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Física Geral 3001 Cap 4 – Capacitancia 13ª Aula/14ª Aula
Sumário
4.1 - Introdução
4.2 – Cálculo da Capacitância
4.3 – Capacitores em série e em paralelo
4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico
4.5 – Capacitores com dielétrico
(Cap. 27 – Halliday, Cap. 23 Sears, Cap 33 Tipler – vol 2)
4.1 Introdução
Neste capítulo introduziremos o conceitos de capacitor e capacitância.
Capacitores: armazenam energia potencial proveniente do campo elétrico.
Observe: • Capacitor: Dispositivo; • Capacitância: Propriedade que o dispositivo tem de
armazenar carga.
Apresentam-se numa grande variedade de tamanhos e formas: basicamente são dois condutores isolados de forma arbitrária
Símbolo do capacitor : ( )
q
q
Quando o capacitor é carregado suas placas adquirem cargas iguais, porem com sinais diferentes
Observe: carga líquida é zero
Entre as placas pode haver um meio, como plástico, vidro etc – meio dielétrico. Por enquanto vamos considerar o ar!
Todos os pontos sobre uma mesma placa tem o mesmo potencial: diferença de potencial entre as placas é V
Podemos estabelecer uma relação de proporcionalidade entre a carga q e a diferença de potencial V
𝑞 = 𝐶𝑉 C: CAPACITÂNCIA
𝐶 =𝑞
𝑉=
𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
𝑉𝑜𝑙𝑡≡ 𝐹𝐴𝑅𝐴𝐷
Farad é uma unidade muito grande, convencionou-se o uso de sub múltiplos: 1𝜇𝐹 = 10−6𝐹
1𝑝𝐹 = 10−12𝐹 Carga do capacitor: Ao fechar a chave S um fluxo de carga origina cargas +q sobrea placa da direita e -q sobre a da esquerda, até que uma diferença de potencial V entre as placas seja estabelecida
Descarga do capacitor: Ao abrir a chave S, o capacitor funcionará como uma bateria até que a energia armazenada entre suas placas cesse.
4.2 Cálculo da Capacitância
Podemos calcular capacitância de um capacitor desde que saibamos sua geometria
Roteiro de cálculo: 1- supor uma carga q sobre as placas
2- calcular o campo elétrico entre as placas usando a lei de Gauss
3- conhecendo-se E calcula-se V
4- Calcula-se C fazendo C = q/V
Aplicações: 1-capacitores com placas paralelas
1- carga q sobre as placas
2- Campo elétrico
𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞
3- Dif. de Potencial:
𝜀0𝐸𝐴 = 𝑞
𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 = 𝐸 𝑑𝑆 = 𝐸𝑑𝑑
0
−
+
4- Cálculo da capacitância:
𝐶 =𝑞
𝑉=
𝜀0𝐸𝐴
𝐸𝑑 𝐶 =
𝜀0𝐴
𝑑
𝜀0 =8,85× 10−12 𝐹
𝑚= 8,85𝑝
𝐹
𝑚= 8,85 × 10−12 𝐶2
𝑁𝑚2
Aplicações: 2-capacitores cilíndricos 1- Cilindros coaxiais de raios a e b e comprimento l, com uma distribuição de cargas sobre eles
2- Campo elétrico
𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞
𝜀0𝐸(2𝜋𝑟𝑙) = 𝑞
𝐸 =𝑞
𝜀02𝜋𝑟𝑙
3- Dif. de Potencial: 𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 =𝑞
𝜀02𝜋𝑙
𝑑𝑟
𝑟
𝑏
𝑎
−
+
V =𝑞
𝜀02𝜋𝑙ln
𝑏
𝑎
4- Cálculo da capacitância:
𝐶 =𝑞
𝑉=
𝑞
𝑞𝜀02𝜋𝑙
ln𝑏𝑎
= 𝜀02𝜋𝑙
ln𝑏𝑎
Aplicações: 3-capacitores esféricos 2- Campo elétrico
𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞
𝜀0𝐸(4𝜋𝑟2) = 𝑞
𝐸 =𝑞
𝜀04𝜋𝑟2
3- Dif. de Potencial: 𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 =
𝑞
𝜀04𝜋
𝑑𝑟
𝑟2
𝑏
𝑎
−
+
V =𝑞
𝜀04𝜋
1
𝑎−
1
𝑏
4- Cálculo da capacitância: 𝐶 =
𝑞
𝑉=
𝑞
𝑞𝜀04𝜋
1𝑎−
1𝑏
= 4𝜋𝜀0𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎
Aplicações: 4-capacitores de uma esfera isolada Podemos atribuir uma capacitância a um único condutor de raio R, supondo que a placa que “falta” é uma esfera de raio infinito:
𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎= 4𝜋𝜀0
1
𝑏
𝑎𝑏
1 −𝑎𝑏
𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎
1 −𝑎𝑏
𝑏 → ∞ 𝑒 𝑎 ≡ 𝑅
𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑅
4.3 – Capacitores em série e em paralelo
- Capacitores em paralelo Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em paraleloa , quando a diferença de potencial aplica através da combinação, resulte na mesma diferença de potencial através de cada capacitor
𝑞1 = 𝐶1𝑉
𝑞2 = 𝐶2𝑉
𝑞3 = 𝐶3𝑉
𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉
𝑞 = 𝐶𝑒𝑞𝑉 → 𝐶𝑒𝑞 =𝑞
𝑉= 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
- Capacitores em série
Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em série, quando a diferença de potencial aplica através da combinação é a soma das diferença de potencial resultante através de cada capacitor
𝑉1 =𝑞
𝐶1
𝑉2 =𝑞
𝐶2
𝑉3 =𝑞
𝐶3
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑞(1
𝐶1+
1
𝐶2+
1
𝐶3)
𝐶𝑒𝑞 =𝑞
𝑉=
1
1𝐶1
+1𝐶2
+1𝐶3
1
𝐶𝑒𝑞=
1
𝐶1+
1
𝐶2+
1
𝐶3
1
𝐶𝑒𝑞=
1
𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico
Vamos considerar:
• Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor
• O trabalho necessário para carregar o capacitor é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no campo formado pelas placas.
