fluxo de potência pelo método de newton raphson
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Fluxo de potência pelo Método de Newton Raphson
Método de Newton Raphson
Com uma variável: determinar o valor de x para f(x) = 0
xo
f(xo )
f(xo )/x
x1
f(x1 )
x2
x3 x4
o
oo1
1o
oo
x´f
xfxx
xx
xfx´ftg
Método de Newton Raphson
Genericamente:
xo
f(xo )
f(xo )/x
x1
f(x1 )
x2
x3 x4
k
kk1k
x´f
xfxx
Método de Newton Raphson
Exemplo: f(x)=x2-5x+6=0
5x2
6x5xxx5x2x´f
x´f
xfxx
k
k2kk1k
k
kk1k
k xk f(x) f́ (x) delta x x_k+1
0 10 56 15 -3,73333 6,266667
1 6,266667 13,93778 7,533333 -1,85015 4,416519
2 4,416519 3,423046 3,833038 -0,89304 3,523482
3 3,523482 0,797515 2,046964 -0,38961 3,133873
4 3,133873 0,151795 1,267746 -0,11974 3,014137
5 3,014137 0,014337 1,028274 -0,01394 3,000194
Método aplicado a n variáveis
0x,...,x,...x,xf
...
0x,...,x,...x,xf
...
0x,...,x,...x,xf
0x,...,x,...x,xf
ni21n
ni21i
ni212
ni211
Método aplicado a n variáveis
0xx
f...x
x
f...x
x
fx,...,x,...xf
xx,...,xx,...xxf
nn
ii
i
i1
1
ini1i
nnii11i
Aplicando para as n funções:
onn
n
ni
i
n1
1
n
oin
n
ii
i
i1
1
i
o1n
n
1i
i
11
1
1
fxx
f...x
x
f...x
x
f
...
fxx
f...x
x
f...x
x
f
...
fxx
f...x
x
f...x
x
f
ooo
ooo
ooo
x
x
x
xxx
xxx
xxx
ton
oi
o1
o ]x...x...x[x
Método aplicado a n variáveis
on
oi
o1
n
i
1
n
n
i
n
1
n
n
i
i
i
1
i
n
1
i
1
1
1
f
...
f
...
f
x
...
x
...
x
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f
x
x
x
ox
Matriz Jacobiano Vetor de
variações em x
Vetor de
funções em xo
Método aplicado a n variáveis
on
oi
o1
1
n
n
i
n
1
n
n
i
i
i
1
i
n
1
i
1
1
1
n
i
1
f
...
f
...
f
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f...............
x
f...
x
f...
x
f
x
...
x
...
x
x
x
x
o
1o
o1xf
x
fxxx
e, genericamente, p/ n variáveis:
)k(
1)k(
)k()1k(xf
x
fxx
k
kk1k
x´f
xfxx
p/ 1 variável:
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
1jj11jj1
j
j11
1jj11jj1
j
j11
cosBsenGVVQ
senBcosGVVP
2 1
2112211221112
1jj11jj1
j
j11
2112211221112
1jj11jj1
j
j11
cosBsenGVVBVcosBsenGVVQ
senBcosGVVGVsenBcosGVVP
1
1
112121121112
1
11211121112
1
cosBVsenGVBVQ
senBVcosGVGVP
1
1
y=(1-j2)pu S=-(0,1+j0,05) pu
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
0)x,x(f
0)x,x(f.var2eqs2sistemaéque
0Q),V(Q
0P),V(P
ou
0QcosBVsenGVBV
0PsenBVcosGVGV
212
211
1111calc,1
111calc,1
111211121112
111211121112
1
1
1kk
calc,1
1kk
calc,1
1
1111
1111
)k(
1
1
)1k(
1
1
)k(
1)k(
)k()1k(
Q)V,(Q
P)V,(P
VQQ
VPP
VV
ou
11
11
xfx
fxx
Aplicação ao Problema de Fluxo de Potência
1kk
calc,1
1kk
calc,1
1
11211211111211121
11211211111211121
)k(
1
1
)1k(
1
1
Q)V,(Q
P)V,(P
cosBsenGBV2senBVcosGV
senBcosGGV2cosBVsenGV
VV11
11
k teta v p1calc q1calc j11 j12 j21 j22 d i11 i12 i21 i22 teta= v=
0 0 1 0 0 2 1 -1 2 5 0,4 -0,2 0,2 0,4 -0,03 0,96
1 -0,03 0,96 -0,09556 -0,04714 1,89034 0,860459 -1,01716 1,870895 4,411853 0,424061 -0,19503 0,230552 0,428469 -0,03133 0,957751
2 -0,03133 0,957751 -0,09999 -0,04999 1,884565 0,853352 -1,01728 1,863305 4,379614 0,42545 -0,19485 0,232275 0,430304 -0,03133 0,957745
3 -0,03133 0,957745 -0,1 -0,05 1,884549 0,853333 -1,01727 1,863283 4,379522 0,425454 -0,19485 0,23228 0,430309 -0,03133 0,957745
4 -0,03133 0,957745 -0,1 -0,05 1,884549 0,853333 -1,01727 1,863283 4,379522 0,425454 -0,19485 0,23228 0,430309 -0,03133 0,957745
Algoritmo
Fixa vo=1, o=0
Calcula Pcalc Qcalc
|P|,|Q|
Calcula J=
VQQ
VPP
Calcula
Q
PJ
V
1
Calcula
VVV k
k
1k
1k
k=k+1
No caso genérico
m barras de carga, tipo PQ
n-m barras de geração, tipo PV
1 (ou mais) barra(s) swing
Número de eqs. em P:
m + n – m = n
Número de eqs. em Q:
m
Caso genérico
m,....,1i0QcosBsenGVV
n,....,1i,0PsenBcosGVV
ijiijjiij
j
ji
ijiijjiij
j
ji
Equações: n+m não lineares,
Variáveis: n valores de ângulo e m valores de mod tensão
Q)V,(Q
P)V,(P
VQQ
VPP
VV
ou
kkcalc
kkcalc
1)k()1k(
)k(
1)k(
)k()1k(
xfx
fxx
Exemplo
P1,Q1-carga 2 1
3
P2,V2-geração
V3,3-swing
m=1 barra de carga
n=2 barras (carga + ger.)
