formule - matka.splet.arnes.simatka.splet.arnes.si/files/2015/10/taks123r.pdf · a b c r d e j...
Post on 10-Oct-2019
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
FORMULE
1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija
● Razdalja dveh točk v ravnini: ( , )d A B 2 22 1 2 1( ) ( )x x y y
● Linearna funkcija: ( )f x kx n ● Smerni koeficient: 2 1
2 1
y yk
x x
● Naklonski kot premice: tank ● Kot med premicama: 2 1
1 2
tan1
k k
k k
2. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S)
● Trikotnik: 1 sin2 2
cc vS ab
( )( )( )s s a s b s c ,
2a b c
s
● Polmera trikotniku očrtanega R( ) in včrtanega r( ) kroga: 4abc
RS
, Sr
s , 2
a b cs
● Enakostranični trikotnik: 2 3 3 3 3
, , , 4 2 6 3
a a a aS v r R
● Deltoid, romb: 2
e fS
● Romb: 2 sinS a
● Paralelogram: sinS ab ● Trapez: 2
a cS v
● Dolžina krožnega loka: 180
rl
● Ploščina krožnega izseka:
2
360r
S
● Sinusni izrek: 2sin sin sin
a b cR
● Kosinusni izrek: 2 2 2 2 cosa b c bc
3. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve)
● Prizma: 2 plP S S , V S v
● Piramida: plP S S , 13
V S v
● Krogla: 24P r , 34
3r
V
● Valj: 22 2P r rv , 2V r v
● Stožec:
2P r rs , 213
V r v
4. Kotne funkcije
● 2 2sin cos 1
● sintancos
● cos( ) cos cos sin sin
● sin( ) sin cos cos sin
● 2
2
11 tancos
● sin2 2sin cos
● 2 2cos2 cos sin
5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba
● 2( )f x ax bx c Teme: ( , )T p q ,
2b
pa
, 4D
qa
● 2 0ax bx c Ničli: 1,2 2
b Dx
a
, 2 4D b ac
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
6. Logaritmi
● log xa y x a y ● log logn
a ax n x
● log ( ) log loga a ax y x y ● log
loglog
ab
a
xx
b
● log log loga a ax
x yy
7. Zaporedja
● Aritmetično zaporedje: 1 ( 1)na a n d , 1(2 ( 1) )2nn
s a n d
● Geometrijsko zaporedje: 1
1n
na a q , 1
1
1
n
n
qs a
q
● Navadno obrestovanje: 0nG G o , 0
100
G n po
● Obrestno obrestovanje: 0n
nG G r , 1100
pr
8. Obdelava podatkov (statistika)
● Srednja vrednost (aritmetična sredina): 1 2 ... nx x xx
n
1 1 2 2
1 2
...
...k k
k
f x f x f xx
f f f
9. Odvod
● Odvodi nekaterih elementarnih funkcij:
1
2
( ) , ( )
( ) sin , ( ) cos
( ) cos , ( ) sin
1( ) tan , ( )cos
1( ) ln , ( )
( ) , ( )
n n
x x
f x x f x nx
f x x f x x
f x x f x x
f x x f xx
f x x f xx
f x e f x e
● Pravila za odvajanje:
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
k f x k f x
f x f x g x f x g x
g x g x
f g x f g x g x
10. Kombinatorika in verjetnostni račun
● Permutacije brez ponavljanja: !nP n
● Variacije brez ponavljanja: !( )!
rn
nV
n r
● Variacije s ponavljanjem: ( )p r r
nV n
● Kombinacije brez ponavljanja: !! !( )!
rr nn
V n nCrr r n r
● Verjetnost slučajnega dogodka A : število ugodnih izidov
število vseh izidovm
P An
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
1. Špela je na pravokotni svileni šal naslikala zaporedje enakokrakih trikotnikov, kot kaže skica. Trikotniki imajo višino enako dolžini osnovnice. Osnovnice trikotnikov so na spodnjem robu šala, prvi trikotnik zaporedja ima levo oglišče v levem spodnjem kotu šala.
1.1. Izračunajte ploščino petega trikotnika zaporedja.
(4 točke) 1.2. Izračunajte obseg petega trikotnika zaporedja.
(5 točk) 1.3. Koliko trikotnikov zaporedja lahko Špela nariše na šal, ki je dolg 1 m?
(6 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
1.1 1 ugotovitev, da osnovnica petega trikotnika meri 5 cm
1 ugotovitev, da višina petega trikotnika meri 5 cm
2 izračun ploščine petega trikotnika, npr.:
5 5 1122 2
S
cm2
1* + 1
Skupaj 4
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
1.2 1 uporaba Pitagorovega izreka
2 izračun dolžine kraka petega trikotnika, npr.:
2
2 55 5,592
a cm.
1* + 1
2 izračun obsega petega trikotnika, npr.:
2 5,59 5 16,18o cm
1* + 1
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
1.3 2 ugotovitev, da dolžine osnovnic trikotnikov
sestavljajo aritmetično zaporedje na n
1 + 1
2 ugotovitev, da je vsota dolžin osnovnic m narisanih
trikotnikov manjša od 100, npr.:
1 + 1
1 cm
1 cm
Prvi trikotnik
Drugi trikotnik
Tretji trikotnik
Četrti trikotnik
Peti trikotnik
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
2 1 1 1 1002mm
S m
1 rešitev neenačbe, npr.: 14m
1 odgovor, npr.: Špela lahko na šal nariše 13 trikotnikov.
Skupaj 6 Kandidat dobi 6 točk, če kot odgovor navede katero koli število trikotnikov manjše ali enako 13 in odgovor ustrezno utemelji.
2. Trgovec ima 8 kg kave po 900 tolarjev. Koliko kilogramov kave po 1500 tolarjev mora primešati, da bo mešanica po 1350 tolarjev?
(5 točk)
Rešitev 2. Skupaj 5 točk
Nastavitev enačbe, npr.: (8 )1350 8 900 1500x x ............................................. 2 točki
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Rešitev, npr.: 24x .................................................................................................. 1 točka
Odgovor: Primešati mora 24 kg kave ......................................................................... 1 točka Opomba: Če kandidat pride do pravilne rešitve s sistematičnim poskušanjem, lahko dobi vse
točke.
3. V ogradi so ovce in noji. Koliko ovac in koliko nojev je v ogradi, če smo našteli skupaj 54 glav in 156 nog?
(5 točk)
Rešitev 3. Skupaj 5 točk
Nastavitev enačb, npr.: 54, 4 2 156x y x y ........................................... (1 + 1) 2 točki
Reševanje ................................................................................................................. 1* točka
Rešitev, npr.: 24, y=30 x ....................................................................................... 1 točka
Odgovor: Ovac je 24, nojev 30. .................................................................................. 1 točka
Opombe: 1. Če je vidno sistematično poskušanje, ki je vodilo do pravilnega rezultata in odgovora, dobi kandidat vse točke.
2. Če je rezultat uganjen in preverjen, dobi kandidat največ 3 točke. 3. Če je napisan le pravilen rezultat oz. odgovor brez preverjanja, dobi kandidat 1 točko.
4. Pravilna šeststrana prizma ima dolžino osnovnega roba 6 cm, visoka pa je 8 cm. Prizmo so prevrtali skozi središči osnovnih ploskev. Premer valjaste odprtine je 2 cm.
4.1. Narišite skico prvotne prizme in izračunajte površino te prizme.
(5 točk) 4.2. Izračunajte prostornino prvotne prizme.
(5 točk) 4.3. Za koliko odstotkov je prostornina prevrtanega telesa manjša od prostornine
prvotnega telesa?
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(5 točk)
Rešitev 4. Skupaj 15 točk
4.1. (5 točk)
Skica ........................................................................................................................... 1 točka
Postopek, npr.: 26 3
2 64
aP av ........................................................................... 2* točki
Vstavljeni podatki in izračun:
2 2 2475,061 cm 475,06 cm (ali 475 cm )P ................................................. (1 + 1) 2 točki
4.2. (4 točke)
Postopek, npr.: 23 32prizme
a vV in vstavljeni podatki ....................................... (1 + 1)2 točki
Izračunana prostornina 3 3432 3 cm ( 748,246 cm )prizmeV ...................... (1* + 1) 2 točki
4.3. (6 točk)
Prostornina valja: 2 325,13 cmvV r v ....................................................... (1* + 1) 2 točki
Razmerje: 25,13
0,03358748,25
p ................................................................. (2* + 1) 3 točke
Odgovor: Za 3,36% . ................................................................................................... 1 točka
5. Izračunajte dolžino žice, ki jo potrebujemo za izdelavo žičnega modela kocke z eno telesno
diagonalo, če meri rob kocke 10 cm. Narišite skico kocke.
(5 točk)
Rešitev 5. Skupaj 5 točk
Skica ........................................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Upoštevani robovi, npr.: 12l a .............................................................................. 1 točka
Diagonala: 3 17,3 cmD a ...................................................................... (1* + 1) 2 točki
Rešitev: 137,3 cm ...................................................................................................... 1 točka
6. Dan je enakokraki trapez ABCD z osnovnicama 10 cm, = = 6 cmAB a CD c in kotom
o 60DAB .
6.1. Narišite skico trapeza in izračunajte njegovo ploščino.
(5 točk) 6.2. Izračunajte dolžino diagonale .BD
(3 točke)
6.3. Izračunajte površino in prostornino pokončne 5 cm visoke prizme, ki ima
za osnovno ploskev dani trapez.
(7 točk)
Rešitev 6. Skupaj 15 točk
6.1. (5 točk)
vb
a
a
c
b
A BE
D C
Skica trapeza .............................................................................................................. 1 točka
Določena višina trapeza, npr.: tan 2 3 3,46 cm2Tr
a cv
............... (1* + 1) 2 točki
Izračunana ploščina: 216 3 27,71 cm2 Tr
a cS v
............................... (1* + 1) 2 točki
6.2. (3 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračunana diagonala, npr.: 2 2 2| | | | | | 76
| | 8,72 cm
BD ED EB
BD
......................................................................... (1* + 2) 3 točke
6.3. (7 točk)
Izračunan krak, npr.: | | | | 4 cm2cos
a cAD BC b
............................... (1* + 1) 2 točki
Prostornina prizme: 380 3 138,56 cmV O v ...................................... (1* + 1) 2 točki
Površina prizme: 22 2 2 16 3 24 5 175,43 cmPP O pl O o v ...................... (2* + 1) 3 točke
Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu ne napiše ustreznih enot, izgubi v celoti 1 točko.
7. Dani sta funkciji 3( ) logf x x in ( ) 4.g x x Narišite grafa obeh funkcij v istem koordinatnem
sistemu. S slike odčitajte koordinati njunega presečišča. Rešitev preverite z računom.
(5 točk)
x0 1
1
y
Rešitev 7. Skupaj 5 točk
Narisan graf logaritemske funkcije ................................................................. (1* + 1) 2 točki
Narisana premica ....................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
1
0 1
y
P
Določeno presečišče: 3,1P ..................................................................................... 1 točka
Račun, npr.: 33 log 3 1f in 3 3 4 1g ..................................................... 1 točka
8. Dan je trikotnik ABC s stranicami: 9 cm, 12 cm, 15 cm.a b c
8.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika.
(4 točke) 8.2. Izračunajte največji notranji kot trikotnika.
(4 točke) 8.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, ki ima za osnovno ploskev dani trikotnik,
višina pa je enaka polmeru trikotniku očrtanega kroga.
(7 točk)
Rešitev 8. Skupaj 15 točk
8.1. (4 točke)
Obseg trikotnika: 36 cmo ........................................................................................ 1 točka
Ploščina trikotnika,
npr.: uporaba Heronove formule: 254 cmS ................................................ (2* + 1) 3 točke
8.2. (4 točke)
Izračunan kot o90 .................................................................................... (3* + 1) 4 točke
8.3. (7 točk)
Izračunan polmer: 7,5 cmR ........................................................................ (1* + 1) 2 točki
Izračunana prostornina: 3405 cmV ............................................................ (1* + 1) 2 točki
Površina prizme: 2378 cmP ...................................................................... (1* + 2) 3 točke
Opomba: Če v končnih rešitvah ni enot ali so napačne, kandidat (v celoti) zgubi največ 2 točki.
9. V koordinatnem sistemu narišite premici z enačbama 3 1 0x y in 4y .Izračunajte
koordinati njunega presečišča.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(5 točk)
1
1
0 x
y
Rešitev 9. Skupaj 5 točk
Narisana prva premica .................................................................................. (1*+1) 2 točki
Narisana druga premica .......................................................................................... 1 točka
Nastavljena enačba, npr.: 3 1 4x ali
ugotovitev 4py ................................................................................................... 1 točka
Določena abscisa presečišča 1px ali
zapisano presečišče 1,4P .................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
1
1
0x
P
y
Opomba: Če je presečišče samo odčitano s slike, dobi kandidat 1 točko od zadnjih dveh.
10. V trikotniku ABC s stranico 6 cmc je razmerje kotov : : 2 : 3 : 4 .
10.1. Izračunajte velikosti notranjih kotov trikotnika.
(5 točk)
10.2. Izračunajte dolžini stranic a in b ter ploščino trikotnika.
(7 točk) 10.3. Izračunajte prostornino prizme, če je njena osnovna ploskev trikotnik ABC ,
višina pa meri 6 cm .
(3 točke)
Rešitev 10. Skupaj 15 točk
10.1. (5 točk)
Zapis razmerja, npr.: 2 , 3 , 4t t t ............................................................. 1 točka
Nastavitev enačbe, npr.: 2 3 4 180t t t ......................................................... 1* točka
Rešitev enačbe, npr.: o20t .. ............................................................................... 1 točka
Koti: o o o40 , 60 , 80 ..................................................................... (1*+1) 2 točki
10.2. (7 točk)
Uporaba sinusnega izreka, npr.: sin sina c ................................................. 1 točka
Izračunana dolžina stranice, npr.: 3,9 cma .............................................. (1*+1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračunana dolžina stranice, npr.: 5,3 cmb .............................................. (1*+1) 2 točki
Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 210,2 cmS ....................................... (1*+1) 2 točki
10.3. (3 točke)
Izračunana prostornina prizme, 361cmV S v ......................................................................................... (1*+2) 3 točke
Opomba: Če je prostornina brez enot ali z napačno enoto, kandidat izgubi 1 točko.
