formulario pre universitario
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POP
EFsquema
ormulario
POPPOP
4 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
4
ÍND
ICE
�� Números y Operaciones ................. 3�- Sistema decimal�- Razones�- Magnitudes proporcionales�- Reparto proporcional�- Regla de tres�- Divisibilidad�- Criterios de divisibilidad�- Números primos�- MCD y MCM I�- MCD y MCM II�- Fracciones I�- Fracciones II�- Porcentajes I�- Porcentajes II
�� Álgebra ........................................ 8�- Exponentes�- Polinomios�- Productos notables�- División algebraica�- Factorización�- Ecuaciones de primer grado�- Planteamientos I�- Ecuaciones cuadráticas�- Planteamientos II�- Función lineal, cuadrática y aplicaciones
�� Geometría y Medidas .................... 19�- Triángulos – Líneas notables�- Triángulos notables�- Razones trigonométricas de ángulos agudos�- Cuadriláteros I�- Cuadriláteros II�- Circunferencia I�- Circunferencia II�- Polígonos�- Relaciones métricas�- Áreas triangulares�- Áreas cuadrangulares�- Áreas circulares�- Relación de áreas
x
5ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
Sistema decimal
�� Descomposición polinómica abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d�� Conteo de cifras
Sea 1, 2, 3, ...
ncifras
abcd...xyz
La cantidad de cifras utilizadas = ncifras
(abc...xyz 1)n 111...111= –
�� Progresión aritmética
Suma de términos =
+último primero2
.#términos; #términos = –último primerorazón
+ 1
Razones
�� Razón aritmética: a – b
a : antecedenteb : consecuente
�� Razón geométrica: ab
�� Razones equivalentes: 31 2 n
1 2 3 n
aa a a.... k
b b b b= = = = =
• 1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... ak
b b b ... b+ + + +
=+ + + +
• n1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... ak
b b b ... b=
× × × × × × × ×
Magnitudes proporcionales
�� Si: A DPB A ConstanteB
=⇒ �� Si: A IPB A B Constante=⇒ ×
�� Si: A DPB A C ConstanteBA IPC
= ×
Reparto proporcional
�� Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c
1 2 3P P P N+ + =∴ y 31 2 PP PConstante
a b c= = = .
�� Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c.
1 2 3P P P N+ + =∴ y P1.a = P2.b = P3.c = Constante.
6 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
Regla de tres�� DP
=
�
obreros tiempo Constanteobra
=×
Divisibilidad
��o o on n n+ = ��
o o on n n– =
��o on.k n(k )= ∈ ��
o ok(n) n (k )∈ +=
�� ( )
o
oo
o
N A r
N B r N MCM A,B,C r
N C r
= +
= + = +
= +
⇒
�� o o o o o
1 2 3 x 1 2 3 x(n r ) (n r ) (n r )...(n r ) n r r r ... r+ + + + = +
Criterios de divisibilidad
�� Si: o o
abcd 2 d 2= =→
�� Si: o o8 4b 2c d 8= + + =→
�� Si: o o
abcd 9 a b c d 9= + + + =→
�� Si: o o
abcd 25 cd 25= =→
�� Si: o o4 2c d 4= + =→
�� Si: o o
abcd 3 a b c d 3= + + + =→
�� Si: o o
abcd 5 d 5= =→
�� Si: o o
a b c d e 11 a b c d e 11= – + – + =+– – –+
→
�� Si: o o7 f 3e 2d c 3b 2a 7= + + – – – =→
7ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
Números Primos
Sea "N" descompuesto canónicamenteN = Aa × Bb × Cc
�� #div. N = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
�� #div. comp. (N) = #div. (N) – #div. primos(N) – 1
MCD y MCM I
Si: A = 23 . 54. 32 . 11
MCD(A;B) = 23 . 53 . 32
B = 25. 53. 36. 7 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11
Para el MCD
�� Si o
A B Bk; k y A BMCD(A;B) B= =
=∈ >
∴
�� Si A yB son PESIMCD(A;B) 1=∴
�� Si MCD(A; B; C) = d
; Cn) dn ;
;
MCD(An; Bn
A B C dMCD ; ;n n n
n 0
0n
n
=
=
∴
≠
≠
�� Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D)
MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)
Para el MCM
�� Si o
A B Bk; k y A BMCM(A;B) A= =
=∈ >
∴
�� Si A yB son PESIMCM(A;B) A x B=∴
�� Si MCM(A; B; C) = P
; Cn) Pn ;
MCM ;
MCM(An; Bn
A B C P; ;n n n
n 0n
n 0=
=
∴
≠
≠
�� Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D)
MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)
Relaciones entre el MCD y MCM para dos números
8 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
MCD y MCM II
Fracciones I
Fracciones II
��
�� abc0,abc1000
=
�� abcd aba,bcd
990–=
�� Relación parte-todo
�� Reducción a la unidad Si un caño llena un tanque en 4
horas, en una hora llena la cuarta parte del tanque.
