formální fuzzy logikaktiml.mff.cuni.cz/fpi/data/fpi-behounek-slides.pdf · formální fuzzy...
Post on 25-Jul-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Formální fuzzy logika
Libor B¥hounek
Ústav pro výzkum a aplikace fuzzy modelování Ostravské univerzity& Ústav informatiky AV�R
Filoso�cké problémy informatikyMFF UK, 5. 5. 2015
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 1 / 36
Osnova
1 Úvod do formální fuzzy logiky
2 Motivace a aplikace
3 Filoso�e vágnosti
4 Formální fuzzy matematika
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 2 / 36
Osnova
1 Úvod do formální fuzzy logiky
2 Motivace a aplikace
3 Filoso�e vágnosti
4 Formální fuzzy matematika
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 3 / 36
Stupn¥ pravdivosti
Klasická logika je dvojhodnotová � má 2 pravdivostní hodnoty:pravda (1) a nepravda (0)
Mnoho vlastností (mladý, vzdálený, rychlý, . . . ) v²ak není �£ernobílých� �� lze je p°ipsat ve v¥t²ím £i men²ím stupni
⇒ Základní my²lenka fuzzy logiky:Roz²í°it 2 klasické pravdivostní hodnoty na ²kálu pravdivostních stup¬·
• i nekone£n¥ mnoha• obvykle lineárn¥ uspo°ádaných• £asto (ale ne vºdy) reprezentovaných £ísly z [0, 1]
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 4 / 36
Poºadavky na sémantiku výrokových spojek
S roz²í°ením pravdivostních hodnot je t°eba ur£it chování výrokových spojek
P°íli² mnoho moºností ⇒ nutno p°ijmout vhodné omezující principy
Nej£ast¥ji p°ijímané principy:
• Extenzionalita výrokových spojek = pravdivostní stupe¬ výsledku jefunkcí pravdivostních stup¬· argument·
(�truth-functionality� � pravdivostní funkce)
• Svazové £i lineární uspo°ádání pravdivostních stup¬· (dle logické síly)
• Implikace internalizuje uspo°ádání pravdivostních stup¬·:
‖A→ B‖ = 1 i� ‖A‖ ≤ ‖B‖
• Reziduace: ‖A&B‖ ≤ ‖C‖ i� ‖A‖ ≤ ‖B → C‖• Poºadavky na vlastnosti jednotlivých spojek
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 5 / 36
Poºadavky na konjunkci
Rozumné poºadavky na pravdivostní funkci ∗ konjunkce:• Komutativita: x ∗ y = y ∗ x• Asociativita: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)• Monotonie: pokud x ≤ x′, pak x ∗ y ≤ x′ ∗ y• Neutralita pravdy: x ∗ 1 = x (d·sledek: x ∗ 0 = 0)
• Spojitost: ∗ je spojitá funkce
Na [0, 1] = spojité t-normy
Dal²í poºadavky (nap°. idempotence: x ∗ x = x) by jiº teorii p°íli²omezovaly, proto budou jen volitelné
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 6 / 36
Spojité t-normy
Význa£né p°íklady na [0, 1]:
V²echny spojité t-normy jsou ordinální sumy t¥chto t°í základních:
x ∗G y = min(x, y) Gödelova t-norma
x ∗Π y = x · y produktová t-norma
x ∗� y = max(x+ y − 1, 0) �ukasiewiczova t-norma
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 7 / 36
Rezidua spojitých t-norem
Podmínka reziduace (x ∗ y ≤ z i� x ≤ y →∗ z) jednozna£n¥ ur£ujereziduum →∗ kaºdé spojité t-normy: x→∗ y = sup{z | z ∗ x ≤ y}
Vºdy platí: Pokud x ≤ y, pak x→∗ y = 1.
Rezidua základních t-norem
Pro y < x: x→G y = y Gödelova implikace
x→Π y = y/x Goguenova implikace
x→� y = min(1− x+ y, 1) �ukasiewiczova implikace
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 8 / 36
Výrokové spojky t-normových fuzzy logik
Spojitá t-norma ur£uje sémantiku v²ech výrokových spojek:Konjunkce . . . spojitá t-norma ∗Implikace . . . její reziduum →∗
= nejv¥t²í funkce spl¬ující fuzzy modus ponens: x ∗ (x→ y) ≤ yNegace: ¬∗ x = x→∗ 0 (reductio ad absurdum).