11. Poiščite vse ničle polinoma: 3 2( ) 4 4.p x x x x
(5 točk)
Rešitev 11. Skupaj 5 točk
Postopek določanja ničel (Hornerjev algoritem, razcep …) ....................................... 2* točki
Določene ničle: 2, 1, 2 ....................................................................... (1 + 1 + 1) 3 točke
Opomba: Če je postopek le nakazan, kandidat dobi le eno točko od prvih dveh.
12. Osnovna ploskev pokončne piramide ABCDV je pravokotnik s stranicama 60 cmAB a in
80 cm.BC b Stranski rob piramide meri 1,3 m.
12.1. Narišite skico piramide in skicirajte njeno mrežo.
(4 točke) 12.2. Izračunajte prostornino piramide.
(6 točk) 12.3. Izračunajte ploščino stranske ploskve .BCV
(5 točk)
Rešitev 12. Skupaj 15 točk
12.1. (4 točke)
Skica piramide, npr.: ..................................................................................................... 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
A
V
D
C
B
vs
Skicirana mreža, npr.: ...................................................................................... (1* + 1) 2 točki
12.2. (6 točk)
Postopek, npr.: napisan obrazec 3
abvV (tudi
3Sv
V ) ............................................ 1 točka
Izračunana diagonala pravokotnika, npr.: 2 2 1,0 (m)d a b ............................. 1 točka
Izračunana višina piramide, npr.: 2
2 1,2 (m)2d
v s ............................ (1* + 1) 2 točki
Izračunana prostornina: 3 30,192 m (192 dm )V .......................................... (1* + 1) 2 točki
12.3. (5 točk) 1. način:
Npr. izračunana stranska višina: 2
2 1,24 (m)2bb
v s ......................... (1* + 1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Npr. izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )2
bb vS
.............................. (1* + 2) 3 točke
2. način:
Zapis ali uporaba Heronovega obrazca ...................................................................... 1 točka
Izračun polovičnega obsega trikotnika 1,7 m ............................................... (1* + 1) 2 točki
Izračunana ploščina: 2 20,5 m (49,5 dm )S ................................................... (1* + 1) 2 točki
Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.
13. Na skici je osni presek pokončnega valja. Natančno izračunajte površino tega valja.
(4 točke)
Rešitev 13. Skupaj 4 točke
1. možnost:
Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 2 cm, 10 cm r v ............................................ 1 točka
Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 2 2 10P .................. (1* + 1) 2 točki
Rešitev: 248 cmP ................................................................................................ 1 točka
2. možnost:
Zapis ali uporaba podatkov, npr.: 5 cm, v 4 cm r .............................................. 1 točka
Uporaba obrazca z vstavljenimi podatki, npr.: 2 5 5 4P .................... (1* + 1) 2 točki
Rešitev: 290 cmP ................................................................................................ 1 točka
Opomba: Če je rezultat le približen ali brez oziroma z napačno enoto, kandidat ne dobi
zadnje točke.
14. Seštejte vsa naravna števila, manjša od 100, ki so deljiva s 6.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(5 točk)
Rešitev 14. Skupaj 5 točk
Ugotovitev, da gre za vsoto členov aritmetičnega zaporedja ..................................... 1 točka
Zapis (ali uporaba) podatkov: 1 6, 6a d ............................................................... 1 točka
Ugotovitev, da je: 16 n ......................................................................................... 1 točka
Izračunana vsota, npr.: 16 6 962ns ........................................................ (1* + 1) 2 točki
Opomba: Če kandidat napiše vsoto, npr.: 6 12 18 96 816 , dobi vse točke,
če pa napiše le končno rešitev, dobi 1 točko. Če kandidat samo zapiše vsa ustrezna števila, dobi 1 točko.
15. Dana je enačba parabole: 2 6 5.y x x
15.1. Parabolo natančno narišite.
(6 točk) 15.2. Zapišite enačbo premice, ki gre skozi teme parabole in je vzporedna abscisni osi.
(3 točke)
15.3. Izračunajte dolžino daljice, ki jo parabola odreže od premice 3.y
(6 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
x
1
10
Rešitev 15. Skupaj 15 točk
15.1. (6 točk)
Narisana parabola ........................................................................................................ 6 točk Od tega za:
ničli: 1 21, x 5x ............................... 2 točki,
teme: 3, 4T ..................................... 2 točki,
odsek na ordinatni točki: (0) 5f ....... 1 točka,
pravilna oblika ..................................... 1 točka.
Opomba: Za le izračunani ničli dobi kandidat 1 točko, za le izračunano teme dobi kandidat
1 točko.
15.2. (3 točke)
4y ........................................................................................................................ 3 točke
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Opomba: Za enačbo z vstavljenimi podatki ali za skozi teme narisano premico vzporedno osi x
dobi kandidat 2 točki.
15.3. (6 točk)
1. način:
Zapisana enačba, npr.: 2 6 5 3x x .................................................................... 1 točka
Urejena enačba: 2 6 8 0x x ................................................................................ 1 točka
Rešena enačba: 1 22, 4x x .................................................................................... 2 točki
Izračunana razdalja: 2d (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki
2. način:
Narisana premica 3y ............................................................................................ 2 točki
Določeni presečišči (lahko samo abscisi) .................................................................... 2 točki
Izračunana razdalja: 2d (ali 2 cm ) ........................................................................ 2 točki
16. Janez se je odločil varčevati. Na bančni račun je položil 2000000 tolarjev. Letna obrestna mera
je 2 % , pripis obresti leten in obrestovanje obrestno.
16.1. Koliko denarja bo imel Janez po 2 letih?
(5 točk) 16.2. Koliko denarja bo imel skupaj po sedmih letih, če po 2 letih položi
še 1000000 tolarjev?
(4 točke) 16.3. Kolikšna bi morala biti obrestna mera, da bi se začetna vloga podvojila
v 10 letih?
(6 točk)
Rešitev 16. Skupaj 15 točk
16.1. (5 točk)
Zapisan ali upoštevan obrestovalni faktor: 1,02r .................................................... 1 točka
Napisan obrazec, npr.: 0n
nG G r ............................................................................. 1 točka
Vstavljeni podatki in izračun: 2
2 2000000 1,02 2080800G tolarjev ....................................................... (1* + 1) 2 točki
Odgovor: Janez bo imel 2080800 tolarjev ................................................................ 1 točka
16.2. (4 točk)
Upoštevanje stanja po drugem pologu, npr.: 2 3080800G tolarjev ........................ 1 točka
Vstavljeni podatki in izračun: 5
7 3080800 1,02 3401452,14G (ali 3401452 ) tolarja ............................. (1* + 1) 2 točki
Odgovor: Čez 7 let bo imel 3401452,14 (ali 3401452 ) tolarja ................................. 1 točka
16.3. (6 točk)
Obrazec z uporabo podatka, npr.: 100 02G G r ......................................................... 2 točki
Izražen obrestovalni faktor, npr.: 10 2r ali 10 2r ................................................... 2 točki
Izračunana vrednost, npr.: 1,07177r ...................................................................... 1 točka
Odgovor: Obrestna mera je približno 7,2 % . ........................................................... 1* točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
17. Narišite premico 2 3 3 0x y ter določite njeno presečišče z abscisno osjo. Za katere x
poteka premica nad x osjo?
1
1
0 x
y
(5 točk)
Rešitev 17. Skupaj 5 točk
Narisana premica ......................................................................................... (1*+1) 2 točki
1
1
0 x
y
M
Določeno presečišče: 3, 02
x y ali 3,2
0M ......................................... (1*+1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Na intervalu 32
x < ali 3,2
x .......................................................................... 1 točka
18. Rob kocke meri 80 cm . Ostružimo jo v največji možni valj.
18.1. Izračunajte razliko med površino kocke in površino valja.
(7 točk)
18.2. Izračunajte prostornino dobljenega valja. Rezultat zaokrožite na celo število 3dm .
(3 točke) 18.3. Koliko odstotkov prostornine kocke znašajo ostružki?
(5 točk)
Rešitev 18. Skupaj 15 točk
18.1. (7 točk)
Izračunana površina kocke, npr.: 2 26 38400cmkP a ............................. (1*+1) 2 točki
Določena polmer in višina valja (lahko tudi le
uporabljeno pri izračunu): 40 cm, 80 cmr v ..................................................... 2 točki
Izračunana površina valja,
npr.: 22 30159 cmvP r r v (lahko tudi 230144 cm ) .......................... (1*+1) 2 točki
Izračunana razlika 28241cmk vP P (lahko tudi 28256 cm ) ............................... 1 točka
18.2. (3 točke)
Izračunana prostornina valja,
npr.: 2 3402 dmvV r v ........................................................................... (1*+2) 3 točke
18.3. (5 točk)
Izračunana prostornina kocke,
npr.: 3 3512000 cmkV a ......................................................................... (1*+1) 2 točki
Izračunana prostornina ostružkov
npr.: 3110 dmostV ............................................................................................... 1 točka
Izračunan delež ostružkov,
npr.: 21,5 %ost
k
Vp
V ................................................................................. (1*+1) 2 točki
Opozorilo: Tudi napačno računanje deleža med površinama (namesto med prostorninama) da rezultat 21,5 %.
19. Mama je skuhala 124
kg korenja, 334
kg graha in 142
kg krompirja. Mešano zelenjavo je
shranila v vrečke po 34
kg. Najmanj koliko vrečk je potrebovala?
(4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev 19. Skupaj 4 točke
Postopek reševanja, npr.: 1 3 2 12 3 4 104 4 4 2 ........................................... (1* + 1) 2 točki
Deljenje, npr. 1 310 : 142 4
...................................................................................... 1* točka
Odgovor: Potrebovala bo 14 vrečk. ............................................................................ 1 točka
20. Po podatkih na skici izračunajte obseg in ploščino osenčenega lika.
(4 točke)
3 cm
4 cm5 cm
5 cm
4 cm
Rešitev 20. Skupaj 4 točke
Izračunan obseg: 20 cmo (le postopek reševanja 1 točka) ..................................... 2 točki
Izračunana ploščina: 217 cmS (le postopek reševanja 1 točka) ............................. 2 točki
21. Septembra 2000 smo dali za liter kurilnega olja 113,90 tolarja, maja 2004 pa 98,40 tolarja.
a) Za koliko odstotkov je bila cena kurilnega olja maja 2004 nižja od cene septembra 2000?
(5 točk) b) Koliko tolarjev je dala družina septembra 2000 za poln rezervoar kurilnega olja v obliki
kvadra dimenzij in ?2,5 m, 1,2 m 1,5 m Narišite skico rezervoarja.
(5 točk)
c) Ali zadošča 2310 litrov kurilnega olja za ogrevanje od 1. oktobra do 15. marca
naslednjega leta, če je dnevna poraba 15 litrov?
(5 točk)
Rešitev 21. Skupaj 15 točk
21.1. (5 točke)
Računanje razlike ....................................................................................................... 1 točka
Nastavitev, npr.: 15,5
113,9p (števec, imenovalec) ........................................... (1 + 1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev: 0,136p ..................................................................................................... 1 točka
Odgovor: 13,6 %p (14 % ) .................................................................................... 1 točka
Opomba: Če kandidat npr. izračuna, da je nova cena 86,4 % stare, dobi 2 točki.
21.2. (5 točk)
Skica rezervoarja ........................................................................................................ 1 točka
Prostornina rezervoarja: obrazec in vstavljeni podatki, npr.: 3 32,5 1,2 1,5 m 4,5 mV a b c ........................................................................ 1 točka
4500 lV ................................................................................................................... 1 točka
Izračunana vrednost goriva: 512550 tolarjev .......................................................... 1* točka
Odgovor .................................................................................................................... 1* točka 21.3. (5 točk)
Npr.:izračunano število dni (154 ) ................................................................... (1* + 1) 2 točki
Določeno število dni po koledarju: 165 ali 166 ali 167 ................................ (1* + 1) 2 točki
Odgovor: Ta količina kurilnega olja ne zadošča. ........................................................ 1 točka
22. Na skici je trikotnik .ABC
A
C
B
105°
12 cm
16 cm
22.1. Izračunajte dolžino stranice b AC in kot a . Velikost kota zapišite v
stopinjah in minutah.
(6 točk)
22.2. Izračunajte ploščino trikotnika. Rezultat zaokrožite na 2cm natančno.
(4 točke) 22.3. Izračunajte površino in prostornino prizme, katere osnovna ploskev je dani trikotnik,
njena višina pa 1 m.
(5 točk)
Rešitev 22. Skupaj 15 točk
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
22.1. (6 točk)
Izračunana stranica, npr. z uporabo kosinusovega izreka: 2 2 2 2 499,3865b c a a c cos , 22,35 cm b ( 22 cm ) ....................... (1 + 1) 2 točki
Računan kot, npr.: 2 2 2 499,3865 256 144
cos 0,854962 2 22,35 16
b c ab c
............................... (2* + 1) 3 točke
Na minuto zaokrožena velikost kota: o31 15́ ( o31 14́ ) ....................................... 1* točka
22.2. (4 točke)
Katerakoli pravilna formula za ploščino trikotnika ...................................................... 1 točka
Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka
Ploščina trikotnika, npr.: 292,728 cmS .................................................................. 1 točka
Zaokrožena vrednost: 293 cmS ........................................................................... 1* točka
22.3. (5 točk)
Upoštevanje: 1 m 100 cmv ................................................................................. 1 točka
Izračunana prostornina prizme: 39300 9273 cmV .................................. (1* + 1) 2 točki
Izračunana površina prizme: ali 25219 (5220 5221) cmP .......................... (1* + 1) 2 točki
Opomba: Če kandidat pri nobenem rezultatu nima enot ali so enote napačne, izgubi v celoti 1 točko.
23. Dani sta enačbi parabole 21 32 2
y x x in premice 32
y x .
a) Parabolo in premico natančno narišite v dani koordinatni sistem.
(8 točk) b) Izračunajte abscisi presečišč parabole in premice.
(4 točke) c) Za katere x leži premica nad parabolo?
