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2Nome relatore
Il Progetto
• Obiettivo: proposta di un percorso per valutare le
competenze relative all’Asse Matematico, acquisite nel biennio
• Ambito: biennio degli istituti tecnici
• Destinatari: docenti formatori di Matematica
3Nome relatore
Le Competenze di Base
• Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico in contesti reali, con eventuali rappresentazioni grafiche
• Analizzare figure geometriche del piano e dello spazio individuando invarianti e relazioni
• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
• Rilevare, analizzare e interpretare dati riguardanti fenomeni reali, sviluppando deduzioni e ragionamenti,fornendo adeguate rappresentazioni grafiche anche con l’ausilio di strumenti informatici
4Nome relatore
I Problemi
• Problemi di ottimizzazione: la
lattina della birra più economica
• Problemi di crescita: come
investire al meglio il proprio capitale
• Proporzionalità diretta e crescita
polinomiale: raggio e circonferenza;
aree, volumi, … andamenti grafici
• Proporzionalità inversa: tempo e
velocità a percorso costante
5Nome relatore
Strumenti e Metodi
• Algebra e Geometria: conoscenze e abilità per
sviluppare percorsi trasversali e risolvere problemi
• Leggi delle Scienze: saper identificare la legge
adeguata al problema da risolvere
• I metodi: tessuto concettuale, ragionamento logico-
deduttivo, metodo geometrico, stima del calcolo, …
• Strumenti informatici: software di calcolo e grafici,
statistiche, diagrammi
6Nome relatore
Problema 1
• Volendo produrre una lattina cilindrica, con
assegnato volume, determinarne il raggio di
base affinché sia la più economica
Quale raggio di base R ???
Unico dato: il volume V, assegnato
7Nome relatore
Problema 2
• Abbiamo guadagnato tanto! dalla produzione
di lattine ottimali ... come investire al meglio il
nostro guadagno in banca?
I dati:
1) il capitale iniziale C,
2) Il tasso di interesse i
assegnato
Bastano questi dati per conoscere il proprio capitale dopo un anno ???
8Nome relatore
Problema 3
• Grande crisi: la banca fallisce e hai perso
tutto!!! Decidi di cambiare lavoro e apri un
garden center. Hai poco spazio espositivo e
devi cercare di sfruttarlo al meglio, per avere
sempre la merce che ti viene richiesta
Come implementare al meglio la quantità di prodotti da
vendere ???
I dati:
1) Bancale di N giacinti
2) Costo per giacinto c
9Nome relatore
Problema 4
• I giacinti si esauriscono presto: ci sono molti
compratori! Bisogna ripetere la fornitura. Il Il
Il tragitto è sempre lo stesso ma non sempre si
ha voglia di correre.
I dati:
1) La lunghezza s del percorso
2) La velocità v di cammino
In quanto tempo t ritornerai con i fiori ???
10Nome relatore
Lo sviluppo: Problema 4
• Legge di proporzionalità inversa
X
kY =
Che legame intercorre tra il
tempo t e la velocità v, fissato
il percorso S da compiere? v
st =
Proporzionalità inversa
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
11Nome relatore
Problema 3
kXY =
Come fioraio devi vendere N
vasetti al prezzo di 3 Euro l’uno.
Quale ricavo R ?
• Legge di proporzionalità diretta
NR 3=
Proporzionalità diretta
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6
X
Y
12Nome relatore
Problema 3…puoi vendere di più!
nkXY =
Vendi vasi di primule disposte in
un quadrato con N vasi per lato al
prezzo di 4 Euro l’uno.
Quale è ora il ricavo R ?
• Crescita polinomiale
24NR =
Crescita quadratica n=2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6
XY
13Nome relatore
Problema 3… vendite in ulteriore aumento!
Oggi al mercato si comprava molto bene
e mi hanno consegnato N vassoi con NxN
giacinti. Riesco a vendere a 4 Euro al vaso.
Quanto ricavo R ?
• Crescita polinomiale
nkXY =
34NR =
Crescita polinomiale n=3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6
X
Y
14Nome relatore
Confronto di crescite polinomiali
nkXY =
Hai N giacinti su un’asse; un
vassoio quadrato con N vasi per lato di primule, un insieme di N
vassoi sovrapposti di giacinti.
Devi vendere perché non
invecchino e cedi al prezzo di un
Euro al vaso.
Confronta il ricavo R delle tre
partite?
Crescite polinomiali
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0,5 1 1,5 2 2,5
X
Y
15Nome relatore
Problema 2
• Interesse semplice: Guadagni 100 Euro (g) e hai trovato una
banca che in un anno ti concede il 100% di interesse .
gggC 2=+=
termine dell’anno avrai ….. Euro!!
Che capitale C hai dopo un anno?
• Guadagno maggiore!! Il successivo guadagno di 100 Euro lo
investi allo stesso interesse ma decidi di ritirarlo a metà anno e reinvestirlo allo stesso tasso. Cioè alla fine del sesto mese investi 150 Euro allo stesso interesse e al
200100100 =+=C
225)150(5.0)50100( =++=C
2
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
+=
+
+=
++
+= gggggggC
16Nome relatore
Problema 2: investimento capitale
Interesse semplice
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
t e mpo [ f r a z i oni di a nno]
n
ngC
+=
11
Guadagno maggiore
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
t e mpo [ f r a z i oni di a nno]
• Interesse composto: Ti sei accorto che questo “giochetto del
reinvestimento potresti farlo ad intervalli più brevi ...anzi quotidianamente!