Disjunkce: x ∨ y = max(x, y) (de�novatelná z ∗,→)
Minimová konjunkce: x ∧ y = min(x, y) (de�novatelná z ∗,→)(tj. ve fuzzy logikách krom¥ Gödelovy máme 2 r·zné konjunkce!)
Ekvivalence = konjunkce obou implikací
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 9 / 36
Fuzzy logiky spojitých t-norem
Od sémantiky spojek k logice:Syntax = stejná jako v klasické logice
Tautologie = formule vºdy vyhodnocené na stupe¬ 1
Logické vyplývání = p°ená²ení pravdivostního stupn¥ 1A1, . . . , An |= B i� platí: kdykoli A1 = . . . = An = 1, pak B = 1
Základní logiky spojitých t-noremGödelova (G), �ukasiewiczova (�) a produktová (Π) fuzzy logika
= logiky t¥chto t-norem
Hájkova fuzzy logika BL (�basic logic�)= tautologie a vyplývání ve v²ech logikách spojitých t-norem
Tautologie t¥chto logik jsou kone£n¥ axiomatizovatelné
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 10 / 36
Axiomatizace fuzzy logik spojitých t-norem
Axiomy logiky BL
((A→ B)→ ((B → C)→ (A→ C)))
(A& (A→ B))→ (B & (B → A))
(A→ (B → C))→ ((A&B)→ C)
((A&B)→ C)→ (A→ (B → C))
((A→ B)→ C)→ (((B → A)→ C)→ C)
0→ A
a odvozovací pravidlo modus ponens: z A a A→ B odvo¤ B
Axiomy G, �, Π:
G = BL +A→ (A&A)
� = BL + ¬¬A→ A
Π = BL + ¬A ∨ ((A→ (A&B))→ B)
Bool = BL +A ∨ ¬A
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 11 / 36
Úplnost
Trojí sémantika fuzzy logik
• Standardní sémantika = spojité t-normy na [0, 1]
• Obecná sémantika = v²echny algebry spl¬ující uvedenou axiomatiku:BL-algebry, Gödelovy algebry, Π-algebry, MV-algebry
(nemusejí být lineární � nap°. direktní produkty spl¬ují tytéº formule)
• Lineární sémantika = v²echny lineární algebry pro danou fuzzy logiku
V¥ta o úplnosti BL (pro ostatní fuzzy logiky obdobn¥)
Následující podmínky jsou ekvivalentní:
• A je dokazatelná v BL• A platí ve v²ech BL-algebrách (obecná úplnost)• A platí ve v²ech lineárních BL-algebrách (lineární úplnost)• A platí ve v²ech standardních BL-algebrách (standardní úplnost)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 12 / 36
Fuzzy logiky mezi neklasickými logikami
Gödelova logika = intuicionistická + (A→ B) ∨ (B → A)= logika lineárních Heytingových algeber
Fuzzy logiky = substrukturální logiky s axiomem prelinearity= logiky lineárních reziduovaných svaz·
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 13 / 36
�ir²í rodina výrokových fuzzy logik
Studované variace fuzzy logik:
Odebrání n¥kterých podmínek, nap°.:
psBL = bez vyºadování komutativity &
MTL = logika zleva spojitých t-norem
P°idání dodate£ných podmínek, nap°.:
IMTL = MTL + involutivnost negace (¬¬A→ A)
P°idání dodate£ných spojek, nap°.:
Logiky se spojkou ∆ (lineární sémantika: ∆x =
{1 pro x = 1,
0 jinak)
�Π = obsahuje v²echny spojky logik G, � a Π najednou
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 14 / 36
Zoo hlavních fuzzy logik studovaných od roku 1998
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 15 / 36
Prvo°ádové fuzzy logiky
Syntax: jako v klasické logice (jen více spojek)
Sémantika: ∀, ∃ = in�mum, supremum (ve svazu pravdivostních stup¬·)
Rasiowé axiomy pro kvanti�kátory (p°idat k výrokovým):
(∀x)ϕ(x)→ ϕ(t) pro t substituovatelné za x ve ϕϕ(t)→ (∃x)ϕ(x) pro t substituovatelné za x ve ϕ(∀x)(χ→ ϕ)→ (χ→ (∀x)ϕ) pokud x není volná v χ(∀x)(ϕ→ χ)→ ((∃x)ϕ→ χ) pokud x není volná v χ
a odvozovací pravidlo generalizace: z ϕ odvo¤ (∀x)ϕ
Voliteln¥ (pro zaji²t¥ní lineární úplnosti):(∀x)(ϕ ∨ χ)→ (∀x)ϕ ∨ χ pokud x není volná v χ
⇒ Prvo°ádové fuzzy logiky BL∀, G∀, �∀, Π∀, . . .
