrestre
• Se invece un corpo si muove sulla superficie terrestre, viene deviato: – Verso destra nell’emisfero Nord – Verso sinistra nell’emisfero Sud.
vR
FC
vR
FC
Emisfero Nord: moto verso Nord deviato verso Est
Emisfero Nord: moto verso Sud deviato verso Ovest
22Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
Effetti della Forza di Coriolis: Deviazione dei
Moti sulla Superficie Terrestre (II)
• Maggior consumo delle sponde destre dei fiumi (emisfero Nord).
• Maggior consumo delle rotaie destre dei binari dei treni (emisfero Nord).
• Moto di cicloni e anticicloni.
B A B A
ciclone ciclone anticiclone anticiclone
emisfero Nord emisfero Sud
23Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
Effetti della Forza di Coriolis: Pendolo di
Foucault
• Il piano di oscillazione di un pendolo ruota nel tempo.
• Osservatore nel SdR inerziale (origine nel centro della Terra e assi puntati verso le stelle fisse): il piano di oscillazione del pendolo rimane costante (perché forza e velocità giacciono sullo stesso piano), ma la Terra ruota rispetto a esso.
• Osservatore nel SdR solidale alla superficie terrestre: il piano di oscillazione del pendolo ruota perché in ogni movimento il pendolo è deviato verso destra (nell’emisfero Nord) dalla forza di Coriolis.
Curvatura verso destra esagerata nella figura
24Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
D
C
O R
r P
DP =
r
sin
Effetti della Forza di Coriolis: Pendolo di
Foucault (II)
• Il piano di oscillazione del pendolo, al polo, compie un giro completo in un giorno sidereo.
• All’equatore il piano di oscillazione del pendolo non ruota.
• Alla latitudine intermedia la rotazione d del piano di oscillazione del pendolo è minore della rotazione terrestre d :
P P
C
D
r
r
d
d
ds
DP =r
sin
d s = r d
d s = DP d =r
sind
d =sin
rd s =
sin
rr d = sin d
25Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
Effetti della Forza di Coriolis: Pendolo di
Foucault (III)
• A 45º di latitudine, il piano del pendolo ruota in un giorno di un angolo pari a circa:
d = sin d
= sin
rotazione del piano del pendolo rotazione della Terra
velocità angolare della Terra velocità angolare di rotazione del piano del pendolo
=2
2360° 254.6°
26Domenico Galli – Fisica Generale A – 9. Forze Inerziali
D
C
O R
r P
DP =
r
sin
P P
C
D
r
r
d
d
ds
DP =r
sin
http://campus.cib.unibo.it/2429/
Domenico Galli Dipartimento di Fisica
domenico.galli@unibo.it
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
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