��
��
abcd aa,bcd999
–=
�� Fracción propia: Si aF a bb⇒ <=
�� Fracción impropia: Si aF a bb
= ⇒ >
�� Fracción común u ordinaria: Si naF b 10 ;n Zb
+= ⇒ ≠ ∈
�� Fracción decimal: Si naF b 10 ;n Zb
+= =⇒ ∈
9ESQUEMA – FORMULARIO
NÚ
ME
RO
S Y
OP
ER
AC
ION
ES
Porcentaje I
�� N=100% N
�� a%N ± b%N = (a ± b)%N
�� 2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de:
a.ba b %100
+ –
�� 2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de:
a.ba b %100
+ +
Porcentaje II
�� Pv = Pc + G �� Pv = Pc – P �� Pv = Pf – D �� Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo.�� Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado o de lista.
Interés simple
�� I = C × r × T�� M = C + I (r y T deben tener las mismas unidades)
10 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Exponentes
Definiciones
�� n
n veces
x x .x .x ... x=
�� x0 = 1, x ≠ 0
Teoremas�� xn.xm = xn+m
��n
n mm
x x , x 0x
–= ≠
��n n
nn
y1 xx ;y xx
–– = =
�� (xm)n = xm.n
��pn
mx
�� (x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn
��n n
nx xy y
=
na a.n
b b.nx xy y
=
; ≠y 0
�� nm/n ma a=
��mn nmx x=
�� n m mna a=
�� n n na. b a.b=
��n
nn
a abb
=
�� ( )a ac.ec e bc d e fb d fx x x x + +=
�� a bx x a b; x 0,1= =⇒ ∀ ≠
�� a ax y x y; x 0= =⇒ ∀ ≠
�� x yx y x y; x 0;1= =⇒ ∀ ≠
11ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Polinomios
�� ∑coef= P(1)
�� #términos = GA + 1; para todo polinomio completo
�� T.I. = P(o)
�� GA = GR(x) + GR(y); para todo monomio de 2 variables�� P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – 8x 5 y 8 + 10xy 9
13 10 13 10
⇒ GR(x) = 8
⇒ GR(y) = 9
⇒ GA = 13
�� [F(x) ± G(x)]° se toma el grado mayor entre GA(F) y GA(G)
�� F(x)G(x)
o
se restan los GA(F) – GA(G)
�� [F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G)
�� F(x)n
o
se multiplica el valor de n × GA[F(x)]
OPERACIONESCON GRADOS
POLINOMIOS
�� Polinomio ordenado: P(x) = axm + bxn + cxp + d; m > n > p > 0 decreciente
�� Polinomio completo: P(x) = a0xn + a1x
n–1 + a2xn–2 + .... + an
�� Polinomio homogéneo: P(x; y) = 3x3 + 5x2y – 8xy2 + y3
GA = 3 = 3 = 3 = 3
�� Polinomios idénticos: P(x) = ax2 + bx + c
P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4
�� Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c ⇒ a = 0; b = 0 c = 0
(P(x) ≡ 0)
⇒ a = 2; b = 3; c = 4
12 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Productos notables
Binomio al cuadrado
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Identidad Legendre
2. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
Binomio cubo
3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Diferencia de cuadrados
4. (a + b)(a – b) = a2 – b2
(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n
Suma y diferencia de cubos
5. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común
6. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b
Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común
7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c.