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 16 / 36
Osnova
1 Úvod do formální fuzzy logiky
2 Motivace a aplikace
3 Filoso�e vágnosti
4 Formální fuzzy matematika
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 17 / 36
Motivace
Fuzzy mnoºiny (Zadeh 1965): charakteristické funkce X → [0, 1](místo X → {0, 1})
Motivovány neost°e vyd¥lenými soubory objekt·(Zadeh: �soubor v²ech reálných £ísel o hodn¥ v¥t²ích neº 1,
v²ech krásných ºen £i v²ech vysokých lidí�)
Fuzzy logika (Goguen 1969): logické operátory (∧,∨,¬, . . . ) odpovídajícífuzzy-mnoºinovým operacím (∩,∪,r, . . . )
Matematická (symbolická, formální) fuzzy logika = aplikace(meta)matematických metod formální (matematické) logiky na fuzzy logiku
Témata matematické fuzzy logiky: axiomatizace, sémantika, úplnost, teoried·kaz·, výpo£tová sloºitost, . . .
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 18 / 36
Historie a sou£asnost
1920 �ukasiewiczova logika (trojhodnotová, 1930 nekone£n¥hodnotová)1932 Gödelova logika (implicitn¥, k d·kazu netabularity intuicionistické)1965 Zadeh: fuzzy mnoºiny1969 Goguen: fuzzy logika (sémanticky)1975 fuzzy °ízení (první cementová pec)1998 Hájek: Metamathematics of Fuzzy Logic (BL)2011 Handbook of Mathematical Fuzzy Logic
MFL ve sv¥t¥: �esko, Itálie, Rakousko, Japonsko, . . . (∼100 logik·)
�eská ²kola matematické fuzzy logiky:• Pultr, Pavelka (1978), Novák (1986, 1999), Hájek (1998), . . .• Ústav informatiky AV, Ostravská univerzita, UP Olomouc, �VUT,
ÚTIA AV, . . .
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 19 / 36
Osobnosti z historie fuzzy logiky
Jan �ukasiewicz, Kurt Gödel, Lot� Zadeh, Petr Hájek
(Zdroj: Wikipedia, College Publications, ÚI AV �R, MathFuzzLog)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 20 / 36
Aplikace
• Fuzzy °ízení: spojité charakteristické funkce poskytují zp¥tnou vazbu
Fuzzy IF�THEN pravidla (reprezentovaná fuzzy relacemi):
Pokud teplota je VYSOKÁ, pak ventil má být POOTEV�ENÝ.Pokud rychlost je VELKÁ a p°ekáºka je BLÍZKO,
pak brzd¥ní má být SILNÉ.
Pouºití: automatické pece, semafory, pra£ky, fotoaparáty, stavidla, . . .
• Reprezentace znalostí: neostré a p°ibliºné atributy
Pokud barva je �ERVENÁ, pak jablko je ZRALÉ.Pokud tlak je VYSOKÝ, pak objem je MALÝ.
Extrakce fuzzy IF�THEN pravidel z popisu v p°irozeném jazycePouºití: expertní systémy (víde¬ský CADIAG)
• Dal²í aplikace: lingvistické modelování (evalua£ní výrazy, vágníkvanti�kace), rozpoznávání obraz·, data mining (fuzzy GUHA),p°edvídání £asových °ad, fuzzy logické programování, . . .
