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Signal and Systems 1

Fourier transform

Fourier series 전개에서 주기 rArruarr rArrdarr

Aperiodic Signal rarr

Periodic Signal rarr

Signal and Systems 2

rArr limrarrinfin

then infin

infin

rarr ①

rarr ②

rarr ③

여기서 rarrinfin로 보낼 때 이 ldquo0rdquo이 되는 것을 방지하기 위해 ≜ ≜ rArr 정의하면

Signal and Systems 3

식 ① amp ②는 각각

infin

infin

rarr ④

rarr ⑤

한편 Fourier 계수 은 주파수 영역에서 Discrete하며 다음과 같은 line spectrum을 갖는다

∆

Signal and Systems 4

식 ④를 ∆를 이용해서 표현하면

∆

infin

infin

∙

∆ rarr ⑥

Then rarrinfin ∆ rarr (meaning spectrum이 continuous한 형태로 바뀐다)

rarrinfin로 보내면 식 ⑥은

limrarrinfin lim

rarrinfin

infin

infin

∆ rarr ⑦

Signal and Systems 5

식 ⑦은 rarrinfin에 따라 ∆가 가 됨 그리고 spectrum이 continuous rarr 함

또한 infin

infin

rarr infin

infin

가 됨 결과적으로

limrarrinfin

infin

infin

rarr ⑧

식 ⑤로부터 rarr rarrinfin limrarrinfin 를 대입하면

infin

infin

rarr ⑨

Signal and Systems 6

식 ⑧을 Inverse Fourier Transform (IFT)

식 ⑨를 Foward Fourier Transform (FFT) 또는 FT이라 함

중간정리

120021 infin

infin

FT -시간영역에서 주파수영역으로

120021-1

infin

infin

IFT -주파수영역에서 시간영역으로

Signal and Systems 7

ex) Rectangular gate ft(width=)의 을 구하라

Signal and Systems 8

infin

infin

∙

sinc

if =1 =1rarrldquo0rdquo

=

1

Signal and Systems 9

if = 1

Signal and Systems 10

Parsevals theorem

Enegy infin

infin

infin

infin

∙lowast lArr

infin

infin

를 대입하면

infin

infin

infin

infin

lowast larr 의 순서를 바꾸면

=

=

Signal and Systems 11

infin

infin

lowastinfin

infin

infin

infin

lowast∙

infin

infin

lowast rarr Conjugate 주파수 영역의 Energy와 같다

prime

1

Signal and Systems 12

의 기본 성질(time shift)

prime

Signal and Systems 13

Signal and Systems 14

120021

rArr complex

가 y축에 대해 대칭이면 는 Real

가 y축에 대해 비대칭(time shift)이면 는 Complex

가 y축에 대해 대칭(complex일 경우 conjugate)이면

는 Real

가 y축에 대해 비대칭(complex일 경우 conjugate이 아니면)이면

는 Complex

Signal and Systems 15

Special 에 대한

① Impulse ft

120021 infin

infin

∙infin

infin

1

983093

일경우만 값이 존재

1

0

1

rArr120021

Signal and Systems 16

② Complex exponential plusmn

120021-1∓

infin

infin

∓

plusmn

위 식의 양변에 FT를 하면

120021120021-1∓

infin

infin

∓

120021

plusmn

there4 120021plusmn

∓

∓

Signal and Systems 17

③ Sinusoidal ft

120021 120021

120021 120021

[ ]

Signal and Systems 18

의 성질

① Linearity

120021

② Complex conjugate

120021lowast infin

infin

lowast [infin

infin

]lowast

lowast lowast이면 f(t)는 실수

Signal and Systems 19

③ Symmetry

임의의 함수 는 짝함수와 홀함수의 합으로 표현이 가능하다

120021 infin

infin

infin

infin

infin

infin

infin

infin

+ infin

infin

Signal and Systems 20

infin

infin

infin

infin

infin

there4 120021 Real 실수값

120021 Imag 허수값

Signal and Systems 21

④ Duality

if 120021

정의식으로부터 infin

infin

rarr ①

infin

infin

rarr ②

120021 infin

infin

rarr ③

Signal and Systems 22

식 ②로부터 를 로 를 로 바꾸면

infin

infin

120021

there4 120021

③번 식

Signal and Systems 23

ex)

1

1

rArr120021

rArr120021

1

Signal and Systems 24

⑤ Time Shifting amp Frequency Shifting

-Time shifting 120021 infin

infin

Let

infin

infin

infin

infin

rArr 가 시간영역에서 만큼 Delay되면 주파수 영역에서는 크기는 변화가 없고

Phase만 만큼 변화한다

- Frequency Shifting=Modulation(변조)

Signal and Systems 25

120021

infin

infin

infin

infin

Modulation을 사용하는 가장 중요한 이유

rArr 안테나의 크기를 줄일 수 있어 이동성이 증가한다 (저주파 rarr 안테나 大 고주파 rarr 안테나 小)

Modulation(Frequency shifting)

rarr

120021

Signal and Systems 26

⑥ Differentiation

120021

rarr

infin

infin

infin

infin

infin

infin

Signal and Systems 27

infin

infin

함수의 IFT 이다

120021[]

양변에 120021을 취하면

120021

120021120021[]

Signal and Systems 28

⑦ Convolution

lowast infin

infin

120021lowast infin

infin

infin

infin

infin

infin

infin

infin

lowast

Signal and Systems 29

위의 식에서 time shift 성질을 이용하면

infin

infin

∙ ∙

infin

infin

Signal and Systems 30

따라서 Time domain의 lowast은 Frequency domain의 times

Duality 성질에 따라

Frequency domain의 lowast은 Time domain에서 times이다

ex)

lowast