Trinomio al cuadrado
8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
13ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Trinomio al cubo
9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – 3abc
Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0
Se verifican:
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
• a3 + b3 + c3 = 3abc → importante
• (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
División algebraica
Identidad fundamental
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Grados
Grados[Q(x)] = Grado[D(x)] – Grado[d(x)]
Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – 1.
Clasificación�� División Exacta: R(x) = 0
�� DivisiónInexacta:R(x)≠0
Teoma del resto
Si P(x) es dividido por x – b, entonces el resto de la división es P(b).
Es decir R(x) = P(b)
14 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Factorización
I. Factor común
P(a; b) = ab + ac
P(a; b) = a(b + c) 2 factores primos
II. Por agrupación
P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y
= x(x + y) + z(x + y) + (x + y)
= (x + y) (x + z + 1)
III. Identidades�� a2 – b2 = (a + b) (a – b)
�� a2m – b2n = (am + bn) (am – bn)
�� a3 ± b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
�� a3m ± b3n = (am ± bn)(a2m – ambn + b2n)
�� a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
IV. Criterio de las aspas
P(x) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
a1xn c1y
m
a2xn c2y
m
Luego:
P(x) = (a1xn + c1y
m)(a2xn + c2y
m)
Ejemplo:
Factoriza
P(x): x2 – 2x – 35 = 0
x –7
x +5
P(x) = (x – 7)(x + 5) 2 factores primos
15ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado:ax + b = 0; a ≠ 0
Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus incógnitas, llamadas soluciones o raíces.
Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones
I. Ecuación compatible Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite
solución; esta a su vez podrá ser:
1. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0)
2. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que la
solución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0
II. Ecuación incompatible Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅;
frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente. a = 0 ∧ b ≠ 0
Ecuación compatible determinada: {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. = Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅]
En general:
Si: P(x) = axa(x – a)b(x – b)g
→ # factores primos = 3 = x; (x – a); (x – b)
→ # factores totales = (a + 1)(b + 1)(g + 1)
→ # factores algebraicos = (a + 1) (b + 1) (g + 1) – 1
16 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Planteamientos I
DefiniciónEl planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma de enunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciado dado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas.
lenguaje escrito lenguaje matemático
�� "x" excede a "y" en 10 x – y = 10
�� El exceso de "p" sobre "q" es 20 p – q = 20
�� "x" es a "y" como 5 es a 8 xy
58=
�� "x" es dos veces "y" x = 2y
�� "x" es dos veces más que "y" x = y + 2y ⇒ x = 3y
�� El cubo de un número aumentado en 17 . x3 + 17
�� La suma al cubo de un número aumentado en 6. (x + 6)3
�� Un número disminuido en sus tres octavos. x – 38
x
�� El triple de un número aumentado en 42. 3x + 45
Problemas sobre ecuacionesSi bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos a proporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución:�� Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él.�� Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación.�� Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar.�� Representa el término desconocido por medio de una variable, generalmente "x".�� Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático.�� Resuelve la ecuación.
17ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Ecuaciones cuadráticas
1. Sea la forma general:
ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.
�� Suma de raíces: –ba
�� Producto de raíces: ca
�� Suma de las inversas: –bc
�� Raíces simétricas: b = 0
�� Raíces recíprocas: a = c
�� Raíz nula: c = 0
Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1 ∧ x2 son raíces.
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
También:x2 – Sx + P = 0
Donde:�� S = suma de raíces
�� P = producto de raíces
2. Naturaleza de las raíces:
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su
discriminante, así:
�� Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
�� Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)
�� Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas.
Donde ∆ = b2 – 4ac es el discriminante.
18 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Planteamientos II
ProblemaYo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años. Calcula la suma de las edades actuales.