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 21 / 36
Kontroverze
Fuzzy logika má v n¥kterých kruzích kontroverzní pov¥st(zvl. mezi matematiky, pravd¥podobnostníky, �losofy a lingvisty)
Námitky se ale týkají
• bu¤ jen aplikovaných fuzzy metod(slabá matematická kvalita, míchání s pravd¥podobností),
• nebo zastaralého stavu oboru (námitky od lingvist· a �losof·),
• nebo o£ekávání nenabízeného (intenzionálních spojek apod.)
V jiných oborech má pov¥st celkem dobrou(inºený°i, informatici, logici, ekonomové)
Neformální význam stup¬· pravdivosti nicmén¥ není dosud vyjasn¥n
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 22 / 36
Osnova
1 Úvod do formální fuzzy logiky
2 Motivace a aplikace
3 Filoso�e vágnosti
4 Formální fuzzy matematika
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 23 / 36
Paradox hromady
Paradox hromady (�sórités�; Eubúlidés z Mílétu, 4. stol. p°. n. l.)
109 zrn písku tvo°í hromadu.
Odebráním 1 zrnka písku hromada nep°estane být hromadou.
Tedy 109 − 1 zrn písku tvo°í hromadu.
. . . [Úsudek opakujeme 109×.]Tedy 0 zrn písku tvo°í hromadu.
Analogicky pro ostatní predikáty bez ostré hranice(holohlavý, mladý, vysoký; zelená; v níºin¥; malé £íslo, . . . )
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 24 / 36
Teorie vágnosti
Vágní pojmy = pojmy, k nimº lze sestrojit posloupnost typu sórités(alespo¬ my²lenou)
Filoso�e vágnosti = snaha o uspokojivé °e²ení paradoxu hromady(trápí �losofy od starov¥ku dodnes � znejis´uje správnost usuzování)
Hlavní teorie vágnosti• Epistemická teorie vágnosti: �Je tam ostrý zlom, jen my nevíme kde�
• Supervaluacionismus: �Uvaºujeme v²echny moºné pozice zlomu; zapravdivé povaºujeme jen to, co platí pro v²echny moºné pozice zlomu�
• Stupn¥ pravdivosti = de facto °e²ení pomocí fuzzy logiky
Nevýhody epistemické teorie a supervaluacionismu:
• Validují (∃n)(Hn & ¬Hn−1) (existenci zlomu)
• Nevysv¥tlují, pro£ je induktivní premisa paradoxu p°esv¥d£ivá
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 25 / 36
Sórités ve fuzzy logice
Opakované pouºití induktivní premisy postupn¥ sniºuje garantovanoupravdivost záv¥ru:
HN & (HN → HN−1) & (HN−1 → HN−2) & . . .& (Hn+1 → Hn)→ Hn
Ve standardní �ukasiewiczov¥ logice: x ∗� y = max(x+ y − 1, 0)0,999 ∗� 0,999 = 0,998 0,999 ∗� 0,999 ∗� 0,999 = 0,997 atd.
‖Hn‖ ≥ 1 ∗� (1− 1N ) ∗� (N−n)×. . . ∗� (1− 1
N ) = 1− nN ↘ 0 pro n→ N
Induktivní premisa je p°esv¥d£ivá, nebo´ je tém¥° zcela pravdivá (1− 1N )
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 26 / 36
Um¥lá p°esnost a plurivaluace
Nejváºn¥j²í námitka = problém um¥lé p°esnosti: zatímco klasická logikamá 1 um¥lý zlom, ve fuzzy logice je N nesmysln¥ p°esných hodnot
(495 123 344 zrn tvo°í hromadu ve stupni 0,504876656)
�e²ení = fuzzy supervaluace: neuvaºujeme jeden, nýbrº v²echny p°ípustnéfuzzy modely; za pravdivé povaºujeme jen to, co platí ve v²ech z nich.