(3 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
x
1
10
Rešitev 23. Skupaj 15 točk
23.1. (8 točk)
Narisana parabola (ničli, teme, začetna vrednost, oblika) ................... (2 + 2 + 1 + 1) 6 točk
Narisana premica ........................................................................................................ 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Opomba: Samo izračunani ničli: 1 21, 3x x ............... 1 točka.
Samo izračunani koordinati temena (1, 2)T ... 1 točka.
23.2. (4 točke)
Nastavek, npr.: 21 3 32 2 2
x x x ........................................................................... 1 točka
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Rešitev enačbe: 1 20, 4x x ......................................................................... (1 + 1) 2 točki
Opomba: Če kandidat "pokvari" rezultat z napačnimi ordinatami presečišč, to toleriramo. 23.3. (3 točke)
Nastavitev neenačbe, npr.: 23 1 32 2 2
x x x ......................................................... 1 točka
Reševanje ................................................................................................................. 1* točka
Odgovor: Na intervalu 0,4 (ali 0 4x ) ............................................................... 1 točka
Opomba: Če kandidat prebere rešitev s slike, dobi vse 3 točke.
24. Dana je parabola 2 2 3y x x . Izračunajte koordinati temena in koordinate presečišč s
koordinatnima osema. Parabolo narišite.
(5 točk)
y
x0
1
1
Rešitev 24. Skupaj 5 točk
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračunani ničli: 1 23, 1x x ................................................................................... 1 točka
Napisano presečišče z osjo y : 0, 3N ................................................................... 1 točka
Izračunani koordinati temena: ( 1, 4)T ..................................................................... 1 točka
y
x0
1
1
T
Narisana parabola:
graf poteka skozi značilne točke, pravilna oblika ............................................. (1 + 1) 2 točki
25. Dan je krog s polmerom 12 cm.
25.1. Izračunajte središčni kot, ki pripada 4 cm dolgi tetivi. Narišite skico.
(4 točke)
25.2. 73 % kroga je pobarvano z rdečo barvo. Koliko 2cm meri pobarvani del kroga?
(6 točk) 25.3. Izračunajte obseg in ploščino kvadrata, ki je krogu očrtan.
(5 točk)
Rešitev 25. Skupaj 15 točk
25.1. (6 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
S
r r
t
Skica s tetivo in označenim središčnim kotom ................................................. (1 + 1) 2 točki
Postopek računanja kota, npr.: 2sin2
t
r ................................................................. 1 točka
Vstavljeni podatki, npr.: 1sin
2 6 ............................................................................. 1 točka
Izračun, npr.: o9 36'2
............................................................................................. 1 točka
Rešitev: o19 11' (ali o19,18 ) ................................................................................. 1 točka
25.2. (4 točke)
Ploščina kroga: 2144 452,39 cmS .................................................................. 1 točka
Ploščina pobarvanega dela, npr. 1 0,73S S ........................................................... 1 točka
Vstavljen podatek za S ............................................................................................. 1* točka
Rešitev: 21 330 cmS ................................................................................................ 1 točka
25.3. (5 točk)
2a r
Ugotovitev, da je stranica kvadrata 24 cm ................................................................ 1 točka
Izračunan obseg: 4 96 cmo a ..................................................................... (1 +1) 2 točki
Izračunana ploščina: 2 2576 cmS a ............................................................ (1 +1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
26. Iz zlate palice v obliki kvadra z robovi 10 cm , 5 cm in 4 cm izdelujejo obeske v obliki krogle s
premerom 0,4 cm (krogle so polne). Največ koliko obeskov lahko naredijo iz ene takšne palice?
(5 točk)
Rešitev 26. Skupaj 5 točk
Izračunana prostornina krogle: 3
34 0,0335 cm3kr
V
.............................. (1* + 1) 2 točki
Izračunana prostornina palice: 3200 cmpV abc .................................................. 1 točka
Izračunano število: : 5970p kn V V ..................................................................... 1* točka
Odgovor: Naredijo lahko največ 5970 obeskov. ....................................................... 1 točka
Opomba: Upoštevajte vse rezultate, ki nastanejo s pravilnimi zaokroževanji.
27. Dana sta polinoma 3 2 6p x x x x in 2 4q x x .
27.1. Delite polinom p x s polinomom q x in zapišite količnik in ostanek.
(6 točk) 27.2. Izračunajte skupno ničlo obeh polinomov.
(5 točk)
27.3. Izračunajte vrednost izraza 2 1 3p q .
(4 točke)
Rešitev 27. Skupaj 15 točk
27.1. (6 točk)
Postopek deljenja ............................................................................................. (1 + 1) 2 točki (Opomba: Kandidat dobi 1 točko, če je postopek le pravilno začel.)
Pravilno izračunan količnik in ostanek .............................................................. (1 + 1) 2 točki
Zapisan količnik ( ) 1k x x in ostanek ( ) 2 4r x x ................................... (1 + 1) 2 točki
27.2. (5 točk)
1. način:
Ničle polinoma ( )p x : 2, 0, 3 (samo razcep 1 točka) ............................................... 2 točki
Ničle polinoma ( )q x : 2, 2 (samo razcep 1 točka) .................................................... 2 točki
Skupna ničla: 2x .................................................................................................. 1 točka
2. način:
Zapis: 3 2 26 4x x x x (ali ( ) ( )p x q x ) ............................................................... 1 točka
Urejanje enačbe: 3 22 6 4 0x x x ....................................................................... 1 točka
Reševanje enačbe ...................................................................................................... 1 točka
Rešitev: 1 2x (lahko še 2 2 2x in 3 2 2x ) ............................................. 1 točka
Ugotovitev, da je 1 2x skupna ničla polinomov ..................................................... 1 točka
Opomba: Za uganjeno in nepreverjeno rešitev dobi kandidat le zadnjo točko, za uganjeno in preverjeno (ne izračunano) rešitev, dobi 3 točke.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
27.3. (4 točke)
Vstavljene vrednosti, npr.: 3 2 22 1 1 6 1 3 4 .................................. 1 točka
Vrednosti: 2 4 5 ........................................................................................... (1 + 1) 2 točki
Rešitev: 13 ................................................................................................................. 1 točka
28. V ravnini je trikotnik ABC s podatki: o36 cm, 44 cm, 84a b .
28.1. Izračunajte dolžino stranice c na centimeter natančno.
(4 točke) 28.2. Izračunajte velikost kota na stopinjo natančno.
(4 točke) 28.3. Izračunajte ploščino trikotnika in ploščino trikotniku včrtanega kroga.
(7 točk)
Rešitev 28. Skupaj 15 točk
28.1. (4 točke)
Pravilna formula, npr.: 2 2 2 2 cosc a b ab .......................................................... 1 točka
Vstavljene vrednosti, npr.: 2 2 2 o36 44 2 36 44 cos84c .................................. 1 točka
Računanje ( ali2 2900,85 c 53,86c ) .................................................................. 1* točka
Rezultat: 54 cmc .................................................................................................... 1 točka
28.2. (4 točke)
Pravilna formula, npr.: sin
sina
c
......................................................................... 1 točka
Vstavljene vrednosti ................................................................................................... 1 točka
Računanje ( ali osin 0,6647 41,66 ) ................................................................ 1 točka
Rezultat: o42 ....................................................................................................... 1 točka
28.3. (7 točk)
1. način:
Ploščina trikotnika: o
2sin 36 44 sin84 787,66 cm2 2
abS
............................................. (1 + 1 + 1) 3 točke
Polmer včrtanega kroga: 11,77 cmSr
s ................................................... (1 + 1*) 2 točki
Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2435,10 cmS r .......................... (1 + 1*) 2 točki
2. način:
Ploščina trikotnika: ( )( )( )S s s a s b s c ............................................................ 1 točka
Vstavljeni podatki ...................................................................................................... 1* točka
2788,05 cmS ........................................................................................................ 1* točka
Polmer včrtanega kroga: 11,76 cmSr
s ................................................... (1 + 1*) 2 točki
Ploščina trikotniku včrtanega kroga: 2 2434,47 cmS r .......................... (1 + 1*) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Opomba: Kandidat dobi vse točke za izračun polmera in ploščine, če je računal z zaokroženimi
podatki in dobil npr.: 211,76 cm; 434,25 cm .r S
Opomba: Če kandidat nikjer ne zapiše enot ali zapiše napačne enote, v celoti izgubi 1 točko.
29. Dani so prvi štirje členi aritmetičnega zaporedja: 4, 1, 2, 5.
29.1. Zapišite naslednja dva člena tega zaporedja in dvajseti člen.
(5 točk) 29.2. Kolikšna je vsota prvih trideset členov tega zaporedja?
(4 točke) 29.3. Od vključno katerega člena naprej so vsi členi večji od 100?
(6 točk)
Rešitev 29. Skupaj 15 točk
29.1. (5 točk)
Nadaljevanje zaporedja: 8,11 ...................................................................... (1 + 1) 2 točki
Dvajseti člen: 20 1 19 4 19 3 53a a d ....................................... (1 + 1 + 1) 3 točke
Opomba: Če je kandidat določil 20. člen s preštevanjem členov, dobi vse točke. 29.2. (4 točke)
Izračunana vsota, npr.: 3030 2 4 29 3 11852
s ........................ (1 + 1 + 1) 3 točke
Odgovor: Vsota je 1185. ............................................................................................ 1 točka
Opomba: Če je kandidat določil vsoto s preštevanjem členov, dobi vse točke. Samo za formulo vsota n-členov dobi 1 točko.
29.3. (6 točk)
Zapis pogoja, npr.: ali1 n1 100 a 100a n d (lahko tudi enačaj) ..................... 2 točki
Upoštevani podatki, npr.: 4 1 3 100n (lahko tudi enačaj) .............................. 1 točka
Računanje ................................................................................................................... 1 točka
Izračun, npr.: 35,66n (ali enačaj) ........................................................................... 1 točka
Odgovor: Od vključno 36. člena naprej so vsi členi večji od 100. ............................. 1 točka
Opomba: Če kandidat le izračuna 36. člen in pravilno zapiše odgovor, dobi vse točke.
30. Polmer pokončnega stožca meri ,3 cm stranica stožca pa .5 cm Skicirajte stožec in označite
osni presek. Izračunajte ploščino osnega preseka.
(5 točk)
Rešitev 30. Skupaj 5 točk
Skica stožca (tudi brez označenega osnega preseka) ............................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
1. način:
Izračunana višina: 2 2 ,v s r 4 cmv ....................................................... (1 + 1) 2 točki
Izračunana ploščina: 212 cmS (formula + izračun) ....................................... (1 + 1) 2 točki
2. način:
Uporaba oziroma zapis Heronovega obrazca ............................................................ 1 točka
Izračun oziroma upoštevanje 8s (polovica obsega) ............................................... 1 točka
Upoštevani podatki ..................................................................................................... 1 točka
Rešitev: 212 cmS ................................................................................................... 1 točka
31. Zapišite enačbo kvadratne funkcije, katere graf seka abscisno os pri 1 21 in 3,x x ordinatno
os pa v točki 30,2
A .
(5 točk)
Rešitev 31. Skupaj 5 točk
1. način:
Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka
Upoštevanje ničel, npr.: 1 3 0a x x ............................................................... 1 točka
Upoštevanje točke A, npr.: 30 1 0 32
a .......................................................... 1 točka
Izračunan koeficient: 12
a ..................................................................................... 1 točka
Rešitev, npr.: 1( ) 1 32
f x x x ........................................................................ 1 točka
2. način:
Zapisana katerakoli oblika kvadratne funkcije ............................................................ 1 točka
Zapis sistema enačb, npr.:
0
9 3 0
30 02
a b c
a b c
c
.................................................................. 1 točka
Reševanje sistema enačb ........................................................................................ 1* točka
Rešitev sistema: 1 3, 1,2 2
a b c .......................................................................... 1 točka
Rešitev: 21 3( )2 2
f x x x ..................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
32. Janez in Meta sta mož in žena. Janez na mesec zasluži 980 evrov, Meta pa 1050 evrov.
32.1. Za koliko odstotkov je Metina plača večja od Janezove?
(5 točk)
32.2. Izračunajte, koliko denarja ostane Janezu, če da vsak mesec 5 % plače sinu in
4 % hčeri.
(4 točke)
32.3. Kdo bi imel večjo plačo in za koliko evrov, če bi se Janezova plača povečala za 15 % ,
Metina pa za 8 %?
(6 točk)
Rešitev 32. Skupaj 15 točk
32.1. (5 točk)
Ugotovljena oziroma uporabljena osnova: 980 ......................................................... 1 točka
Ugotovljen oziroma uporabljen delež, npr.: 70 ......................................................... 1 točka
Izračunano razmerje, npr.: 70 0,0714980
p ........................................................ 1 točka
Razmerje izraženo v odstotkih: 7,14 %p . ........................................................... 1* točka
Odgovor, npr.: Metina plača je večja za 7,14 % . ..................................................... 1* točka
32.2. (4 točke)
1. način:
Vsota odstotkov .......................................................................................................... 1 točka
Zapis in izračun deleža, npr.: 9 % od 980 88,2 ........................................... (1 + 1) 2 točki
Izračunana razlika: 891,8 evra. .................................................................................. 1 točka
2. način:
hči dobi 39,2 evra ....................................................................................................... 1 točka
sin dobi 49 evrov ....................................................................................................... 1 točka
skupaj dobita 88,2 evra .............................................................................................. 1 točka
Janezu ostane 891,8 evra .......................................................................................... 1 točka
32.3. (6 točk)
Izračunana povečana Janezova plača: 1127 evrov ...................................... (1* + 1) 2 točki
Izračunana povečana Metina plača: 1134 evrov ........................................... (1* + 1) 2 točki
Izračunana razlika: 7 ................................................................................................. 1 točka
Odgovor, npr.: Meta bi imela 7 evrov večjo plačo. .................................................. 1* točka
Opomba: Upoštevajo se vsi pravilno zaokroženi rezultati.
33. Dani sta funkciji ( ) 2 3f x x in ( ) 5 .g x x
33.1. V isti koordinatni sistem natančno narišite grafa obeh funkcij.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(5 točk)
33.2. Izračunajte ostri kot, ki ga oklepata grafa funkcij ( )f x in ( ).g x
Izračunani kot zapišite na stotinko stopinje natančno.