C’è allora una crescita esponenziale!!!!
Interesse composto
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5
t emp o [ f raz ioni d i anno ]
17Nome relatore
Problema 1
( ) { {2
area dei cerchi di base area della superficie laterale
area totale 2 2 A x x hxπ π= = +
2
2
VV hx h
xπ
π= ⇒ =
• Si tratta di un semplice problema di
ottimizzazione: la lattina più economica a parità di volume V (ad es. 0,33 cc.)
• Il costo maggiore è quello dell’alluminio del
quale la lattina è prevalentemente costituita
• Conviene dunque rendere minima la
superficie cilindrica
Fissato V, detti x il raggio della base, h l’altezza
( ) 2 2 2
VA x x
xπ= +
53.752.51.25
200
150
100
50
0
x
y
x
y
?
( ) y A x=
18Nome relatore
2/3
32
222
2
V V V
Vh x
x
π
π π π
= = = =
3330
2 7.48
V cm
h x
=
= =
Non avendo a disposizione i metodi dell’analisi matematica,
ci affidiamo ad un utilizzo ragionato di una calcolatrice tascabile e approssimiamo al meglio il valore minimo
SORPRESA: si trova che l’altezza è pari al diametro di base!
COMMENTI
La soluzione
21Nome relatore
1. Quali competenze, quali conoscenze
Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, forma grafica
Abilità� Comprendere il significato di potenza; calcolare potenze e applicarne le proprietà� Risolvere brevi espressioni nei diversi insiemi numerici � Risolvere sequenze di operazioni e problemi sostituendo alle variabili letterali i valori
numerici.� Semplificare espressioni letterali .� Comprendere il significato logico-operativo di rapporto e grandezza derivata� Impostare uguaglianze di rapporti per risolvere problemi di proporzionalità� Risolvere problemi utilizzando equazioni di primo grado e verificare la correttezza dei
procedimenti utilizzati e l’attendibilità dei risultati ottenuti� Rappresentare graficamente equazioni di primo grado e di secondo grado� Individuare la necessità di utilizzo di un’equazione di grado superiore al primo.
Conoscenze� Gli insiemi numerici N, Z, Q, R ; rappresentazioni, operazioni, ordinamento.� Espressioni algebriche, principali operazioni : monomi, polinomi, prodotti notevoli,
scomposizioni e frazioni algebriche .� Equazioni e intere e frazionarie di primo e secondo grado .
22Nome relatore
2. Quali competenze, quali conoscenze
Confrontare ed analizzare figure geometriche, invarianti e relazioni
Abilità� Riconoscere i principali enti, figure e luoghi geometrici� Individuare le proprietà essenziali delle figure e delle trasformazioni, riconoscerle in
situazioni concrete� Disegnare figure geometriche con semplici tecniche grafiche e operative� In casi reali di facile leggibilità risolvere problemi di tipo geometrico, e ripercorrerne le
procedure di soluzione� Visualizzare gli oggetti geometrici nello spazio e risolvere semplici problemi quantitativi� Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli
oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione ad un'altra in modo consapevole e motivato.
� Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e compasso, software di geometria,…)
� Comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione (catene deduttive)� Dimostrare semplici teoremi
Conoscenze� Gli enti fondamentali della geometria� Il piano euclideo: poligoni e loro proprietà� Le isometrie nel piano: simmetrie, rotazioni, traslazioni� Perimetro ed area dei poligoni � Il metodo delle coordinate: il piano cartesiano
23Nome relatore
3. Quali competenze, quali conoscenze
Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi
Abilità� Progettare un percorso risolutivo strutturato in tappe� Formalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso modelli
algebrici e grafici� Riconoscimento di grandezze e variabili matematiche in un problema
complesso di vita quotidiana� Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa� Riconoscere situazioni problematiche e fenomeni diversi riconducibili a
uno stesso modello matematico
Conoscenze� Le fasi risolutive di un problema e loro rappresentazioni con diagrammi� Tecniche risolutive di un problema che utilizzano frazioni, proporzioni,
percentuali, formule geometriche, equazioni e disequazioni di primo grado ed equazioni di secondo grado.
24Nome relatore
4. Quali competenze, quali conoscenze
Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico
Abilità• Raccogliere, organizzare e rappresentare un insieme di dati • Rappresentare classi di dati mediante istogrammi e diagrammi• Leggere e interpretare tabelle e grafici in termini di corrispondenze fra
elementi di due insiemi • Riconoscere una relazione tra variabili, in termini di proporzionalità diretta o
inversa e formalizzarla attraverso una funzione matematica• Rappresentare sul piano cartesiano il grafico di una funzione• Valutare l’ordine di grandezza di un risultato• Elaborare e gestire semplici calcoli attraverso un foglio elettronico
Conoscenze� Significato di analisi e organizzazione di dati numerici� Il piano cartesiano e il concetto di funzione� Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e relativi grafici, funzione lineare� Semplici applicazioni che consentono di creare, elaborare un foglio
elettronico con le forme grafiche corrispondenti
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