0cossen
0sencos
0sencos
111111
222222
111111
QBGVV
PBGVV
PBGVV
jjjj
j
j
jjjj
j
j
jjjj
j
j
1121,1
2121,2
1121,1
1)(
112111
122212
112111
)(
1
2
1
)1(
1
2
1
),,(
),,(
),,(
QVQ
PVP
PVP
VQQQ
VPPP
VPPP
VV kkk
calc
kkk
calc
kkk
calc
kkk
P1,Q1-carga 2 1
3
P2,V2-geração
V3,3-swing
Exemplo
Fluxo de potência pelo Método de Analogia por Corrente Contínua
Hipóteses
Interesse nos fluxos de potência ativa
Tensões do sistema próximas de 1 pu
Ângulos de fase próximos entre duas barras
Perdas desprezíveis nos trechos
gi desprezível
Equacionamento
jiijjij2ji
2iij
2j
2i
jiijjijiijjiijj2jji
jiijjijiijjiiji2
iij
cosgVV2gVgVg)VV(P
senbVVcosgVV)gg(VP
senbVVcosgVV)gg(VP
gi+jbi gj+jbj
gij+jbij
Vi Vj
Pij Pji Pij
i j
jiijij
jiijjiijijij
cosg2g2P
senbcosggP
Equacionamento
gi+jbi
gj+jbj gij+jbij
Vi Vj
Pij Pji Pij
i j
jiijjiijij
jiijij
jiijjiijijij
senbsenb2/PP
olog
cosg2g2P
senbcosggP
)(b)(bbP
:1sen
limcomo,e
jiijijijjiijij
0
Equacionamento
)(B)(bP jiijjiijij
i 1
j
n
Pi
Pi1
Pij
Pin
)b de menos a(Bb...b...bB
BB´BB).B(P
)(B...)(B...)(BP
iiiin1i1i
n
ik,1k
ik
n
1k
kik
n
ik,1k
kikiii
n
ik,1k
kik
n
ik,1k
iiki
niinjiij1i1ii
Equacionamento
)b de menos a(......
´).(
)(...)(...)(
i11
,1
1,1,1,1
11
iiinii
n
ikk
ik
n
k
kik
n
ikk
kikiii
n
ikk
kik
n
ikk
iiki
niinjiijiii
BbbbB
BBBBBP
BBBP
Equacionamento
n
1k
kiki BP
nnn22n11nn
nin22i11ii
nn22221212
nn12121111
B...BBP
...
B...BBP
...
B...BBP
B...BBP
0
...
BBB
BBB
BBB
P
P
...
P
n
1n
1
nn1n,n1n
n,1n1n,1n1,1n
n,11n,111
n
1n
1
Equacionamento
1n
1
1n,1n1,1n
1n,111
1n
1
...
BB
BB
P
...
P
PBθ
θBP
.
.
1
)(BP jiijij i j
Pij
Analogia CC
PBθ
θBP
.
.
1
.IYV
Y.VI
1
b12
b13 b23
P1 P2
3=0
r12=1/b12
r13 r23
I1 I2
V3=0
V2 V1
2 1
P12=B12(1- 2) I12=g12(V1- V2)
I12 P12
Coeficientes de Influência
Impacto da variação da potência injetada numa barra sobre o fluxo em uma ligação
Redespacho da geração
Corte de carga
Equacionamento
1
1
1111
1111
1
1
nn,n,n
n,
n
...
BB
BB
P
...
P
1
1
1
1
1111
1111
1
1
1
1
nnn,n,n
n,
nn
......
BB
BB
P
...
P
P
...
P
Uma variação na potência ativa injetada deve levar a variação dos ângulos:
P.ΔBΔθ1
1
1
1111
1111
1
1
nn,n,n
n,
n
...
BB
BB
P
...
P
Logo, tem-se a relação entre as variações de potências e ângulos dada por:
Equacionamento
)(BP)(BP jiijijjiijij
P.ΔXP.ΔBΔθ1
k
mk
jk
ik
k
m
j
i
m
k
nmnkn
jmjkj
imiki
mk
m
j
i
ik
P
X
X
X
X
P
P
P
XXX
XXX
XXX
XXX
,ki,ek
11
1
1
1
1
11111
:quetemos00:somenteemvariaçãofazendo e,
PP
O mesmo vale para a variação de fluxo e variações dos ângulos das barras i e j:
Lembrando que:
Equacionamento
:temos,e
sendo
kjkjkiki
jiijij
P.X,P.X
)(BP
kk,ijkjkikijij PCP)XX(BP
E, num sistema linear, com variações de potência injetada em várias barras:
k
kk,ijij PCP
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