(6 točk)
33.3. Izračunajte, pri katerem x ima funkcija ( )f x za 10 večjo vrednost od funkcije ( ).g x
(4 točke)
x
y
1
1
0
Rešitev 33. Skupaj 15 točk
33.1. (5 točk)
graf funkcije ( )f x ......................................................................................................... 2 točki
graf funkcije ( )g x ........................................................................................................ 2 točki
natančnost obeh grafov .............................................................................................. 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
33.2. (6 točk)
Zapisana oziroma uporabljena smerna koeficienta: 1 22, 1k k ................ (1 + 1) 2 točki
Uporabljen obrazec, npr.: 2 1
1 2
tan1
k k
k k
.............................................................. 1 točka
Vstavljene vrednosti in izračunana vrednost, npr.:
1 2tan 31 2 1
................ 1 točka
Izračunan kot, npr.: o71,565 ................................................................................ 1 točka
Rešitev: o71,57 (enota je obvezna) ..................................................................... 1 točka
33.3. (4 točke)
Zapisana enakost, npr.: ( ) 10 ( )f x g x ................................................................... 1 točka
Nastavljena enačba, npr.: 2 3 10 5x x ............................................................. 1 točka
Reševanje enačbe ...................................................................................................... 1 točka
Rešitev: 6x ............................................................................................................ 1 točka
34. Tone je za 2,5 kg banan in 1 kg mandarin plačal 4 evre, Jože pa je v isti trgovini za 1 kg banan
in 3 kg mandarin dal 5,5 evra. Koliko stane kilogram banan in koliko kilogram mandarin v tej
trgovini?
(5 točk)
Rešitev 34. Skupaj 5 točk
Napisan sistem enačb, npr.: 2,5 4, 3 5,5x y x y .............................................. 1 točka
Reševanje sistema ................................................................................................... 1* točka
Rešitev: 1, 1,5x y ....................................................................................... (1 + 1) 2 točki
Odgovor, npr.: 1 kg banan stane 1 evro, mandarin pa 1,5 evra. .............................. 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Opomba: Če kandidat rešitev ugane, dobi 1 točko. Če kandidat rešitev ugane in preveri njeno pravilnost, dobi vse točke.
35. Dani sta parabola 2 2 2y x x in premica 2 1.y x
35.1. Izračunajte koordinate presečišč parabole in premice.
(5 točk) 35.2. Parabolo in premico natančno narišite v isti koordinatni sistem.
(6 točk) 35.3. Izračunajte kot, ki ga premica oklepa z abscisno osjo.
Kot zapišite v stopinjah in minutah.
(4 točke)
x
y
1
1
0
Rešitev 35. Skupaj 15 točk
35.1. (5 točk)
Nastavitev enačbe, npr.: 2 2 2 2 1x x x ............................................................. 1 točka
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Rešitev enačbe: 1 21, 3x x .......................................................................... (1 + 1) 2 točki
Izračunani ordinati: 1 21, 5y y ............................................................................... 1 točka
35.2. (6 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Narisana parabola s temenom (1,1)T , odsekom 2 na ordinatni osi
in pravilne oblike ....................................................................................... (1 + 1 + 2) 4 točke
Opomba: Samo za izračun temena in odseka na ordinatni osi dobi kandidat (1 + 1) 2 točki.
Narisana premica ........................................................................................................ 2 točki
35.3. (4 točke)
Uporaba zveze: tan 2 .......................................................................................... 2 točki
(Samo tan k le 1 točka.)
Izračunana velikost kota: o63,4349 .................................................................... 1 točka
Rešitev zapisana v stopinjah in minutah, npr.: o63 26' ....................................... 1 točka
36. Na skici je pravokotni trikotnik. Izračunajte stranice trikotnika.
x
x + 3x – 3
(5 točk)
Rešitev 36. Skupaj 5 točk
Nastavljena enačba, npr.: 2 223 3x x x ....................................................... 2 točki
Opomba: Samo Pitagorov izrek 1 točka.
Urejena enačba, npr.: 2 12 0x x ........................................................................... 1* točka
Rešitev enačbe: 1 20, 12x x ................................................................................. 1 točka
Stranice: 9,12,15 ....................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
37. Na eno decimalno mesto natančno izračunajte ploščino osenčenega lika na skici.
10 cm
10 c
m10 cm
10 cm
10 cm
(5 točk)
Rešitev 37. Skupaj 5 točk
Izračunana ploščina kvadrata: 21 100 (cm )S .......................................................... 1 točka
Izračunana ploščina trikotnika, npr.: 2
22
343,30 (cm )
4a
S ..................... (1* + 1) 2 točki
Razlika ploščin: 1 2S S ............................................................................................ 1* točka
Rešitev: 256,7 (cm )S ............................................................................................. 1 točka
Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot ali če so enote napačno zapisane, v celoti izgubi 1 točko.
38. Pravokotnik s stranicama 10 cm in 4 cm zavrtimo okrog daljše stranice za o360 .
38.1. Narišite skico in izračunajte površino nastalega valja na 2mm natančno.
(6 točk) 38.2. Izračunajte dolžino najdaljše toge palice, ki bi jo še skrili v ta valj.
(4 točke) 38.3. Kolikšen kot oklepa ta palica z osnovno ploskvijo valja? Kot označite na skici.
(5 točk)
Rešitev 38. Skupaj 15 točk
38.1. (6 točk)
Skica valja ................................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
b r
a v
Ugotovitev: 4 cm, 10 cmr v ...................................................................... (1 + 1) 2 točki
Postopek, npr.: 2P r r v ................................................................................. 1* točka
Izračun: 22 4 4 10 351,86 cmP ( 235186 mm ) ............................. (1* + 1) 2 točki
38.2. (4 točke)
Uporaba Pitagorovega izreka ..................................................................................... 1* točki
Vstavljeni podatki ........................................................................................................ 1 točka
Računanje z rešitvijo: 164 12,8 cmd ................................................... (1* + 1) 2 točki
38.3. (5 točk)
Na skici označen kot ................................................................................................... 1 točka Opomba: Zadošča ena skica z narisanimi podatki.
r
v
d
Uporaba kotne funkcije, npr.: tan2vr
.................................................................... 1 točka
Izračun, npr.: 10tan = 1,258
........................................................................ (1* + 1) 2 točki
Rešitev: o51,34 .................................................................................................... 1 točka
39. Enaki pravokotni deščici s širino 12 cm oklepata kot o35 (glejte sliko). Izračunajte ploščino
osenčenega romba.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
35
12 cm
(5 točk)
Rešitev 39. Skupaj 5 točk
Ugotovitev, da je višina romba 12 cmv ali da je kot o35 ................................. 1 točka
Uporaba kotne funkcije, npr.: o 12sin35a
................................................................ 1 točka
Stranica romba: o
12 cmsin35
a ali 20,92 cma .................................................... 1 točka
Uporaba formule za ploščino romba ........................................................................ 1* točka
Izračunana ploščina romba, npr.: 2251,06 cmS .................................................... 1 točka
40. Izračunajte ničle polinoma 3 2( ) 5 7 3p x x x x .
(5 točk)
Rešitev 40. Skupaj 5 točk
Izračun prve ničle, npr.: 1 1x ....................................................................... (1* + 1) 2 točki
Zapis ali uporaba kvadratne enačbe, npr.: 2 4 3 0x x ........................................ 1 točka
Izračun preostalih ničel, npr.: 2 1x in 3 3x ................................................. (1 + 1) 2 točki
Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko za uporabo ustreznega postopka za iskanje ničel.
41. Dolžine stranic trikotnika predstavljajo prve tri člene aritmetičnega zaporedja. Obseg tega trikotnika meri 21 cm, najkrajša stranica pa 4 cm. Izračunajte dolžine stranic trikotnika.
(5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev 41. Skupaj 5 točk
Uporaba formule za splošni člen: 1 2 34, 4 , 4 2a a d a d ............................... 1 točka
Zapis enačbe, npr.: 1 2 3 21a a a .......................................................................... 1 točka
Poenostavitev enačbe, npr.: 12 3 21d .................................................................. 1 točka
Izračun diference: 3d ............................................................................................. 1 točka
Rešitev: 1 2 34 cm, 7 cm, 10 cma a a ................................................................ 1 točka
Opomba: Če kandidat napiše samo pravilne dolžine stranic trikotnika in diferenco, dobi skupaj 4 točke.
42. Dani sta kvadratni funkciji 21( )2
f x x in 2( ) 3g x x x .
42.1. Narišite grafa obeh funkcij v dani koordinatni sistem.
(6 točk) 42.2. Izračunajte presečišči grafov danih funkcij.
(6 točk)
42.3. Izračunajte 2 1f g .
(3 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
x
1
10
Rešitev 42. Skupaj 15 točk
42.1. (6 točk)
Narisan graf funkcije f .............................................................................................. 3 točke
Narisan graf funkcije g .............................................................................................. 3 točke
Opomba: Kandidat dobi 1 točko za ničli, 1 točko za teme in 1 točko za obliko.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
x
1
10
42.2. (6 točk)
Zapis enačbe, npr.: 2 21 32
x x x ........................................................................... 1 točka
Reševanje enačbe, npr.: 2 2 0x x ....................................................................... 1* točka
Izračunani abscisi presečišč: 1 0x in 2 2x ............................................... (1 + 1) 2 točki
Zapis presečišč: 1 0,0P in 2 2,2P .............................................................. (1 + 1) 2 točki
Opomba: Kandidat dobi vse točke, tudi če presečišči prebere iz preglednic.
42.3. (3 točke)
Izračun: 2 2f ....................................................................................................... 1 točka
Izračun: 1 2g ...................................................................................................... 1 točka
Izračun: 2 1 0f g .......................................................................................... 1 točka
43. Iz valja in stožca sestavimo telo na sliki. Kot pri vrhu osnega preseka stožca meri o44 .
44
11 cm
9 cm
43.1. Izračunajte višino telesa.
(5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
43.2. Izračunajte polmer osnovne ploskve valja.
(3 točke) 43.3. Izračunajte površino in prostornino telesa.
(7 točk)
Rešitev 43. Skupaj 15 točk
43.1. (5 točk)
Zapis enačbe: ocos22
11sv
............................................................................. (1 + 1) 2 točki
Opomba: Kandidat dobi prvo točko, če uporabi lastnosti pravokotnega trikotnika
s kotom o22 .
Izražena višina stožca, npr.: o11 cos22sv ............................................................. 1 točka
Izračun višine stožca, npr.: 10,20 cmsv ................................................................. 1 točka
Izračun višine telesa, npr.: 19,20 cmv ................................................................. 1* točka
43.2. (3 točke)
Zapis enačbe: osin2211r
........................................................................................ 1 točka
Izražen polmer, npr.: o11 sin22r ........................................................................... 1 točka
Izračun polmera osnovne ploskve, npr.: 4,12 cmr ................................................ 1 točka
43.3. (7 točk)
Izračun prostornine valja, npr.: 3479,94 cmvV ..................................................... 1* točka
Izračun prostornine stožca, npr.: 3181,31 cmsV ................................................... 1* točka
Izračun prostornine telesa, npr.: 3661,25 cmV .................................................... 1* točka
Izračun površine valja, npr.: 22 339,63 cmvP r r v ...................................... 1* točka
Izračun površine stožca, npr.: 2195,70 cmsP r r s ..................................... 1* točka
Ugotovitev, da je treba odšteti dvakratnik ploščine osnovne ploskve ........................ 1 točka
Izračun površine telesa, npr.: 2428,68 cmP ........................................................ 1* točka
Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, v celoti izgubi 1 točko.
44. Cena kilograma solate se je v enem letu gibala, kakor prikazuje razpredelnica:
Mesec jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec.
Cena za kg solate [€]
4,50 4,50 3,00 3,00 1,20 1,20 0,60 0,60 0,60 1,10 1,10 3,20
44.1. Izračunajte povprečno ceno kilograma solate od januarja do decembra.
(3 točke) 44.2. Za koliko odstotkov je povprečna cena kilograma solate nižja od najvišje cene?
(5 točk) 44.3. Izračunajte zaslužek od prodane solate v celotnem letu, če mesečno prodajo prikazuje
naslednji diagram:
(7 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
50
250
150
350
450
400
300
200
100
jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec.
količina
[kg]
meseci
Rešitev 44. Skupaj 15 točk
44.1. (3 točke)
Pravilno seštete vrednosti: 24,6 evra ........................................................................ 1 točka
Zapis, npr.: 24,6
12x ................................................................................................. 1 točka
Izračun: 2,05x evra ............................................................................................... 1 točka
44.2. (5 točk)
Največja vrednost: 4,50 evra ..................................................................................... 1 točka
Zapis, npr.: 100M
M
x xp
x
.......................................................................... (1* + 1) 2 točki
Opomba: Števec ulomka 1* točka, imenovalec ulomka 1 točka.
Rezultat: 54,4 %p ................................................................................................. 1 točka
Odgovor: Povprečna cena kilograma solate je za 54,4 % nižja od najvišje cene. ... 1 točka
44.3. (7 točk)
Pravilno prebrane vrednosti v posameznem mesecu ................................................ 3 točke
Opomba: Kandidat dobi 1 točko za vsake 4 pravilno prebrane vrednosti.
Upoštevanje cene za posamezno količino ................................................................. 3 točke
Rezultat: 7290 evrov ................................................................................................. 1 točka
Mesec jan. feb. mar. apr. maj jun. jul. avg. sep. okt. nov. dec. skupaj
količina [kg]
300 250 300 350 250 400 450 300 300 250 200 300 3650
zaslužek [€]
1350 1125 900 1050 300 480 270 180 180 275 220 960 7290
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
45. Dano je zaporedje 20 3na n . Izračunajte vsoto vseh pozitivnih členov zaporedja.
(4 točke)
Rešitev 45. Skupaj 4 točke
Ugotovitev, da je šest členov pozitivnih .......................................................... (1* + 1) 2 točki
Zapis, npr.: 6 17 14 11 8 5 2s .................................................................... 1* točka
Rezultat: s =6
57 ....................................................................................................... 1 točka
46. Kvadratu s stranico 7 cm odrežemo enakokraki pravokotni trikotnik s krakoma 4 cm (glejte sliko). Izračunajte obseg tako nastalega petkotnika.