• P°esn¥ odpovídá pojmu d·sledku ve fuzzy logice• Lze zd·vodnit neur£itostí jazyka (fakt· ur£ujících význam slov)• Vztahuje se i na spojky (BL = �pro v²echny p°ípustné konjunkce�)
Ostatní námitky jsou dány neznalostí moderní fuzzy logiky:• P°ítomnosti dvou konjunkcí ve fuzzy logice
(�neplatí zákon sporu! neplatí modus ponens!� � platí s &)• Existence nelineárních algeber pravdivostních stup¬·
(�nelze porovnávat £ervenost s kulatostí!� � v nelineárních nemusíme)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 27 / 36
Osnova
1 Úvod do formální fuzzy logiky
2 Motivace a aplikace
3 Filoso�e vágnosti
4 Formální fuzzy matematika
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 28 / 36
Formální fuzzy matematika
Formální fuzzy matematika = budování matematiky s fuzzy logikou cobypodkladovou logikou pouºívanou k odvozování (namísto klasické logiky)
• Automaticky p°ipou²tí fuzzy modely⇒ v²echna tvrzení a pojmy jsou defaultn¥ fuzzy
• Fuzzy obdoba ostatních odv¥tví neklasické matematiky(intuicionistické, konstruktivní atp.)
Cíle formální fuzzy matematiky• Formalizovat (a pln¥ fuzzi�kovat) inºenýrskou teorii fuzzy mnoºin
• Najít základovou teorii, v níº lze budovat ve²kerou fuzzy matematiku
• Vyuºít zvlá²tností fuzzy logiky pro alternativní budování a zkoumáníklasických pojm·
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 29 / 36
Základové teorie pro fuzzy logiku
Fuzzy logika vy²²ího °ádu (B¥hounek�Cintula 2005)
Logika: libovolná prvo°ádová t-normová fuzzy logika (s ∆ a =), jazyk:• Prom¥nné pro prvky, fuzzy mnoºiny, fuzzy mnoºiny fuzzy mnoºin atd.• Fuzzy predikáty ∈ pro náleºení mezi sousedními °ády
Axiomy (pro v²echny °ády):• Extenzionalita: (∀x)∆(x ∈ A↔ x ∈ B)→ A = B• Komprehenze: (∃A)(∀x)∆(x ∈ A↔ ϕ(x)) pro kaºdou formuli ϕ
• Formalizace Zadehova pojmu fuzzy mnoºiny = modely teorie• Základová teorie pro fuzzy matematiku
(pouºita k budování teorie fuzzy relací, fuzzy topologie, . . . )• Práce v ní je podobná klasické £i intuicionistické matematice
Podobné základové teorie:• Fuzzy teorie typ· (Novák 2004) � churchovská (formule = λ-termy)• Fuzzy teorie mnoºin ve stylu ZF (Hájek�Haniková 2003)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 30 / 36
Cantor��ukasiewiczova teorie mnoºin
Cantorova naivní teorie mnoºinNeomezená komprehenze: (∃z)(∀x)(x ∈ z ↔ ϕ(x)), pro kaºdou formuli ϕ
Je sporná (Russell·v paradox): pro r = {x | x /∈ x} je r ∈ r ↔ r /∈ r
Existence r je v²ak splnitelná v �ukasiewiczov¥ logice!