• Supomos que em determinado instante uma carga q’ já tenha sido transferida de uma placa para outra. Logo temos:
• Sendo assim, o trabalho para transferir uma carga extra dq’ é:
• Como o trabalho é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no capacitor:
𝑉′ =𝑞′
𝐶
𝑑𝑊 = 𝑉′𝑑𝑞′ 𝑑𝑤 =𝑞′
𝐶𝑑𝑞′
𝑤 = 𝑑𝑤 =1
𝐶 𝑞′𝑑𝑞′ =
𝑞2
2𝐶
𝑞
0
𝑊 = 𝑈 =𝑞2
2𝐶 𝑈 =
𝑞2
2𝐶.𝐶
𝐶=
𝐶𝑞2
2𝐶=
𝐶𝑉2
2.
* Densidade de energia:
𝑢 =𝑈
𝑣
Vamos considerar um capacitor plano por simplicidade
𝐸 =𝑉
𝑑
𝑢 =𝑈
𝐴𝑑=
𝐶𝑉2
2𝐴𝑑
𝐶 =𝜀0𝐴
𝑑
𝑢 =1
2
𝜀0𝐴
𝑑
𝐸2𝑑2
2𝐴𝑑
𝑢 =𝜀0𝐸
2
2
Valido para qualquer capacitor
4.5 – Capacitores com dielétrico
Anteriormente analisamos o comportamento de capacitores tendo, entre suas placas, somente o ar. Agora, entre elas, vamos introduzir um material isolante, um dielétrico, tal qual um óleo mineral, plástico, etc. Como muda a capacitância ??
• Michael Faradey:1837 - primeiro a observar
• A capacitância aumenta por um fator numérico 𝜅 – constante dielétrica
𝐶′ = 𝜅𝐶
• Limita a diferença de potencial V, entre as placas, a um valor 𝑉𝑚𝑎𝑥
• Se 𝑉𝑚𝑎𝑥 for substancialmente excedido o material dielétrico se romperá originando um caminho condutor entre as placas
• Todo material possui uma rigidez dielétrica característica que é a intensidade máxima de campo elétrico suportada pelo material
• Sendo assim, a capacitância de qualquer capacitor pode ser escrita como:
𝐶 = 𝜀0ℒ
ℒ =𝐴
𝑑
ℒ =2𝜋𝐿
ln𝑏𝑎
ℒ =4𝜋𝑎𝑏
(𝑏 − 𝑎)
Para um capacitor preenchido completamente por um dielétrico 𝐶 = 𝜅𝜀0ℒ
𝐶 = 𝜅𝐶𝑎𝑟
Placas paralelas
Cilíndrico
Esférico
• Em uma região completamente preenchida por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contem 𝜀0 deve ser modificada, substituindo-se aquela constante por 𝜅𝜀0
𝐸 =1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟2→ 𝐸 =
1
4𝜋𝜅𝜀0
𝑞
𝑟2
𝐸 =𝜎
𝜀0→ 𝐸 =
𝜎
𝜅𝜀0
• Lei de Gauss para dielétricos
• O efeito do dielétrico é enfraquecer o campo por um fator 𝜅
𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞
𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞 𝐸0 =𝑞
𝜀0𝐴
𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞 − 𝑞′ 𝐸 =𝑞 − 𝑞′
𝜀0𝐴
𝐸 =𝐸0
𝜅
𝑞 − 𝑞′
𝜀0𝐴=
𝑞
𝜅𝜀0𝐴
𝑞 − 𝑞′ =𝑞
𝜅
Assim podemos escrever a lei de Gauss como:
𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞
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