(4 točke)
Rešitev 46. Skupaj 4 točke
Uporaba Pitagorovega izreka za izračun hipotenuze pravokotnega trikotnika,
npr.: 2 2 24 4x ........................................................................................................ 1 točka
Izračun, npr.: 4 2 cmx .......................................................................................... 1 točka
Ugotovitev, da so preostale stranice dolge 3 cm , 3 cm , 7 cm , 7 cm ..................... 1 točka
Izračun obsega, npr.: 7 7 3 3 4 2 20 4 2 cmo ................................... 1* točka
Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.
47. Podjetje je načrtovalo, da bo imelo v prvi tretjini leta povprečni mesečni dohodek 55000 evrov.
Januarja je ustvarilo 45500 evrov dohodka, februarja 58000 evrov dohodka, marca pa tri četrtine
februarskega dohodka. Aprilski dohodek je bil ravno tolikšen, da je bil načrt podjetja dosežen.
47.1. Izračunajte, kolikšen je bil aprilski dohodek podjetja.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(7 točk) 47.2. S histogramom prikažite mesečni dohodek podjetja za prve štiri mesece leta.
(4 točke) 47.3. Koliko odstotkov od celotnega dohodka v prvi tretjini leta je podjetje ustvarilo februarja?
(4 točke)
Rešitev 47. Skupaj 15 točk
47.1. (7 točk)
Izračun dohodka v marcu, npr.: 3 od 58000 435004
evrov ........................... (1 + 1) 2 točki
Zapis enačbe, npr.: 45500 58000 43500 550004
x ............................. (1* + 1) 2 točki
Preoblikovanje enačbe, npr.: 147000 220000x ...................................... (1* + 1) 2 točki
Rešitev: 73000x evrov ........................................................................................... 1 točka
47.2. (4 točke)
Prikaz s histogramom ................................................................................................. 4 točke
meseci
v letu
mesečnidohodekv evrih
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
januar februar marec april
Opomba: Kandidat dobi za pravilno označeni osi z enotami in vrednostmi 2 točki, za dva pravilna stolpca pa 1 točko.
47.3. (4 točke)
Zapis, npr.: 58000 100220000
............................................................................... (1* + 1) 2 točki
Rešitev, npr.: 26,4 % ................................................................................................ 1 točka
Odgovor: Februarja je podjetje ustvarilo 26,4 % dohodka v prvi tretjini leta. ............ 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
48. Navpični zid je visok 4,8 m. Matej ima 5,2 m dolgo lestev. Pod kakšnim kotom glede na ravna
tla jo mora položiti, da bo z njo dosegel natanko vrh zidu? Narišite skico.
(4 točke)
Rešitev 48. Skupaj 4 točke
Skica ........................................................................................................................... 1 točka
Uporaba kotne funkcije, npr.: 4,8
sin5,2
.................................................................. 1 točka
Izračun, npr.: o o67,4 tudi 112,6 .............................................................. 1* točka
Odgovor: Matej mora položiti lestev pod kotom o67,4 . ............................................ 1* točka
Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.
49. V kinodvorani so v maju predvajali pet filmskih predstav. Strukturni krog prikazuje delež gledalcev posamezne predstave glede na skupno število gledalcev v kinodvorani v maju. Najbolj obiskano predstavo si je ogledalo 1768 ljudi.
Beli pesek
34 %
Dan v življenju
12 %
Ko se zdani Pariz
8 %
Kocka 3
28 %
49.1. Izpolnite spodnjo preglednico.
Naslov filmske predstave
Relativna frekvenca Absolutna frekvenca
Beli pesek
Kocka 3
Ko se zdani
Dan v življenju
Pariz
(8 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
49.2. Koliko je bilo vseh gledalcev v maju? Koliko je bilo gledalcev, ki so si ogledali 3 najmanj obiskane predstave v kinodvorani v maju?
(4 točke)
49.3. Cena vstopnice je 5 evrov. Izračunajte, koliko evrov več so zaslužili z najbolj obiskano predstavo v primerjavi z najmanj obiskano.
(3 točke)
Rešitev 49. Skupaj 15 točk
49.1. (8 točk)
Izračunana in v preglednico vpisana relativna frekvenca filma Ko se zdani ............... 2 točki
V preglednico vpisane relativne frekvence 34, 28, 12, 8 ............................................. 1 točka
Izračunane in v preglednico vpisane absolutne frekvence:
1768, 1456, 936, 624, 416 ............................................................... (1 + 1 + 1 + 1 + 1) 5 točk
Opomba: Kandidat v celoti izgubi 1 točko, če so vrednosti pravilno izračunane, niso pa vpisane v preglednico.
49.2. (4 točke)
Izračun: 1768 1456 936 624 416 5200 ........................................................ 1 točka
Izračun: 416 624 936 1976 ................................................................................ 1 točka
Odgovor: V maju je bilo v kinodvorani 5200 gledalcev. Tri najmanj
obiskane predstave si je ogledalo 1976 gledalcev. ......................................... (1 + 1) 2 točki
49.3. (3 točke)
Zaslužek z vstopnicami za najbolj obiskano predstavo – Beli pesek: 8840 evrov ..... 1 točka
Zaslužek z vstopnicami za najmanj obiskano predstavo – Pariz: 2080 evrov ........... 1 točka
Razlika med zaslužkoma: 6760 evrov ....................................................................... 1 točka
50. Samo je imel v shrambi jabolka. Potem ko jih je 14
pojedel sam, 4 jabolka pa je pojedla Tadeja,
mu je ostala še 12
jabolk. Izračunajte, koliko jabolk je imel Samo v shrambi.
(4 točke)
Rešitev 50. Skupaj 4 točke
Pravilna strategija reševanja, npr. zapis enačbe: 1 144 2
x x x ............................. 2 točki
Reševanje ................................................................................................................. 1* točka
Rezultat: 16x .......................................................................................................... 1 točka
Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje 1 točka, če je nalogo rešil s pravilnim sklepanjem, pri
tem pa uporabil nepravilen zapis, npr. 1 44 .
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
51. Jernej je gradil stolpe iz kock. Prvega je zgradil iz 5 kock, drugega iz 8 kock, tretjega iz 11 kock in tako naprej. Izračunajte, koliko kock je Jernej potreboval za deveti stolp, ki je s predhodnimi osmimi stolpi tvoril aritmetično zaporedje.
(4 točke)
Rešitev 51. Skupaj (4 točke)
Zapis prvega člena in diference aritmetičnega zaporedja: 1 5a in 3d = ..... (1 + 1) 2 točki
Uporaba formule za deveti člen zaporedja, npr.: 9 1 8a a d ................................... 1 točka
Rezultat: 9 29a ....................................................................................................... 1 točka
Opomba: Kandidat dobi vse točke, če je pravilno zapisal prvih devet členov zaporedja.
52. Ana, Luka in Miha so si razdelili 260 evrov. Ana je dobila 30 % celotnega zneska, Luka pa enak znesek kakor Miha. Koliko je dobil vsak?
(4 točke)
Rešitev 52. Skupaj (4 točke)
Ana: 30 % od 260 = 78 evrov .................................................................................. 1 točka
Upoštevana razlika: 260 78 182 evrov .............................................................. 1* točka
Luka in Miha: 91 evrov ............................................................................................. 1* točka
Odgovor, npr.: Ana je dobila 78 evrov, Luka in Miha pa vsak po 91 evrov. ............... 1 točka
53. Izračunajte dolžino hipotenuze pravokotnega trikotnika na skici:
30
2 2x
5 1x
(5 točk)
Rešitev 53. Skupaj (5 točk)
Uporaba kotnih funkcij: o 2 2sin305 1
xx
.................................................................... 1 točka
Upoštevanje o 1sin302
............................................................................................ 1 točka
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Izračun: 3x ............................................................................................................. 1 točka
Zapis dolžine hipotenuze, npr.: 16AB ................................................................ 1* točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
54. Vsota dolžin vseh robov lesene kocke meri 96 cm.
54.1. Narišite skico in izračunajte dolžino roba kocke.
(4 točke) 54.2. Izračunajte površino kocke v kvadratnih milimetrih in prostornino kocke v litrih.
(6 točk) 54.3. Izračunajte prostornino največje krogle, ki jo lahko s struženjem naredimo iz dane kocke.
(5 točk)
Rešitev 54. Skupaj (15 točk)
54.1. (4 točke)
Narisana skica kocke .................................................................................................. 1 točka
B
D C
A
A B
CD
a
a
a
Ugotovitev, da ima kocka 12 robov. ........................................................................... 1 točka
Uporaba formule za izračun roba kocke: 12 96a ................................................. 1* točka
Izračun osnovnega roba: 8 cma ............................................................................ 1 točka
54.2. (6 točk)
Izračun površine kocke, npr.: 2 2 26 8 384 cm 38400 mmP ....................................................... (1* + 1 + 1*) 3 točke
Izračun prostornine kocke, npr.: 3 38 512 cm 0,512 lV ............... (1* + 1 + 1*) 3 točke
54.3. (5 točk)
Ugotovitev, da je premer krogle: 2 8r ...................................................................... 2 točki
Izračun polmera krogle: 4 cmr .............................................................................. 1 točka
Uporaba formule in izračun prostornine krogle, npr.: 3
3 34 4 cm 267,95 cm3
V
..................................................................... (1* + 1) 2 točki
Opomba: Upoštevajo se vsi rezultati, dobljeni s pravilnim zaokroževanjem.
55. Dana je premica 1 13
y x . Določite y tako, da bo točka 3,T y ležala na premici. Izračunajte
razdaljo točke T od koordinatnega izhodišča.
(4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev 55. Skupaj 4 točke
Vstavljen podatek v enačbo premice: 3x ............................................................... 1 točka
Izračunana ordinata točke: 2y ............................................................................... 1 točka
Uporaba formule za izračun razdalje med točkama oziroma uporaba Pitagorovega izreka .................................................................................... 1* točka
Rezultat, npr.: 13 .................................................................................................... 1 točka
Opomba: Kandidat dobi zadnjo točko za vsak pravilno zaokrožen rezultat.
56. Metrsko ravno palico smo po dolžini razžagali na pet različnih kosov z dolžinami
3 1350 mm, dm, m2 4
in 0,12 dm. Natančno izračunajte, koliko meri peti kos.
(4 točke)
Rešitev 56. Skupaj 4 točke
Zapis dolžin v isti enoti, npr.: 35 cm, 15 cm, 25 cm, 1,2 cm ...................................... 2 točki
Opomba: Kandidat dobi 1 točko za dve pravilno zapisani dolžini.
Zapis, npr.: 100 35 15 25 1,2x ................................................................... 1* točka
Rezultat, npr.: 23,8 cmx ........................................................................................ 1 točka
57. Dan je polinom 3( ) 3 2p x x x .
57.1. Izračunajte ničle polinoma in presečišče grafa polinoma z ordinatno osjo.
(6 točk) 57.2. Narišite graf polinoma v dani koordinatni sistem.
(4 točke)
57.3. Izračunajte abscise presečišč polinoma s premico 2y x .
(5 taočk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
1
10
Rešitev 57. Skupaj 15 točk
57.1. (6 točk)
Uporaba Hornerjevega algoritma ............................................................................... 1 točka
Ugotovljena ena ničla polinoma, npr.: 1 1x ............................................................ 1 točka
Upoštevanje kvadratne enačbe ................................................................................ 1* točka
Izračun preostalih dveh ničel, npr.: 2 31, 2x x .......................................... (1 + 1) 2 točki
Presečišče z ordinatno osjo: 0, 2 .......................................................................... 1 točka
57.2. (4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
x
1
10
Slika ............................................................................................................................ 4 točke
Opomba: Kandidat dobi 2 točki za pravilno upoštevanje ničel, 1 točko za presečišče z ordinatno osjo in 1 točko za obliko.
57.3. (5 točk)
Zapis enačbe: 3 3 2 2x x x ............................................................................... 1 točka
Preoblikovanje enačbe, npr.: 3 4 0x x .................................................................. 1 točka
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Rešitve: 1 2 30, 2, 2x x x .................................................................................... 2 točki
Opomba: Kandidat dobi 1 točko za dve pravilno zapisani rešitvi.
58. Novakovi so v kopalnici, ki je dolga ,3,6 m široka 3 m in visoka ,2,4 m položili nove keramične
ploščice, vsaka ploščica meri .20 cm 30 cm S ploščicami so popolnoma prekrili tla in dve
sosednji steni.
58.1. Koliko kvadratnih metrov površine so prekrili s keramičnimi ploščicami?
(5 točk) 58.2. Koliko ploščic so uporabili?
(4 točke)
58.3. Kvadratni meter ploščic stane 15 evrov. Koliko denarja bi prihranili pri nakupu ploščic,
če bi s ploščicami prekrili le tla in manjšo steno?
(6 točk)
Rešitev 58. Skupaj 15 točk
58.1. (5 točk)
Izračun površine, npr.: 3,6 3 3 2,4 3,6 2,4S ................................ (1 + 1 + 1) 3 točke
Rezultat: 226,64 mS .............................................................................................. 1 točka
Odgovor, npr.: S keramičnimi ploščicami so prekrili 226,64 m površine. . ................. 1 točka
58.2. (4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračun ploščine ploščice, npr.: 220 30 600 cmpS ............................................ 1 točka
Nakazano deljenje .................................................................................................... 1* točka
Rezultat: 444 ............................................................................................................. 1 točka
Odgovor, npr.: Uporabili so 444 ploščic. ................................................................... 1 točka
58.3. (6 točk)
Izračun ploščine, npr.: 1 3,6 3 3 2,4S (ali 1 3,6 2,4S S ) ............................. 1* točka
Rezultat: 21 18 mS ................................................................................................... 1 točka
Vrednost nakupa ploščic za ploščino 1S : 270 evrov ................................................ 1 točka
Vrednost nakupa ploščic za ploščino S : 399,60 evra .............................................. 1 točka
Razlika: 129,60 evra ................................................................................................ 1* točka
Odgovor, npr.: Če bi prekrili le tla in manjšo steno, bi prihranili 129,60 evra. ........... 1 točka
59. Tina je julija s študentskim delom zaslužila 218,40 evra, Lea 98,20 evra, Meta pa 101,60 evra.
Avgusta je Tina zaslužila za petino manj, Lea je svoj zaslužek povečala za 15 % , Meta pa je
zaslužila enako kakor julija.