Solución:�� "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"
�� "Cuando yo tenía la edad que tú tienes
Aplicando el criterio de las sumas en aspa:
2y = 3x ⇒ xy = 2
3 ⇒ x = 2k
y = 3k
Reemplazamos en el cuadro:
�� "Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"
suma = 63 Del cuadro: 5k + 4k = 63 ⇒ k = 7 Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años
19ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Función lineal, cuadrática y aplicaciones
Función linealEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una línea recta.
y = f(x) = mx + b
Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación)b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen)
�� Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)
�� Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)
Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0
Función constante �� Si: m = 0 → f(x) = b
Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)
20 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁLG
EB
RA
Función de identidad�� Si: m = 1, b = 0 → f(x) = x. Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante
Función cuadráticaEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola.
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0
Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde:
h = – b2a
k = 4ac – b2
4a k = f(h)
�� Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Dom: R Ran = [k, +∞[ Mínimo valor de la función: k
�� Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Dom: R Ran = ]–∞, k] Máximo valor de la función: k
21ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Triángulos – Líneas notables
Propiedades
Propiedades adicionales
��
��
��
��
��
�� ��
22 ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Propiedades asociadas a las líneas notables
1. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior.
x = b2
2. Ángulo formado por las bisectrices interiores.
x = 90 + b2
3. Ángulo formado por las bisectrices exteriores.
x = 90 – b2
4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en un mismo vértice.
a – b2x =
Triángulos notables
�� Triángulos rectángulos notables
23ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
�� Triángulos rectángulos notables
�� Triángulos rectángulos aproximados
Razones trigonométricas de ángulos agudos
��
CO aSenH c
α = =
CA bCotCO a
α = =
C.A bCosH c
α = =
CO aTanCA b
α = =
H cSecCA b
α = =
H cCscCO a
α = =
De aqui se deduce: SenTanCos
ααα
= ; CosCotSen
ααα
= Propiedad
Razones trigonométricas recípocras�� Sena.Csca = 1 �� Cosa.Seca = 1�� Tana.Cota = 1
Razones trigonométricas complementarias�� Sena = Cosb → a + b = 90°�� Tana = Cotb → a + b = 90°�� Seca = Cscb → a + b = 90°
No olvides que: a < 90° y b < 90°
24 ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Cuadriláteros I
Cuadriláteros II Trapecio escaleno
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Propiedades: Trapecios
a bM2+=
180180
α β °θ γ °
+ =+ =
Trapezoide
α + β + θ + γ = °360
25ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Circunferencia I
Circunferencia II
�� Ángulos en la circunferencia
����
26 ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
�� Ángulos en la circunferencia Se cumple: L = qr q: Radianes 0 < q < 2p
Polígonos
Relaciones métricas
Convexos
Equiángulos
�� #D = n(n – 3)2
�� Se = 360°
�� #DM = n(n – 1)2
�� si = 180°(n – 2)
�� e = 360°n
�� i = 180°(n – 2)n
�� c = 360°n
Regulares
No convexos Equiláteros
a y b : Catetosc : Hipotenusah : Alturam, n : Proyecciones de los catetos
1. c2 = a2 + b2 4. a2 = mc, b2 = nc2. h2 = m.n
5. 1a2
+ 1b2
= 1h23. ch = ab
27ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Áreas triangulares
Relación de áreas triangulares
Para triángulos semejantes:
2 2
2 2A a bB x y
= =
��
��
��
��
��
28 ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Áreas cuadrangulares
Relación de áreas cuadrangulares
�� Para todo cuadrilátero:
TOTAX
2=
A C B D× ×=
�� Para trapecios:
2A BC=
TAx
2=
29ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
�� Para paralelogramos:
x y z= +
TOTAx
2=
Observación:
Áreas circulares
2A Rπ= 2
SC(PQ)RA A POQ
360π θ ∆
°= –
30 ESQUEMA – FORMULARIO
GE
OM
ET
RÍA
Y M
ED
IDA
S
Áreas circulares
2RA360π θ=
2 2 2A (R r ) ó A (PQ)4ππ= – =
Relación de áreas circulares:
Propiedades
A.
A B=
B.
C.
Impreso en los talleres gráficos de:EDICIONES E IMPRESIONES PAZ S.A.C
Av. Elemer Faucett 282, San MiguelLima – Perú
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