‖r ∈ r‖ = 12 = 1− 1
2 = ¬� ‖r ∈ r‖ , tedy ‖r ∈ r ↔ r /∈ r‖ = 1
Cantor��ukasiewiczova teorie mnoºin (C�)
Neomezená komprehenze: (∃z)(∀x)(x ∈ z ↔ ϕ(x)), pro kaºdou formuli ϕ
= jediné schéma axiom· C�, v �ukasiewiczov¥ logice
Domn¥nka (Skolem 1959):• C� je bezesporná (dodnes nejasné; platí ve slab²ích logikách)• V C� lze vybudovat podstatnou £ást matematiky (nejspí² ne,
nicmén¥ jde o zajímavou teorii)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 31 / 36
Vlastnosti Cantor��ukasiewiczovy teorie mnoºin
• C� je neextenzionální teorie mnoºin• P°idání extenzionality je sporné• Existuje nap°. nekone£n¥ mnoho prázdných mnoºin (Hájek 2013)
• {u | u ∈ x} . . . extenze x (mnoºina v²ech prvk· x){u | x ∈ u} . . . intenze x (mnoºina v²ech vlastností x � v ZF t°ída)Rovnost = (ne koextenzionalita jako v ZF, ale) kointenzionalita
(Leibniz·v princip)• Mnoºiny lze zavád¥t autoreferencí (v¥ta o pevném bod¥)
⇒ p°irozen¥j²í de�nice ω (p°ir. £íslo je 0 nebo následník p°ir. £ísla):
ω = {n | n = 0 ∨ (∃m ∈ ω)(n = m+ 1)}ω nutn¥ obsahuje (nekone£ná) nestandardní £ísla (Yatabe 2007)
• Existence zvlá²tních mnoºin:• univerzální mnoºina v = {x | x = x}• Russellova mnoºina r = {x | x /∈ x}• mnoºina svých vlastních vlastností: x = {u | x ∈ u}
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 32 / 36
Fuzzy pojem in�nitesimálu
In�nitesimální kalkul byl aº do 19. století zaloºen na pojmu in�nitesimálu(intuitivn¥j²í neº ε-δ de�nice)
Problém: pojem in�nitesimálu je logicky sporný
Lze jej v²ak aproximovat: £ím men²í £íslo, tím lep²í in�nitesimál(srv. nakládání s dx ve fyzice)
Idea:Fuzzy pojem in�nitesimálu: £ím men²í £íslo, tím v¥t²í stupe¬
in�nitesimálnosti (ale ºádné £íslo není in�nitesimál ve stupni 1)
Limitu posloupnosti lze v �ukasiewiczov¥ logice de�novat takto:
x = limn→∞
xn i� (∃n0)(∀n > n0)(|x− xn| ∈ Inf)
Pro limity funkcí nutno uvaºovat systémy fuzzy okolí 0(s tímto up°esn¥ním lze vybudovat celý in�nitesimální kalkul v �)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 33 / 36
Bez£íselná matematika
Pozorování:Vlastnosti charakteristických funkcí odpovídají (jednodu²²ím) vlastnostemfuzzy mnoºin:
Klasické funkce Fuzzy mnoºinymonotonní funkce horní mnoºinametrika relace ekvivalencelim sup / lim inf hromadný / vnit°ní bodreálná £ísla pravdivostní hodnotyalgebraické operace výrokové spojky
Ve fuzzy logice lze £ísla �schovat� do sémantiky a nereferovat k nim v teorii= budovat matematiku (a fyziku) bez £ísel
Relativistické skládání rychlostí (s T = ict) v �Π:
¬�(v1 &Π v2)→Π (v1 ∨� v2) (disjunkce podmín¥ná neslu£itelností)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 34 / 36
Paradox logické v²ev¥doucnosti agent·
Ve standardní epistemické logice jsou agenti logicky v²ev¥doucí= znají v²echny (výrokové) tautologie (coº je nerealistické),
díky axiomu logické racionality: Kϕ& K(ϕ→ ψ)→ Kψ
�e²ení:Fuzzy pojem proveditelné znalosti
Axiom logické racionality v �ukasiewiczov¥ logice:
Kϕ& K(ϕ→ ψ) & mp→ Kψ
P°i dlouhých odvozeních proveditelnost klesá, jako u paradoxu hromady(paradox logické v²ev¥doucnosti je vlastn¥ jeho instancí)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 35 / 36
Reference
Kam dále pro informace:• Kapitola �Formální fuzzy logika� (30 stran) ve sborníku Umelá
inteligencia a kognitívna veda I
• Úvodní kapitola (100 stran) Introduction to mathematical fuzzy logicknihy Handbook of Mathematical Fuzzy Logic
(zdarma na webu, hledejte název)
• Kniha P. Hájka Metamathematics of fuzzy logic (v knihovnách)
• Mnoho zdroj· voln¥ na webu (nap°. MathFuzzLog.org)
• Semestrální kurz matematické fuzzy logiky na FF UK(Cintula, Noguera � anglicky, koná se na Ústavu informatiky v Ládví)
• Seminá°e pro pokro£ilé: ÚI AV (st 14:00), ÚVAFM v Ostrav¥ (£t 9:30)
Libor B¥hounek (OU & AV�R) Formální fuzzy logika 5. 5. 2015 36 / 36
top related