59.1. Izračunajte manjkajoče vrednosti in izpolnite preglednico.
Tina Lea Meta
Zaslužek julija v evrih
Zaslužek avgusta v evrih
(5 točk)
59.2. Izračunajte povprečni zaslužek deklet v juliju in povprečni zaslužek deklet v avgustu. Izračunajte, za koliko evrov je bil povprečni avgustovski zaslužek deklet nižji od povprečnega zaslužka v juliju.
(5 točk)
59.3. Meta je svoj celotni zaslužek naložila v banki, ki obrestuje obrestno po letni obrestni meri
2,5 % z letnim pripisom obresti. Izračunajte, koliko evrov več bo imela čez štiri leta.
(5 točk)
Rešitev 59. Skupaj 15 točk
59.1. (5 točk)
Tina Lea Meta
Zaslužek julija v evrih 218,40 98,20 101,60
Zaslužek avgusta v evrih 174,72 112,93 101,60
Pravilno izpolnjena celotna prva vrstica preglednice in Metin zaslužek v avgustu .... 1 točka
Tinin zaslužek v avgustu ................................................................................ (1* + 1) 2 točki
Lein zaslužek v avgustu ................................................................................. (1* + 1) 2 točki
Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka od zadnjih štirih točk, če Tininega in Leinega zaslužka v avgustu ne vpiše v preglednico.
59.2. (5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračunan povprečni zaslužek deklet v juliju: 139,40 evra ............................ (1* + 1) 2 točki
Izračunan povprečni zaslužek deklet v avgustu: 129,75 evra ....................... (1* + 1) 2 točki
Razlika: 9,65 evra ...................................................................................................... 1 točka
59.3. (5 točk)
Izračun celotnega Metinega zaslužka: 203,20 evra ................................................. 1 točka
Izračun ali uporaba obrestovalnega faktorja: 1,025r ............................................. 1 točka
Zapis ali uporaba formule, npr.: 44 0G G r .............................................................. 1 točka
Znesek čez 4 leta: 224,29 evra ............................................................................... 1 točka
Razlika: 21,09 evra .................................................................................................. 1* točka
60. Diagram prikazuje načine prihoda dijakov v šolo.
60.1. Izračunajte in v preglednico zapišite število dijakov glede na način prihoda v šolo, če vemo,
da se jih z avtobusom pripelje 125 . Izračunajte število vseh dijakov na šoli.
(6 točk)
Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni avto
Število dijakov
60.2. Izračunajte in v preglednico zapišite velikosti središčnih kotov v kotnih stopinjah.
(6 točk)
Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni avto
Velikost pripadajočega središčnega kota v stopinjah
60.3. Izračunajte verjetnost, da slučajno izbrani dijak v šolo ni prišel peš.
(3 točke)
Rešitev 60. Skupaj 15 točk
60.1. (6 točk)
Uporaba pravilne strategije za izračun števila vseh dijakov, npr.: 0,25 125x ........ 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Izračun števila vseh dijakov: 500 .............................................................................. 1 točka
Izračunane absolutne frekvence, razen za prihod z avtobusom: ....... (1 + 1 + 1 + 1) 4 točke
Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni avto
Število dijakov 135 40 80 125 120
Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka, če absolutne frekvence niso zapisane v
preglednico.
60.2. (6 točk)
Uporaba pravilne strategije za izračun središčnih kotov, npr. za prihod
peš: o0,27 360 .......................................................................................................... 1 točka
Izračunane velikosti središčnih kotov: ............................................ (1 + 1 + 1 + 1 + 1) 5 točk
Način prihoda Peš Vlak Kolo Avtobus Osebni
avto
Velikost pripadajočega središčnega kota v stopinjah
97,2 28,8 57,6 90 86,4
Opomba: Kandidatu se v celoti odšteje ena točka, če velikosti središčnih kotov niso zapisane v
preglednico. Opomba: Kandidat dobi vse točke, če rezultate pravilno zaokroži na cele stopinje.
60.3. (3 točke)
1. način:
Število dijakov, ki niso prišli v šolo peš, npr.: 500 135 365- ............................... 1* točka
Uporaba formule za verjetnost slučajnega dogodka in izračun, npr.:
365 0,73500
....................................................................................................... (1 + 1) 2 točki
2. način:
Verjetnost slučajnega dogodka, da je dijak prišel v šolo peš: 0,27 .......................... 1 točka
Uporaba formule za verjetnost nasprotnega dogodka in izračun, npr.:
1 0,27 0,73 ................................................................................................ (1* + 1) 2 točki
61. Ravno zemljišče ima obliko trikotnika. Ena stranica meri 70m . Drugi dve oklepata z njo kota o24
in o78 . Izračunajte velikost (ploščino) zemljišča.
(5 točk)
Rešitev 61. Skupaj 5 točk
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Tretji kot, npr.: o78 .................................................................................................... 1 točka
Izračunana druga stranica, npr.: 29,11 (m)a .................................................. (1* + 1) 2 točki
Izračunana ploščina zemljišča: 2996,5 mS ................................................... (1* + 1) 2 točki
Opomba: Ploščino, izračunano neposredno z ugotovitvijo, da je trikotnik enakokrak, npr.: 2
2sin 996,5 m2
cS
, vrednotimo s 5 točkami.
62. Dan je polinom 3 2( ) 2 8 4.p x x x x
62.1. Izračunajte ničle polinoma p x .
(5 točk)
62.2. Skicirajte graf polinoma p x .
(5 točk)
62.3. Izračunajte koordinate presečišč grafa polinoma ( )p x s premico 5 4.y x
(5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev 62. Skupaj 15 točk
62.1. (5 točk)
Postopek, npr.: razstavljanje ali Hornerjev algoritem ....................................................... 2 točki
Določene ničle: 1 2 312, , 22
x x x , vsaka 1 točka, skupaj ...................................... 3 točke
62.2. (5 točk)
Skiciran graf ....................................................................................................................... 5 točk Od tega za vsako vidno presečišče s koordinatnima osema po 1 točka in ena točka za obliko.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
62.3. (5 točk)
Nastavitev enačbe, npr.: 3 22 8 4 5 4x x x x ...................................................... 1 točka
Reševanje enačbe ......................................................................................................... 1* točka
Presečišča: 1 2 33 7(0,4), ( , ), ( 1,9)2 2
P P P , vsako 1 točka, skupaj ..................................... 3 točke
Opomba: Le abscise presečišč vrednotimo z 2 točkama od zadnjih treh.
63. Ploščina osnovne ploskve pokončnega stožca meri 264 cm , stranica pa je dolga 10 cm .
63.1. Narišite skico stožca ter izračunajte kot med stranico stožca in osnovno ploskvijo na minuto natančno.
(5 točk) 63.2. Izračunajte prostornino stožca na dve decimalni mesti natančno.
(5 točk) 63.3. Natančno izračunajte ploščino osnega preseka in plašč stožca.
(5 točk)
Rešitev 63. Skupaj 15 točk
63.1. (5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Skica ................................................................................................................................ 1 točka
Polmer osnovne ploskve: 8 cmr ................................................................................. 1 točka
Izračunana velikost kota, npr.: cos 0,8rs
, o36,86 ............................... (1* + 1) 2 točki
Zaokrožitev na minuto natančno: o36 52́ ................................................................. 1 točka
63.2. (5 točk)
Višina stožca: 6 (cm)v .................................................................................... (1* + 1) 2 točki
Prostornina: 3402,1238... cmV ....................................................................... (1* + 1) 2 točki
Zaokrožitev: 3402,12 cmV .......................................................................................... 1 točka
63.3. (5 točk)
Ploščina preseka, npr.: pS r v ........................................................................ (1* + 1) 2 točki
Rešitev: 248 cmpS ...................................................................................................... 1 točka
Plašč: 280 cmplS ........................................................................................... (1* + 1) 2 točki
64. Ana je v treh dneh nabrala 20 kg kostanjev. Prvi dan je nabrala 14
celotne količine, drugi dan pa
40% celotne količine. Koliko kg kostanjev je nabrala prvi, koliko drugi in koliko tretji dan?
(4 točke)
Rešitev 64. Skupaj 4 točke
Izračun, da je 14
od 20 kg enako 5 kg ..................................................................... 1 točka
Izračun, da je 40 % od 20 kg enako 8 kg ............................................................... 1 točka
Izračun, da je ostanek 7 kg ....................................................................................... 1 točka
Odgovor, npr.: Ana je prvi dan nabrala 5 kg, drugi dan 8 kg in tretji dan 7 kg
kostanja. ..................................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
65. Na sliki je valjasto telo s kvadratno odprtino v sredini in njegova osnovna ploskev. Višina telesa
meri 9,1 cm, stranica kvadrata 8,4 cmAB in polmer kroga 7,4 cm.SC
S
C
A B
65.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve telesa.
(3 točke) 65.2. Izračunajte površino telesa.
(6 točk) 65.3. Izračunajte prostornino telesa.
(6 točk)
Rešitev 65. Skupaj 15 točk
65.1. (3 točke)
Izračun ploščine kroga, npr.: 2 27,4 172,03 cmKrS ......................................... 1 točka
Izračun ploščine kvadrata, npr.: 2 28,4 70,56 cmKvS .......................................... 1 točka
2 2101,47 cm 101,5 cmo Kr KvS S S ................................................................. 1* točka
65.2. (6 točk)
Zapis ali uporaba formule: 0 , ,2 pl V pl PP S S S ..................................................... 1 točka
Izračun ploščine plašča valja: 2, 2 7,4 9,1 423,1 cmpl VS ...................... (1 + 1) 2 točki
Izračun ploščine plašča prizme: 2, 4 8,4 9,1 305,8 cmpl PS ...................... (1 + 1) 2 točki
Rezultat: 2931,9 cmP ........................................................................................... 1* točka
Opomba: Kandidat dobi postopkovno točko, če pravilno upošteva napačno izračunano ploščino osnovne ploskve.
65.3. (6 točk)
1. način:
Zapis ali uporaba formule, npr.: V PV V V .............................................................. 1 točka
Izračun prostornine valja, npr.: 2 37,4 9,1 1565,5 cmVV ....................... (1 + 1) 2 točki
Izračun prostornine prizme, npr.: 2 38,4 9,1 642,1 cmPV ........................... (1 + 1) 2 točki
Rezultat, npr.: 3923,4 cmV .................................................................................... 1 točka
2. način:
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Ugotovitev, da je osnovna ploskev telesa 0S ............................................................. 2 točki
Zapis ali uporaba formule 0V S v ............................................................................ 2 točki
Rezultat, npr.: 3923,4 cmV ..................................................................................... 2 točki
Opomba: Če kandidat nikjer ne napiše enot, se mu v celoti odšteje 1 točka.
66. Andraž je imel črtasti zvezek s 14 vrsticami na vsaki strani. V prvo vrstico na prvi strani je napisal 1 črko, v vsako naslednjo vrstico pa 3 črke več kakor v prejšnjo vrstico.
66.1. Izračunajte število črk, ki jih je Andraž napisal v 9. vrstico na prvi strani.
(5 točk) 66.2. Izračunajte število črk, ki jih je Andraž napisal na prvo stran. Ali je lahko na prvo
stran napisal 300 črk?
(5 točk) 66.3. Andraž je zaključil pisanje črk, ko je v neko vrstico zapisal 37 črk.
Koliko vrstic je Andraž popisal na ta način?
(5 točk)
Rešitev 66. Skupaj 15 točk
66.1. (5 točk)
Ugotovitev, da je število črk v zaporednih vrsticah aritmetično zaporedje ................. 1 točka
Ugotovitev, da je 1 1a in 3d ...................................................................... (1 + 1) 2 točki
Izračun, npr.: 9 1 8 25a a d ........................................................................ (1 + 1) 2 točki
66.2. (5 točk)
Uporaba formule za vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja
12 12nn
s a n d ................................................................................................. 1 točka
Ugotovitev, da je 14n ............................................................................................. 1 točka
Izračun, npr.: 1414 2 1 13 3 2872
s ........................................................ (1 + 1) 2 točki
Odgovor, npr.: Andraž na ta način na prvo stran ne more napisati 300 črk. .............. 1 točka
66.3. (5 točk)
Ugotovitev, da mora biti 37na ................................................................................ 1 točka
Zapis ali uporaba enačbe: 1 1 37a n d ............................................................. 1 točka
Reševanje enačbe .................................................................................................... 1* točka
Rezultat: 13n .......................................................................................................... 1 točka
Odgovor, npr.: Na ta način je popisal 13 vrstic. ........................................................ 1 točka
Opomba: Če kandidat pravilno zapiše vse potrebne člene zaporedja in na podlagi tega zapisa
pravilno reši nalogo, dobi vse točke.
67. Telo sestavljata dve enaki kocki z robom 15 cm, kakor kaže slika. Razdalja med točkama 2A in
1F je 14 cm.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
1A
1F
2A
2F
67.1. Izračunajte prostornino telesa. Zapišite jo v 3dm .
(4 točke) 67.2. Izračunajte površino telesa.
(6 točk)
67.3. Izračunajte razdaljo med točkama 1A in 2.F
(5 točk)
Rešitev 67. Skupaj 15 točk
67.1. (4 točke):
Izračun prostornine ene kocke: 3 31 3375 cmV a ...................................... (1* + 1) 2 točki
Izračun prostornine telesa: 312 6750 cmV V ...................................................... 1 točka
Zapis v 3dm , npr.: 36,75 dm ................................................................................... 1* točka
67.2. (6 točk):
1. način:
Izračun površine ene kocke: 2 21 6 1350 cmP a ...................................... (1* + 1) 2 točki
Ugotovitev, da je območje, kjer se kocki stikata, pravokotnik s stranicama dolžine 14 cm in 15 cm ............................................................................................... 1 točka
Izračun ploščine pravokotnika: 214 15 210 cmS ............................................... 1 točka
Ugotovitev, da je površina telesa: 12 2P P S ..................................................... 1 točka
Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka
2. način:
Ugotovitev, da je površina telesa sestavljena iz kvadratov s stranico dolžine
15 cm in pravokotnikov s stranicama dolžin 1 cm in 15 cm .......................... (1* + 1) 2 točki
Izračun ploščine kvadrata: 2 215 225 cmKS ........................................................ 1 točka
Izračun ploščine pravokotnika: 21 15 15 cmPS ................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Ugotovitev, da je površina telesa: 10 2K PP S S ................................................ 1 točka
Izračun površine telesa: 22280 cmP ..................................................................... 1 točka
67.3. (5 točk)
Ugotovitev, da je razdalja med točkama 1A in 2F enaka dolžini hipotenuze
v pravokotnem trikotniku .............................................................................................. 2 točki
Ugotovitev, da sta dolžini katet v pravokotnem trikotniku 16 cm in 30 cm ................. 1 točka
Izračun 1 2A F , npr. uporaba Pitagorovega izreka:
2 2 21 2 16 30A F .................................................................................................... 1* točka
Rezultat, npr.: 1 2 34 cmA F ..................................................................................... 1 točka
68. Dan je polinom 3 2( ) 6 9 4p x x x x .
68.1. Izračunajte ničle in začetno vrednost polinoma p .
(6 točk) 68.2. Skicirajte graf polinoma v dani koordinatni sistem in zapišite, za katere vrednosti
x je polinom p pozitiven.
(4 točke) 68.3. Izračunajte vrednosti spremenljivke x , za katere je tangenta na graf polinoma
vzporedna z abscisno osjo.
(5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
10
1
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
68.1 1 upoštevanje, da je 3 26 9 4 0x x x
1 uporaba postopka za računanje ničel, npr. Hornerjev algoritem
3 izračunane ničle: 1,2 31, 4x x 1 + 1 + 1
1 izračunana začetna vrednost: 0 4p
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
68.2 3 1* + 1* + 1 Pravilno upoštevanje ničel in začetne vrednosti polinoma ter pravilna oblika grafa polinoma.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
y
1
x10
–4
4
f (x)
1* rešitev, npr.: 4x Kandidat dobi postopkovno točko, če iz napačno narisanega grafa pravilno prebere vrednosti x , za
katere je polinom pozitiven.
Skupaj 4
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
68.3 1 Upoštevanje, da je smerni koeficient tangente
enak 0 in da je smerni koeficient tangente
enak odvodu polinoma v iskanih točkah.
1 izračun odvoda: 2'( ) 3 12 9p x x x
1* reševanje enačbe: 23 12 9 0x x
2 rešitvi enačbe: 1 21, 3x x 1 + 1
Skupaj 5
69. Oglišča pravokotnika v pravokotnem koordinatnem sistemu so podana s točkami
(1,1), (7,1), (7,3)A B C in (1,3)D .
69.1. Narišite sliko v dani koordinatni sistem in izračunajte obseg pravokotnika ABCD .
(5 točk)
69.2. Točka T leži na stranici AB , tako da je razmerje : 1 2AT TB : , točka S pa
razpolavlja stranico BC . V dani koordinatni sistem narišite točki T in S ter
izračunajte dolžino daljiceTS .
(6 točk) 69.3. Pravokotnik ABCD predstavlja plašč 3-strane prizme. Osnovna ploskev prizme je
enakostranični trikotnik. Višina prizme je 2v . Izračunajte prostornino te prizme.
(4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
10
1
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
69.1 2 pravilno narisan pravokotnik, npr.:
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
10
1(1,1)A (7,1)B
(7,3)C(1,3)D
(3,1)T
(7,2)S
2 ugotovitev, da stranici pravokotnika merita
2 in 6
1 + 1
1* izračunan obseg pravokotnika: 16
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
69.2 2 pravilno narisani točki T in S 1 + 1
1. način
2 ugotovitev, da je 4TB in 1BS 1 + 1
1 uporaba Pitagorovega izreka
1 rezultat, npr.: 17 4,1TS
2. način
2 ugotovitev, da so koordinate točk 3,1T in
7,2S
1 + 1
1 uporaba formule za razdaljo med dvema točkama
1 rezultat, npr.: 17 4,1TS
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
69.3 1 ugotovitev, da je osnovna ploskev
enakostranični trikotnik s stranico 2
2 zapis in uporaba formule za prostornino
prizme, npr.: 2 34
aV v
1 + 1
1 rezultat, npr.: 2 3 3,5V
Skupaj 4
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
70. List papirja ima obliko pravokotnika s stranicama 15 cm in 10 cm.
70.1. Ta list papirja zvijemo v plašč valja tako, da je krajša stranica pravokotnika višina valja.
Izračunajte prostornino valja na 3cm natančno.
(5 točk) 70.2. Na vogalih pravokotnika smo izrezali kvadrate s stranico 3 cm, kot kaže skica.
Dobili smo mrežo škatle brez pokrova. Določite robove škatle in izračunajte njeno prostornino.
(5 točk) 70.3. Izračunajte, koliko odstotkov površine škatle predstavlja ploščina dna škatle.
(5 točk)
Rešitev 70. Skupaj 15 točk
70.1. (5 točk)
..................................................................................................................................................... I
zračunan polmer osnovne ploskve valja: 2,387... cmr ............................... (1* + 1) 2 točki
..................................................................................................................................................... I
zračunana prostornina valja: npr. 3179,047... cmV ..................................... (1* + 1) 2 točki
..................................................................................................................................................... Z
aokrožen rezultat: 3179 cmV ................................................................................... 1 točka
70.2. (5 točk)
..................................................................................................................................................... D
oločeni robovi škatle: 9 cm, 4 cm in 3 cm, vsak 1 točka, skupaj ............................... 3 točke
..................................................................................................................................................... I
zračunana prostornina: 3108 cmV ............................................................... (1* + 1) 2 točki
70.3. (5 točk)
..................................................................................................................................................... P
ovršina škatle: 2114 cmP ............................................................................. (1* + 1) 2 točki
..................................................................................................................................................... D
no škatle: 236 cmS .................................................................................................. 1 točka
..................................................................................................................................................... O
dstotek: 32 %p (31,6 %ali 31,58 ... %) .................................................... (1* + 1) 2 točki
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
71. Pokončni valj in 4-strana prizma imata enaka plašča. Pri obeh je plašč kvadrat s ploščino 236 cm .
71.1. Narišite skico valja, izračunajte polmer osnovne ploskve, višino in prostornino valja. Polmer zaokrožite na 2 decimalni mesti (v cm), prostornino pa na celo število kubičnih centimetrov.
(6 točk) 71.2. Narišite skico prizme in izračunajte njeno prostornino.
(6 točk) 71.3. Izračunajte, za koliko odstotkov je prostornina prizme manjša od prostornine valja.
(3 točke)
Rešitev 71. Skupaj 15 točk
71.1. (6 točk)
v
2r
..................................................................................................................................................... S
kica valja ....................................................................................................................... 1 točka
..................................................................................................................................................... P
olmer osnovne ploskve valja: 0,95 cmr ...................................................... (1* + 1) 2 točki
..................................................................................................................................................... V
išina valja: 6 cmv ..................................................................................................... 1 točka
..................................................................................................................................................... P
rostornina valja: 317 cmvV ........................................................................... (1* + 1) 2 točki
71.2. (6 točk)
a
a
v
..................................................................................................................................................... Skica prizme.................................................................................................................... 1 točka
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
..................................................................................................................................................... R
ob osnovne ploskve prizme: 1,5 cma .......................................................... (1* + 1) 2 točki
..................................................................................................................................................... V
išina prizme: 6 cmv .................................................................................................. 1 točka
..................................................................................................................................................... P
rostornina prizme: 313,5 cmpV ..................................................................... (1* + 1) 2 točki
71.3. (3 točke)
..................................................................................................................................................... R
azlika prostornin: 33,5 cmv pV V ............................................................................ 1 točka
..................................................................................................................................................... Odstotek: 21 % (20,6 ali 20,59) .......................................................................... (1* + 1) 2 točki
72. Dani sta funkciji ( ) 2xf x in ( ) 6.g x x Narišite grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem.
S slike odčitajte koordinati njunega presečišča. Rešitev preverite z računom.
(5 točk)
y
1
x10
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev 72. Skupaj 5 točk
y
1
1 x0
P
.......................................................................................................................................................... Narisan graf eksponentne funkcije ....................................................................................... 2 točki
.......................................................................................................................................................... Narisana premica ................................................................................................................ 1 točka
.......................................................................................................................................................... Določeno presečišče: P(2, 4) .............................................................................................. 1 točka
.......................................................................................................................................................... R
ačun, npr: 2(2) 2 4 in (2) 2 6 4f g ..................................................................... 1 točka
73. Polmer nogometne žoge je meril 12 cm. Ponoči se je na mrazu prostornina žoge zmanjšala za
6 % . Izračunajte novo prostornino in polmer žoge.
(5 točk)
Rešitev
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
73 1 začetna prostornina žoge, npr.: 32304 7238,23 cmZV
1* upoštevanje deleža zmanjševanja
1 nova prostornina žoge, npr.: 32165,76 6803,94 cmNV
2 novi polmer žoge, npr.: 11,75 cmNr 1* + 1
Skupaj 5
74. Na sliki je graf logaritemske funkcije ( ) logaf x x . Glede na sliko izpolnite preglednico in
izračunajte vrednost osnove a .
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
10
1
(5 točk)
x ( )f x
1
2
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
74 2 izpolnjena preglednica:
x ( )f x
1 0
9 2
1 + 1
1 zapis enačbe, npr.: 2 log 9a
1 upoštevanje definicije logaritma, npr.: 2 9a
1 rezultat: 3a
Skupaj 5
75. Na sliki je trikotnik z obsegom 36 cm . Izračunajte dolžine stranic in ploščino trikotnika.
A B
C
5x
8x
5x
(5 točk)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
75 1 zapis ali uporaba formule za obseg trikotnika,
npr.: 8 5 5 36x x x
1 izračun: 2x
1 izračun dolžin stranic trikotnika: 16 cmAB ,
10 cmBC CA
1 uporaba ustreznega postopka za izračun ploščine trikotnika, npr. Heronov obrazec
1 rezultat, npr.: 248 cmS
Skupaj 5
76. Dan je trikotnik ABC na sliki.
76.1. Izračunajte obseg in ploščino trikotnika ABC .
(7 točk) 76.2. Zapišite enačbo premice skozi točki B in C .
(4 točke)
76.3. Enačba premice skozi točki A in C je 4 173 3
y x .
Izračunajte velikost kota trikotnika ABC pri oglišču A .
(4 točke)
x
y
10
1
( 5, 1)A ( 1, 1)B
( 2,3)C
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
76.1 1 uporaba ustreznega postopka za izračun dolžin stranic trikotnika, npr. formule za izračun razdalje med dvema točkama
3 izračun dolžin stranic trikotnika: 4AB ,
17BC , 5CA
1 + 1 + 1
1* izračun obsega trikotnika, npr.:
9 17 13,12o
1 uporaba ustreznega postopka za izračun
ploščine trikotnika, npr.: 4 42
S
1 izračun ploščine trikotnika, npr.: 8S
Skupaj 7
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
76.2 2 izračun smernega koeficienta premice,
npr.: 3 1 42 1
k
1 + 1
1 uporaba postopka za izračun enačbe premice,
npr.: 1 4 1y x
1 enačba premice, npr.: 4 5y x
Skupaj 4
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
76.3 1 ugotovitev, da je kot pri oglišču A enak naklonskemu kotu premice skozi točki A in C
1 uporaba ali zapis smernega koeficienta
premice, npr.: 43
k
1 uporaba formule za izračun naklonskega kota,
npr.: 4tan3
1 rezultat: 53,13 °
Skupaj 4
77. Dana je racionalna funkcija 2
4 4xf x
x
.
77.1. Izračunajte ničlo in pol ter zapišite enačbo vodoravne asimptote funkcije f .
(3 točke) 77.2. Izračunajte ekstrem funkcije f .
(8 točk) 77.3. V dani koordinatni sistem narišite graf funkcije f .
(4 točke)
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
x
y
10
1
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
77.1 1 izračun ničle: 1x
1 izračun pola: 1,2 0x
1 enačba vodoravne asimptote: 0y
Skupaj 3
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
77.2 4 odvod funkcije:
2 2
4 4 3
4 4 4 2 4 8 4 8x x x x x xf x
x x x
2 + 1 + 1
1 upoštevanje potrebnega pogoja za ekstrem
funkcije: 0f x
1 reševanje enačbe, npr.:
3
4 8 0x
x
1 rešitev: 2x
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
1 ekstrem funkcije, npr.: 2,1E
Skupaj 8
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
77.3 4 skiciran graf funkcije 2 + 2
x
y
1
10
Skupaj 4 Kandidat dobi za vsako pravilno narisano vejo grafa funkcije po dve točki.
78. Janez je za jutranjo telovadbo delal počepe. Prvi dan jih je naredil 6 , potem pa vsak dan dva več
kakor prejšnji dan. Število počepov je povečeval do številke 60 , nato pa jih je vsak dan naredil
60 .
78.1. Izračunajte, kateri dan je Janez prvič naredil 60 počepov.
(5 točk)
78.2. Izračunajte, koliko počepov je Janez naredil skupaj v prvih 40 dneh.
(5 točk) 78.3. Janez je za vsak počep porabil 2 sekundi. Ali je bila minuta in pol dovolj za
vse počepe 20. dne? Odgovor računsko utemeljite.
(5 točk)
Rešit Točke Rešitev Dodatna navodila
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
ev Naloga
78.1 1 ugotovitev ali upoštevanje, da je zaporedje aritmetično
1 upoštevanje: 60na
1 uporaba formule za splošni člen aritmetičnega
zaporedja: 6 1 2 60n
1 reševanje enačbe
1 rezultat: 28n
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
78.2 2 uporaba formule za vsoto prvih n členov
aritmetičnega zaporedja, npr.:
2828 2 6 28 1 2 9242
s
1 + 1
2 izračun skupnega števila počepov za
preostalih 12 dni, npr.: 12 60 720
1* + 1
1 izračun skupnega števila počepov v 40 dneh:
924 720 1644
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
78.3 2 izračun dvajsetega člena zaporedja:
20 6 19 2 44a
1 + 1 Kandidat dobi prvo točko, če
upošteva formulo 20 1 19a a d .
1 izračun časa, npr.: 20 2 44 88st
1 utemeljitev, npr.: 88s je manj kakor minuta in
pol
1 odgovor: Minuta in pol je zadostovala za vse počepe 20. dne.
Skupaj 5
79. Klavdija je kupila stekleničko valjaste oblike s polmerom 1,5 cm in višino 15 cm .
79.1. V stekleničko je prelila 30 ml parfuma. Kako visoko nad dnom je gladina parfuma?
(5 točk) 79.2. Steklenička je bila v embalaži v obliki kvadra. Izračunajte površino embalaže, če je ta
najmanjša možna.
(5 točk)
79.3. Po mesecu dni je Klavdija porabila 15 % parfuma. Kako visoko je bila gladina parfuma po
enem mesecu?
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
79.1 1 ugotovitev: 330 ml 30 cm
1 uporaba formule za prostornino valja, npr.:
230 1,5 v
1* preoblikovanje enačbe, npr.:
2
30
1,5v
1 rezultat, npr.: 4,2 cmv
1* odgovor, npr.: Gladina parfuma je približno
4,2 cm nad dnom.
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
79.2 2 Ugotovitev, da ima kvader za osnovno ploskev
kvadrat s stranico 3 cma , višina kvadra pa
meri 15 cmv .
1 + 1
2 uporaba formule za površino kvadra, npr.: 22 3 4 3 15P
1 + 1 Kandidat dobi 1 točko, če zgolj pravilno zapiše formulo
22 4P a av .
1 rezultat: 2198 cmP
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
79.3 1 Ugotovitev ali uporaba, da je prostornina sorazmerna z višino.
1 Upoštevanje, da je nova višina gladine
parfuma enaka 85 % prvotne višine.
1 zapis, npr.: 1 4,2 0,85v
1 rezultat: 1 3,6 cmv
1 odgovor, npr.: Po enem mesecu je bila gladina
parfuma približno 3,6 cm nad dnom.
Skupaj 5
80. Izračunajte x , tako da bodo ,x 2x , 2 1x tvorili naraščajoče geometrijsko zaporedje.
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
80 1 upoštevanje definicije geometrijskega
zaporedja, npr.: 2 2 1
2x x
x x
1 preoblikovanje enačbe, npr.: 2 3 4 0x x
1* reševanje kvadratne enačbe
1 rešitev kvadratne enačbe: 1 4x , 2 1x
1 ugotovitev, da je zaporedje naraščajoče za
4x
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Skupaj 5
81. Škatla za bonbone ima obliko pravilne šeststrane prizme. Osnovni rob prizme je dolg 6 cm, višina pa 5 cm. Na sliki je mreža šeststrane prizme.
81.1. Izračunajte ploščino osnovne ploskve prizme in velikost označenega kota na sliki.
(7 točk) 81.2. Izračunajte površino dane prizme.
(4 točke) 81.3. Skupna prostornina bonbonov v škatli je približno 254,34 cm3. Izračunajte
delež prostornine, ki jo zasedajo bonboni v škatli.
(4 točke)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
81.1 2 uporaba formule za izračun ploščine pravilnega šestkotnika, npr.:
26 36 6
4S S
1 + 1
1 rešitev, npr.: 2 254 3 cm 93,53 cmS
1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov
pravilnega šestkotnika 120
1 upoštevanje, da so velikosti notranjih kotov
pravokotnika 90
2 izračun kota , npr.:
360 120 90 90 60
1 + 1
Skupaj 7
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
81.2 2 izračun ploščine plašča prizme, npr.:
6 6 5 180plS cm2 1 + 1
2 izračun površine prizme, npr.: 22 54 3 180 108 3 180 cmP
367,06 cm2
1* + 1
Skupaj 4
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
81.3 2 uporaba formule za izračun prostornine prizme, npr.:
54 3 5 270 3V cm3 467,65 cm3
1* + 1
2 izračun deleža prostornine, ki jo zasedejo
bonboni, npr.: 254,34
0,5439467,65
1* + 1
Skupaj 4
82. Stolpčni diagram prikazuje starost članov nekega prostovoljnega gasilskega društva.
82.1. Podatke prikažite v spodnji preglednici s frekvencami in relativnimi frekvencami.
j starost jf 0jf
1 nad 0 do 10
2 nad 10 do 20
3 nad 20 do 30
4 nad 30 do 40
5 nad 40 do 50
6 nad 50 do 60
7 nad 60 do 70
8 nad 70 do 80
0
5
10
15
20
25
30
35
nad 0 do10
nad 10 do20
nad 20 do30
nad 30 do40
nad 40 do50
nad 50 do60
nad 60 do70
nad 70 do80
šte
vilo
čla
no
v
starost
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
(4 točke) 82.2. Koliko članov ima prostovoljno gasilsko društvo in koliko odstotkov članov je
starih nad 40 let?
(5 točk) 82.3. Izračunajte aritmetično sredino starosti članov prostovoljnega gasilskega
društva. Izračunajte, koliko članov iz starostne skupine nad 20 do 30 let bi se moralo na novo včlaniti v prostovoljno gasilsko društvo, da bi bila aritmetična sredina starosti 27 let.
(6 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
82.1 4 preglednica z absolutnimi in relativnimi frekvencami, npr.:
j starost jf 0jf
1 nad 0 do 10 8 0,0792
2 nad 10 do 20 22 0,2178
3 nad 20 do 30 30 0,2970
4 nad 30 do 40 20 0,1980
5 nad 40 do 50 10 0,0990
6 nad 50 do 60 5 0,0495
7 nad 60 do 70 4 0,0396
8 nad 70 do 80 2 0,0198
Kandidat dobi 1 točko za vsake 4 pravilno zapisane vrednosti.
Skupaj 4
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
82.2 2 izračun števila članov PGD, npr.:
8 22 30 20 10 5 4 2 101
1 + 1
2 izračun deleža članov, starih nad 40 let, npr.:
10 5 4 2 0,2079101
1* + 1
1 odgovor, npr.: PGD ima 101 člana, od tega je 20,79 % članov starih nad 40 let.
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
82.3 1 izračun aritmetične sredine razredov
2 uporaba formule za izračun aritmetične sredine starosti članov PGD, npr.:
5 8 15 22 25 30 35 20 45 10 55 5 65 4 75 2 29,26101
x
1* + 1
2 zapis enačbe, npr.:
5 8 15 22 25 30 35 20 45 10 55 5 65 4 75 227
101
x
x
1 + 1
1 rešitev: 114x
Skupaj 6
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
83. Luka ima v svojem prenosnem telefonu spominsko kartico velikosti 2048 MB. Na spominski
kartici 13
prostora zaseda glasba, 50 % prostora pa igrice. Največ koliko fotografij velikosti
1,2 MB lahko Luka še shrani na spominsko kartico?
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
83 1 izračun, npr.: 1 2048 682,7 MB
3
1 izračun, npr.: 50 2048 1024 MB
100
1* izračun preostalega prostora, npr.:
2048 1024 682,7 341,3 MB
Kandidat lahko preostali prostor na kartici izračuna tudi tako, da ugotovi, da je preostalega
prostora 16
celotnega prostora na
njej.
1 izračun, koliko fotografij lahko shrani na
spominsko kartico, npr.: 341,3 :1,2 284,4
1 odgovor, npr.: Luka lahko na spominsko kartico shrani še največ 284 fotografij.
Skupaj 5
84. Na sliki je kvadrat s stranico 12 cm.
2a
a
a
A B
CD F
E
3a
84.1. Izračunajte dolžine stranic trikotnika AEF .
(6 točk) 84.2. Izračunajte velikost kotov FEC in .EAF
(6 točk) 84.3. Izračunajte ploščino trikotnika .AEF
(3 točke)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
84.1 1 zapis ali upoštevanje, da je 6 cm
2a in
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
4 cm3a
1 zapis ali upoštevanje, da je 8 cmEC
1* uporaba Pitagorovega izreka
1 izračun dolžine stranice AE , npr.:
4 10 cmAE
1 izračun dolžine stranice EF , npr.:
10 cmEF
1 izračun dolžine stranice FA , npr.:
6 5 cmFA
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
84.2 1 uporaba kotne funkcije, npr.: 6tan
8
1 izračun velikosti kota , npr.: 36,87
2 uporaba kosinusnega izreka, npr.: 2 2 2
2 cosEF AE AF AE AF
Kandidat lahko velikost kota izračuna tudi tako, da z uporabo
kotnih funkcij najprej izračuna velikosti kotov BAE in FAD ter ju potem odšteje od velikosti pravega kota.
2 izračun velikosti kota , npr.: 45 1* + 1
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
84.3 1 uporaba Heronovega obrazca za izračun ploščine trikotnika AEF
Kandidat lahko ploščino trikotnika izračuna tudi tako, da najprej izračuna ploščine
trikotnikov ,ABE ECF in
AFD ter jih potem odšteje od ploščine kvadrata.
2 izračun ploščine, npr.:
2
18,04 18,04 12,65 18,04 10 18,04 13,42
60,10 cm
S
1* + 1
Skupaj 3
85. Otroci so ustvarjali mozaik iz kamenčkov, ki imajo obliko kocke. V prvem koraku so postavili dva kamenčka, v drugem koraku so okrog njiju postavili nov pas kamenčkov in v tretjem koraku okrog postavljenih kamenčkov spet nov pas kamenčkov (glejte sliko). Če bi tako nadaljevali, bi število na novo dodanih kamenčkov v vsakem koraku predstavljalo člene aritmetičnega zaporedja.
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
mozaik po
1. koraku
mozaik po
2. koraku
mozaik po
3. koraku
85.1. Zapišite prve tri člene tega zaporedja. Zapišite formulo za splošni člen tega zaporedja in jo uporabite za izračun sedmega člena tega zaporedja.
(5 točk) 85.2. En kamenček v mozaiku tehta 20 g. Izračunajte, koliko kilogramov tehtajo
kamenčki, ki jih potrebujemo za mozaik narejen iz desetih pasov.
(5 točk) 85.3. Izračunajte največjo razdaljo med dvema točkama na mozaiku, narejenem v treh
korakih (glejte desni mozaik na sliki), če imajo kamenčki obliko kocke s stranico 2 cm.
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
85.1 1 zapisani prvi trije členi zaporedja:
1 2,a 2 10,a 3 18a
1 upoštevanje, da je diferenca aritmetičnega
zaporedja 8d
1 zapis formule za splošni člen aritmetičnega
zaporedja, npr.: 2 ( 1) 8na n
2 izračun sedmega člena aritmetičnega
zaporedja, npr.: 7 2 (7 1) 8 50a
1 + 1
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
85.2 1 uporaba formule za izračun vsote prvih desetih členov aritmetičnega zaporedja
2 izračun vsote prvih desetih členov aritmetičnega zaporedja, npr.:
1010 (2 2 (10 1) 8) 3802
s
1 + 1
1 izračun mase, npr.: 380 20 7600m g
1* pretvorba gramov v kilograme: 7,6 kgm
Skupaj 5
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
85.3 1* ugotovitev, da je največja razdalja enaka dolžini diagonale pravokotnika na desni sliki
2 ugotovitev, da sta dolžini stranic pravokotnika 10 cm in 12 cm
1 + 1
1 uporaba Pitagorovega izreka za izračun
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
dolžine diagonale
1 izračun največje razdalje, npr.:
2 210 12 15,62 cm
Skupaj 5
86. Šest 10-litrskih in pet 8-litrskih veder vode prelijemo v sod v obliki pokončnega valja s polmerom 2,5 dm. Izračunajte, kako visoko bo gladina vode v sodu, ki stoji pokonci.
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
8 1 celotna količina vode: 100 l
1 pretvorba, npr.: 3100 l 100 dm
1 uporaba formule za prostornino, npr.: 2100 2,5 v
1 izražena višina, npr.:
2
100
2,5v
1 izračun višine, npr.: 5,1 dmv
Skupaj 5 Upoštevajo se vse rešitve, dobljene s pravilnim zaokroževanjem.
87. Notranji koti trikotnika ABC tvorijo aritmetično zaporedje z diferenco 10 .
Izračunajte vse notranje kote trikotnika ABC .
(5 točk)
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
87 1 zapis ali upoštevanje: o180
1 upoštevanje lastnosti aritmetičnega
zaporedja, npr.: o10 ,
o20
1 zapis in reševanje enačbe, npr.:
o o o10 20 180
1 rešitev enačbe, npr.: o50
1 rešitev, npr.: o o o50 , 60 , 70
Skupaj 5
88. Dani sta funkciji ( ) 2 3f x x in ( ) 3 3g x x .
88.1. Natančno narišite grafa obeh funkcij v dani koordinatni sistem.
Zapišite, katera izmed funkcij je naraščajoča. ____________
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
Zapišite, za katere vrednosti spremenljivke x je funkcija g pozitivna. _____________
(6 točk)
88.2. Računsko določite presečišče grafov funkcij f in g . Izračunajte kot, ki ga oklepata
grafa funkcij.
(6 točk)
88.3. Izračunajte ploščino trikotnika, ki je določen z grafoma funkcij f in g ter abscisno osjo.
(3 točke)
y
x
1
10
Rešitev Naloga
Točke Rešitev Dodatna navodila
© 2014 e-Banka nalog RIC. Vse pravice pridržane.
88.1 4 narisana grafa obeh funkcij
x
y
1
10
3
f(x)
g(x)
2 + 2
1 funkcija f je naraščajoča
1 funkcija g je pozitivna za 1x
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
88.2 1 upoštevanje: ( ) ( )f x g x
1 rešitev enačbe: 0x
1* presečišče: 0,3P
1 upoštevanje smernih koeficientov v formuli,
npr.:
2 3tan
1 2 3
1 izračun: tan 1
1 rešitev: o45
Skupaj 6
Naloga Točke Rešitev Dodatna navodila
88.3 1* dolžina stranice trikotnika na abscisni osi, npr.:
52
1* višina trikotnika, pravokotna na abscisno os,
npr.: 3
1 ploščina trikotnika, npr.:
154
S
Skupaj 3
top related